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河南省新乡市部分校2025-2026学年高二下学期素养评价（三）
数学试题（人教Ａ卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某高中高二年级要从，，班中选取名同学参加作文比赛，班推荐了人，班推荐了人，班推荐了人，则高二年级可选择的方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两个线性相关的变量，，的成对样本数据如下表所示．参数取整的经验回归方程为，则当时的残差为( )
A. B. C. D.
4.会议室前排共有个座位．某次会议，要从名男性中选人，从名女性中选人，共人安排在前排就坐，则不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.函数在区间上的零点情况是( )
A. 有个零点 B. 有个零点 C. 有个零点 D. 没有零点
6.某部武警官兵的身高指标现要从一个大队名战士中选取礼仪兵，要求礼仪兵的身高指标，估计这名战士中符合“”的有 四舍五入到个位参考数据：若，则，
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
7.小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有关，小王、小李每关闯关成功的概率均为，小王和小李闯关成功相互独立．若事件为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多”，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上的最小值为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，，则下列关于函数的描述正确的有( )
A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增
C. 函数在上单调递减 D. 函数在上单调递减
10.已知，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C.
D.
11.现采用有放回与不放回两种取球方式，从装有个不同小球个红球，个黑球的盒中逐次抽取个小球．记有放回的取球方式取得黑球的个数为，不放回的取球方式取得黑球的个数为，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C. 当时，最大
D. 两种取球方式第三次取到黑球的概率均为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 用数字作答
13.某科研所需要一种高端零件，根据设计所需的精度，加工该零件只有三种精密机床可用，分别是精密机床、精密机床、精密机床王师傅负责加工该零件，他选择精密机床、精密机床、精密机床进行加工的概率分别为，且选择精密机床、精密机床、精密机床进行加工能达到设计精度的概率分别为王师傅完成零件加工后，零件能达到设计精度的概率为 ．
14.函数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解答下列各题：
化简：
把个相同的小球放入个不同的盒子中，且每个盒子中至少有一个小球，共有多少种不同的放法？
16.本小题分
某传媒公司对“中学生性别和喜欢动漫是否有关”做了一次调查，参与调查的中学生有人，调查后得到如下：列联表．
性别 对动漫的态度 合计
喜欢 不喜欢
女生
男生
合计
依据小概率值的独立性检验，分析中学生对动漫的态度是否与性别有关联．
从参与调查的名学生中随机抽取了人，人中有名女生和名男生，其中有名女生和名男生喜欢动漫．现从这名学生中选派名女生和名男生参观该传媒公司动漫工作室，求这人中恰有人喜欢动漫的概率．
参考公式：，．
17.本小题分
已知函数
讨论函数的单调性；
若，且在上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立．
求送审的每幅作品被淘汰的概率．
每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金元；若被淘汰，则该幅作品要亏损元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数有两个不同的零点，且．
若，求曲线在点处的切线方程；
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
，．
方法一：相同物品分配用隔板法．个小球中间形成个空位，
选出个放上隔板，形成份，对应放入个盒子中，有种放法，即有种不同的放法．
方法二：根据盒子内小球的个数分成两类，一类是，，；另一类是，，．
按，，放入：从个盒子中选个放入个小球，其他个盒子各放入个小球，
有种选法，故有种不同的放法．
按，，放入：从个盒子中选个放入个小球，其他个盒子各放入个小球，
有种选法，故有种不同的放法．
由分类加法计数原理，得不同的放法有种．

16.解：零假设为：中学生对动漫的态度与性别无关．
根据列联表中的数据，计算得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为中学生对动漫的态度与性别无关．
从名学生名女生和名男生中，任选名女生和名男生，不同的选法有种，
若名女生喜欢动漫，名男生喜欢动漫，有种；
若名女生和名男生喜欢动漫，有种，
所以选出的人中恰有人喜欢动漫的概率为．

17.解：因为，，所以，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
若时，，所以在上单调递减；
若时，，所以在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，，且其值域为，不满足恒成立，不符合题意；
由可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
若要满足恒成立，则的最小值，解得，
所以实数的取值范围为．

18.解：设事件分别为“一幅送审作品在第一、二、三次评审时通过”，
事件为“一幅送审作品通过了三次评审”，
事件为“一幅送审作品被淘汰”，则．
由题意，得．
因为，
所以，
所以送审的每幅作品被淘汰的概率为．
设四幅作品中，获奖的作品数为随机变量．
由题意知，的可能取值为，，，，，且．
设这四幅作品所获奖金为随机变量单位：元，
则，
的对应可能取值为．
因为，
，，
，
所以的分布列如下表．

所以期望为：．

19.解：若，则，定义域为，．
，．
曲线在点处的切线方程为．
，，
．
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，函数取得极小值，也是最小值．
函数有两个不同的零点，且，
当时，，当时，，
，即，实数的取值范围是．
证明：是函数的两个零点，且，
，且，，
要证，即证，即证，
证，，，
转化为证，即证．
设，，则，
当且仅当时等号成立，函数在上单调递减，
，当时，，
，，，
，，又，且在上单调递增，
，即得证．

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