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福建名校联盟2026届高中毕业班适应性练习数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知样本数据，，，，的平均数为，则该样本的中位数为( )
A. B. C. D.
4.若曲线在处的切线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则“，”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件
6.已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.在正三棱柱中，，分别满足，，点在棱上，若平面将该三棱柱分割成体积相等的两部分，则( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知，若圆上存在点，满足，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线的焦点为，设为坐标原点，记的准线与轴的交点为，动点在上，则( )
A. 的方程为
B. 若，则到轴的距离为
C. 若，则的面积为
D. 若，则直线与相切
10.已知为定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称，当时，，则( )
A.
B.
C. 关于的方程恰有个不同的实数解
D. 不等式的解集为
11.将个红球，个蓝球，个白球随机摆成一排，再从左到右依次编号为，，，设红球的编号分别为，，，；蓝球的编号分别为，，，；白球的编号分别为，，则( )
A. B.
C. D. 随机变量的均值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的最小正周期为，点是曲线的一个对称中心，则的最小值为 ．
13.已知向量在向量方向的投影向量是，且，， ．
14.已知数量充足的白色卡片分别标有连续正整数，，，的序号，按如下规则对卡片进行若干轮染色：每轮被染色的卡片序号均为连续奇数或连续偶数；若第为任意正整数轮染色张卡片，且被染色卡片的最大序号为，则第轮染色张卡片，且被染色卡片的最小序号为若第轮仅染色序号为的卡片，并将所有被染色的卡片按序号递增的顺序摆放，则第张被染色卡片在第 轮染色，其序号为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
已知为边上的一点，，且记，的面积分别为，，若，求的面积．
16.本小题分
某体能测试共有种力量测试项目和种敏捷性测试项目，已知甲每种力量测试项目测试合格的概率均为，每种敏捷性测试项目测试合格的概率均为
已知在某种力量测试项目的训练中，甲需累计达到两次测试合格则停止训练，求当停止训练时，甲恰好进行了四次测试的概率；
甲在某次模拟测试中，每次在所有测试项目中随机抽取一项进行测试，共测试两次若，且甲至少有一次测试合格的概率为，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，四棱锥的体积为．
若，证明：平面平面；
若平面平面，求平面与平面夹角余弦值的最大值．
18.本小题分
已知函数．
若为单调递增函数，求实数的取值范围；
设、为的两个极值点，证明：．
19.本小题分
已知双曲线的左，右顶点分别为，，异于的点在的右支上，且直线与的斜率之和恒为．
求的坐标；
证明：，，三点共线；
设的面积为，判断是否存在正整数，，使得若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：因为，所以由正弦定理得，
即，
所以，又，所以；
因为，所以为角的平分线，由知，
所以，
所以，
，
因为，所以，所以，
在和中，由余弦定理得：
，
，
由角平分线定理得，
所以，即，
将代入得，解得，则，
所以．

16.解：甲需累计达到两次测试合格则停止训练，当停止训练时，甲恰好进行了四次测试，等价于甲第次测试合格，且前次测试中恰好有次合格，
所以当停止训练时，甲恰好进行了四次测试的概率为．
因为，所以总测试项目数为，
因此随机抽取一项时，抽到力量测试项目的概率为，抽到敏捷性测试项目的概率为，
设单次测试合格的概率为，，
“两次测试至少有一次合格”的对立事件为“两次测试都不合格”，
即，代入可得，解得．

17.解：
，，
且
又，且，
在中，，
在中，，即．
取中点，连接，
，且
又底面为直角梯形，，
解得，即为四棱锥的高，面，
面，
又，面，面
又面，平面平面
以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
平面平面，的投影在线段上，
结合可设，，，
则，，
设面的一个法向量为，
则，即
令，则
由知，是面的一个法向量，
所以
，当时，有最大值为．
即平面与平面夹角余弦值的最大值为．

18.解：定义域为，求导得，
已知为单调递增函数，则在上恒成立，
两边同时乘以正数得，即对任意恒成立，
令，求导得，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得最小值，故，即实数的取值范围为．
由知，是的极值点，
即，由，则，故
，
，
，
已知三次方程有两个正根，设第三个根是，
则，
故，故，则
令，则，，
由基本不等式，，
代入得，化简得，
，
，
令，
求导得，
令，求导得，
当时，，
故在上单调递减，故，
故，则在上单调递减，
，
即，命题得证．

19.解：当时，双曲线的方程为：，左、右顶点．
设，，化简得：，
由双曲线方程得，代入得：则．
将代入双曲线方程：．
故．
对任意，双曲线的方程为：，左、右顶点，．
设，同理可得：，
由双曲线方程，，代入得：，
因此，，，的坐标均满足，所以，，三点共线．
由可得，，，
在直线上，
点到直线的距离即到直线的距离，，
故：，
代入得：，
化简得：，
因为，为正整数，令，则，
代入得：
易知当时，，当时，舍去
当时，，，满足条件．
当时，，此时．
综上：存在正整数，，．

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