资源简介

(共15张PPT)
露在外面的面
探索立体图形的奥秘
北师大版 · 五年级数学下册
教学目标
知识与技能
1. 能够准确数出由多个正方体组成的立体图形露在外面的面的个数。
2. 能够结合正方体的棱长，计算出露在外面的面的总面积。
3. 探索并发现堆放正方体个数与露在外面的面的数量变化规律。
过程与方法
1. 经历观察、操作、猜想、验证的过程，培养空间想象能力和推理能力。
2. 在解决问题的过程中，学会从不同角度（正面、侧面、上面）观察物体。
情感态度与价值观
1. 在探究活动中体验数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣。
2. 培养乐于合作、勇于探索的精神，感受数学的魅力。
温故知新
复习旧知
1. 正方体有几个面？每个面是什么形状？
正方体有6个面，每个面都是正方形。
2. 正方体有多少条棱？长度有什么关系？
正方体有12条棱，所有棱的长度都相等。
情境导入
如果把一个正方体形状的纸箱放在墙角，它还会有6个面都露在外面吗？
大家猜一猜，有哪些面被墙和地面挡住了？
今天我们一起研究：
“露在外面的面”
探究活动一：单个正方体
观察与思考：一个棱长为50cm的正方体纸箱放在墙角，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少？
探究过程：从三个方向观察
正面看：1个面 | 侧面看：1个面
上面看：1个面
总计：1+1+1 = 3 (个)
计算面积：
单个面：50 × 50 = 2500 (cm )
总面积：2500 × 3 =7500 (cm )
结论：一个正方体放在墙角，有 3 个面露在外面。
探究活动二：四个正方体的不同摆法
合作探究
有4个棱长为50cm的正方体纸箱，把它们放在墙角，有几种不同的摆法？每种摆法露在外面的面的个数一样吗？
观察与计算
正面看：3个面 | 侧面看：3个面 | 上面看：3个面
总计：3 + 3 + 3 =9 (个)
计算总面积
单个面面积：50 × 50 = 2500 (cm )
总面积：2500 × 9 =22500 (cm )
探究活动二：不同摆法的思考
摆法对比
刚才我们数了一种摆法，露在外面的面有9个。如果我们换一种方式摆放，露在外面的面的数量会变化吗？
思考与讨论
为什么同样是4个正方体，露在外面的面的数量会不同？
结论：因为摆放的方式不同，正方体之间互相遮挡的面的数量也不同，所以露在外面的面的数量就不同。
动手试一试
请同学们用手中的小正方体学具，小组合作，尝试不同的摆法，并记录下每种摆法露在外面的面的数量。
探究活动三：寻找规律
情景设定
将若干个小正方体按“一字排开”的方式，整齐地摆放在墙角的位置。
请仔细观察，当正方体数量变化时，露在外面的面的个数会有什么变化规律？
列表记录与观察
发现规律
观察数据变化可以发现：
每增加1个小正方体，露在外面的面就增加2个。
规律总结公式
露在外面的面数 = 2n + 1
（n 代表小正方体的个数）
探究活动三：规律验证
规律总结
露在外面的面的个数 =2n + 1(其中 n 为正方体的个数)
为什么每次只增加 2 个面？
新增的正方体有 1 个面与原正方体重合被挡住，但同时又会在上方和侧方新露出 2 个面。一“遮”一“露”，所以最终每次增加的面数为 2。
规律验证
当 n = 4 时，代入公式：2 × 4 + 1 = 9。与我们之前的数数结果完全一致！
巩固练习：小试牛刀（一）
题目 1
3个棱长为100cm的正方体纸箱放在墙角（如右图）。
(1) 有几个面露在外面？
(2) 露在外面的面积是多少平方厘米？
思路与解答
（1）数面技巧：分别从正面、侧面、上面观察
正面：3个 | 侧面：1个 | 上面：1个
总数：3 + 1 + 1 =7 (个)（规律：2×3 + 1 = 7）
（2）面积计算：先算单一面，再乘总数
单个面面积：100 × 100 = 10000 (cm )
总面积：10000 × 7 =70000 (cm )
巩固练习：小试牛刀（二）
题目2：有5个棱长为40cm的正方体放在墙角处，如图所示。
(1) 有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？
(2) 改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？
解答 (1)：
正面: 3个 | 侧面: 3个 | 上面: 4个
总数：3 + 3 + 4 =10 (个)
总面积：40 × 40 × 10 =16000 (cm )
解答 (2)：
答案是：会发生变化。
原因：不同的摆法，正方体之间互相遮挡的面数不同，露在外面的面数也随之改变，所以总面积也会变化。
巩固练习：挑战自我（一）
题目 3
下图是用8个小正方体拼成的，如果拿走其中的1个，它的表面积会发生变化吗？动手做一做，并与同伴交流你的想法。
情况 1：拿走顶点处的小正方体
拿走前：这个小正方体外露3个面。
拿走后：原来被它挡住的3个面露了出来。
结论：表面积不变
情况 2：拿走棱中间的小正方体
拿走前：小正方体只外露2个面。
拿走后：被挡住的4个面都露出来了。
结论：表面积增加
本题总结：
在这个题目中，8个小正方体刚好拼成了一个 2×2×2 的大正方体。这种情况下，所有的小正方体都处于顶点位置，没有棱中间的位置。
因此，拿走任意一个小正方体，它的表面积都不会发生变化！
巩固练习：挑战自我（二）
题目 4
将 4 个棱长为 6cm 的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的 4 个正方体的表面积之和相比，会发生变化吗？变化了多少？
思路分析：每拼一次减少 2 个面，4个正方体拼成一排需要拼3次，共减少6个面。
计算过程：一个面面积 = 6 × 6 =36 cm ；减少总面积 = 36 × 6 =216 cm 。
结论：表面积减少了 216 平方厘米。
巩固练习：挑战自我（三）
题目 5：领奖台涂漆面积
学校运动会的领奖台结构如图所示，除了底面不涂漆外，其他各个面都需要涂漆。请计算一下，一共需要涂漆的面积是多少平方厘米？(单位: cm)
解题锦囊：“平移法” + “三视图法”
正面 + 背面
拼成长方形计算：
(500+800+500)×2
= 3600 cm
左右两个侧面
相同的组合图形：
(5×100+3×100)×2
= 1600 cm
顶部平面
完整的大长方形：
(100×3) × 100
= 30000 cm
总计 = 3600 + 1600 + 30000 =35200 平方厘米
巩固练习：找朋友
游戏大挑战！
请大家仔细观察右侧的立体图形，数一数它们露在外面的面有多少个？
把左边的数字与正确的图形“连一连”，找到好朋友吧！
18 个面
12 个面
课堂小结
今天学了什么？
数面：学会了如何数多个正方体组合在一起时，露在外面的面的个数。
算面积：掌握了计算这些“露在外面”的面的总面积的方法。
我们用了哪些方法？
多角度观察法：从正面、侧面、上面三个方向仔细观察物体。
发现规律：通过列表格整理数据，寻找数量变化的数学规律（如 2n+1）。
解题的关键？
有序观察：按照一定的顺序去数，保证不重复，也不遗漏。
注意环境：留意物体摆放的环境，比如墙角、桌面等，会影响哪些面被遮挡。

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