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2.2基本不等式
一、单选题
1．已知 都是正数， 则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（　　）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．对任意正实数 和 ，有 ， 当且仅当 时等号成立
D．对任意正实数a和b，有 ，当且仅当 时等号成立
3．下列函数中最小值为 的是（　　）
A． B．当 时，
C．当 时， D．
4．若正数 ， 满足 ，则 的最小值是（　　）
A．1 B． C．6 D．25
5．已知，则取最大值时x的值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知正实数 ， 满足 ，当 取得最小值时， （　　）
A．3 B．5 C． D．
7．设 ，则 的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知 ， ， ，则 的最小值为（　　）
A．6 B． C．7 D．
9．已知，，且，则的最小值为（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
10．若 ，则函数 有（　　）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2
11．已知正数x，y满足，则xy的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．2
12．在矩形 中， ， ，且 ，沿 将 折起，当四面体 的体积最大时，四面体 的外接球的表面积的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13． 已知，则的最小值为　 　.
14．已知，且，则的最小值为　 　．
15．若 ，则 的最小值是　 　.
16．如图，正方形是一个展览厅的俯视图，是办公区域，，的面积为，则办公区域面积的最小值为　 　，此时　 　.
三、解答题
17．（1）已知，求的最大值；
（2）若正数x，y满足，求的最小值.
18．求函数的最值.
19．（1）求函数的最小值及取得最小值时的；
（2）求函数的值域.
20．已知正实数，满足，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
2．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的基本性质
3．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
4．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
5．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
6．【答案】B
【知识点】基本不等式
7．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
8．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
9．【答案】B
【知识点】基本不等式
10．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
11．【答案】B
【知识点】基本不等式
12．【答案】C
【知识点】基本不等式；球的表面积与体积公式及应用
13．【答案】
【知识点】基本不等式
14．【答案】16
【知识点】基本不等式
15．【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
16．【答案】1.5；1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
17．【答案】解： （1）由于，所以，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
（2）依题意，正数x，y满足，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
18．【答案】解：
，
(当取到等号)，
，
故函数的最大值为，没有最小值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
19．【答案】解：（1）设，则，因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
又时，，故函数的最小值为1，此时.
（2）设，则，
所以，又的对称轴为，且开口向下，
所以的最大值是，故函数的值域为.
【知识点】函数的值域；基本不等式
20．【答案】解：由题意，正实数，满足，
可得
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
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