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第10讲万有引力定律及其应用
课时作业
命题视角1　结合天体运动情景,考查开普勒定律的理解与应用
1.(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年,该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU,八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用,则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王 星 海王 星
轨道 半径 R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
【答案】 C
【解析】 根据开普勒第三定律可知= ,其中r地=1 AU,T地=1年,T行=5.8年,代入解得
r行≈3.23 AU,故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
2.(2023·广东卷)如图甲所示,太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡,探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化,该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M,引力常量为G。关于P的公转,下列说法正确的是(　　)
A.周期为2t1-t0
B.半径为
C.角速度的大小为
D.加速度的大小为
【答案】 B
【解析】 由题图乙可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T=t1-t0,则P的公转周期为t1-t0,故A错误;P绕恒星Q做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力可得=mr,解得半径为r==,故B正确;P的角速度为ω==,故C错误;P的加速度大小为a=ω2r=()2·=·,故D错误。
命题视角2　掌握万有引力定律,分析与计算天体运动参量
3.如图所示,一半径为R、密度均匀的球体,在距球心2R处有一质点。若以球心O为中心挖去一个半径为的球体,则剩余部分对该质点的万有引力变为原来的(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 设球体的密度为ρ,则球体的质量为M=ρπR3,被挖去的小球体的质量为M′=ρπ=M,可知完整球体对质点的万有引力大小为F1=,被挖去的小球体对质点的万有引力大小为F2==F1,则剩余部分对质点的万有引力大小为F=F1-F2=F1,可知剩余部分对该质点的万有引力变为原来的。
4.某影片中,太空电梯高耸入云,在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时,质量为2.5 kg的物体重力为16 N。已知地球半径为6 371 km,不考虑地球自转,则此时太空电梯距离地面的高度约为(　　)
A.1 593 km B.3 584 km
C.7 964 km D.9 955 km
【答案】 A
【解析】 设地球的半径为R,地球质量为M,引力常量为G,地球表面重力加速度为g0,太空电梯离地高度为h,太空电梯所在位置处的重力加速度为g′,根据万有引力公式有代入数据整理得=,=,所以太空电梯距离地面高度为h=R≈1 593 km,故选A。
5.(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是(　　)
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
【答案】 D
【解析】 根据题述,火星冬季时长为地球的1.88倍,可知火星绕太阳运动的周期是地球的1.88倍,由开普勒第三定律可知,火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径比地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径大,选项C错误;由万有引力提供向心力有G=m,解得v=,由r火>r地可得v火r地可得
ω火<ω地,选项B错误;由万有引力提供向心力有G=ma,解得a=,由r火>r地可得a火命题视角3　综合应用万有引力与圆周运动规律,掌握计算天体质量与密度的两种方法
6.(多选)(2025·安徽卷)2025年4月,我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座,DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道,该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b,卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道,周期也为T。月球的质量为M,半径为R,引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力,则(　　)
A.r= B.r=+R
C.M= D.M=
【答案】 BC
【解析】 对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道,根据开普勒第三定律有=,可得r=+R,故A错误,B正确;对于环月圆轨道,根据万有引力提供向心力可得=m()2r,可得M=,故C正确,D错误。
7.假设某卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动,距地面的高度为h,飞行n圈所用时间为t,该卫星的总质量为m,地球半径为R,引力常量为G,则(　　)
A.地球的质量M=
B.地球表面的重力加速度g=(R+h)3
C.该卫星的向心加速度a=
D.该卫星的线速度v=
【答案】 B
【解析】 卫星绕地球做圆周运动的周期T=,根据G=m(R+h),可得地球的质量M=,选项A错误;根据G=m0g,地球表面的重力加速度g=(R+h)3,选项B正确;根据G=ma,卫星的向心加速度a==,选项C错误;卫星的线速度v=(R+h)=,选项D错误。
8.某同学想利用小孔成像实验估测太阳的平均密度。设计如图所示的装置,不透明的圆桶上底密封,但中央有一小孔O,下底为半透明纸。将圆桶轴线正对太阳,可在半透明纸上观察到太阳的像的直径d=1 cm。已知圆桶长L=1 m,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。根据以上信息可得到太阳的平均密度的数量级为(　　)
A.101 kg/m3 B.103 kg/m3
C.105 kg/m3 D.106 kg/m3
【答案】 B
