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广西壮族自治区钦州市2024-2025学年下学期期末考试 八年级 数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列函数是一次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、，其中的次数为2，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意；
B、，符合的形式（，），且，因此是一次函数，故本选项符合题意；
C、，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意；
D、，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】形如“y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)”的函数就是一次函数，据此逐一判断得出答案.
2．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为：A。
【分析】本二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数。本题根据二次根式即可列式，然后解不等式求出的取值范围即可得出答案．
3．边长为下列各组数的三角形中，是直角三角形的是（　　）
A． B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，12，16
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，因此无法构成直角三角形；
B、，因此无法构成直角三角形；
C、，可以构成直角三角形；
D、，因此无法构成直角三角形；
故答案为：C．
【分析】本题结合勾股定理的逆定理，即较小两边的平方和是否等于最长边的平方，据此逐项计算检验即可得出答案。
4．如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（　　）
A．10 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，点D为斜边上的中点，
∴；
故答案为：C．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）分析求解即可.
5．甲、乙、丙、丁四种小麦的平均苗高都是，方差分别是，，，，则小麦长势最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：从条件可知，，
小麦长势最稳定的是丁，
故答案为：D．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，稳定性也越小；方差越小，稳定性越好。本题根据方差的意义先比较方差的大小，即可得出结论。
6．如图，矩形的对角线与相交于点，若点E是的中点，且，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，AC和BD为对角线，
∴O为BD中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：C．
【分析】此题先根据矩形的性质得出O为BD中点，然后结合条件得出是的中位线，最后根据三角形中位线定理即可得出答案。
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法；同类项的概念；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与非同类项，无法合并，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误，
故答案为：C．
【分析】本题根据同类项的定义与合并法则，即可判断A选项；结合二次根式的除法法则即可判断B选项；结合二次根式的化简与减法计算法则即可判断C选项；结合二次根式的乘法法则即可判断D选项。
8．如图， 在中，的平分线交于点E， 若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，且平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】本题先根据平行四边形的性质，即“对边分别平行”，得出，，然后根据“两直线平行、内错角相等、同旁内角互补”，从而得到，再结合角平分线的定义计算出，最后计算即可得出答案．
9．如图，认真观察作图的过程，点表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如图：
由数轴得，
则，
∵点在原点的左侧，
∴点表示的实数是，
故答案为：B。
【分析】本题结合图形，利用勾股定理列式求出，再根据点在原点的左侧，即可得出所表示的数为负数，从而得出答案。
10．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移3个单位得到一个正比例函数图象，则m的值为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】正比例函数的概念；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原一次函数为，向下平移3个单位后，解析式变为．
∵平移后是正比例函数，
∴，
解得．
故答案为：A。
【分析】本题先结合平移的特点，即“左加右减、上加下减”，计算得出平移后的函数解析式，然后结合正比例函数的概念，即常数项为0，从而列式，计算出m即可。
11．如图，已知某广场菱形花坛的边长是，， 则花坛的面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设交点为O，如图
∵四边形是边长为的菱形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题根据菱形的性质，即“菱形的对角线平分对应角”得出∠BOA=30°，“菱形的对角线互相垂直平分”得出AC⊥BD、，然后结合“含的直角三角形的性质”得出OB=2m，此时可以利用勾股定理求出，进而得到BD=4m、，最后根据菱形的面积公式计算即可．
12．如图，直线与轴交于点， 下列叙述正确的是（　　）
A．直线经过第四象限
B．
C．关于x的不等式的 的解集为
D．若点和是直线上的两点， 则
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故A选项错误；
∵直线图象与y轴的交点位于x轴上方，∴，故B错误；
∵直线与x轴交于点，∴当，即直线的图象在x轴下方，因此时，即关于x的不等式 的解集为，故C正确；
直线经过第第一、二、三象限，即y随x的增大而增大．∵，∴，故D错误．
故答案为：C．
【分析】本题从函数图象可以直接判断A；由一次函数的图象可直接得出，即可判断B；由结合图形分析得出直线的图象在x轴下方，此时为，可得出解集x＜-2，从而判断C；由一次函数的增减性质，即可判断D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上．）
13．计算的结果是　 　．
【答案】3
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：=3，
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的性质，，直接求解即可．
14．某学生的数学总评成绩由作业（），期中考试（）和期末考试（）组成．该生作业得90分，期中考试得90分，期末考试得80分，则他的总评成绩是　 　分．
【答案】84
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分），
即总评成绩是84分。
故答案为：84．
【分析】本题结合条件，利用加权平均数的公式列式计算即可得出答案。
15．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，∠ACB=45°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-35°=55°，
∴。
故答案为： ．
