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浙江强基联盟2025-2026学年高一下学期5月题库数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则为( )
A. B. C. D.
2.的值为( )
A. B. C. D.
3.已知复数，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则( )
A. B. C. D.
7.在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.若函数的定义域为，且满足为偶函数，为奇函数，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，下列说法正确的是( )
A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D.
10.已知正实数，满足，则( )
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.在棱长均为的直三棱柱中，点满足，其中，，点为线段的中点，点为线段上的动点，则( )
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得
C. 当时，存在两个点，使得
D. 当时，的周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若平面向量，，则在上的投影向量为 用表示
13.已知复数满足，，其中为虚数单位，则的最大值为 ．
14.在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，
求函数的最小正周期和单调递增区间；
求函数在上的值域．
16.本小题分
如图，在长方体中，，，为线段上的动点，
求三棱锥的体积；
若，求点到平面的距离．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，
求；
已知，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件；条件；条件．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
如图，已知三棱锥，，，，，，
求证：平面；
求三棱锥外接球的表面积；
若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，
若，当时，求的最小值；
若，当时，
(ⅰ)若函数的最小值为，求的取值范围；
(ⅱ)对于任意的，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：的最小正周期
令，；
解得，；
所以函数的单调递增区间为，．
令，，则
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以，即，
所以函数在上的值域为．
16.解：，
易知的长即为三棱锥的高，
所以．
记点平面的距离为，
由，则，，，
所以，
由知．
17.解：在中，，则
由正弦定理可得：．
所以
即，
解得或舍，
由，则．
若选得，不存在，
若选由余弦定理知，得，
故，
若选由正弦定理知，得，
余弦定理，
故．

18.解：由，则是的中点，
又，则，
又，，则，且，
所以在中，有，，
所以在中，有，
又，则在中，有，所以，
又，且，平面，所以平面．
设外接圆的半径为，为该外接圆圆心，则在直线上，
由正弦定理可得，则，
结合有，则，
设三棱锥外接球的半径为，为该外接球的球心，
则在过圆的圆心且垂直于平面的直线上，
结合有平面，则在平面内，所以平面，
设，过作，且在上，则，，，
在中，有，
在中，有，
即，解得，所以，
所以三棱锥外接球的表面积为．
法一：结合可知在平面的投影三角形为，
又结合有，，所以，
又结合有，，则为等腰三角形，
则边上的高为，所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
法二：如图延长与相交于点，则平面与平面的交线为，
过作，且在上，
结合有平面，又平面，则，
又，且，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以是平面与平面所成角，
结合有，，，，
则，即，解得，则，
所以在中，有，
所以，
又平面，又平面，则，
所以平面与平面所成角的正切值为，
故平面与平面所成角的余弦值为．

19.解：当时，，
当时，，当且仅当时取等，
故当时，最小值为．
由，或，
即，
，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为，
所以当时，方程有解，
即方程，或有解，
即或有解，当有解时，，
当有解，，
所以；
(ⅱ)由题意得当时，，，
当时，在上单调递增，
，即，化简，得，
去分母，得，
解得，；
当时，在上单调递减，单调递增．
，设表示中最大的数，
，且，即
解得，；
当时，在上单调递增，
，即，化简，得，
去分母，得，
；
当时，，符合题意；
当时，在上单调递增，
，即，化简，得，
去分母，得，
解得，．
综上所述：．

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