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八年级数学（北师大版）下册期末复习专题
第五章 分式与分式方程
专题一 分式概念、基本性质与取值范围
一、核心考点
分式定义：（为整式，含字母且），能准确区分整式、分式。
分式取值规则：分式有意义；分式无意义；分式值为0。
分式基本性质、符号变形、系数整数化、最简分式判定。
二、易错警示
为常数，含的代数式一定不是分式。
分式值为0必须同时满足分子为0、分母不为0，缺一不可。
运用分式性质时，分子分母同乘/除的整式不能为0。
三、分层训练
基础过关
下列代数式中，属于分式的是（）
A. B. C. D.
若分式 有意义，则的取值范围是________。
化简分式符号：________（使分子首项系数为正）。
下列分式中，属于最简分式的是
A. B. C. D.
若分式 无意义，则的值为________。
能力提升
若分式 的值为 0，求的值。
不改变分式大小，将 分子、分母各项系数化为整数。
无论取何实数，分式都一定有意义，请说明理由。
若分式的值为正数，求的取值范围。
已知分式，当为何值时，分式的值为0？
不改变分式的值，将分式的系数化为整数。
专题二 分式的四则运算
一、核心考点
分式乘除、乘方运算法则，运算核心：先因式分解（提公因式、平方差、完全平方公式），再约分计算。
同分母、异分母分式加减运算，异分母分式需先通分再计算。
混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，最终结果必须化为最简分式。
二、易错警示
异分母分式通分时，容易漏乘公分母项。
整式与分式加减运算时，易错处理整式的分母。
运算完成后未彻底约分，结果非最简分式导致扣分。
三、分层训练
基础过关
计算：
计算：
计算：
计算：
计算：
能力提升
计算：
计算：
混合运算：
变式计算：
混合运算：
混合运算：
专题三 分式化简求值
一、核心考法
直接代入求值；
限定范围选数代入；
整体代入求值；
结合非负数条件求值。
二、易错警示
选取代入的数值，必须同时保证原式、化简后的式子分母均不为0。
三、分层训练
基础过关
先化简，再求值：，其中 。
先化简再求值：，其中。
能力提升
先化简，再从 中挑选一个合适的数代入求值。
已知 ，化简并求分式的值。
已知，先化简 ，再代入求值。
已知，先化简再求值。
先化简：，再从中选合适数值代入求值。
先化简再从0、1、中选取合适的数代入求值。
专题四 分式方程的解法
一、核心考点
分式方程定义：分母中含有未知数的方程。
标准解题步骤：去分母→解整式方程→检验。
检验规则：将解代入最简公分母，公分母不为0是原方程的解，为0则为增根，原方程无解。
二、易错警示
去分母时，式子中的单独常数项极易漏乘最简公分母。
三、分层训练
基础过关
解方程：
解方程：
解方程：
能力提升
解方程：
解方程：
解方程：
解方程：
解方程：
专题五 分式方程增根、无解与参数问题
一、核心考点
增根定义：去分母后得到的整式方程的根，且该根使原分式方程分母为0。
分式方程无解两类情况：① 整式方程的根为增根；② 整式方程本身无解。
根据方程解的正负求参数范围，必须主动排除增根。
二、分层训练
基础过关
若分式方程 有增根，则增根是________。
分式方程产生增根，则增根可能为________。
能力提升
已知关于的分式方程有增根，求的值。
若方程无解，求的值。
关于的分式方程的解是负数，求的取值范围。
已知分式方程有增根，求的值。
关于的分式方程的解为正数，求的取值范围。
专题六 分式方程实际应用
一、常考题型
工程问题、行程问题（含顺水逆水）、销售单价问题；解题核心要求：双重检验（检验方程解、检验实际意义）。
二、分层训练
基础过关
校园文创店采购书签，第一次用 180 元购进若干款书签，第二次用 300 元购进同款书签，第二次单价比第一次便宜 1 元，购进数量是第一次的 2 倍，求第一次购进书签的单价。
一项工程，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要12天，两人合作完成这项工程的一半需要多少天？（列分式方程求解）
能力提升
一艘游船顺水航行 的时间，与逆水航行 的时间相等，已知水流速度为，求游船在静水中的航行速度。
班级大扫除，单独由女生完成需要的天数是男生的 1.5 倍，男女生合作共同打扫，6 天可以完成全部任务。求男生、女生单独完成大扫除各需要多少天。
甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工 10 个，甲加工 150 个零件与乙加工 120 个零件所用时间相等，求乙每小时加工多少个零件。
某超市购进一批保温杯，花费1200元，上架后售空，再次购进同款保温杯，花费1800元，第二次进货单价比第一次高2元，进货数量比第一次多10个，求第一次进货的单价。
甲、乙两车行驶相同的路程，甲车速度比乙车快10km/h，甲车用时4h，乙车用时6h，求甲、乙两车的行驶速度。
专题七 分式综合题型
一、考点融合
分式化简一元一次不等式、分式符号综合判断、分式取值综合问题。
二、分层训练
先化简 ，再结合不等式 ，选取合适的正整数代入求值。
已知分式，
求分式有意义的取值范围；
当取何值时，该分式的值为正数？
先化简，从 中选取一个合适的数代入求值。
先化简，其中满足不等式的正整数解，求分式的值。
已知分式，
求分式无意义的的值；
求分式值为负数时的取值范围。
参考答案
专题一 分式概念、基本性质与取值范围
基础过关
答案：C
详解：分母中含有字母的代数式为分式。分母为常数，属于整式；为常数，为整式；分母含字母，是分式。故选C。
答案：
详解：分式有意义，则分母不为0。，解得。
答案：
详解：原式
答案：C
详解：分子、分母无公因式的分式为最简分式。均可约分；无法约分，为最简分式。故选C。
答案：
详解：分式无意义，则分母为0。，解得.
