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北京师范大学第二附属中学2026届高三下学期模拟预测数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线的焦点为圆的圆心，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中，的系数为 ．
A. B. C. D.
5.已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则是( )
A. 偶函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是增函数
C. 偶函数，且在上是减函数 D. 奇函数，且在上是减函数
8.某工厂的产量单位：件与资本投入单位：万元、劳动投入单位：人满足柯布道格拉斯生产函数其中，，为常数在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升，资本投入需增加，则该工厂资本产出的弹性系数约为 参考数据：，
A. B. C. D.
9.设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则 ．
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点满足，则 ．
13.已知，，且，写出满足条件的一组，的值 ， ．
14.已知函数，令，当时，的所有零点之和为 ，有个零点则的取值范围为 ．
15.已知无穷数列满足下列三个性质：
，；
(ⅱ)对任意的，；
(ⅲ)对任意的，都有．
则下列说法正确的是 ．
当，时，；
当时，存在单调递增的数列满足上述条件；
当时，对任意的成立；
对于任意数列，总存在，使得对任意的，都有．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，在三棱柱中，平面，点为的中点．
求证：平面；
求二面角的大小．
17.在中，角，，的对边分别为，，，．
求的大小；
再从条件条件条件这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长．
条件：，；条件：，；条件：，．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
18.为了解某地中学生使用、两款大语言模型辅助日常学习的情况，对该地的名初中生和名高中生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
初中生 高中生
使用 不使用 使用 不使用
款 人 人 人 人
款 人 人 人 人
假设所有学生对、两款模型是否使用互相独立．用频率估计概率．
从该地全体中学生中随机抽取人，估计此人使用款模型的概率；
从该地全体初中生中随机抽取人，全体高中生中随机抽取人，记这人中使用款模型的人数为，估计的分布列；
假设该地某校初中生和高中生人数比为，从该校全体中学生中随机抽取人，记其使用款模型的概率估计值为，比较与中的大小．结论不要求证明
19.已知分别为椭圆的左、右焦点，为上的动点，其中到的最短距离为，且当的面积最大时，恰好为等边三角形．
求椭圆的标准方程；
斜率为的动直线过点，且与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，那么，是否为定值若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．
20.已知函数的定义域为，的导函数为，设直线是曲线在点处的切线，对任意的，直线与轴都有唯一的交点，记交点的横坐标为，且满足，．
讨论函数的单调性；
若函数在上单调递增，求的取值范围；
当时，求证：．
21.已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有对于且，定义，表示有限集合的元素个数．
若，写出的值；
当时，若恒成立，求证：；
对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一答案不唯一
14.

15.
16.解：因为平面平面，所以，
在中，，，，
所以，所以，
所以平面；
由知，，，，以为坐标原点，，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，
则，，，
则，，
故，所以
令，所以，，，
所以，又平面的法向量为，
所以，
由题意知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．
17.解： 在中，因为，所以由正弦定理可得
因为，所以．
所以，
在中，，所以，因为，所以．
设边上高线的长为，
条件：，则，
，根据三角形全等角角边可知存在且唯一确定，
，
则，解得即边上高线的长为；
条件：不唯一条件不合题意；
条件：根据三角形全等边角边可知存在且唯一确定，
，即，解得：，
则，解得即边上高线的长为．
18.从表格数据可知，抽查的名中学生中有人使用款模型，因此该地全体中学生使用款模型的概率估计为．
设事件为“该地全体初中生中随机抽取人，此人使用款模型”，
事件为“该地全体高中生中随机抽取人，此人使用款模型”．
根据题中数据，估计为，估计为．
根据题意，随机变量的所有可能取值为，，，．
可估计为；
可估计为；
可估计为；
可估计为，
设选中初中生为事件，该生使用款模型为事件，
选中高中生为事件，该生使用款模型为事件，由题，
又由题可得，，则，
则

19.解：设，则由题意可知解得，所以，
故椭圆的方程为．
为定值．
证明：由可得椭圆的焦点，
当斜率不存在时，不符合题意，
所以设动直线的方程为，
由得．
设，则．
设的中点为，则．
当时，线段的垂直平分线的方程为，
令，得，所以．
．
所以．
当时，的方程为，
此时，．
综上，为定值．

20.解：设，求导得
当时，恒成立，故在上单调递增．
当时，令，得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增．
在上单调递增，等价于对所有恒成立．
当时，，恒成立．
当时，恒成立令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增
时，取得最小值，故．
当时，恒成立．
在单调递减，且时，时，故．
综上，的取值范围是．
曲线在处的切线方程为令，得，整理得：
当时，，且，
则
因此
即
令，，
令，．
时，，单调递增；时，，单调递减．
，故对所有成立，在上单调递减．
，故时，；
时，；
时，．
由，得．
当时，，故；
当时，，故；
当时，．
综上，对所有，成立．

21.解：比较的第列，相同行有第行，故；
比较的第列，相同行有第行，故．
考虑的任意一行，
由于每个元素只能是或，则这三个元素中至少有两个是相等的，
即在的三个组合中，至少有一个组合满足，
按行统计即可得中所有相等元素的对数和至少为，
等价于所有组合的之和满足
结合条件，得，即．
由定义可知，则，而当的所有列完全相同时，
对任意都有，此时，因此的最大值为．
设第行有个，则有个，该行中相等元素的对数为
，
该式对同样成立，
以为自变量，当取最接近对称轴的整数时，取得最小值，
当为偶数时，时有，
当为奇数时，时有，
采用与相似的分析可知所有组合的之和为，
又的最大值为，所以，
可得，代入即可得．

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