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第八章 机械能守恒定律
High school physics
2 重力势能
理解重力势能、重力做功与重力势能变化的关系。
02
知道重力做功的特点。
01
重点
重难点
知道重力势能具有相对性，知道重力势能是物体和地球组成的“系统”所共有的。
03
重点
理解弹性势能，知道影响弹性势能大小的相关因素。
04
高空抛物的实验
被高举的重锤
水电站存储的水
物体重力势能的大小与哪些因素有关？
质量、高度
我们进一步定量地研究重力势能，重力势能的表达式应该是怎样的呢？
我们知道，功是能量变化的定量量度，
我们通过重力做功的计算来进行重力势能的定量研究。
重力做的功
01
一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中，思考并讨论以下问题(重力加速度为g)：
(1)求出图甲、乙、丙三种情形中重力所做的功；
甲
由A至B竖直下落
乙
沿斜面由A至B′再水平移到B
丙
沿任意曲面由A至B′′然后再水平移到B
h1
Δh
h2
A
A
A
B
B
B
B′
B′′
mg
mg
mg
θ
l
图甲中WG=mgΔh=mgh1-mgh2
图乙中WAB'=mglcos θ=mgΔh=mgh1-mgh2
WB'B=0
故WAB=WAB'+WB'B=mgΔh=mgh1-mgh2
h1
Δh
h2
A
A
A
B
B
B
B′
B′′
mg
mg
mg
θ
甲
乙
丙
l
h1
Δh
h2
A
A
A
B
B
B
B′
B′′
mg
mg
mg
θ
Δh1
A1
Δh2
A2
甲
乙
丙
图丙中把整个路径AB″分成许多很短的间隔AA1、A1A2…，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看成一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2… 。
WAB″=mgΔh1+mgΔh2+…=mg(Δh1+Δh2+…)=mgΔh，WB″B=0
故WAB=WAB″+WB″B=mgΔh=mgh1-mgh2。
微元法：化曲为直
l
(2)重力做功有什么特点？
物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
h1
Δh
h2
A
A
A
B
B
B
B′
B′′
mg
mg
mg
θ
Δh1
A1
Δh2
A2
甲
乙
丙
微元法：化曲为直
l
图甲：WG=mgh1-mgh2
图乙：WAB=mgh1-mgh2
图丙：WAB=mgh1-mgh2
重力做功
1
表达式 WG=mgΔh ，Δh指初位置与末位置的高度差
2
特点
重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关
3
讨论
物体下降时重力做正功；
物体上升时重力做负功
4
推广
恒力做功的特点是：与具体路径无关，恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关。
重力做功
(1)物体所处的高度只要发生变化，其重力一定做功。(　　)
(2)重力做功多少取决于物体的重力和它通过的路程。(　　)
(3)重力做功与物体是否受到其他力无关，与物体的运动状态无关。
(　　)
√
×
√
1.如图所示，质量为m的小球从斜面上高为h处的A点滚下，经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(重力加速度为g)
A. B.
C.mgh D.0
√
整个运动过程中，小球的初、末位置高度差为h-=h，故WG=mgh。
重力势能
02
重力势能
重力做功与路径无关，总有WG = mgh1-mgh2。
可见mgh这个量有特殊意义，它是否是重力势能呢？
我们知道功是能量变化的定量量度，
重力做了多少功，重力势能就变化多少。
我们确定mgh是物体的重力势能。
重力势能的变化量
重力势能 Ep=mgh
相对性
重力势能与参考平面选取有关
标量
正负表示重力势能的大小。
系统性
重力势能是物体和地球共有的
参考
平面
h
Ep=mgh
h
Ep=-mgh
重力势能的差值ΔEp与参考平面的选取无关，它的差值是绝对的。
1
表达式 WG= Ep1-Ep2= -ΔEp
重力做功与重力势能变化的关系
参考平面
h1
h2
Δh
Ep1=mgh1
Ep2=mgh2
ΔEp= Ep2 - Ep1 =-mgΔh
WG = Ep1 – Ep2 =mgΔh
2
讨论
(1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，重力势能的减少量等于重力所做的功。
(2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功。
重力做功与重力势能变化的关系
重力势能Ep=mgh中的“h”与重力做功W=mgΔh中的“Δh”相同吗？若不同，有何区别？
答案　不相同。
重力势能Ep=mgh中的“h”是物体相对于参考平面的高度；而重力做功W=mgΔh中的“Δh”是物体初、末位置的高度差，与参考平面无关。
参考平面
h1
h2
Δh
(1)在参考平面相同时，同一物体在不同高度时，重力势能不同。
(　　)
(2)重力做功与路径无关，但重力势能的变化与路径有关。(　　)
(3)重力做功WG=-20 J，则物体的重力势能减小20 J。(　　)
(4)在参考平面相同时，同一物体的重力势能Ep1=2 J，Ep2=-3 J，则Ep1>Ep2。(　　)
√
×
×
√
2.如图所示，水平桌面距地面的高度为0.8 m，一物体(可看成质点)质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则(g取10 m/s2)：
(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，
