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广西壮族自治区桂林市2024-2025学年 八年级数学下学期期末调研试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．壮乡铜鼓有着悠久的历史，是中华民族古代文化艺术中一颗璀璨的明珠，以下四种铜鼓纹饰 是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的点是（　　）
A． B． C． D．
3．直角三角形斜边上的中线长为 4，则该直角三角形的斜边长是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．函数y= 中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x＜5 C．x≥5 D．x≤5
5．六边形的内角和是（　　）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
6．若正比例函数的图象经过，则 k 的值是（　　）
A． B． C．2 D．
7．勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　）
A．0.6，0.8，1 B．1，3，10 C．5，10，12 D．3，4，5
8．如图，在 中，，平分，，垂足为 E，，，则 的长是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
9．如图，一次函数均为常数，且与的图象相交于点，则关于的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形 中，，对角线， 交于点 O，E为的中点，连接 ，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．小林骑行从A地到B地，设出发后，小林距离B地路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小林骑行从A地到B地所用时间是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（　　）
A．28 B．30 C．32 D．34
二、填空题（共4 小题，每小题 3 分，共 12 分，请将答案填在答题卡上）
13．在中，，，则 的度数为　 　．
14．如图，在中，是中位线，，那么　 　；
15．在单词“ ”中，字母“e”出现的频率为　 　．
16．如图，是等边三角形，四边形和四边形 是边长相等的正方形，点F，M 分别在上，边在上，点 F，G，H 三点共线 ．若，则等边的边长是　 　．
三、解答题（本大题共8 题，共 72 分，请将解答过程写在答题卡上）
17．如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于 x 轴对称的；
（2）请画出关于原点成中心对称的；
（3）请写出，的坐标．
19．某校举行手工制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表如下：
分数段 频数 频率
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 m 0.45
80≤x＜90 60 n
90≤x＜100 20 0.1
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中m和n所表示的数分别为：m＝______，n＝______，
（2）请在图中，补全频数分布直方图；
（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？
20．如图，在平行四边形 中，平分，F 为 边上的一点，且．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）连接，若，，，求的长 ．
21．探究与理解
【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究．
【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量．
【解决问题】
（1）在一直角三角形中：
①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长；
②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长；
（2）如图，在四边形中，已知，，，求的面积．
22．综合与实践：
【知识背景】学校的项目式学习兴趣小组计划（用同种型号的玻璃瓶）制作一组水瓶乐器 ． 根据物理学中的振动频率和音调的关系可知， 在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同： 水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高 ．
【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验，发现频率f随水位高度h的变化是均匀的，并记录了水瓶不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表：
水位高度 h（） 5 10 15 20 25
频率f（Hz） 260 290 320 350 380
通过查阅资料，列出以下音名与频率对照表（部分），一种音名代表一个水瓶．
音名
频率 f（Hz) 440.0 261.6 293.7 329.6 349.2 392.0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出该种水瓶乐器的频率f关于水位高度h的函数表达式；（不需写出自变量 h 取值范围）
（2）已知水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的：当水位高度为时，所使用的水量为． 若进行演奏音名，请求出演奏时所使用到瓶子中的水量．
23．如图，在平面直角坐标系中，边长为 5 的正方形的边在 x 轴上，已知点 C 的坐标为，点 E 是y轴上的点，且在正方形 的内部，连接，且．
（1）请直接写出点A 和点 E 的坐标；
（2）过点E 作，交 x 轴于点F，连接，求直线的函数表达式 ．
（3）在（2）的条件下，G 为 x 轴上的点，连接，得到 ，若 的 边上的高为 2，求点 G 的坐标 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，A、B、D中的图形都不是中心对称图形，只有选项C中的图形是中心对称图形。
故答案为：C．
【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题根据中心对称图形的概念对各选项分析发现，只有C选项符合中信对称图形的定义，从而得出答案。
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负，
∴四个点中只有符合条件，
故答案为：B．
【分析】本题根据位于第四象限的点的特征，结合选项即可得出答案。A选项的点在第一象限，C选项的点在第二象限，D选项的点在第三象限。
3．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形斜边上的中线长为 4
∴斜边长=
故答案为：A。
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以的到斜边为
4．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意 得 x-5≥0，
解得 x≥5，
故答案为：C.
