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广东省清远市英德市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量x（元）所在的范围为（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　）
A． B． C．(3，3) D．(3，7)
4．不等式在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（　　）
A． B． C． D．
6．若，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是（　　）
A．a(a-4) B．(a+2)(a-2) C．a(a+2)(a-2) D．(a-2)2-4
8．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知一次函数b的图象如图所示，不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于
A．44° B．68° C．46° D．22°
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．如果一个多边形的内角和为720°，那么它的边数是　 　．
13．如图，在中，是中位线，，那么　 　；
14．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是　 　．
15．如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分．
16．解方程：．
17．如图，在中，的平分线交于点E，过点D作的平行线交于点F，求的度数．
18．如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．先化简，再求值：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式
解：原式
（1）甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_________；（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
20．目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示：
进价 售价
A模型 20元 30元
B模型 30元 45元
（1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？
（2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润．
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
（1）操作与实践：
①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；
②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
（2）应用与求解：
将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°．
探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺．
如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明．
解：设有x个正五边形．
因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则，解得（不符合题意）．
所以正五边形不可以共顶点单一密铺．
（1）问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明．
（2）问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由．
探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺．
（3）问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由．
（4）问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计方案，并说明理由．
23．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
【初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为___________，长为___________．
【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
（1）的度数为___________，的度数为___________；
（2）求证：点为线段的中点．
【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：由题意得，．
故选B．
【分析】由“橘子的质量不少于25克且不够35克”，建立不等式即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为 （3，5+2），即：(3，7).
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系内点的移动与坐标的变化规律“左减右加，上加下减”，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴在数轴上表示为，
故选：C．
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转角的定义，，，都可以表示旋转角，不是旋转角；
故选：D．
【分析】根据旋转性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若a＞b，则-a＜-b，3-a＜3-b，故A正确；
B、若a＞b，则a-b＞0，故B错误；
C、若a＞b，但a，b的符号无法确定，则无法确定ab的正负，故C错误；
D、若a＞b，则3a＞3b，故D错误；
故答案为：A．
【分析】根据不等式的基本性质对每个选逐一进行分析判断即可．
7．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2-4a=a（a-4）．
故答案为：A
【分析】观察此多项式，含有公因式a，利用提取公因式法分解即可。
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由 ABCD的性质及图形可知：
A、∠1和∠2是邻补角，故∠1+∠2=180°，正确；
B、因为AD∥BC，所以∠2+∠3=180°，正确；
C、因为AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，正确；
D、根据平行四边形的对角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正确；
故选：D．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、内错角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：一次函数与x轴交点坐标为，
∴不等式的解集是．
故选：C．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵∠A=44°，AB=AC
∴∠B=∠C=68°
∵∠BDC=90°
∴∠DCB=22°．
故答案为：D．
【分析】根据等边对等角及三角形和定理可得∠B=∠C，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
11．【答案】x≠4
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式 有意义，则分母不为0，
可得，x-4≠0，
解得x≠4，
故答案为：x≠4．
【分析】根据题意求出x-4≠0，再求解即可。
12．【答案】六
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设它的边数为n，根据题意，得，
解得，
所以这是一个六边形．
故答案为：六．
【分析】根据多边形内角和定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
故答案为：10．
【分析】本题根据“三角形的中位线平行且等于第三边的一半”，结合条件“ 在中，是中位线， ”，列式计算即可得出答案。
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：在四边形中，，，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
可添加的条件是：；
在四边形中，
，
∴四边形是平行四边形；
∴可添加条件；
故答案是：（答案不唯一）.
【分析】根据平行四边形判定定理即可求出答案.
15．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
，，平分，，
，
．
故答案为：6．
【分析】先根据角平分线的性质定理求得DE，再利用三角形的面积公式求解．
16．【答案】解：，
去分母，得：，
解得：；
经检验，是原方程的解，
∴方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
17．【答案】解： ，
平分

【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质求出∠ADC的度数，再利用角平分线的定义可得∠EBC的度数，再利用平行线的性质求出∠CDF的度数即可.