【分析】本题先根据正方形的性质得到，∠ACB=45°，然后计算出∠EBC=55°，最后根据三角形内角和定理计算即可求出。
16．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为　 　．
【答案】10
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∵，，
∴，
由轴对称的性质可知，，，
∵轴，轴轴，
∴轴，轴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
由轴对称的性质可知，，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为10，
故答案为：10．
【分析】本题结合对称性以及将军饮马原理作出辅助线后，先确定OA=6，然后得出四边形是矩形，从而得出AC=8，接着利用勾股定理可得=10，然后根据轴对称的性质可得，分析得出当点共线时，的值最小，从而得出答案。
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平方差公式及应用；最简二次根式；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将二次根式化简，即，然后合并同类项进行计算即可；
（2）先计算乘法，利用平方差公式和二次根式的乘法计算法则计算得出，接着计算化简即可。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．实践与操作：如图，在中，．
（1）作的垂直平分线，交于点，交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，若，时，求的长．
【答案】（1）解：如图，点P为所作；
；
（2）解：∵，，
在中，，
∵的垂直平分线，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以AB两点为圆心、大于长为半径画弧，交AB两侧于两点，连接这两点并向两端延长即可；
（2）在中，利用勾股定理求得，再利用线段垂直平分线的性质，即“垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等”即可得出答案．
（1）解：如图，点P为所作；
；
（2）解：∵，，
在中，，
∵的垂直平分线，
∴．
19．人工智能（简称AI）旨在让机器能够模拟、延伸和扩展人类的智能，具备学习、推理、解决问题、感知环境、语言理解与生成等能力，以实现与人类相似的智能决策和行为．
某校为了解学生对“人工智能”的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组（：，：，：，：）．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的测试成绩是： 66，67，73，77，78，86， 87，94，94，98．
八年级10名学生的测试成绩在C组中的数据是：82，84，87．
七、八年级抽取的学生测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 82 b
众数 a 95
八年级抽取的学生测试成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，_____；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级对“人工智能”更加关注与了解 请说明理由；
（3）该校七年级有1000名学生、八年级有900名学生参加了此次问卷测试，请估计参加此次测试成绩不低于 90分的学生人数．
【答案】（1）94，85.5，40；
（2）解：八年级对“人工智能”更加关注与了解．
理由：从平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，所以八年级学生对“人工智能”更加关注与了解；
（3）解：（人）．
答：估计参加此次测试成绩不低于90分的学生有660人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵七年级10名学生的测试成绩中，出现的次数最多的是94，
；
八年级组的人数为：（人），
，
，
将八年级 10 名学生成绩从小到大排列后，第个数分别是84和87，
；
故答案为：（1）94，85.5，40；
【分析】（1）先结合众数的定义，结合七年级10名学生的成绩即可得出a=94，然后结合扇形统计图求出八年级组的人数为4人，并按照百分比计算即可求出c=40；最后结合中位数的定义分析得出，八年级在C组和D组的成绩一个有6个，因此第个数的平均数就是中位数，计算即可求出b=85.5；
（2）根据中位数和众数的意义进行分析即可；
（3）结合条件，用七，八年级的学生人数，分别乘以比赛成绩不低于90分的学生人数的占比，最后相加即可得出答案．
（1）解：∵七年级10名学生的测试成绩是：66，67，73，77，78，86，87，94，94，98，94出现的次数最多，
；
∵将八年级 10 名学生成绩从小到大排列后，第个数分别是，根据中位数定义，中位数，
；
八年级组的人数为：
（人），
，
，
故答案为：94，85.5，40；
（2）解：八年级对“人工智能”更加关注与了解．
理由：从平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，所以八年级学生对“人工智能”更加关注与了解；
（3）解：（人）．
答：估计参加此次测试成绩不低于90分的学生有660人．
20．随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入=销售量×单价）：
　 线上销售水果量（单位：kg） 线下销售水果量（单位：kg） 总收入（单位：元）
第一批 60 50 1470
第二批 60 40 1320
（1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少元/kg
（2）若某公司计划从该地采购该水果900kg，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少kg水果时最省钱
【答案】（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元；
（2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，
根据题意得：，
解得：．
设该公司采购该水果共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值．
，
答：当线下采购该水果时最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用总收入销售单价销售数量，结合第一、二两批该水果的线上线下销售量和总收入，分别列出方程60x+50y=1470、60x+40y=1320，此时得出关于，的二元一次方程组，求解x和y即可；
（2）根据“线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的”，可列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围；设该公司采购该水果共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式并化简得到，再利用一次函数的性质即可得出答案。
（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元；
（2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，
根据题意得：，
解得：．
设该公司采购该水果共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值．
，
答：当线下采购该水果时最省钱．
21．阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离 例如： 若点，，则
根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知点，， 求A，B两点间的距离；
（2）已知点，，， 判断的形状．
【答案】（1）解：根据题意，得.