【分析】
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°，
故选：B．
【分析】多边形内角和定理：n变形的内角和等于（n﹣2）×180°（n≥3，且n为整数），据此计算可得．此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2） 180°（n≥3，且n为整数）．
6．【答案】D
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过点，
将，代入解析式，得
解得，
故答案为：D。
【分析】本题将已知点的坐标代入正比例函数解析式y=kx中，此时得到一个关于k的一元一次方程，解方程即可。
7．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A选项，三个数有两个数为小数，不符合勾股数定义，故不符合题意。
B选项，，不满足勾股定理，故不符合题意。
C选项，，不满足勾股定理，故不符合题意。
D选项，，满足勾股定理，又是正整数，满足题意。
故答案为：D 。
【分析】根据勾股数是满足，且a，b，c都是正整数。A选项，满足，但不满足正整数。B选项，不满足，C选项，也不满足，只有D选项，满足，且是正整数。故可以得出正确选项。
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，即，且平分，，
∴．
故答案为：D．
【分析】本题先计算出，然后结合条件和图形，利用角平分线的性质，即“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可得出．
9．【答案】D
【知识点】一次函数的概念；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入中，得，
解得 ，
∴，
∵一次函数与的图象相交于点，
∴方程组的解是．
故答案为：D．
【分析】对于函数，，其图象的交点坐标为，则x，y的值是方程组的解．本题根据一次函数与二元一次方程组的关系，直接将P点代入求出m的值，即可得到P点的坐标，据此即可得出方程组的解。
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，O为的中点，
∵E为的中点，即是的中位线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题由菱形的性质，即“菱形的对角线互相垂直平分”，先得出，，然后根据三角形中位线定理得到，并结合“两直线平行、同位角相等”求得，最后求和即可得出答案。
11．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：当y=0时，函数表达式变为，
解得：，
即小林骑行从A地到B地所用时间是1.8h。
故答案为：C．
【分析】结合条件和函数表达式可知，当y=0时，即小林骑行结束，此时代入函数表达式中即可求出对应的时间。
12．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵ 平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点 F 为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积是，
故答案为：A．
【分析】做辅助线后，结合矩形的判定及性质得出是矩形，并进一步得出，，，再根据角平分线以及平行线的性质，综合得到，此时利用等角对等边得出；再结合垂直的定义以及平行线的性质，推出；从而综合得出，计算得到，根据中点得到，则计算出、AD=7，最后根据矩形面积公式计算即可．
13．【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】本题结合直角三角形的两锐角互余，然后根据条件“中，， ”，从而列式计算即可得出答案。
14．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
故答案为：10．
【分析】本题根据“三角形的中位线平行且等于第三边的一半”，结合条件“ 在中，是中位线， ”，列式计算即可得出答案。
15．【答案】0.4
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵在单词“ ”中，一共有10个字母，e个数有4个
∴字母“e”出现的频率为
故答案为：0.4。
【分析】根据频率=，在单词“ ”中，一共有10个字母，e个数有4个，所以代入公式，字母“e”出现的频率为。
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图：延长交于I，
，
∵是等边三角形，
∴，
∵四边形和四边形是边长相等的正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，即等边的边长是．
故答案为：．
【分析】做辅助线后，由等边三角形的性质得出，结合正方形的性质以及30°直角三角形的性质，得出、，此时利用勾股定理求出，则进一步计算得出，接着利用勾股定理，代入计算求出，最后最后根据线段的和差即可解答．
17．【答案】证明： ∵，，
∴
∵，
∴（）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本题依据垂直的定义可以先得出，然后利用即可得出证明结果。
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：由题意可得：.
