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第六章 圆周运动
3 向心加速度
High school physics
掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题。
通过生活中的实例，理解向心加速度的概念。
02
01
会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题。
03
重点
难点
匀速圆周运动的加速度方向
v
a
01
天宫二号空间实验室绕地球做匀速圆周运动时，是否存在加速度。
变速曲线运动
运动状态改变
一定受到外力
一定存在加速度
做匀速圆周运动的物体，它所受的合外力沿什么方向？
Fn
根据牛顿第二定律，物体的加速度方向跟合外力的方向相同。
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，根据牛顿第二定律说明地球和小球的加速度方向；
地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？
由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。
匀速圆周运动的加速度方向
做匀速圆周运动的物体加速度总是指向圆心，称为向心加速度， 用符号 an 表示。
描述速度方向变化快慢的物理量
2. 方向判断：
（1）总是指向圆心，与速度方向垂直
（2）时刻改变
匀速圆周运动是变加速曲线运动
v
v
v
O
an
an
an
1. 定义：
3. 作用：
只改变速度的方向，不改变速度的大小
4. 物理意义：
5.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度不指向圆心；可分解为向心加速度和切向加速度。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小。
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　　)
(2)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　　)
(3)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　)
×
√
×
匀速圆周运动的加速度大小
02
根据牛顿第二定律和向心力表达式，试推导向心加速度的表达式。
牛顿第二定律：
F=ma
向心力表达式：
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？
答案　A、B两个点的线速度大小相等，由an=知向心加速度与半径成反比。
(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
答案　B、C两个点的角速度相同，由an=ω2r知向心加速度与半径成正比。
(3)向心加速度有时与半径成正比，有时与半径成反比，是否相矛盾？
答案　不矛盾。向心加速度与半径成正比还是反比，要看角速度ω恒定还是线速度v恒定。
不矛盾：向心加速度与半径成正比还是反比，要看角速度ω恒定还是线速度v 恒定。
若角速度ω大小相同，则an与r成正比，如甲图
若线速度v 大小相同，则an与r成反比，如乙图
1.某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他水平伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，手机显示
的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为
A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2
C.2 m/s2 D.6.5 m/s2
√
根据题意，由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an==0.65 m/s2，故选A。
2.如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为an1和an2，地球可视为均匀的球体，下列关系式正确的是
A.v1∶v2=1∶1
B.v1∶v2=1∶
C.an1∶an2=2∶1
D.an1∶an2=∶1
√
甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为==甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知==故A、B错误；
由向心加速度an=ω2R知==故C错误，D正确。
圆周运动的动力学问题分析
03
如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，细绳的上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。
(1)什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力(忽略空气阻力)？
Fn
m
O
r
F
L
G
(2)当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少(重力加速度为g)？
θ
小球受力分析如图所示，重力和拉力的合力提供向心力。
θ
根据牛顿第二定律：mgtan θ=man 得 an=gtan θ
3.(2025·遂宁市高一期末)如图所示，在长为L的细线下端拴一个质量为m的小球，细线的上端固定，使小球在空中某一水平面内做匀速圆周运动，细线就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当细线与竖直方向成θ角。忽略空气作用，细线质量不计且不可伸长，小球视为质点，重力加速度为g，求：
(1)细线对小球的拉力FT的大小；
答案　 (1) 　
(2)小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度ω大小。
(1)小球在竖直方向上处于平衡状态，则FTcos θ＝mg，解得FT＝。
(2)小球在水平面内做匀速圆周运动，向心力由细线拉力的水平分量提供，圆周运动的半径为r＝Lsin θ，向心力大小为FTsin θ＝mω2r，解得角速度的大小为ω＝。
拓展　从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？
答案　与圆心到细线上端的高度有关。
4.(2025·无锡市高一期中)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆形表演台的光滑侧壁做匀速圆周运动。图中的圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法正确的是
A.h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
√
摩托车做匀速圆周运动，合外力提供向心力，支持力沿竖直方向上的分力与重力平衡，有FNcos θ＝mg，可知侧壁对摩托车的支持力与高度h无关，根据牛顿第三定律可知摩托车对侧壁的压力与高度h无关，A错误；
根据几何关系可知，摩托车做圆周运动的向心力大小为F＝mgtan θ，可知摩托车做圆周运动的向心力大小与高度h无关，B错误；
支持力的水平分力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式可得
mgtan θ＝mr，解得摩托车做圆周运动的周期T＝2π，可知h越
高，r越大，摩托车运动的周期越大，C错误；
同理，根据向心力与线速度的关系，有mgtan θ＝m，解得摩托车做圆
周运动的线速度v＝，可知h越高，r越大，摩托车做圆周运动的线速度越大，D正确。
分析匀速圆周运动问题的基本步骤
1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
4.利用牛顿第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr=man。
5.解方程求出待求物理量。
（1）确定两点速度：曲线运动的速度方向沿切线方向
（3）极限情况：假设两点间时间极短， Δ t→0，θ→0，匀速圆周运动的速度大小一定，两点间距离很小，作出此时的Δv。Δv与vA、vB几乎垂直，Δv的方向几乎沿着圆周的半径，与AO平行，指向圆心。
（2）找到速度变化量：平移速度矢量至同一点，根据矢量运算法则，做出速度变化量 Δv。由于做匀速圆周运动，两点速度大小相等，Δv与 vA、vB 构成等腰三角形。
匀速圆周运动的加速度总是指向圆心
向心加速度方向的运动学分析
向心加速度大小的运动学分析
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
Δθ
Δθ
vA、vB、Δv 组成的三角形与 ΔABO 相似
当 Δt 很小很小时，AB = AB = Δl
向心加速度
匀速圆周运动向心加速度的方向
匀速圆周运动向心加速度的大小
匀速圆周运动动动力学问题分析
方向
作用
意义
总是指向圆心，与速度方向垂直
描述速度方向变化快慢的物理量
只改变速度的方向，不改变速度的大小

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