（2）解：根据题意，得，，，∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】本题以平面直角坐标系为载体，核心考查两点间距离公式的应用，以及勾股定理逆定理的实际运用.
（1）直接套用两点间距离公式，将点A、B的坐标代入公式，通过计算即可求出A，B两点的距离；
（2）先利用两点间距离公式，分别计算出三角形CDE三边，，的长度，再根据勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“两短边的平方和等于最长边的平方”，从而判断三角形的形状.
（1）解：根据题意，得；
（2）解：根据题意，得，，，
∴，
∴是直角三角形．
22．阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题．
材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表：
气温（） 0 10 20 30
声速 325 331 337 343 349
材料二：声音的频率（）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是．
材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：．
（1）当气温为时，声速为________；当声速为时， 气温为______；
（2）根据材料一中的表格数据，求声速（v）与气温（t）之间函数的解析式（不要求写出t的取值范围）；
（3）目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长．
【答案】（1）337；30
（2）解：根据表格信息，声速随着气温的增大而增大，且气温的增长幅度与声速的增长幅度相同，
∴ 气温与声速为一次函数关系，
设声速（）与气温（）的函数关系为，
把代入，
，
解得，，
∴声速（）与气温（）的函数关系为。
（3）解：由（2）可知声速（）与气温（）的函数关系为，
∴室温为时，，
∵声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：，
∴，
∴钢琴标准音的波长为．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：从表中可知，当气温为时，声速为；当声速为时， 气温为；
故答案为：（1）337；30；
【分析】（1）根据表格信息分别找出气温为时对应的声速为；声速为时对应的气温为，从而得出答案；
（2）结合表中信息可知，气温每增加10℃，声速则增加9m/s，但气温为0时，声速为331m/s，因此可以假设声速（）与气温（）的函数关系为，运用待定系数法把代入即可求出函数关系式；
（3）结合（2）的计算结果，将t=23℃代入计算求出，再根据代入计算即可。
（1）解：根据题意，当气温为时，声速为，
当声速为时， 气温为；
故答案为：337；30；
（2）解：根据表格信息，声速随着气温的增大而增大，
∴ 选择一次函数，
∴设声速（）与气温（）的函数关系为，
把代入，
，
解得，，
∴声速（）与气温（）的函数关系为，
当时，，符合题意；
（3）解：由（2）可知声速（）与气温（）的函数关系为，
∴室温为时，，
∵声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：，
∴，
∴钢琴标准音的波长为．
23．在矩形纸片中，， 点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E 处．
【初步认识】
（1）如图1，折痕的端点P与点A 重合．
①当时， ______；
②若点 E 恰好在线段上，求的长；
【深入思考】
（2）如图2， 点E恰好落在边上．过点E作交于点F， 连接．根据题意，补全图2并证明四边形是菱形；
【拓展提升】
（3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）①；
②当点恰好在线段上时，如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长；
（）补图如下：
证明：∵，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）或．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；分类讨论
【解析】【解答】解：（）①∵，
∴，
∴=71°，
故答案为：（）①；
（）由折叠可知，，设，则，
①当时，
在中，，
解得，
∴；
②当时，过点作交于，
则，，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上，线段的长为或．
【分析】（1）①由邻补角性质计算出，进而由折叠性质即可得出答案；
②先结合矩形的性质得出，，，然后由折叠的性质以及勾股定理，列式计算得出，在中利用勾股定理列出方程，求解x即可；
（2）结合条件先补全图形，然后利用“两直线平行、内错角相等”得出，利用折叠的性质以及等腰三角形的判断及性质，综合得出，此时即可得出是平行四边形，再由，即“临边相等的平行四边形是菱形”即可求证；
（3）分和两种情况，利用折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质，列式计算即可求解．
1 / 1广西壮族自治区钦州市2024-2025学年下学期期末考试 八年级 数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列函数是一次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．边长为下列各组数的三角形中，是直角三角形的是（　　）
A． B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，12，16
4．如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（　　）
A．10 B．3 C．5 D．4
5．甲、乙、丙、丁四种小麦的平均苗高都是，方差分别是，，，，则小麦长势最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，矩形的对角线与相交于点，若点E是的中点，且，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．4
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图， 在中，的平分线交于点E， 若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，认真观察作图的过程，点表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移3个单位得到一个正比例函数图象，则m的值为（　　）
