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贵州省毕节市大方县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最高气温是，最低气温是，则该地这天气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列是“美丽贵州”每个字的拼音首字母的大写图形，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，的对角线与相交于点，若，，则的长为（　　）
A． B．9 C．4 D．5
4．如图，为了让杆垂直插于地面，工程人员从杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，然后将杆插在的中点处（点在同一直线上），这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
5．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．贵州植被具有明显的亚热带性质，组成种类繁多，区系成分复杂，吸引了不少对植被有研究的学者去贵州考察．如图，有学者在考察时发现一棵树在距离地面处折断了，倒下的部分与地面形成了的夹角，这棵树原来的高度是（　　）
A． B． C． D．
7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．在创建文明县城的进程中，我县为美化县城环境，计划植树万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成了任务，设原计划每天植树万棵，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
11．若分式方程有增根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在等边中，为线段上一点（不与端点重合），平分，交于点，与的延长线交于点，连接，且，以下结论：；②；③是等腰三角形；④连接．其中结论正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①④
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．当满足　 　时，分式有意义．
14．如图，要测定池塘两侧两点之间的距离，可以在直线外选一点，连接，并分别找出它们的中点，连接．现测得，则两点之间的距离为　 　．
15．如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为　 　．
16．若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）因式分解：；
（2）解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．
18．先化简，再从，2，0中选一个适当的数作为的值代入求值．
19．如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分．
20．如图，将绕点逆时针旋转得到，延长，交于点，交于点．若，求的度数．
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，．
（1）画出关于原点成中心对称的；
（2）将先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，画出．
22．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
（1）填写下表：
正多边形的边数 3 4 5 6 8
正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________
（2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形
【拓展应用】
（3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数．
24．中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶．
（1）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值．
（2）在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？
25．在数学课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，分别为上的动点（不与端点重合），且．
（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请证明小颜的结论；
（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是平行四边形；
（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，连接，请直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式的概念；列不等式
【解析】【解答】解：∵当天最高气温是，最低气温是，
∴，
故答案为：B．
【分析】一天的气温在最低气温和最高气温之间，且大于或等于最低气温、小于或等于最高气温。据此即可得出t的变化范围。
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项的“Z”是中心对称图形。
故答案为：D．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题依据中心对称图形的定义逐项进行图形分析即可。
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题结合图中信息，依据“平行四边形的对角线互相平分”的性质即可得出。
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：从条件可知，，
即△ABC是等腰三角形，且E是底边BC的中点，
∴，
因此工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，
故答案为：C．
【分析】本题先结合条件分析得出，△ABC是等腰三角形，且E是底边BC的中点，然后利用等腰三角形 “三线合一”的性质，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：从条件可知，C点在∠AOB的角平分线上，
∴平分，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题结合条件“ 点到的距离与点到的距离相等 ”，即可得出平分，然后根据角平分线的定义即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，
∵，米
∴=4米，
∴这棵大树在折断前的高度为米．
故答案为：B．
