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湖南省益阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
2．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（ ）
A．50 B．64 C．35 D．128
4．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（ ）

A．15种 B．30种 C．48种 D．60种
6．已知公比不等于1的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．8 D．16
7．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．设两个相关变量和分别满足下表：
若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ）
（参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．是的极小值点
C．是的极大值点
D．曲线在处的切线斜率为2
10．若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．A与B相互独立 B．
C． D．
11．已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点，过点作准线的垂线，垂足为，直线（为坐标原点）与交于点（异于点），则（ ）
A．
B．直线过抛物线的焦点
C．当为等腰三角形时，或
D．过点且与抛物线相切的直线平分
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．已知等比数列的前项和为，若，，则______．
13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．
14．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，则的个位数字是_________．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数（，）.
(1)当时，求证：；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，，求a的取值范围.
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点.
(1)若是棱的中点，求二面角的大小；
(2)请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论.
17．下表为某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 7
米色内饰 3 5
(1)若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米色内饰，求，，并据此判断事件A，B是否相互独立．
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做出如下假设：
假设1．抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰恰有一种同色；
假设2．一等奖为元，二等奖为元，三等奖为元；
假设3．按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高．
请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望．
18．已知椭圆的离心率为，，不过的上、下顶点的直线与交于不同的，两点.
(1)求的标准方程.
(2)设点，分别为的上、下顶点，直线的斜率为当直线，的斜率都存在时，.
①证明：直线过定点.
②当的面积取得最大值时，求的值.
19．如图，矩形中为中点，将沿着折叠至.
(1)证明：平面；
(2)设平面平面，点，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，若直线与平面所成角的正弦值为，求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
湖南省益阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A D D B B CD ABD
题号 11
答案 ABD
12．
13．
14．0
15．
（1）当时，设，
所以单调递增，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以，
所以；
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
(3)
16．(1)；
(2)条件②，
（2）条件②可以推断平面；
以下证明条件①不可以，条件②可以，
若选择条件①，
因为在线段上，所以，所以，
过作的垂线，垂足为，易得是直线与平面所成角，
所以，解得， 所以
由（1）可得，，
设平面的法向量，
由，得，当时，，
则，
所以，则与不垂直，即与平面不平行;
若选择条件②，
如图，连接，相交于点，连结，
在梯形中，有，，
根据三角形的相似得，
又因为，故，
又平面，平面，
所以平面
17．(1)，，A，B不相互独立；
(2)一等奖：外观和内饰均异色；二等奖：外观和内饰均同色；三等奖：外观和内饰恰有1个同色，分布列见解析；期望为．
18．(1)
(2)①证明：由（1）可得，
设直线的方程为，，，
由得，
，，.
当直线，的斜率都存在时，
则，
解得，
直线的方程为，所以直线过定点.②
19．(1)由题意得，，，
所以，即，
因为，所以，即，
又平面，所以平面；
(2)
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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