资源简介

北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2026届高三考前自测
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D. 或
2.抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
3.已知复数，，，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
4.以下函数既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )
A. B. C. D.
6.设是公差为的等差数列，且，若，则( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约 天后，张三超过李四的倍参考数据：
A. B. C. D.
9.已知是边长为的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则( )
A. B. C. D.
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.若，则 ．
12.若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为 ．
13.已知函数，则的最大值为 ，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为 ．
14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来．若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器容器壁的厚度忽略不计的体积的最小值为 ．
15.已知函数，则下列说法中所有正确的序号是 ．
若函数有个零点，则实数的取值范围为
当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为
对于实数，不等式恒成立
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，角所对的边为，已知．
求；
若，从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长．
条件：；条件：的面积为；条件：．
17.如图，已知三棱柱中，为正三角形，点在棱上，平面．
求证：为的中点；
若平面平面，侧面为矩形，，，求直线与平面所成角的正弦值及点到平面的距离．
18.无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表：
测试结果真实路况 传感器 传感器 传感器
有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别
无障碍
有障碍
假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．
从这个路段中随机抽取一个路段，求传感器对该路况判断正确的概率；
从这个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器和传感器判断正确的传感器个数，求的分布列和数学期望；
现有一辆小汽车同时装载了以上种传感器．在通过某路段时，只要个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？结论不要求证明
19.已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，线段的长为．
求椭圆的方程；
为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求的值．
20.已知函数．
当时，求在处的切线方程；
讨论的单调性；
若有两个零点，求实数的取值范围．
21.已知项数列，满足有若变换满足，有，且有，则称数列是数列的一个排列．，记，如果是满足的最小正整数，称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换．
已知数列，数列，求：
证明：对于项数列，不存在阶逆序变换：
若项数列存在阶逆序变换，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：，
根据辅助角公式可得
选择条件，，，由正弦定理，代入得，
由余弦定理，得解得负值舍掉，
边最长，设其高线是，所以，代入得，解得．
选择条件，由面积公式，得，
由余弦定理，得，即，
联立得或，两种情况最长边均为，面积均为，
故最长边上的高．
选条件，由正弦定理得，
不符合三角函数值域，故不存在．

17.解：连接，交于点，连接，
因为三棱柱的侧面是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，
故是的中点，又平面．平面，
且平面平面，故得，
在中，是的中点，，因此是的中位线，
故为的中点，得证．
取中点为，因为是正三角形，故，
又平面平面，交线为，因此平面，
以为原点，直线为轴，方向为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
由是的中点，得，
，，
设平面的法向量为，
则：，即，令，则可得，
设直线与平面所成角为，则；
设点到平面的距离为，而，
则．

18.解：由表格数据可知，传感器判断正确的路段数为：
真实无障碍时判断无障碍的个，真实有障碍时判断有障碍的个，共个
总测试路段共个，由古典概型得：．
由表格可知，有障碍的路段共个
在有障碍路段中，传感器判断正确的概率，判断错误的概率为，
传感器判断正确的概率，判断错误的概率为．
由题意可知的可能取值为，且两传感器判断相互独立．
传感器错且传感器错，
传感器对传感器错传感器错传感器对，
传感器对且传感器对．
故的分布列为：


数学期望．
结论：可以．
无障路段共个，传感器判断为无障的概率为，传感器判断为无障的概率为，两值固定．
小汽车不减速的条件为三个传感器都判断为无障，故减速的概率，其中为传感器判断无障的概率，当最大取时，，故可以通过提高传感器的判断正确率满足要求．

19.解：椭圆的离心率为，
设椭圆的焦距为，则，
又，则，结合，
解得，
故椭圆的方程为；
由知，直线的方程为，
易知直线的斜率一定存在，设直线方程为，
由，解得，即点，
由消去得，
设点，则，即，，
则点，
直线的斜率为，
直线的方程为，令，得，则点，
则的斜率，
因此，即，所以．

20.解：当时，函数，
又，则，
所以在点处的切线方程为；
由题意知，的定义域为，
显然恒成立，
若，则，此时在上单调递减；
若，令，解得，
当时，，当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
若，由知，至多有一个零点，不符合题意；
若，由知，当时，取得最小值为，
设，则，
故在上单调递增，又，
当时，，故此时没有两个零点；
当时，，
又，
故在上有一个零点；
当，由可得即，得，则
故，即，又易知
则，即
因此在上也有一个零点．
综上，若有两个零点，实数的取值范围为．

21.由于，，故，，，．
所以，即．
所以，即．
所以，即．
故，．
对数列的任意变换，
若存在，有，则，
则不是的阶逆序变换；
若对，由，，，，
则，，，，
所以，和是相同的数列．
若是的逆序排列，则也是的逆序排列，所以，不是阶逆序变换；
若，有，，，
则，，
所以，不是的阶逆序变换，
综上所述，对于项数列，不存在阶逆序变换．
由知阶数列不存在阶逆序变换，
对于项数列、、，
若，则，所以，变换不是的阶逆序变换；
若，
当时，有，则，所以，变换不是的阶逆序变换；
当时，有，则，
所以，变换不是的阶逆序变换；
若，同可知，变换不是的阶逆序变换；
所以，项数列不存在阶逆序变换；
对于项数列、、、、，
若存在阶逆序变换，则，，，，，
若，则对于数列、、、、，和上述的变换，
有，，，，
所以，这项数列、、、存在阶逆序变换，与的结论矛盾；
若，因为，则存在、，有，，
此时，，与是阶逆序变换矛盾，
所以，项数列不存在阶逆序变换．
对于项数列、、、、、，存在变换，使得、、、、、，
则、、、、、，、、、、、，
所以，项数列存在阶逆序变换．
综上所述，的最小值为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