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1.1幂的乘除
（课时4）
第一章 整式的乘除
北师大版（2024）
02 掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则并能正确计算；
01 掌握同底数幂的除法的运算法则并能正确计算；
素养目标
03 掌握用科学记数法表示绝对值较小的数.
填空
知识回顾
am · an = a（ ） (m，n 都是正整数).
同底数幂相乘，底数 ，指数 .
(am)n = a（ ） (m，n 都是正整数).
幂的乘方，底数____ ，指数 .
不变
相乘
不变
相加
m+n
mn
(ab)n = a（ ）b（ ） ( n 为正整数).
积的乘方，等于各因式 .
乘方的积
n
n
新知导入
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎么计算的？
如何计算呢？
1012÷109
探究新知
思考：1012、109 两数有什么特点？
1012 和109这两个幂的底数相同，是同底数的幂的形式.
1012 和109表示的意义分别是什么？
1012＝10×10×…×10
109＝10×10×…×10
12个10相乘
9个10相乘
探究新知
如何计算1012 ÷109呢？
10?10?…?10
10?10?…?10
?
1012÷109
?10?10?10
?103
12个10
9个10
3个10
因为103×109?1012
?(103×109)÷109
?103
法一
法二
所以1012÷109
探究新知
计算下列各式，并说明理由(m，n都是正整数，且m＞n)
10?10?…?10
10?10?…?10
?
10m÷10n
?10?10 ?… ?10
?10m－n
m个10
n个10
m-n个10
因为10n×10m－n?10m
?(10m－n×10n)÷10n
?10m－n
法一
法二
所以10m÷10n
10m÷10n
探究新知
计算下列各式，并说明理由(m，n都是正整数，且m＞n)
(-3)?(-3) ?…?(-3)
(-3)?(-3) ?…?(-3)
?
(-3)m÷(-3)n
?(-3)?(-3) ?…?(-3)
?(-3)m－n
m个(-3)
n个(-3)
m-n个(-3)
法一
法二
(-3)m÷(-3)n
因为(-3)n×(-3)m－n?(-3)m
?[(-3)m－n×(-3)n]÷(-3)n
?(-3)m－n
所以(-3)m÷(-3)n
探究新知
通过上面的计算，你发现了什么？
1.结果中的底数与原来两个幂的底数相同；
2.结果中的指数是原来两个幂的指数差.
1012÷109=103=1012-9
(-3)m÷(-3)n=(-3)m-n
10m÷10n=10m-n
探究新知
【思考】如果m，n都是正整数，且m>n，那么am÷an等于什么？你是怎么得到的？
am÷an =
m个a
n个a
= a · a · … · a
(m-n)个a
= am-n
∵ an×a( ) =am，
∴ am÷an=am–n .
法一
法二
m–n
同底数幂的除法：
am ÷an=am-n (a ≠ 0，m，n都是正整数，且m＞n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
x9 ÷ x6
? x3
底数不变
指数相减
? x9-6
结果：① 底数不变 ② 指数相减
条件：①除法 ② 底数相同
探究新知
在对同底数幂的除法的运算法则的应用中，有时需要将公式逆用.
am ÷an=am-n (a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)
am-n =am÷an (a≠0，m，n是正整数，且m＞n).
探究新知
【拓展】同底数幂除法的公式可以推广到三个及以上的同底数幂相除
am÷ an÷ a p = am-n-p
[a≠0，m，n，p都是正整数，且m>(n＋p)]
【练习】 a11?a5?a2
a11?a5?a2?a11-5-2 ? a4
例题练习
计算：（1） a7÷a4； （2） (– x)6÷(– x)3；
（3） (xy)4÷(xy)； （4） b2m+2÷b2
解：（1） a7÷a4 = a7 – 4 = a3；
（2） (– x)6÷(– x)3 = (– x)6 – 3 = (– x)3 = – x3；
（3） (xy)4÷(xy) = (xy)4–1 = (xy)3 = x3y3 ；
（4） b2m+2÷b2 = b2m+2–2 = b2m .
探究新知
思考交流：
(1)计算：23÷23，23÷25，a3÷a3，a3÷a5.
解：23÷23 = 1 ；
23÷25 = 2325 = 2323×22= 122 ；
a3÷a3 = 1 ；
a3÷a5 = a3a3×a2 = 1a2 .
?
探究新知
思考交流：
(2)要使得当m＝n或m＜n时，am÷an?am－n(a≠0，m，n都是正整数)仍然成立，(1)中各式的结果用幂的形式又该如何表示？
解：23÷23 = 23-3= 20 = 1 ；
23÷25 = 23-5 = 2-2 = 122 ；
a3÷a3 =a3-3 = a0 = 1 ；
a3÷a5 = a3-5 = a-2 = 1a2 ；
?
探究新知
思考交流：
(3)比较(1)(2)各式的对应结果，你有什么发现？
当 m = n 时，根据一个数除以它本身商为1可得，am÷am = 1，
根据同底数幂的除法法则可得，am÷am= am-m=a0 = 1.
规定
a0 =1(a ≠0)
即，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
探究新知
思考交流：
(3)比较(1)(2)各式的对应结果，你有什么发现？
n-m和m-n互为相反数，
p和-p互为相反数
规定
(a≠0，p是正整数).
当m23÷25 = 23-5 = 2-2 = 122 ；a3÷a5 = a3-5 = a-2 = 1a2
?
归纳总结
规定：a0 =1(a ≠ 0)
有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的m，n就从正整数扩大到全体整数了，
即am?·a?????=?a????+n，am?÷an=a?????n??(a≠0，m，n都是整数)
?
(a≠0，p是正整数).
探究新知
如何把一个大于10的数用科学记数法表示呢？
科学记数法：绝对值大于 10 的数记成 a×10n 的形式，其中 1≤a<10，n 是正整数.
例：2280000 可以写成 ___________ .
2.28×106
探究新知
细胞的直径只有1微米（μm）， 即 0.000001m；
某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，即 0.000000001s；
一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657kg.
对于绝对值较小的这些数应该如何表示呢？
探究新知
填空
0.00001 =（ ）
0.0000257 =（ ）
0.0000000257 =（ ）
归纳总结
一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤ a＜10，n是负整数.
大于-1的负数也可以用类似的方法表示，
如-0.00000256可以表示成-2.56×10-6
【注意】(1) a为整数位为1位的小数.
(2) n 的绝对值等于原数中小数点向右移动的位数或等于这个数的第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零).
(3)用科学记数法表示一个负数时，不要漏掉原数前的“-”.
探究新知
0.000001= 1×10-6
0.000000001= 1×10-9
0.00000000000000000000000002657= 2.657×10-26
细胞的直径只有1微米（μm）， 即 0.000001m；
某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，即 0.000000001s；
一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657kg.
A
A
D
C
D
8
3
81
小结
同底数幂的除法
法则
am ÷ an=am-n (a≠0，m，n都是正整数)
零指数幂和负指数幂
同底数幂相除，底数不变，指数相减
a0=1(a≠0)
(a≠0，p是正整数）
一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤ a＜10，n是负整数.
科学记数法
谢谢同学们的聆听

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