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1.4.2 充要条件
一、单选题
1．已知p： q： ，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．“”是“”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．即不充分也不必要
4． “”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．“ ， ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，为实数，则是的（　　）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设 则“ ”是“ ”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．设p：或，q：或，则p是q的（　　）条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
9．若、、、，则下列说法正确的是（　　）
A．“，”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
10．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
11．已知p：，q：，且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为（　　）
A．（3，5） B．
C． D．
12． 表示不超过x的最大整数，那么“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．“，”是“”的　 　．（从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个恰当的填入横线中）
14．已知 ， ，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　 　．
15．已知，，其中.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是　 　.
16．已知，，．若是的必要不充分条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为　 　．
三、解答题
17．“成立”是“成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要）
18．判断下列每小问中，p是q的什么条件（直接写出结论即可）：
（Ⅰ） ， ；
（Ⅱ）p：关于x的方程 有两个不相等的实根， ；
（Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等，q：四边形是矩形；
（Ⅳ）p：两个三角形的三个角分别对应相等，q：两个三角形全等；
（Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径．
19．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
7．【答案】A
【知识点】充要条件
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
9．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
10．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
11．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
12．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
13．【答案】充分不必要条件
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
14．【答案】（6，+∞）
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
15．【答案】
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
16．【答案】
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式
17．【答案】充分非必要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
18．【答案】解：（Ⅰ） ， ，故p是q的必要不充分条件；
（Ⅱ）p：关于x的方程 有两个不相等的实根，则 ，且 ， ，p是q的充分不必要条件；
（Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等即四边形是矩形，q：四边形是矩形，p是q的充要条件；
（Ⅳ）p：两个三角形的相似，q：两个三角形全等；p是q的必要不充分条件；
（Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，即圆心到直线的距离小于圆的半径，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径，p是q的充要条件．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
19．【答案】证明：充分性：将代入方程，得，即，解得，为整数根；
将代入方程，得，即，解得或，为整数根；所以时，两个方程的根都是整数，即充分性成立；
必要性：若关于x的方程有实根，则，即，
若方程有实根，则，即，
即，要使上述两个方程都有实根等价于，
因为，所以，
当时，方程可化为，无整数根；
当时，方程可化为，无整数根；
当时，上述两个方程都有整数根，即必要性成立，
综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是.
【知识点】充要条件
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