能力提升
解答：
由题意得，解得且，故。
解答：分子分母同乘10，得
解答：对任意实数，，则，分母恒不为0，分式一定有意义。
解答：分式值为正，分子分母同号。或，解得或.
解答：由题意解得且，故.
解答：原式
专题二 分式的四则运算
基础过关
解答：原式
解答：原式
解答：原式
解答：原式
解答：原式
能力提升
解答：原式
解答：原式
解答：原式
解答：原式
解答：原式
解答：原式
专题三 分式化简求值
基础过关
解答：原式原式为定值，故时，原式。
解答：原式将代入，原式
能力提升
解答：原式由分式有意义条件得。当时，原式；当时，原式.
解答：原式
解答：由得原式代入得原式。
解答：由得原式代入得
解答：原式当时，原式；当时，原式。
解答：原式由分母不为0得取原式取原式
专题四 分式方程的解法
基础过关
解答：去分母得：，展开得，解得。经检验，是原方程的解。
解答：去分母得：，展开得，解得。经检验，是原方程的解。
解答：去分母得：，展开得，解得。经检验，是原方程的解。
能力提升
解答：去分母得：，展开整理得，解得。经检验，是原方程的解。
解答：去分母得：，整理得，解得。经检验，是增根，舍去，故原方程的解为。
解答：原方程整理为，合并得，即，等式不成立，故原方程无解。
解答：去分母得：，展开整理得，解得。经检验，是增根，舍去，故原方程无解。
解答：去分母得：，展开整理得，解得。经检验，分母，是原方程的解。
专题五 分式方程增根、无解与参数问题
基础过关
答案： 详解：分式方程增根为使最简公分母为0的根，令，得增根。
答案：或 详解：令最简公分母，得增根为或。
能力提升
解答：方程有增根，则。去分母得，将代入得。
解答：去分母整理得。方程无解，则整式方程的根为增根。故，解得。
解答：去分母得，解得。由解为负数且，得且，解得且。
解答：方程增根为，去分母得，将代入得。
解答：去分母得，解得。由解为正数且，得且，解得且。
专题六 分式方程实际应用
基础过关
解答：设第一次购进书签单价为元，则第二次单价为元。由题意得，解得。经检验，是原方程的解且符合题意。答：第一次购进书签单价为6元。
解答：设两人合作完成一半工程需要天。由题意得解得.经检验，结果符合题意。答：合作完成一半工程需要天。
能力提升
解答：设游船静水速度为。由题意得，解得。经检验，是原方程的解且符合题意。答：游船静水速度为。
解答：设男生单独完成需天，女生单独完成需天。由题意得，解得。经检验，是原方程的解且符合题意，。答：男生单独完成需10天，女生单独完成需15天。
解答：某工厂计划加工一批零件，原计划每天加工相同数量零件，加工120个零件的时间与提速后加工180个零件的时间相同，已知提速后每天比原计划多加工5个零件，求原计划每天加工多少个零件。设原计划每天加工个零件，提速后每天加工个零件。由题意得，去分母得，展开整理得，解得。经检验，是原分式方程的解，且符合实际题意。答：原计划每天加工10个零件。
解答：设第一次进货单价为元。由题意得，解得。经检验，是原方程的解且符合题意。答：第一次进货单价为20元。
解答：甲、乙两辆汽车行驶相同路程，甲车速度比乙车快10km/h，乙车行驶全程用时6小时，甲车行驶全程用时4小时，求甲、乙两车的速度。设乙车速度为，则甲车速度为。由路程相等列分式方程：，去分母得，解得，则。经检验，是原分式方程的解，且符合实际题意。答：甲车速度为，乙车速度为。
专题七 分式综合题型
解答：原式由得，分式有意义则，可取正整数。代入得原式
解答：（1）分式有意义，则，即；（2）分式值为正，则或，解得或.
解答：原式分式有意义则，取代入，原式
解答：原式由得，分式有意义则，原式为定值1。
解答：（1）分式无意义，则，即；（2）分式值为负，则或解得

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