【解析】 设太阳的半径为R,太阳到地球的距离为r,由光路图,结合相似三角形的性质可得=,解得R=,地球绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,设太阳质量为M,地球质量为m,则G=mr,太阳体积为V=πR3,太阳密度为ρ=,联立解得ρ=,代入数据,解得ρ≈1.136×103 kg/m3。故选B。
9.将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时,该物体的重力均为mg0;将该物体放在地球赤道上时,该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体,半径为R,已知引力常量为G,则由以上信息可得出(　　)
A.g0小于g
B.地球的质量为
C.地球自转的角速度为ω=
D.地球的平均密度为
【答案】 C
【解析】 设地球的质量为M,物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度ω等于地球自转的角速度,轨道半径等于地球半径,物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力,有-mg=mω2R,物体在两极点所受的重力等于万有引力,即=mg0,综合以上可知g0>g,故A错误;在两极点=mg0,解得M=,故B错误;由以上分析有-mg=mω2R,=mg0,联立得ω=,故C正确;由密度ρ=,结合B选项分析得ρ===,故D错误。
10.(多选)(2025·浙江6月选考)月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示,月球半径为R,表面重力加速度为g月,不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体,要求落在纬度φ=60°的M处,其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点,如果物体沿椭圆运动的周期最短,则(　　)
A.发射点离月面的高度h=R
B.物体沿椭圆运动的周期为
C.此椭圆两焦点之间的距离为R
D.若水平发射的速度为v,发射高度为h,则物体落到M处的速度为
【答案】 BC
【解析】 根据题意可知,椭圆轨道的一个焦点为O,另外一个焦点为O′,如图甲所示。
设椭圆的半长轴为a,焦距为2c,根据椭圆知识可知O′M+OM=2a,根据开普勒第三定律=k可知,如果物体沿椭圆轨道运动的周期最短,则椭圆的半长轴最小,根据几何关系可知,当MO′垂直于OO′时,半长轴a最小,如图乙所示。
由几何关系有2a=Rcos φ+R,解得a=。根据几何关系可得椭圆的焦距2c=OO′=Rsin φ=,C正确;根据几何关系可得发射点离月面的高度h=a+c-R=R,A错误;设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为T0,由重力提供向心力得mg月=mR,结合开普勒第三定律=,联立可得物体沿椭圆运动的周期为T=,B正确;由引力势能公式Ep=-,结合万有引力公式m′g月=G,结合机械能守恒定律有-+m′v2=-+m′,联立可得vM=,
D错误。(共18张PPT)
第10讲万有引力定律及其应用
考点一
开普勒行星运动定律
基础梳理
定律 内容 图示或公式
开普勒 第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是 ,太阳处在 的一个焦点上
开普勒 第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 相等
椭圆
椭圆
面积
半长轴的三次方
公转周期的二次方
中心天体
典例精析
命题视角　结合天体运动情景,考查对开普勒定律的理解与应用
【典例1】 (2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D
考点二
万有引力定律
基础梳理
物体的
质量m1和m2的乘积
距离r的二次方成反比
质点
两球心
典例精析
命题视角1　理解万有引力定律,应用公式解决实际问题
【典例2】 已知火星质量约为月球的9倍,半径约为月球的2倍,“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前,“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时,“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
B
命题视角2　考虑地球自转影响,辨析万有引力、重力、向心力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力Fn,如图所示。
【典例3】 某行星为质量分布均匀的球体,半径为R,质量为m。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时,发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G,则该行星自转的角速度为(　　)
B
考点三
天体质量和密度的计算
基础梳理
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
黄金代换公式GM=gR2
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
地球自转周期24 h,公转周期365天
命题视角　综合应用万有引力与圆周运动规律,掌握计算天体质量与密度的两种方法
【典例4】 (2021·广东卷)2021年4月,我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动,已知引力常量,由下列物理量能计算出地球质量的是(　　)
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
典例精析
D第10讲万有引力定律及其应用
考点一　开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式
开普勒 第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒 第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒 第三定律 (周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k,k是一个与行星无关的常量,只与中心天体的质量有关
命题视角　结合天体运动情景,考查对开普勒定律的理解与应用
【典例1】 (2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【答案】 D