【分析】本题结合条件和图中信息，分析得出，米，然后利用“直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半”，列式即可得出=4米，最后计算AB+BC的长，即为这棵大树在折断前的高度。
7．【答案】C
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：四个选项中，只有C选项，因此可以用完全平方公式进行因式分解，其余选项均不可用完全平方公式进行因式分解。
故答案为：C．
【分析】完全平方公式，即。选项A只能用平方差公式进行因式分解，B、D选项无法进行因式分解。
8．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，A选项正确；，D选项错误；
当时，，B选项错误；
当时，，C选项错误；
故答案为：A．
【分析】不等式的性质，即不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变，据此可以判断A选项；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，据此可以判断C选项；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此可以判断BD选项。
9．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天植树万棵，
根据题意可列方程为：，
故答案为：．
【分析】根据条件“ 计划植树万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多 ”，则实际每天植树（1+20%）x棵，因此计划需要天，实际需要天，而“ 结果提前天完成了任务 ”，因此列式，从而得出答案。
10．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
而，即直线在直线下方，
因此关于x的不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】本题结合一次函数与一元一次不等式的关系，并根据图象分析得出，当时，直线在直线下方，即，从而得到答案．
11．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
∵原分式方程有增根，即，
解得，
将x=-1代入整式方程，得，
解得．
故答案为：B．
【分析】本题先去分母，将分式方程化为整式方程，然后结合分式方程有增根，得出x=-1，最后将x=-1代入整式方程求出k即可．
12．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①正确；
②∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴和不全等，
故②不正确；
③由①可得，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
故③正确；
④连接，设，则，
由③可得是等腰三角形；
∴，
∵，
∴，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
综上，正确的有：①③④，
故答案为：C．
【分析】通过图中的角度、角平分线的定义，利用ASA即可证明，从而判断①；
根据等边三角形的性质和图中信息可得，，，此时结合等腰三角形的性质可以分析出，从而判断②；
根据全等三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，此时推出，最后根据等腰三角形的判定即可判断③；
根据等腰三角形的性质可得，根据三角形外角定理可得，等量代换即可得出，此时利用SAS证明，从而计算出，即可判断④．最后综合即可选出答案。
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，即，
解得，
故答案为：．
【分析】分式有意义条件，即分母不为0。本题据此列出不等式，求解即可。
14．【答案】26
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是、的中点，
∴是三角形的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】本题结合图中信息以及三角形中位线的定理，可以直接列式并计算得出，从而得出答案。
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图， 过点作， 垂足为，
∵，于点，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
当的值最小时， 即的值最小，此时、、共线， 且，
∴，
故答案为：．
【分析】本题做出辅助线后，结合条件得出△ABC是等腰三角形，此时可以根据等腰三角形三线合一得出，“等边对等角”得出；依据将军饮马原理和垂线段最短分析得出，当的值最小时，、、共线， 且，最后根据直角三角形锐角互余计算即可。
16．【答案】或或
【知识点】解一元一次不等式组；分类讨论
【解析】【解答】解：分三种情况解答：
①若，即的解集为，则，且，
化简得，，代入，得，
解得，
由，得，
即，
解得，
由，得，
解得，
∴此时不等式组的解集为；
②若，即的解集为，则，且，
化简得，，代入，得，
解得，
由，得，
即，
解得，
由，得，
解得，
∴此时不等式组的解集为；
③若，即的解集为，则，且，
化简得，，代入，得，
解得，
由，得，
即，
解得，
由，得，
解得，
∴此时不等式组的解集为；
综上所述，所给不等式组的解集为或或，
故答案为：或或．
【分析】本题根据“雅礼不等式”的定义“ 有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1 ”，可以分三种情况列式，并利用不等式的性质进行求解即可。
17．【答案】解：（1）；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）先提取公因式2，然后利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先分别求得两个不等式的解，然后根据它们的公共部分即可得出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可。
18．【答案】解：
，
，
，
，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】本题先将括号内进行通分并计算，同时利用完全平方公式将括号外的分式的分母变形，合并同类项后将分式的除法计算转化为乘法计算，约分后得到x+1，然后结合分式有意义的条件得出x只能为0，最后代入计算即可。
19．【答案】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先利用“两直线平行、内错角相等”得出，然后结合角平分线的定义推出，此时利用“等角对等边”得到，再结合条件，通过线段垂直平分线的判定即可证明垂直平分．
20．【答案】解：由旋转的性质得：，