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）关于x轴对称的点的坐标，满足“横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数”，据此可以找出点的对称点，再依次连接三个点即可得到作出的；
（2）关于原点中心对称的点的坐标，满足“横、纵坐标都变为原坐标的相反数”，据此找出点的对称点，再依次连接三个点，即可得到作出的；
（3）根据平面直角坐标系中和的位置，或者依据（1）的画图分析步骤，即可直接读出两个点的坐标。
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：由题意可得：.
19．【答案】（1）90，0.3；
（2）图为：
（3）30+90+60+20=200，30+90=120，
即一共200人，而第100、101名都在70分～80分，
故比赛成绩的中位数落在70分～80分；
（4）读图可得比赛成绩80分以上的人数为60＋20＝80人，
故获奖率为 获奖率为
【知识点】频数与频率；统计表；中位数
【解析】【解答】解：（1）根据统计表中，即有，
解可得：m＝90，n＝0.3；
故答案为：（1）90，0.3；
【分析】（1）根据频数与频率的比值相等，结合图表中的信息列式计算求出m、n的值即可；
（2）根据（1）的结果补全直方图即可；
（3）根据中位数的定义，即一组数据由小到大或者从大到小排列，中间的数就是中位数；本题先计算出一共有200人，而中间的第100、101名都在70分～80分，据此即可得出答案；
（4）从图中分析出，比赛成绩80分以上的人数是80人，然后除以总人数即可得答案．
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
平分交于点，为边上的点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形 是菱形。
（2）解：∵四边形是平行四边形，四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
在中，，
由勾股定理得.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得，“两直线平行、内错角相等”以及角平分线的定义推导出，结合等腰三角形的性质得出，而，从而推出，此时利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边”证明是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可得出证明结果；
（2）结合平行四边形和菱形的性质，得出，然后利用勾股定理逆定理得出为直角三角形，且，再进一步利用勾股定理计算出BE的长度即可。
（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
平分交于点，为边上的点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，而，
∴平行四边形 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形. ）
（2）解：∵四边形是平行四边形，四边形是菱形
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
在中，，
由勾股定理得.
21．【答案】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12，
∴，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）；
②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∵
∴，
解得：（负值舍去），
∴该直角三角形的周长；
（2）解：∵，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；完全平方式
【解析】【分析】（1）①由“ 两条直角边长的和为7，积为12 ”，得出，，然后代入中计算c即可；
②由题意得到，，从而计算出，并计算出，再根据，代入计算求出，最后计算即可求出直角三角形的周长；
（2）先结合条件得出、是直角三角形，再根据题干所给公式代入计算求出，最后根据直角三角形面积计算公式计算即可．
（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12，
∴，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）；
②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∵
∴，
解得：（负值舍去），
∴该直角三角形的周长；
（2）解：∵，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：由题意可得，频率f与水位高度h的之间为一次函数关系，因此设频率f关于水位高度h的函数表达式为，
将，与，代入，得
，解得，
∴频率f关于水位高度h的函数解析式为：；
（2）解：∵演奏对应的振动频率为，
∴当时，有，
解得，，
即有演奏所使用到的瓶子的水位高度为，
∵水瓶乐器的水量与水位是均匀变化的：当水位高度为时，所使用的水量为．