【解析】 根据题意,设地球与太阳间距离为R,则小行星公转轨道的半长轴为a==6R,由开普勒第三定律有=,解得T行==6 年,A错误;从远日点到近日点,小行星与太阳间距离减小,由万有引力定律F=可知,小行星受太阳引力增大,B错误;由开普勒第二定律可知,从远日点到近日点,小行星线速度逐渐增大,C错误;由牛顿第二定律有=ma,解得a=,可知==,D正确。
考点二　万有引力定律
命题视角1　理解万有引力定律,应用公式解决实际问题
【典例2】 已知火星质量约为月球的9倍,半径约为月球的2倍,“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前,“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时,“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
【答案】 B
【解析】 悬停时所受平台的作用力等于万有引力,根据F=G,可得==,故选B。
命题视角2　考虑地球自转影响,辨析万有引力、重力、向心力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力Fn,如图所示。
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。
(2)在两极上:G=mg2。
(3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即=mg,即GM=gR2(黄金代换)。
【典例3】 某行星为质量分布均匀的球体,半径为R,质量为m。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时,发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G,则该行星自转的角速度为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 设赤道处的重力加速度为g,物体在两极时自转向心力为零,则万有引力等于重力,=1.1m0g,在赤道时万有引力分为重力和自转的向心力,由万有引力定律得=m0g+m0Rω2,由以上两式解得,该行星自转的角速度为ω=,故选B。
考点三　天体质量和密度的计算
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg,得天体质量M=。
黄金代换公式GM=gR2
(2)天体密度ρ===。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
地球自转周期24 h,公转周期365天
(1)由G=mr,得M=→只能求中心天体的质量。
(2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面运行,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。
命题视角　综合应用万有引力与圆周运动规律,掌握计算天体质量与密度的两种方法
【典例4】 (2021·广东卷)2021年4月,我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动,已知引力常量,由下列物理量能计算出地球质量的是(　　)
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
【答案】 D
【解析】 根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得=m,解得M=,D正确;由于核心舱质量在运算中被约掉,故无法通过核心舱质量求解地球质量,A、B错误;已知核心舱的绕地角速度,由=mω2r得M=,且ω=,r约不掉,故还需要知道核心舱的绕地半径,才能求得地球质量,C错误。
课时作业
命题视角1　结合天体运动情景,考查开普勒定律的理解与应用
1.(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年,该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU,八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用,则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王 星 海王 星
轨道 半径 R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
【答案】 C
【解析】 根据开普勒第三定律可知= ,其中r地=1 AU,T地=1年,T行=5.8年,代入解得
r行≈3.23 AU,故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
2.(2023·广东卷)如图甲所示,太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡,探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化,该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M,引力常量为G。关于P的公转,下列说法正确的是(　　)
A.周期为2t1-t0
B.半径为
C.角速度的大小为
D.加速度的大小为
【答案】 B
【解析】 由题图乙可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T=t1-t0,则P的公转周期为t1-t0,故A错误;P绕恒星Q做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力可得=mr,解得半径为r==,故B正确;P的角速度为ω==,故C错误;P的加速度大小为a=ω2r=()2·=·,故D错误。
命题视角2　掌握万有引力定律,分析与计算天体运动参量
3.如图所示,一半径为R、密度均匀的球体,在距球心2R处有一质点。若以球心O为中心挖去一个半径为的球体,则剩余部分对该质点的万有引力变为原来的(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 设球体的密度为ρ,则球体的质量为M=ρπR3,被挖去的小球体的质量为M′=ρπ=M,可知完整球体对质点的万有引力大小为F1=,被挖去的小球体对质点的万有引力大小为F2==F1,则剩余部分对质点的万有引力大小为F=F1-F2=F1,可知剩余部分对该质点的万有引力变为原来的。
4.某影片中,太空电梯高耸入云,在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时,质量为2.5 kg的物体重力为16 N。已知地球半径为6 371 km,不考虑地球自转,则此时太空电梯距离地面的高度约为(　　)
A.1 593 km B.3 584 km
C.7 964 km D.9 955 km
