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云南楚雄第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是空间中三条不同的直线，若，则( )
A. B. C. 与相交 D. 与是异面直线
2.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，，点满足，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知棱台的上、下底面面积分别是，，高为，则该棱台的体积是( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式可以为( )
A. B.
C. D.
7.在平面四边形中，与不共线，点满足，若，则( )
A. B. C. D.
8.如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点三点在同一水平面上测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 正四棱柱的侧面都是正方形 B. 棱台的侧棱延长后交于一点
C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D. 四面体的每个侧面都是等边三角形
10.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若的面积为，且，则
11.如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是( )
A. ，，，四点共面 B. 平面
C. 与是异面直线 D. 直线，，相交于一点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的虚部是 ．
13.某圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为 ．
14.在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
求；
若，求．
16.本小题分
已知向量，．
求；
若向量，且，求的值；
求与垂直的单位向量的坐标．
17.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
若且，求的值．
18.本小题分
如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面．
证明：；
求证：平面；
直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
求；
若，求的周长；
若为边上一点，且的面积为，求的值．
参考答案
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13.
14.
15.解：，
所以．
由，得，
即，
所以 ，解得，， 故．

16.解：已知，则，
已知，所以，
所以；
已知，，
所以，
因为，所以，解得；
由题意，
设与垂直的单位向量为：
因为是单位向量，所以，所以，
又因为，所以，即，
将代入中，得到，
解得，
当时，；
当时，，
所以单位向量为或
17.解：因为，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
由可得，所以，
因为，所以，
所以，
所以
．

18.解：因为平面平面，
所以平面，
又平面平面平面，所以．
取中点，连接，
则在中，，
又在中，，
则，
即四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面．
存在，为中点；当为中点时，平面平面．
证明如下：取的中点为，连接，
则在中，，
又平面平面，则平面，
同理可证，平面，
又平面，
所以平面平面．

19.解：由，两边平方整理得，即，
由余弦定理得，又，所以．
由知，则为钝角．
由，得，
所以，
又，所以，则，
所以，则，故．
由正弦定理，得，，
故的周长为．
由，得．
设，则，
所以，
所以，
则，
整理得，
由，知，
所以，解得，或舍去，
故．

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