∵，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【分析】本题首先根据旋转的性质可得，再结合三角形内角和定理列式，最后对比即可得出。
21．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图即为所求；
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据关于原点成中心对称的点的特征，即横纵坐标互为相反数，先确定、，然后在图中标出，最后连接即可；
（2）根据平移规则“左加右减、上加下减”，先分别确定、，即、，然后连线画出即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图即为所求；
22．【答案】（1）证明：在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴；
∵，，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰直角三角形；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）结合条件和图中信息，利用即可得出；
（2）结合（1）的证明结果，依据全等三角形的性质可得，然后等腰直角三角形的判定及性质，即可得出=45°，最后求和即可得出的度数．
（1）证明：在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴；
∵，，
∴，
∴．
23．【答案】（1）；；；
（2）①③；
（3）解：∵正五边形的内角为，即∠BCD=108°，
而BF=BC，
∴∠BCF=∠BFC=180°-108°=72°，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；邻补角
【解析】【解答】（1）解：正五边形每个外角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
正多边形的边数 3 4 5 6 8
正多边形每个外角的度数
（2）解：正三角形每个内角的度数为，
正五边形每个内角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正七边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
∵，，，
∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③，
故答案为：（1）；；；（2）①③．
【分析】（1）因为任意多边形的外角和都是360°，因此用再除以n即可得出任意多边形的一个外角度数；
（2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数互补，因此分别计算出各多边形的内角度数后再分析即可得出答案；
（3）先利用正多边形任一内角公式，求出正五边形的内角∠BCD=108°，然后结合等腰三角形的性质以及邻补角的定义，计算出∠BCF=∠BFC=72°，最后根据三角形内角和计算即可得出∠CBF的度数。
24．【答案】（1）解：根据题意列方程得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
答：的值为．
（2）解：设安排工人x人，则：
，
解得：，
∵x为整数，
∴x可取，，，
故有三种方案：
方案一：安排工人人，机器人人；
方案二：安排工人人，机器人人；
方案三：安排工人人，机器人人．
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；列一元一次不等式组；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）提高采茶速度后，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是分钟，一个工人采600片茶叶所用时间是，而“一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍”，列关于a的分式方程，求出a之后进行检验即可；
（2）依据“ 工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍 ”，列出不等式20-x＜2x，“ 每分钟合采茶叶的总片数不低于710片 ”，列式，综合求出x的取值范围后取整数即可得出答案。
（1）解：根据题意列方程得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
答：的值为．
（2）解：设安排工人x人，则：
，
解得：，
∵x为整数，
∴x可取，，，
故有三种方案：
方案一：安排工人人，机器人人；
方案二：安排工人人，机器人人；
方案三：安排工人人，机器人人．
25．【答案】（1）证明：为等边三角形，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
在和中，
，
，
。
（2）解：四边形为平行四边形；理由如下：
，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为平行四边形。
（3）
【知识点】平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（3）解：的最小值为．理由如下：
，
∴
在中，
由勾股定理得：，
如图所示，将绕点B逆时针旋转到，连接，
则，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
当点P，M，C三点共线时，，此时的值最小，
如图所示，过点P作延长线于点Q，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值舍去），
，
在中，
由勾股定理得：，
的最小值为．
【分析】（1）根据等边三角的性质和旋转的性质，综合得出，此时结合条件利用SAS证明，从而得出MN=DB；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质综合得出，由“内错角相等、两直线平行”得出，此时利用SAS证明，从而得出，利用“直角三角形锐角互余”以及等量代换可得，再由“内错角相等、两直线平行”可得，最后根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得证；
（3）先结合等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求出，做辅助线后，结合平行线的判定以及平行四边形的判定方法，可得四边形是平行四边形，通过计算并利用SAS证明，得到，则，分析得出，当点P，M，C三点共线时，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得求出的长，则可求出，在中，由勾股定理可得的长，由此即可求解．
（1）证明：为等边三角形，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形；理由如下：
，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为平行四边形；
（3）解：的最小值为．理由如下：
