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浙江省强基联盟2025-2026学年高二下学期5月题库
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据，，，，，，的中位数是( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.若抛物线的焦点为，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，要求甲乙相邻，丙丁不相邻，则不同的排法总数为( )
A. B. C. D.
6.，是两个平面，，是两条直线，且，则“”是“与所成的角和与所成的角相等”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，则函数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则( )
A. B. C. D.
10.小明的书包里有语文书、数学书、英语书各一本，现从中依次无放回地取出本，记“第一次取到语文书”为事件，“第二次取到数学书”为事件，“取到语文书”为事件，则( )
A. B.
C. D. 与相互独立
11.如图，正方体的棱长为，为的中点，，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为则下列命题正确的是( )
A. 当时，为四边形
B. 当时，为等腰梯形
C. 当时，为六边形
D. 当时，与的交点为，三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则根据小概率值所对应的临界值，分析喜欢该体育运动与性别 填“有关”或“无关”
13.已知随机变量服从二项分布，若且，则 ．
14.在中，角，，的对边分别为，，，满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，且．
求；
若的面积为，，求的周长．
16.本小题分
已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，矩形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧上异于，的点，，．
证明：平面；
当三棱锥体积最大时，求二面角平面角的大小．
18.本小题分
某奶茶店计划购买台制冰机，每台制冰机使用三年后即被替换制冰机中有一个易损部件制冰格，在购买机器时，可以额外购买这种制冰格作为备件，每个成本元在使用期间，若备件不足需临时采购，则每个价格元现对过去台同类制冰机在三年内的制冰格更换情况进行调查，得到柱状图分布：
以这台机器更换制冰格的频率代替台机器更换数量的概率记表示台制冰机在三年内共需更换的制冰格总数，表示购买台制冰机时同时购买的制冰格备件数．
求；
求随机变量的分布列；
以购买制冰格所需费用的期望值为决策依据，在和之中选其一，应选用哪一个？
19.本小题分
若函数满足：，有和同时成立，则称为“类直线函数”．
判断函数是否为“类直线函数”；
设函数，
(ⅰ)若为“类直线函数”，求实数的取值范围；
(ⅱ)若，求证：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.有关
13.
14.
15.解：由正弦定理得，，
所以，，
因为，所以．
由，又
，
又，所以，
由余弦定理，得，
所以周长为．

16.解：设公差为，由，得，
所以，，
又，，成等比数列，所以，
所以，
化简得，解得或，
因为数列是正项数列，当时，，不合题意，故舍去，
所以，，故；
由得，
所以，
所以，
综上所述：．

17.解：由题设知，平面平面，交线为，
因为，平面，所以平面，
故，因为为上异于，的点，且为直径，所以，
又，所以，平面．
由题意得：当三棱锥体积最大时，在弧的中点，
取中点，过作，垂足为，连接，，
因为三角形为等腰三角形，，
所以，因为，，所以，所以即为所求．
在直角三角形中，，所以．

18.解：每台机器更换的制冰格数为，，．
记事件为第一台机器三年内换掉个制冰格，
记事件为第二台机器三年内换掉个制冰格，
由题意知，
．
台机器共需更换的制冰格数的随机变量为，则的取值为，，，，．
，
，
，
，
的分布列为：
购买制冰格所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买制冰格的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用：
当时，仅时需要补购一个，费用的期望为元
当时，费用的期望为元，
因，则应选用．
19.解：当，时，，，
又，
所以是“类直线函数”．
当时，由恒成立，又，所以．
由，得
，
即，
整理可得，
即，
，，
故，，
所以，
综上可知，的取值范围是．
(ⅱ)由(ⅰ)知若，为“类直线函数”，且，
当时，．
由“类直线函数”可知
即
所以，不等式得证．
另解：当，，则．
要证，即证，等价于，
因为，所以，，
所以式得证，原不等式得证．

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