∴演奏所使用到的瓶子的水量为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）从表中分析可知，水位每升高5cm，频率则对应升高30Hz，因此得出频率f与水位高度h的之间为一次函数关系，然后假设出一次函数关系，利用待定系数法将，与，代入，求出k和b的值即可得出函数解析式；
（2）结合（1）的函数解析式，将代入求出，即有演奏所使用到的瓶子的水位高度为，而条件“当水位高度为时，所使用的水量为，且水瓶乐器的水量与水位是均匀变化”，因此列式计算即可求出演奏所使用到的瓶子的水量。
（1）解：由题意可得，频率f 与水位高度 h 的之间为一次函数关系，
因此，设频率f 关于水位高度 h 的函数表达式为，
将，与，代入得
，
解得，
∴频率f 关于水位高度h 的函数解析式为：；
（2）解：∵演奏对应的振动频率为，
∴当时，有，
解得，，
即有演奏所使用到的瓶子的水位高度为，
∵水瓶乐器的水量与水位是均匀变化的：当水位高度为时，所使用的水量为．
∴演奏所使用到的瓶子的水量为：．
23．【答案】（1）解：∵边长为 5 的正方形的边在 x 轴上，
∴，，
∵点C的坐标为，
∴，
∴，
如图，记与轴的交点为，则，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴为直角三角形
而 ，
∴，
∴，
设 ，则，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴点F 的坐标为，
设直线的函数表达式为，
将， 代入得
，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（3）解：如图，过点 G 作所在的直线，为边上的高，即，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
由此，点 G 的位置有如下两种情况：
①当点 G 在点 F 的左边时，
由（2）知，
∴，
此时点 G 在 x 轴的负半轴上，所以点 G 的坐标为，
②点 G 在点 F 的右边时
；
此时点G 在x 轴的正半轴上，
∴点 G 的坐标为，
综上可得，点 G 的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；分类讨论
【解析】【分析】（1）由正方形的性质以及点C的坐标，即可得出，此时利用勾股定理求出EH=4，则计算出OE=1，从而可得；
（2）先利用HL证明，可得，由勾股定理求出，则计算出点F 的坐标为，用待定系数法将A、F点的坐标代入直线的函数表达式，即可求出答案；
（3）做辅助线后，结合（2）知，然后利用三角形面积公式列式，计算求出， 再分当点G在点F的左边和右边两种情况，分别计算即可得出答案。
（1）解：∵边长为 5 的正方形的边在 x 轴上，
∴，，
∵点 C 的坐标为，
∴，
∴，
如图，记与轴的交点为，则，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴为直角三角形
而 ，
∴，
∴，
设 ，则，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴点F 的坐标为，
设直线的函数表达式为，
将， 代入得
，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（3）解：如图，过点 G 作所在的直线，为边上的高，所以，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
由此，点 G 的位置有如下两种情况：
①当点 G 在点 F 的左边时，
由（2）知，
∴，
此时点 G 在 x 轴的负半轴上，所以点 G 的坐标为，
②点 G 在点 F 的右边时
；
此时点G 在x 轴的正半轴上，
∴点 G 的坐标为，
综上可得，点 G 的坐标为或.
1 / 1广西壮族自治区桂林市2024-2025学年 八年级数学下学期期末调研试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．壮乡铜鼓有着悠久的历史，是中华民族古代文化艺术中一颗璀璨的明珠，以下四种铜鼓纹饰 是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，A、B、D中的图形都不是中心对称图形，只有选项C中的图形是中心对称图形。
故答案为：C．
【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题根据中心对称图形的概念对各选项分析发现，只有C选项符合中信对称图形的定义，从而得出答案。
2．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负，
∴四个点中只有符合条件，
故答案为：B．
【分析】本题根据位于第四象限的点的特征，结合选项即可得出答案。A选项的点在第一象限，C选项的点在第二象限，D选项的点在第三象限。
3．直角三角形斜边上的中线长为 4，则该直角三角形的斜边长是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形斜边上的中线长为 4
∴斜边长=
故答案为：A。
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以的到斜边为
4．函数y= 中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x＜5 C．x≥5 D．x≤5
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意 得 x-5≥0，
解得 x≥5，
故答案为：C.