，
在ABC中，
由勾股定理得：，
，
如图所示，将绕点B逆时针旋转到，连接，
则，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
当点P，M，C三点共线时，，此时的值最小，
如图所示，过点P作延长线于点Q，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值舍去），
，
在中，
由勾股定理得：，
的最小值为．
1 / 1贵州省毕节市大方县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最高气温是，最低气温是，则该地这天气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的概念；列不等式
【解析】【解答】解：∵当天最高气温是，最低气温是，
∴，
故答案为：B．
【分析】一天的气温在最低气温和最高气温之间，且大于或等于最低气温、小于或等于最高气温。据此即可得出t的变化范围。
2．下列是“美丽贵州”每个字的拼音首字母的大写图形，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项的“Z”是中心对称图形。
故答案为：D．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题依据中心对称图形的定义逐项进行图形分析即可。
3．如图，的对角线与相交于点，若，，则的长为（　　）
A． B．9 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题结合图中信息，依据“平行四边形的对角线互相平分”的性质即可得出。
4．如图，为了让杆垂直插于地面，工程人员从杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，然后将杆插在的中点处（点在同一直线上），这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：从条件可知，，
即△ABC是等腰三角形，且E是底边BC的中点，
∴，
因此工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，
故答案为：C．
【分析】本题先结合条件分析得出，△ABC是等腰三角形，且E是底边BC的中点，然后利用等腰三角形 “三线合一”的性质，即可得出答案。
5．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：从条件可知，C点在∠AOB的角平分线上，
∴平分，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题结合条件“ 点到的距离与点到的距离相等 ”，即可得出平分，然后根据角平分线的定义即可得出答案。
6．贵州植被具有明显的亚热带性质，组成种类繁多，区系成分复杂，吸引了不少对植被有研究的学者去贵州考察．如图，有学者在考察时发现一棵树在距离地面处折断了，倒下的部分与地面形成了的夹角，这棵树原来的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，
∵，米
∴=4米，
∴这棵大树在折断前的高度为米．
故答案为：B．
【分析】本题结合条件和图中信息，分析得出，米，然后利用“直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半”，列式即可得出=4米，最后计算AB+BC的长，即为这棵大树在折断前的高度。
7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：四个选项中，只有C选项，因此可以用完全平方公式进行因式分解，其余选项均不可用完全平方公式进行因式分解。
故答案为：C．
【分析】完全平方公式，即。选项A只能用平方差公式进行因式分解，B、D选项无法进行因式分解。
8．已知，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，A选项正确；，D选项错误；
当时，，B选项错误；
当时，，C选项错误；
故答案为：A．
【分析】不等式的性质，即不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变，据此可以判断A选项；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，据此可以判断C选项；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此可以判断BD选项。
9．在创建文明县城的进程中，我县为美化县城环境，计划植树万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成了任务，设原计划每天植树万棵，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天植树万棵，
根据题意可列方程为：，
故答案为：．
【分析】根据条件“ 计划植树万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多 ”，则实际每天植树（1+20%）x棵，因此计划需要天，实际需要天，而“ 结果提前天完成了任务 ”，因此列式，从而得出答案。
10．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
而，即直线在直线下方，
因此关于x的不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】本题结合一次函数与一元一次不等式的关系，并根据图象分析得出，当时，直线在直线下方，即，从而得到答案．
11．若分式方程有增根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
∵原分式方程有增根，即，
解得，
将x=-1代入整式方程，得，
解得．
故答案为：B．
【分析】本题先去分母，将分式方程化为整式方程，然后结合分式方程有增根，得出x=-1，最后将x=-1代入整式方程求出k即可．
12．如图，在等边中，为线段上一点（不与端点重合），平分，交于点，与的延长线交于点，连接，且，以下结论：；②；③是等腰三角形；④连接．其中结论正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①正确；
②∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴和不全等，
故②不正确；
③由①可得，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
故③正确；
④连接，设，则，
由③可得是等腰三角形；
∴，
∵，
∴，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
综上，正确的有：①③④，
故答案为：C．
【分析】通过图中的角度、角平分线的定义，利用ASA即可证明，从而判断①；
根据等边三角形的性质和图中信息可得，，，此时结合等腰三角形的性质可以分析出，从而判断②；