并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(2)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
答案　 (1) 8 J　24 J　 (2) 24 J　24 J　 (3)见解析
(1)以桌面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1=0.4 m，
因而物体具有的重力势能为Ep1=mgh1=2×10×0.4 J=8 J
物体落至地面时，物体的重力势能为Ep2=mgh2=2×10×(-0.8) J=-16 J
ΔEp=Ep2-Ep1=-16 J-8 J=-24 J
因此物体在此过程中重力势能的减少量为24 J
(2)以地面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1'=(0.4+0.8) m=1.2 m，
因而物体具有的重力势能为Ep1'=mgh1'=2×10×1.2 J=24 J
物体落至地面时，物体的重力势能为Ep2'=0
在此过程中，物体的重力势能减少量为|ΔEp'|=|Ep2'-Ep1'|=24 J
(3)通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与参考平面的选取有关，而重力势能的变化量是绝对的，它与参考平面的选取无关。
3.如图所示，质量为m、长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，重力加速度为g，则链条最左端滑至刚刚离开桌边过程中整个链条的重力势能的变化量为
A.-mgL B.-mgL
C.-mgL D.-mgL
√
方法一　以水平桌面为参考平面，初态时重力势能为Ep1=-mg·=-mgL，
末态时重力势能Ep2=-mg·=-mgL，
故重力势能的变化量ΔEp=Ep2-Ep1=-mgL，故选A。
方法二　链条最左端刚离开桌边时，等效于桌面上的链条重心下降+，则整个过程中重力所做的功为W=mg(+)=mgL，故链条重力势能的变化量为-mgL，故选A。
03
弹性势能
如图所示，在光滑水平地面上，物体与水平轻质弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处由静止释放，物体会由A向A'运动，A、A'关于O点对称，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，则：
(1)物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
答案　正功　减少　
(2)物体由O向A'运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(3)在A、A'处弹性势能有什么关系？
答案　负功　增加　
答案　相等
探究影响弹性势能的因素
1
定义 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能
2
影响弹性势能的因素
弹性势能
(1)弹性势能跟形变大小有关：同一弹簧，在弹性限度内，形变越大，弹簧的弹性势能就越大。
(2)弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关：在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。
3
对弹性势能的理解
(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性。
(2)相对性：弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零。
4
弹性势能与弹力做功的关系
弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。
根据胡克定律F=kx，试推导弹性势能的表达式(一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零)。
答案　根据胡克定律F=kx，作出弹力F与弹簧形变量x关系的F-x图线，如图所示
根据W=Fx知，图线与横轴所围的面积表示弹力F所做的功，即W==kx2
所以Ep=kx2
F
F1
O
x
x
4.如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中
A.重力做正功，弹力不做功
B.重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加
C.若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，
重力做正功，弹力做正功
D.若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做功不变，
弹力不做功
√
若用不可伸长的细绳代替弹簧拴住重物向下摆动，重力做正功，弹力不做功，C错误；
用弹簧拴住重物向下摆动时，弹簧要伸长，重物轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功比用细绳代替弹簧后做功多，A、D错误，B正确。
表达式： WG= mgΔh= Ep1-Ep2 =-ΔEp
特点：只跟起点和终点的位置有关，跟运动路径无关
弹性形变越大，劲度系数越大，弹性势能越大
重力(弹力)做正功，重力(弹性)势能减小
表达式： Ep = mgh
特点：与参考平面选取有关，其中h是相对参考平面的高度
重力做功
重力势能
弹性势能
重力(弹力)做负功，重力(弹性)势能增大

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