【分析】
5．六边形的内角和是（　　）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°，
故选：B．
【分析】多边形内角和定理：n变形的内角和等于（n﹣2）×180°（n≥3，且n为整数），据此计算可得．此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2） 180°（n≥3，且n为整数）．
6．若正比例函数的图象经过，则 k 的值是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过点，
将，代入解析式，得
解得，
故答案为：D。
【分析】本题将已知点的坐标代入正比例函数解析式y=kx中，此时得到一个关于k的一元一次方程，解方程即可。
7．勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　）
A．0.6，0.8，1 B．1，3，10 C．5，10，12 D．3，4，5
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A选项，三个数有两个数为小数，不符合勾股数定义，故不符合题意。
B选项，，不满足勾股定理，故不符合题意。
C选项，，不满足勾股定理，故不符合题意。
D选项，，满足勾股定理，又是正整数，满足题意。
故答案为：D 。
【分析】根据勾股数是满足，且a，b，c都是正整数。A选项，满足，但不满足正整数。B选项，不满足，C选项，也不满足，只有D选项，满足，且是正整数。故可以得出正确选项。
8．如图，在 中，，平分，，垂足为 E，，，则 的长是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，即，且平分，，
∴．
故答案为：D．
【分析】本题先计算出，然后结合条件和图形，利用角平分线的性质，即“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可得出．
9．如图，一次函数均为常数，且与的图象相交于点，则关于的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的概念；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入中，得，
解得 ，
∴，
∵一次函数与的图象相交于点，
∴方程组的解是．
故答案为：D．
【分析】对于函数，，其图象的交点坐标为，则x，y的值是方程组的解．本题根据一次函数与二元一次方程组的关系，直接将P点代入求出m的值，即可得到P点的坐标，据此即可得出方程组的解。
10．如图，在菱形 中，，对角线， 交于点 O，E为的中点，连接 ，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，O为的中点，
∵E为的中点，即是的中位线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题由菱形的性质，即“菱形的对角线互相垂直平分”，先得出，，然后根据三角形中位线定理得到，并结合“两直线平行、同位角相等”求得，最后求和即可得出答案。
11．小林骑行从A地到B地，设出发后，小林距离B地路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小林骑行从A地到B地所用时间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：当y=0时，函数表达式变为，
解得：，
即小林骑行从A地到B地所用时间是1.8h。
故答案为：C．
【分析】结合条件和函数表达式可知，当y=0时，即小林骑行结束，此时代入函数表达式中即可求出对应的时间。
12．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（　　）
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵ 平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点 F 为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积是，
故答案为：A．
【分析】做辅助线后，结合矩形的判定及性质得出是矩形，并进一步得出，，，再根据角平分线以及平行线的性质，综合得到，此时利用等角对等边得出；再结合垂直的定义以及平行线的性质，推出；从而综合得出，计算得到，根据中点得到，则计算出、AD=7，最后根据矩形面积公式计算即可．
二、填空题（共4 小题，每小题 3 分，共 12 分，请将答案填在答题卡上）
13．在中，，，则 的度数为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】本题结合直角三角形的两锐角互余，然后根据条件“中，， ”，从而列式计算即可得出答案。
14．如图，在中，是中位线，，那么　 　；
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
故答案为：10．
【分析】本题根据“三角形的中位线平行且等于第三边的一半”，结合条件“ 在中，是中位线， ”，列式计算即可得出答案。
15．在单词“ ”中，字母“e”出现的频率为　 　．
【答案】0.4
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵在单词“ ”中，一共有10个字母，e个数有4个
∴字母“e”出现的频率为
故答案为：0.4。
【分析】根据频率=，在单词“ ”中，一共有10个字母，e个数有4个，所以代入公式，字母“e”出现的频率为。
16．如图，是等边三角形，四边形和四边形 是边长相等的正方形，点F，M 分别在上，边在上，点 F，G，H 三点共线 ．若，则等边的边长是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图：延长交于I，
，
∵是等边三角形，
∴，
∵四边形和四边形是边长相等的正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，即等边的边长是．
故答案为：．
【分析】做辅助线后，由等边三角形的性质得出，结合正方形的性质以及30°直角三角形的性质，得出、，此时利用勾股定理求出，则进一步计算得出，接着利用勾股定理，代入计算求出，最后最后根据线段的和差即可解答．
三、解答题（本大题共8 题，共 72 分，请将解答过程写在答题卡上）
17．如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：．
【答案】证明： ∵，，
∴
∵，
∴（）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本题依据垂直的定义可以先得出，然后利用即可得出证明结果。
18．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于 x 轴对称的；
（2）请画出关于原点成中心对称的；
（3）请写出，的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：由题意可得：.