18．【答案】解：连接AB，分别以A和B为圆心，以大于为半径的两弧交于点E和F，
作直线EF，与河岸交于点C，如图，则码头应建在点C处．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】连接AB，分别以A和B为圆心，以大于为半径的两弧交于点E和F，作直线EF，与河岸交于点C，点C即为所求.
19．【答案】（1）②；③
（2）解： 若选择甲同学的解法：
；
若选择乙同学的解法：
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的基本性质；分式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：②；③，理由如下：
甲同学把括号里面的分式进行通分，变成同分母的分式，那么应用的是分式的基本性质，
乙同学把括号里面的每个分式都乘以括号外面的分式，那么可知乙同学应用的是乘法分配律．
故答案为：②；③；
【分析】（1）根据分式的性质及乘法分配律即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简计算即可求出答案.
（1）解：②；③，理由如下：
甲同学把括号里面的分式进行通分，变成同分母的分式，那么应用的是分式的基本性质，
乙同学把括号里面的每个分式都乘以括号外面的分式，那么可知乙同学应用的是乘法分配律．
故答案为：②；③；
（2）解： 若选择甲同学的解法：
；
若选择乙同学的解法：
．
20．【答案】（1）解：设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型
由题意可得：200-x≤2x
解得：
∵x为正整数
∴x的最小值为67
∴该航模店至少购进x个A款飞机模型
（2）解：由题意可得：200-x≥x
解得：x≤100
∵，且x为正整数
∴67≤x≤100
设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元
∴y=(30-20)x+(45-30-2)(200-x)=-3x+2600
∵-3<0
∴y随x的增大而减小
所以当x=67时，y取得最大值，最大值为2399
∴ 航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润为2399元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据B模型的数量不少于A模型的数量建立不等式，解不等式可得67≤x≤100，设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
21．【答案】（1）解：①如图，即为所求．
②如图，即为所求．
（2）解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，
∴旋转中心M的坐标为．
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）①根据旋转性质作图即可.
②根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质即可求出答案.
（1）解：①如图，即为所求．
②如图，即为所求．
（2）解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，
∴旋转中心M的坐标为．
22．【答案】（1）解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺，
设有x个正三角形，
∵正三角形的每个内角为，
∴，
解得：，
∴6个正三角形可以共顶点单一密铺.
（2）解：4个正方形可以共顶点单一密铺，
设有x个正方形，
∵正方形的每个内角为，
∴，
解得：，
∴4个正方可以共顶点单一密铺；
（3）解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形，
设有x个正三角形，y个正六边形，
∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为，
则，
当时，，
当时，，
∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形；
（4）解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形，
设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，
∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为，
∴，
∴当时符合题意，
∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形．
【知识点】二元一次方程的解；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）利用镶嵌、密铺的计算方法（判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能）分析求解，设有x个正三角形，y个正六边形，再列出方程求解即可；
（2）利用镶嵌、密铺的计算方法（判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能）分析求解，设有x个正方形，再列出方程求解即可；
（3）利用镶嵌、密铺的计算方法分析求解，设有x个正三角形，y个正六边形，再列出方程求解即可；
（4）利用镶嵌、密铺的计算方法分析求解，设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，再列出方程求解即可.
