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北京市第二十中学2025-2026学年高二下学期5月月考
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.由，，，四个数组成没有重复数字的四位数中，能被整除的个数是( )
A. B. C. D.
4.随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过次的概率为，超过次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过次，则其能够循环充电超过次的概率是( )
A. B. C. D.
5.从甲乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译导游礼仪司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为
A. B. C. D.
6.，则( )
A. B. C. D.
7.设是所有项都不为的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使前次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为 ，
A. B. C. D.
9.若，则
A. B.
C. D.
10.设函数，给出下列四个结论：当时，函数有三个极值点；当时，函数有三个极值点；是函数的极小值点；不是函数的极大值点其中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.展开式中的常数项为 ．
12.若函数，则
13.现有道四选一的单选题，学生李华对其中道题有思路，道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为现从这道题中随机选择题，则他做对该题的概率为 ．
14.记为正项数列的前项积，已知，则 ； ．
15.已知无穷数列的前项和，若存在不相等的正整数，，使得 则称为“绝对可等和数列”给出下列结论：
已知数列则数列为“绝对可等和数列”；
存在一个公差不为的等差数列，使得对任意的正整数，总存在，满足
若公比为的等比数列为“绝对可等和数列”，则的取值集合为
若两个公差均不为的等差数列和均为“绝对可等和数列”，则也一定是“绝对可等和数列”
其中所有错误结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式：
若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和．
17.手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间为了解，两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取，两个型号的手机各台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号
型待机时间
型待机时间
已知，两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．
求的值；
判断，两个型号被测试手机待机时间方差的大小结论不要求证明；
从被测试的手机中随机抽取，型号手机各台，求至少有台的待机时间超过小时的概率．
注：个数据的方差，其中为数据的平均数
18.已知函数在处的切线为．
求；
证明：函数有最小值．
19.已知椭圆过点，其左、右焦点和上顶点构成的三角形为等边三角形．
求椭圆的方程；
设直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于点和点，若，求的值．
20.已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数在区间上的极值点的个数；
若函数在区间上有唯一零点，证明：．
21.有限数列：，，，同时满足下列两个条件：
对于任意的，，；
对于任意的，，，，，三个数中至少有一个数是数列中的项．
Ⅰ若，且，，，，求的值；
Ⅱ证明：，，不可能是数列中的项；
Ⅲ求的最大值．
参考答案
1.
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14.

15.
16.解：方法：设等差数列的公差为，，
因为，所以，
又，所以，解得，
因为，所以的通项公式为；
方法：设等差数列的公差为，
故，，所以；
因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
因为，所以，
则
，
所以数列的前项和为．

17.解：
由，解得．
设，两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为，，
则．
设型号手机为，，，，；型号手机为，，，，，“至少有台的待机时间超过小时”为事件．
从被测试的手机中随机抽取，型号手机各台，不同的抽取方法有种．
抽取的两台手机待机时间都不超过小时的选法有：
，，，，共种．
因此，，所以．
所以至少有台的待机时间超过小时的概率是．

18.，
．
当时，．
切线斜率为，故，即，解得．
由，得，
．
令，解得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
时，；时，．
，
所以在处的极小值为函数的最小值，故有最小值．

19.解：由题可知，，，
所以椭圆的方程：．
方程的判别式，
设
三点共线，
，
同理，
或
或．

20.【详解】当时，函数，
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
由函数，．
令，，．
若时，，所以在上单调递增，且，
即在上单调递增，且，
所以函数在上单调递增，函数无极值点；
当时，，，
当，所以．
所以函数在上单调递增且有唯一零点，
即函数在上单调递增且有唯一零点，
当；当，
所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点；
当时，因为，所以，
所以函数在上单调递减，无极值点．
综上所述：当或时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点．
由可知，当时，函数在上单调递减，且，
所以函数在上无零点；
当时，函数在上单调递增，且，
所以函数在上无零点；
当时，函数在有唯一的极小值点，且，
要使函数在区间上有唯一零点，所以．
所以，
令，得，即．
再令，，
所以在上单调递增，
且．
所以函数在上有唯一零点，
所以，即．

21.解：Ⅰ由，得．
由，当，，时，，中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得．
经检验，当时，符合题意．
Ⅱ假设，，是数列中的项，由可知：，，中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且．
由，．
对于数，，，由可知：；对于数，，，由可知：
．
所以 ，这与矛盾．
所以 ，，不可能是数列中的项．
Ⅲ的最大值为，证明如下：
令，则符合、．
设：，，，符合、，则：
中至多有三项，其绝对值大于．
假设中至少有四项，其绝对值大于，不妨设，，，是中绝对值最大的四项，其中
则对，，有，，故，均不是数列中的项，即是数列中的项．
同理：也是数列中的项．
但，
所以 ．
所以 ，这与矛盾．
中至多有三项，其绝对值大于且小于．
假设中至少有四项，其绝对值大于且小于，类似(ⅰ)得出矛盾．
中至多有两项绝对值等于．
中至多有一项等于．
综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ)可知中至多有项．
由，可得，的最大值为．
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