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北京市十一学校2026届高三下学期5月月考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. 或
C. D.
2.已知复数在复平面内对应点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
3.已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4.双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则( )
A. B. C. D.
6.已知且，则下列结论中不一定正确的是( )
A. B. C. D.
7.年，深度求索公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为千亿亿次浮点运算秒根据技术规划，的算力每年增长截止年，其算力已提升至，并计划继续保持这一增长率．问：的算力预计在哪一年首次突破？( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
8.已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.若数列，均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，，则称数列为数列的“数列”已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是 ．
A. 存在等差数列，使得是的“数列”
B. 存在等比数列，使得是的“数列”
C. 存在等差数列，使得是的“数列”
D. 存在等比数列，使得是的“数列”
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是 ．
12.已知，则 ．
13.在中，，，．
若，则 ；
当 写出一个可能的值时，满足条件的有两个．
14.对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数具有性质若函数具有性质，
若，则 ；
若，则的取值范围是 ．
15.设函数的定义域为，且不恒为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列结论：
若是奇函数或偶函数，且满足，则与中恰有一个成立；
若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的与不存在；
若为奇函数，则满足的与存在无数对；
若为偶函数，则满足的与存在无数对．其中正确的是 填写序号．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，将沿翻折至，使得二面角为直二面角．
证明：平面；
求平面与平面所成角的余弦值．
17.已知函数．
求的最小正周期和单调增区间；
若，从下面三个条件中选择一个作为已知条件，使得唯一确定，并求在上的取值范围．
条件：为偶函数；
条件：在上单调递减；
条件：；
18.工业生产者出厂价格指数是监测生产端价格与宏观经济的核心指标之一．其核心作用是监测工业生产领域的价格趋势、为宏观政策制定提供依据，同时也能反映工业企业的成本与利益变化、预判产业链价格传导效应．当指数高于表示环比上涨，低于表示环比下跌，等于表示持平．
下表为年个月月月的分行业文教、工美、体育和娱乐用品制造业、汽车制造业、计算机、通信和其他电子设备制造业的环比：
月 月 月 月 月 月 月 月 月 月
分行业
分行业
分行业
从这个月中随机抽取一个月，求该月的分行业的环比上涨的概率；
从这个月中随机抽取三个月，记随机变量为此三个月中分行业和同时环比下跌的月份个数，求的分布列和期望；
从月至月这个月中随机抽取两个月，记随机变量为此两个月中一个月环比上涨且另一个月环比下跌的分行业个数，直接写出的期望．
19.已知椭圆：的离心率为，且过点．
求椭圆的方程和焦距；
过点的直线与椭圆交于两点，关于轴对称点为，直线，和轴的交点分别为，，求．
20.已知函数，且是的一个极值点．
求实数的值；
为的图象上一点，若的图象上存在异于的一点，使得在点处的切线与在点处的切线斜率相等，求的取值范围；
已知轴上一点，满足过点的任意一条直线与的图象至多一个公共点，求的最小值．
21.已知无穷实数列，如果无穷数列满足：
；
对任意正整数，是使得成立的最小正整数其中表示的是不超过的最大整数．
则数列称为的“取整生成数列”，
若，，直接写出的“取整生成数列”的前五项；
对于无穷实数列，对任意正整数，均有若无穷数列为的“取整生成数列”，
能否为公比不为的等比数列？若能，求公比的取值范围；若不能，说明理由．
求证：对任意正整数，，均有成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 答案不唯一
14.
15.
16.证明：因为二面角为直二面角，
所以平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面，
又平面，
则平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面
解：如图，过作平面的垂线，据题意可得，垂线在平面内，
分别以，所在直线为轴，轴，以所作垂线为轴，建立图示空间直角坐标系，
从而，，
得，
设平面平面法向量为，
则，取，
而平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
平面与平面所成角的余弦值为．

17.解：因为，
所以最小正周期为；
令，则，
所以的单调递增区间为．
，
若选择条件：为偶函数
因为为偶函数，所以，得，
因为，所以取，得；
若选择条件：在上单调递减
因为，则，
若在上单调递减，结合，，所以；
若选择条件：
因为，所以，因为，
所以，所以不存在；
综上，可选条件或，得，
此时，
当时，，，所以．

18.解：由分行业的环比上涨的月份有月和月，共个月，
所以该月的分行业的环比上涨的概率为．
由分行业和的指数同时环比下跌的月份有月、月、月、月、月和月，共个月，
则随机变量的取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
故期望为．
以下为各行业月的涨跌情况，
分行业：个月上涨，个月下跌，则抽取两个月，恰好一涨一跌的概率为；
分行业：个月上涨，个月下跌，则抽取两个月，恰好一涨一跌的概率为；
分行业：个月持平，个月下跌，则抽取两个月，恰好一涨一跌的概率为，
又由期望的线性性，所以的期望为．

19.解：根据题意可得，解得
所以椭圆的方程为，焦距为；
根据题意直线的斜率存在，设方程为，
即，，，则，
联立
整理得，
，，
直线的方程为，令，可得点纵坐标，
直线的方程为，令，可得点纵坐标，
则
，
所以．

20.解：函数定义域为，求导得：，
因为是极值点，故，代入得：；
由得，切线斜率相等即存在，使得，
设，问题转化为存在不等于的正根，求的范围，
令得：
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故最小值为，
当即时，可得，仅有唯一解；
当时，存在两个不同的解，其中一个解在区间，另一个解在区间．
故的取值范围为．
任意过的直线与至多一个交点，即不存在割线穿过，
等价于大于等于所有曲线的切线在轴截距的最大值，
对任意点，切线方程为：，
令得切线在轴截距为，令，则，
令得，
在递增，递减，故最大值为
故的最小值为．

21.解：数列的前项和为，已知，
且是使得成立也即满足的最小正整数，
解得，故，
解得，故；
解得，故；
解得，故，
所以的“取整生成数列”的前五项依次为．
不能，理由如下：
假设是公比为的等比数列，因为对任意正整数，
均有，所以首项且，若，
则当时，，不合题意，因此，
记数列的前项和为，则，
同时，因为，所以，
依定义是使得成立的最小正整数，
也即是使得成立的最小正整数，
结合可得，即，
因为是一个整数列，所以当时，，
同时又有，所以也只能趋于无穷大，这与矛盾，
故不能为公比不为的等比数列；
当时，前述分析已知，又是整数列，
所以，结论成立；
假设当结论成立，即有成立，
当时，考虑，
因为是使得成立的最小正整数，则，
同时因为，所以，
即，而是使得成立的最小正整数，
所以，因为是整数列，故，
说明当时结论依然成立，
由数学归纳法可知，对任意正整数，，均有成立．

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