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）关于x轴对称的点的坐标，满足“横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数”，据此可以找出点的对称点，再依次连接三个点即可得到作出的；
（2）关于原点中心对称的点的坐标，满足“横、纵坐标都变为原坐标的相反数”，据此找出点的对称点，再依次连接三个点，即可得到作出的；
（3）根据平面直角坐标系中和的位置，或者依据（1）的画图分析步骤，即可直接读出两个点的坐标。
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：由题意可得：.
19．某校举行手工制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表如下：
分数段 频数 频率
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 m 0.45
80≤x＜90 60 n
90≤x＜100 20 0.1
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中m和n所表示的数分别为：m＝______，n＝______，
（2）请在图中，补全频数分布直方图；
（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？
【答案】（1）90，0.3；
（2）图为：
（3）30+90+60+20=200，30+90=120，
即一共200人，而第100、101名都在70分～80分，
故比赛成绩的中位数落在70分～80分；
（4）读图可得比赛成绩80分以上的人数为60＋20＝80人，
故获奖率为 获奖率为
【知识点】频数与频率；统计表；中位数
【解析】【解答】解：（1）根据统计表中，即有，
解可得：m＝90，n＝0.3；
故答案为：（1）90，0.3；
【分析】（1）根据频数与频率的比值相等，结合图表中的信息列式计算求出m、n的值即可；
（2）根据（1）的结果补全直方图即可；
（3）根据中位数的定义，即一组数据由小到大或者从大到小排列，中间的数就是中位数；本题先计算出一共有200人，而中间的第100、101名都在70分～80分，据此即可得出答案；
（4）从图中分析出，比赛成绩80分以上的人数是80人，然后除以总人数即可得答案．
20．如图，在平行四边形 中，平分，F 为 边上的一点，且．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）连接，若，，，求的长 ．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
平分交于点，为边上的点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形 是菱形。
（2）解：∵四边形是平行四边形，四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
在中，，
由勾股定理得.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得，“两直线平行、内错角相等”以及角平分线的定义推导出，结合等腰三角形的性质得出，而，从而推出，此时利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边”证明是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可得出证明结果；
（2）结合平行四边形和菱形的性质，得出，然后利用勾股定理逆定理得出为直角三角形，且，再进一步利用勾股定理计算出BE的长度即可。
（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
平分交于点，为边上的点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，而，
∴平行四边形 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形. ）
（2）解：∵四边形是平行四边形，四边形是菱形
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
在中，，
由勾股定理得.
21．探究与理解
【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究．
【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量．
【解决问题】
（1）在一直角三角形中：
①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长；
②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长；
（2）如图，在四边形中，已知，，，求的面积．
【答案】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12，
∴，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）；
②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∵
∴，
解得：（负值舍去），
∴该直角三角形的周长；
（2）解：∵，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；完全平方式
【解析】【分析】（1）①由“ 两条直角边长的和为7，积为12 ”，得出，，然后代入中计算c即可；
②由题意得到，，从而计算出，并计算出，再根据，代入计算求出，最后计算即可求出直角三角形的周长；
（2）先结合条件得出、是直角三角形，再根据题干所给公式代入计算求出，最后根据直角三角形面积计算公式计算即可．
（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12，
∴，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）；
②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∵
∴，
解得：（负值舍去），
∴该直角三角形的周长；