根据全等三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，此时推出，最后根据等腰三角形的判定即可判断③；
根据等腰三角形的性质可得，根据三角形外角定理可得，等量代换即可得出，此时利用SAS证明，从而计算出，即可判断④．最后综合即可选出答案。
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．当满足　 　时，分式有意义．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，即，
解得，
故答案为：．
【分析】分式有意义条件，即分母不为0。本题据此列出不等式，求解即可。
14．如图，要测定池塘两侧两点之间的距离，可以在直线外选一点，连接，并分别找出它们的中点，连接．现测得，则两点之间的距离为　 　．
【答案】26
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是、的中点，
∴是三角形的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】本题结合图中信息以及三角形中位线的定理，可以直接列式并计算得出，从而得出答案。
15．如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图， 过点作， 垂足为，
∵，于点，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
当的值最小时， 即的值最小，此时、、共线， 且，
∴，
故答案为：．
【分析】本题做出辅助线后，结合条件得出△ABC是等腰三角形，此时可以根据等腰三角形三线合一得出，“等边对等角”得出；依据将军饮马原理和垂线段最短分析得出，当的值最小时，、、共线， 且，最后根据直角三角形锐角互余计算即可。
16．若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为　 　．
【答案】或或
【知识点】解一元一次不等式组；分类讨论
【解析】【解答】解：分三种情况解答：
①若，即的解集为，则，且，
化简得，，代入，得，
解得，
由，得，
即，
解得，
由，得，
解得，
∴此时不等式组的解集为；
②若，即的解集为，则，且，
化简得，，代入，得，
解得，
由，得，
即，
解得，
由，得，
解得，
∴此时不等式组的解集为；
③若，即的解集为，则，且，
化简得，，代入，得，
解得，
由，得，
即，
解得，
由，得，
解得，
∴此时不等式组的解集为；
综上所述，所给不等式组的解集为或或，
故答案为：或或．
【分析】本题根据“雅礼不等式”的定义“ 有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1 ”，可以分三种情况列式，并利用不等式的性质进行求解即可。
三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）因式分解：；
（2）解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．
【答案】解：（1）；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）先提取公因式2，然后利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先分别求得两个不等式的解，然后根据它们的公共部分即可得出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可。
18．先化简，再从，2，0中选一个适当的数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
，
，
，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】本题先将括号内进行通分并计算，同时利用完全平方公式将括号外的分式的分母变形，合并同类项后将分式的除法计算转化为乘法计算，约分后得到x+1，然后结合分式有意义的条件得出x只能为0，最后代入计算即可。
19．如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分．
【答案】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先利用“两直线平行、内错角相等”得出，然后结合角平分线的定义推出，此时利用“等角对等边”得到，再结合条件，通过线段垂直平分线的判定即可证明垂直平分．
20．如图，将绕点逆时针旋转得到，延长，交于点，交于点．若，求的度数．
【答案】解：由旋转的性质得：，
∵，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【分析】本题首先根据旋转的性质可得，再结合三角形内角和定理列式，最后对比即可得出。
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，．
（1）画出关于原点成中心对称的；
（2）将先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，画出．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图即为所求；
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据关于原点成中心对称的点的特征，即横纵坐标互为相反数，先确定、，然后在图中标出，最后连接即可；
（2）根据平移规则“左加右减、上加下减”，先分别确定、，即、，然后连线画出即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图即为所求；
22．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴；
∵，，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰直角三角形；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）结合条件和图中信息，利用即可得出；
（2）结合（1）的证明结果，依据全等三角形的性质可得，然后等腰直角三角形的判定及性质，即可得出=45°，最后求和即可得出的度数．
（1）证明：在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴；
∵，，
∴，
∴．
23．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
（1）填写下表：
正多边形的边数 3 4 5 6 8
正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________
（2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形
【拓展应用】
（3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数．
【答案】（1）；；；
（2）①③；
（3）解：∵正五边形的内角为，即∠BCD=108°，
而BF=BC，