A．2 B． C． D．3
11．如图，已知某广场菱形花坛的边长是，， 则花坛的面积等于（　　）
A． B． C． D．
12．如图，直线与轴交于点， 下列叙述正确的是（　　）
A．直线经过第四象限
B．
C．关于x的不等式的 的解集为
D．若点和是直线上的两点， 则
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上．）
13．计算的结果是　 　．
14．某学生的数学总评成绩由作业（），期中考试（）和期末考试（）组成．该生作业得90分，期中考试得90分，期末考试得80分，则他的总评成绩是　 　分．
15．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，，若，则的度数为　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．实践与操作：如图，在中，．
（1）作的垂直平分线，交于点，交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，若，时，求的长．
19．人工智能（简称AI）旨在让机器能够模拟、延伸和扩展人类的智能，具备学习、推理、解决问题、感知环境、语言理解与生成等能力，以实现与人类相似的智能决策和行为．
某校为了解学生对“人工智能”的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组（：，：，：，：）．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的测试成绩是： 66，67，73，77，78，86， 87，94，94，98．
八年级10名学生的测试成绩在C组中的数据是：82，84，87．
七、八年级抽取的学生测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 82 b
众数 a 95
八年级抽取的学生测试成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，_____；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级对“人工智能”更加关注与了解 请说明理由；
（3）该校七年级有1000名学生、八年级有900名学生参加了此次问卷测试，请估计参加此次测试成绩不低于 90分的学生人数．
20．随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入=销售量×单价）：
　 线上销售水果量（单位：kg） 线下销售水果量（单位：kg） 总收入（单位：元）
第一批 60 50 1470
第二批 60 40 1320
（1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少元/kg
（2）若某公司计划从该地采购该水果900kg，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少kg水果时最省钱
21．阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离 例如： 若点，，则
根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知点，， 求A，B两点间的距离；
（2）已知点，，， 判断的形状．
22．阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题．
材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表：
气温（） 0 10 20 30
声速 325 331 337 343 349
材料二：声音的频率（）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是．
材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：．
（1）当气温为时，声速为________；当声速为时， 气温为______；
（2）根据材料一中的表格数据，求声速（v）与气温（t）之间函数的解析式（不要求写出t的取值范围）；
（3）目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长．
23．在矩形纸片中，， 点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E 处．
【初步认识】
（1）如图1，折痕的端点P与点A 重合．
①当时， ______；
②若点 E 恰好在线段上，求的长；
【深入思考】
（2）如图2， 点E恰好落在边上．过点E作交于点F， 连接．根据题意，补全图2并证明四边形是菱形；
【拓展提升】
（3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、，其中的次数为2，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意；
B、，符合的形式（，），且，因此是一次函数，故本选项符合题意；
C、，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意；
D、，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】形如“y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)”的函数就是一次函数，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为：A。
【分析】本二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数。本题根据二次根式即可列式，然后解不等式求出的取值范围即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，因此无法构成直角三角形；
B、，因此无法构成直角三角形；
C、，可以构成直角三角形；
D、，因此无法构成直角三角形；
故答案为：C．
【分析】本题结合勾股定理的逆定理，即较小两边的平方和是否等于最长边的平方，据此逐项计算检验即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，点D为斜边上的中点，
∴；
故答案为：C．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：从条件可知，，
小麦长势最稳定的是丁，
故答案为：D．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，稳定性也越小；方差越小，稳定性越好。本题根据方差的意义先比较方差的大小，即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，AC和BD为对角线，