【答案】 A
【解析】 设地球的半径为R,地球质量为M,引力常量为G,地球表面重力加速度为g0,太空电梯离地高度为h,太空电梯所在位置处的重力加速度为g′,根据万有引力公式有代入数据整理得=,=,所以太空电梯距离地面高度为h=R≈1 593 km,故选A。
5.(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是(　　)
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
【答案】 D
【解析】 根据题述,火星冬季时长为地球的1.88倍,可知火星绕太阳运动的周期是地球的1.88倍,由开普勒第三定律可知,火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径比地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径大,选项C错误;由万有引力提供向心力有G=m,解得v=,由r火>r地可得v火r地可得
ω火<ω地,选项B错误;由万有引力提供向心力有G=ma,解得a=,由r火>r地可得a火命题视角3　综合应用万有引力与圆周运动规律,掌握计算天体质量与密度的两种方法
6.(多选)(2025·安徽卷)2025年4月,我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座,DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道,该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b,卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道,周期也为T。月球的质量为M,半径为R,引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力,则(　　)
A.r= B.r=+R
C.M= D.M=
【答案】 BC
【解析】 对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道,根据开普勒第三定律有=,可得r=+R,故A错误,B正确;对于环月圆轨道,根据万有引力提供向心力可得=m()2r,可得M=,故C正确,D错误。
7.假设某卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动,距地面的高度为h,飞行n圈所用时间为t,该卫星的总质量为m,地球半径为R,引力常量为G,则(　　)
A.地球的质量M=
B.地球表面的重力加速度g=(R+h)3
C.该卫星的向心加速度a=
D.该卫星的线速度v=
【答案】 B
【解析】 卫星绕地球做圆周运动的周期T=,根据G=m(R+h),可得地球的质量M=,选项A错误;根据G=m0g,地球表面的重力加速度g=(R+h)3,选项B正确;根据G=ma,卫星的向心加速度a==,选项C错误;卫星的线速度v=(R+h)=,选项D错误。
8.某同学想利用小孔成像实验估测太阳的平均密度。设计如图所示的装置,不透明的圆桶上底密封,但中央有一小孔O,下底为半透明纸。将圆桶轴线正对太阳,可在半透明纸上观察到太阳的像的直径d=1 cm。已知圆桶长L=1 m,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。根据以上信息可得到太阳的平均密度的数量级为(　　)
A.101 kg/m3 B.103 kg/m3
C.105 kg/m3 D.106 kg/m3
【答案】 B
【解析】 设太阳的半径为R,太阳到地球的距离为r,由光路图,结合相似三角形的性质可得=,解得R=,地球绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,设太阳质量为M,地球质量为m,则G=mr,太阳体积为V=πR3,太阳密度为ρ=,联立解得ρ=,代入数据,解得ρ≈1.136×103 kg/m3。故选B。
9.将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时,该物体的重力均为mg0;将该物体放在地球赤道上时,该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体,半径为R,已知引力常量为G,则由以上信息可得出(　　)
A.g0小于g
B.地球的质量为
C.地球自转的角速度为ω=
D.地球的平均密度为
【答案】 C
【解析】 设地球的质量为M,物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度ω等于地球自转的角速度,轨道半径等于地球半径,物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力,有-mg=mω2R,物体在两极点所受的重力等于万有引力,即=mg0,综合以上可知g0>g,故A错误;在两极点=mg0,解得M=,故B错误;由以上分析有-mg=mω2R,=mg0,联立得ω=,故C正确;由密度ρ=,结合B选项分析得ρ===,故D错误。
10.(多选)(2025·浙江6月选考)月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示,月球半径为R,表面重力加速度为g月,不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体,要求落在纬度φ=60°的M处,其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点,如果物体沿椭圆运动的周期最短,则(　　)
A.发射点离月面的高度h=R
B.物体沿椭圆运动的周期为
C.此椭圆两焦点之间的距离为R
D.若水平发射的速度为v,发射高度为h,则物体落到M处的速度为
【答案】 BC
【解析】 根据题意可知,椭圆轨道的一个焦点为O,另外一个焦点为O′,如图甲所示。
设椭圆的半长轴为a,焦距为2c,根据椭圆知识可知O′M+OM=2a,根据开普勒第三定律=k可知,如果物体沿椭圆轨道运动的周期最短,则椭圆的半长轴最小,根据几何关系可知,当MO′垂直于OO′时,半长轴a最小,如图乙所示。
由几何关系有2a=Rcos φ+R,解得a=。根据几何关系可得椭圆的焦距2c=OO′=Rsin φ=,C正确;根据几何关系可得发射点离月面的高度h=a+c-R=R,A错误;设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为T0,由重力提供向心力得mg月=mR,结合开普勒第三定律=,联立可得物体沿椭圆运动的周期为T=,B正确;由引力势能公式Ep=-,结合万有引力公式m′g月=G,结合机械能守恒定律有-+m′v2=-+m′,联立可得vM=,
D错误。

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