∴∠BCF=∠BFC=180°-108°=72°，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；邻补角
【解析】【解答】（1）解：正五边形每个外角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
正多边形的边数 3 4 5 6 8
正多边形每个外角的度数
（2）解：正三角形每个内角的度数为，
正五边形每个内角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正七边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
∵，，，
∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③，
故答案为：（1）；；；（2）①③．
【分析】（1）因为任意多边形的外角和都是360°，因此用再除以n即可得出任意多边形的一个外角度数；
（2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数互补，因此分别计算出各多边形的内角度数后再分析即可得出答案；
（3）先利用正多边形任一内角公式，求出正五边形的内角∠BCD=108°，然后结合等腰三角形的性质以及邻补角的定义，计算出∠BCF=∠BFC=72°，最后根据三角形内角和计算即可得出∠CBF的度数。
24．中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶．
（1）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值．
（2）在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？
【答案】（1）解：根据题意列方程得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
答：的值为．
（2）解：设安排工人x人，则：
，
解得：，
∵x为整数，
∴x可取，，，
故有三种方案：
方案一：安排工人人，机器人人；
方案二：安排工人人，机器人人；
方案三：安排工人人，机器人人．
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；列一元一次不等式组；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）提高采茶速度后，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是分钟，一个工人采600片茶叶所用时间是，而“一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍”，列关于a的分式方程，求出a之后进行检验即可；
（2）依据“ 工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍 ”，列出不等式20-x＜2x，“ 每分钟合采茶叶的总片数不低于710片 ”，列式，综合求出x的取值范围后取整数即可得出答案。
（1）解：根据题意列方程得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
答：的值为．
（2）解：设安排工人x人，则：
，
解得：，
∵x为整数，
∴x可取，，，
故有三种方案：
方案一：安排工人人，机器人人；
方案二：安排工人人，机器人人；
方案三：安排工人人，机器人人．
25．在数学课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，分别为上的动点（不与端点重合），且．
（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请证明小颜的结论；
（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是平行四边形；
（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，连接，请直接写出的最小值．
【答案】（1）证明：为等边三角形，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
在和中，
，
，
。
（2）解：四边形为平行四边形；理由如下：
，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为平行四边形。
（3）
【知识点】平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（3）解：的最小值为．理由如下：
，
∴
在中，
由勾股定理得：，
如图所示，将绕点B逆时针旋转到，连接，
则，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
当点P，M，C三点共线时，，此时的值最小，
如图所示，过点P作延长线于点Q，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值舍去），
，
在中，
由勾股定理得：，
的最小值为．
【分析】（1）根据等边三角的性质和旋转的性质，综合得出，此时结合条件利用SAS证明，从而得出MN=DB；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质综合得出，由“内错角相等、两直线平行”得出，此时利用SAS证明，从而得出，利用“直角三角形锐角互余”以及等量代换可得，再由“内错角相等、两直线平行”可得，最后根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得证；
（3）先结合等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求出，做辅助线后，结合平行线的判定以及平行四边形的判定方法，可得四边形是平行四边形，通过计算并利用SAS证明，得到，则，分析得出，当点P，M，C三点共线时，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得求出的长，则可求出，在中，由勾股定理可得的长，由此即可求解．
（1）证明：为等边三角形，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形；理由如下：
，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为平行四边形；
（3）解：的最小值为．理由如下：
，
在ABC中，
由勾股定理得：，
，
如图所示，将绕点B逆时针旋转到，连接，
则，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
当点P，M，C三点共线时，，此时的值最小，
如图所示，过点P作延长线于点Q，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值舍去），
，
在中，
由勾股定理得：，
的最小值为．
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