∴O为BD中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：C．
【分析】此题先根据矩形的性质得出O为BD中点，然后结合条件得出是的中位线，最后根据三角形中位线定理即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法；同类项的概念；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与非同类项，无法合并，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误，
故答案为：C．
【分析】本题根据同类项的定义与合并法则，即可判断A选项；结合二次根式的除法法则即可判断B选项；结合二次根式的化简与减法计算法则即可判断C选项；结合二次根式的乘法法则即可判断D选项。
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，且平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】本题先根据平行四边形的性质，即“对边分别平行”，得出，，然后根据“两直线平行、内错角相等、同旁内角互补”，从而得到，再结合角平分线的定义计算出，最后计算即可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如图：
由数轴得，
则，
∵点在原点的左侧，
∴点表示的实数是，
故答案为：B。
【分析】本题结合图形，利用勾股定理列式求出，再根据点在原点的左侧，即可得出所表示的数为负数，从而得出答案。
10．【答案】A
【知识点】正比例函数的概念；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原一次函数为，向下平移3个单位后，解析式变为．
∵平移后是正比例函数，
∴，
解得．
故答案为：A。
【分析】本题先结合平移的特点，即“左加右减、上加下减”，计算得出平移后的函数解析式，然后结合正比例函数的概念，即常数项为0，从而列式，计算出m即可。
11．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设交点为O，如图
∵四边形是边长为的菱形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题根据菱形的性质，即“菱形的对角线平分对应角”得出∠BOA=30°，“菱形的对角线互相垂直平分”得出AC⊥BD、，然后结合“含的直角三角形的性质”得出OB=2m，此时可以利用勾股定理求出，进而得到BD=4m、，最后根据菱形的面积公式计算即可．
12．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故A选项错误；
∵直线图象与y轴的交点位于x轴上方，∴，故B错误；
∵直线与x轴交于点，∴当，即直线的图象在x轴下方，因此时，即关于x的不等式 的解集为，故C正确；
直线经过第第一、二、三象限，即y随x的增大而增大．∵，∴，故D错误．
故答案为：C．
【分析】本题从函数图象可以直接判断A；由一次函数的图象可直接得出，即可判断B；由结合图形分析得出直线的图象在x轴下方，此时为，可得出解集x＜-2，从而判断C；由一次函数的增减性质，即可判断D．
13．【答案】3
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：=3，
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的性质，，直接求解即可．
14．【答案】84
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分），
即总评成绩是84分。
故答案为：84．
【分析】本题结合条件，利用加权平均数的公式列式计算即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，∠ACB=45°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-35°=55°，
∴。
故答案为： ．
【分析】本题先根据正方形的性质得到，∠ACB=45°，然后计算出∠EBC=55°，最后根据三角形内角和定理计算即可求出。
16．【答案】10
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∵，，
∴，
由轴对称的性质可知，，，
∵轴，轴轴，
∴轴，轴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
由轴对称的性质可知，，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为10，
故答案为：10．
【分析】本题结合对称性以及将军饮马原理作出辅助线后，先确定OA=6，然后得出四边形是矩形，从而得出AC=8，接着利用勾股定理可得=10，然后根据轴对称的性质可得，分析得出当点共线时，的值最小，从而得出答案。
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平方差公式及应用；最简二次根式；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将二次根式化简，即，然后合并同类项进行计算即可；
（2）先计算乘法，利用平方差公式和二次根式的乘法计算法则计算得出，接着计算化简即可。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：如图，点P为所作；
；
（2）解：∵，，
在中，，
∵的垂直平分线，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以AB两点为圆心、大于长为半径画弧，交AB两侧于两点，连接这两点并向两端延长即可；
（2）在中，利用勾股定理求得，再利用线段垂直平分线的性质，即“垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等”即可得出答案．
（1）解：如图，点P为所作；
；
（2）解：∵，，
在中，，
∵的垂直平分线，
∴．
19．【答案】（1）94，85.5，40；
（2）解：八年级对“人工智能”更加关注与了解．
理由：从平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，所以八年级学生对“人工智能”更加关注与了解；
（3）解：（人）．
答：估计参加此次测试成绩不低于90分的学生有660人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵七年级10名学生的测试成绩中，出现的次数最多的是94，
；
八年级组的人数为：（人），
，
，
将八年级 10 名学生成绩从小到大排列后，第个数分别是84和87，
；