（2）解：∵，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴．
22．综合与实践：
【知识背景】学校的项目式学习兴趣小组计划（用同种型号的玻璃瓶）制作一组水瓶乐器 ． 根据物理学中的振动频率和音调的关系可知， 在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同： 水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高 ．
【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验，发现频率f随水位高度h的变化是均匀的，并记录了水瓶不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表：
水位高度 h（） 5 10 15 20 25
频率f（Hz） 260 290 320 350 380
通过查阅资料，列出以下音名与频率对照表（部分），一种音名代表一个水瓶．
音名
频率 f（Hz) 440.0 261.6 293.7 329.6 349.2 392.0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出该种水瓶乐器的频率f关于水位高度h的函数表达式；（不需写出自变量 h 取值范围）
（2）已知水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的：当水位高度为时，所使用的水量为． 若进行演奏音名，请求出演奏时所使用到瓶子中的水量．
【答案】（1）解：由题意可得，频率f与水位高度h的之间为一次函数关系，因此设频率f关于水位高度h的函数表达式为，
将，与，代入，得
，解得，
∴频率f关于水位高度h的函数解析式为：；
（2）解：∵演奏对应的振动频率为，
∴当时，有，
解得，，
即有演奏所使用到的瓶子的水位高度为，
∵水瓶乐器的水量与水位是均匀变化的：当水位高度为时，所使用的水量为．
∴演奏所使用到的瓶子的水量为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）从表中分析可知，水位每升高5cm，频率则对应升高30Hz，因此得出频率f与水位高度h的之间为一次函数关系，然后假设出一次函数关系，利用待定系数法将，与，代入，求出k和b的值即可得出函数解析式；
（2）结合（1）的函数解析式，将代入求出，即有演奏所使用到的瓶子的水位高度为，而条件“当水位高度为时，所使用的水量为，且水瓶乐器的水量与水位是均匀变化”，因此列式计算即可求出演奏所使用到的瓶子的水量。
（1）解：由题意可得，频率f 与水位高度 h 的之间为一次函数关系，
因此，设频率f 关于水位高度 h 的函数表达式为，
将，与，代入得
，
解得，
∴频率f 关于水位高度h 的函数解析式为：；
（2）解：∵演奏对应的振动频率为，
∴当时，有，
解得，，
即有演奏所使用到的瓶子的水位高度为，
∵水瓶乐器的水量与水位是均匀变化的：当水位高度为时，所使用的水量为．
∴演奏所使用到的瓶子的水量为：．
23．如图，在平面直角坐标系中，边长为 5 的正方形的边在 x 轴上，已知点 C 的坐标为，点 E 是y轴上的点，且在正方形 的内部，连接，且．
（1）请直接写出点A 和点 E 的坐标；
（2）过点E 作，交 x 轴于点F，连接，求直线的函数表达式 ．
（3）在（2）的条件下，G 为 x 轴上的点，连接，得到 ，若 的 边上的高为 2，求点 G 的坐标 ．
【答案】（1）解：∵边长为 5 的正方形的边在 x 轴上，
∴，，
∵点C的坐标为，
∴，
∴，
如图，记与轴的交点为，则，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴为直角三角形
而 ，
∴，
∴，
设 ，则，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴点F 的坐标为，
设直线的函数表达式为，
将， 代入得
，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（3）解：如图，过点 G 作所在的直线，为边上的高，即，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
由此，点 G 的位置有如下两种情况：
①当点 G 在点 F 的左边时，
由（2）知，
∴，
此时点 G 在 x 轴的负半轴上，所以点 G 的坐标为，
②点 G 在点 F 的右边时
；
此时点G 在x 轴的正半轴上，
∴点 G 的坐标为，
综上可得，点 G 的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；分类讨论
【解析】【分析】（1）由正方形的性质以及点C的坐标，即可得出，此时利用勾股定理求出EH=4，则计算出OE=1，从而可得；
（2）先利用HL证明，可得，由勾股定理求出，则计算出点F 的坐标为，用待定系数法将A、F点的坐标代入直线的函数表达式，即可求出答案；
（3）做辅助线后，结合（2）知，然后利用三角形面积公式列式，计算求出， 再分当点G在点F的左边和右边两种情况，分别计算即可得出答案。
（1）解：∵边长为 5 的正方形的边在 x 轴上，
∴，，
∵点 C 的坐标为，
∴，
∴，
如图，记与轴的交点为，则，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴为直角三角形
而 ，
∴，
∴，
设 ，则，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴点F 的坐标为，
设直线的函数表达式为，
将， 代入得
，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（3）解：如图，过点 G 作所在的直线，为边上的高，所以，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
由此，点 G 的位置有如下两种情况：
①当点 G 在点 F 的左边时，
由（2）知，
∴，
此时点 G 在 x 轴的负半轴上，所以点 G 的坐标为，
②点 G 在点 F 的右边时
；
此时点G 在x 轴的正半轴上，
∴点 G 的坐标为，
综上可得，点 G 的坐标为或.
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