故答案为：（1）94，85.5，40；
【分析】（1）先结合众数的定义，结合七年级10名学生的成绩即可得出a=94，然后结合扇形统计图求出八年级组的人数为4人，并按照百分比计算即可求出c=40；最后结合中位数的定义分析得出，八年级在C组和D组的成绩一个有6个，因此第个数的平均数就是中位数，计算即可求出b=85.5；
（2）根据中位数和众数的意义进行分析即可；
（3）结合条件，用七，八年级的学生人数，分别乘以比赛成绩不低于90分的学生人数的占比，最后相加即可得出答案．
（1）解：∵七年级10名学生的测试成绩是：66，67，73，77，78，86，87，94，94，98，94出现的次数最多，
；
∵将八年级 10 名学生成绩从小到大排列后，第个数分别是，根据中位数定义，中位数，
；
八年级组的人数为：
（人），
，
，
故答案为：94，85.5，40；
（2）解：八年级对“人工智能”更加关注与了解．
理由：从平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，所以八年级学生对“人工智能”更加关注与了解；
（3）解：（人）．
答：估计参加此次测试成绩不低于90分的学生有660人．
20．【答案】（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元；
（2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，
根据题意得：，
解得：．
设该公司采购该水果共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值．
，
答：当线下采购该水果时最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用总收入销售单价销售数量，结合第一、二两批该水果的线上线下销售量和总收入，分别列出方程60x+50y=1470、60x+40y=1320，此时得出关于，的二元一次方程组，求解x和y即可；
（2）根据“线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的”，可列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围；设该公司采购该水果共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式并化简得到，再利用一次函数的性质即可得出答案。
（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元；
（2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，
根据题意得：，
解得：．
设该公司采购该水果共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值．
，
答：当线下采购该水果时最省钱．
21．【答案】（1）解：根据题意，得.
（2）解：根据题意，得，，，∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】本题以平面直角坐标系为载体，核心考查两点间距离公式的应用，以及勾股定理逆定理的实际运用.
（1）直接套用两点间距离公式，将点A、B的坐标代入公式，通过计算即可求出A，B两点的距离；
（2）先利用两点间距离公式，分别计算出三角形CDE三边，，的长度，再根据勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“两短边的平方和等于最长边的平方”，从而判断三角形的形状.
（1）解：根据题意，得；
（2）解：根据题意，得，，，
∴，
∴是直角三角形．
22．【答案】（1）337；30
（2）解：根据表格信息，声速随着气温的增大而增大，且气温的增长幅度与声速的增长幅度相同，
∴ 气温与声速为一次函数关系，
设声速（）与气温（）的函数关系为，
把代入，
，
解得，，
∴声速（）与气温（）的函数关系为。
（3）解：由（2）可知声速（）与气温（）的函数关系为，
∴室温为时，，
∵声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：，
∴，
∴钢琴标准音的波长为．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：从表中可知，当气温为时，声速为；当声速为时， 气温为；
故答案为：（1）337；30；
【分析】（1）根据表格信息分别找出气温为时对应的声速为；声速为时对应的气温为，从而得出答案；
（2）结合表中信息可知，气温每增加10℃，声速则增加9m/s，但气温为0时，声速为331m/s，因此可以假设声速（）与气温（）的函数关系为，运用待定系数法把代入即可求出函数关系式；
（3）结合（2）的计算结果，将t=23℃代入计算求出，再根据代入计算即可。
（1）解：根据题意，当气温为时，声速为，
当声速为时， 气温为；
故答案为：337；30；
（2）解：根据表格信息，声速随着气温的增大而增大，
∴ 选择一次函数，
∴设声速（）与气温（）的函数关系为，
把代入，
，
解得，，
∴声速（）与气温（）的函数关系为，
当时，，符合题意；
（3）解：由（2）可知声速（）与气温（）的函数关系为，
∴室温为时，，
∵声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：，
∴，
∴钢琴标准音的波长为．
23．【答案】（1）①；
②当点恰好在线段上时，如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长；
（）补图如下：
证明：∵，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）或．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；分类讨论
【解析】【解答】解：（）①∵，
∴，
∴=71°，
故答案为：（）①；
（）由折叠可知，，设，则，
①当时，
在中，，
解得，
∴；
②当时，过点作交于，
则，，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上，线段的长为或．
【分析】（1）①由邻补角性质计算出，进而由折叠性质即可得出答案；
②先结合矩形的性质得出，，，然后由折叠的性质以及勾股定理，列式计算得出，在中利用勾股定理列出方程，求解x即可；
（2）结合条件先补全图形，然后利用“两直线平行、内错角相等”得出，利用折叠的性质以及等腰三角形的判断及性质，综合得出，此时即可得出是平行四边形，再由，即“临边相等的平行四边形是菱形”即可求证；
（3）分和两种情况，利用折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质，列式计算即可求解．
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