（1）解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺，
设有x个正三角形，
∵正三角形的每个内角为，
∴，
解得：，
∴6个正三角形可以共顶点单一密铺；
（2）解：4个正方形可以共顶点单一密铺，
设有x个正方形，
∵正方形的每个内角为，
∴，
解得：，
∴4个正方可以共顶点单一密铺；
（3）解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形
设有x个正三角形，y个正六边形，
∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为，
则，
当时，，
当时，，
∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形；
（4）解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形，
设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，
∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为，
∴，
∴当时符合题意，
∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形．
23．【答案】初识图形：2，4，
深度探析：（1），；
（2）证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
拓展探究：或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：初识图形：连接，，如图所示：
在和中，，，．
，，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
故答案为：2，4，
深度探析：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
综上，或或．
【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题需结合旋转特点和图形性质逐步推导。
初识图形：在中，，，故；因点E在上，，故，且，为等边三角形，所以；，在中，，由勾股定理得。
深度探析(1)因，，故；又，故，；因，故，则；，故。
(2)延长、交于点H，因，故，又，故；因，故，结合，，可证，故，即F为中点。
拓展探究：分三种情况，①当时，由初识图形可知；②当点E在延长线上时，；③当在延长线上时，为等边三角形，，，，由勾股定理得，故的长为2、6或。
1 / 1广东省清远市英德市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断即可.
2．甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量x（元）所在的范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：由题意得，．
故选B．
【分析】由“橘子的质量不少于25克且不够35克”，建立不等式即可求出答案.
3．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　）
A． B． C．(3，3) D．(3，7)
【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为 （3，5+2），即：(3，7).
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系内点的移动与坐标的变化规律“左减右加，上加下减”，即可得出答案.
4．不等式在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴在数轴上表示为，
故选：C．
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
5．如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转角的定义，，，都可以表示旋转角，不是旋转角；
故选：D．
【分析】根据旋转性质即可求出答案.
6．若，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若a＞b，则-a＜-b，3-a＜3-b，故A正确；
B、若a＞b，则a-b＞0，故B错误；
C、若a＞b，但a，b的符号无法确定，则无法确定ab的正负，故C错误；
D、若a＞b，则3a＞3b，故D错误；
故答案为：A．
【分析】根据不等式的基本性质对每个选逐一进行分析判断即可．
7．把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是（　　）
A．a(a-4) B．(a+2)(a-2) C．a(a+2)(a-2) D．(a-2)2-4
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2-4a=a（a-4）．
故答案为：A
【分析】观察此多项式，含有公因式a，利用提取公因式法分解即可。
8．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由 ABCD的性质及图形可知：
A、∠1和∠2是邻补角，故∠1+∠2=180°，正确；
B、因为AD∥BC，所以∠2+∠3=180°，正确；
C、因为AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，正确；
D、根据平行四边形的对角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正确；
故选：D．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、内错角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
9．已知一次函数b的图象如图所示，不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：一次函数与x轴交点坐标为，
∴不等式的解集是．
故选：C．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
10．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于
A．44° B．68° C．46° D．22°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵∠A=44°，AB=AC
∴∠B=∠C=68°
∵∠BDC=90°
∴∠DCB=22°．
故答案为：D．
【分析】根据等边对等角及三角形和定理可得∠B=∠C，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≠4
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式 有意义，则分母不为0，
可得，x-4≠0，
解得x≠4，
故答案为：x≠4．
【分析】根据题意求出x-4≠0，再求解即可。
12．如果一个多边形的内角和为720°，那么它的边数是　 　．
【答案】六
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设它的边数为n，根据题意，得，
解得，
所以这是一个六边形．
故答案为：六．
【分析】根据多边形内角和定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．如图，在中，是中位线，，那么　 　；
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
故答案为：10．
【分析】本题根据“三角形的中位线平行且等于第三边的一半”，结合条件“ 在中，是中位线， ”，列式计算即可得出答案。
14．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：在四边形中，，，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
可添加的条件是：；
在四边形中，
，
∴四边形是平行四边形；
∴可添加条件；
故答案是：（答案不唯一）.
【分析】根据平行四边形判定定理即可求出答案.
15．如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
，，平分，，
，
．
故答案为：6．
【分析】先根据角平分线的性质定理求得DE，再利用三角形的面积公式求解．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分．
16．解方程：．
【答案】解：，
去分母，得：，
解得：；
经检验，是原方程的解，
∴方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
17．如图，在中，的平分线交于点E，过点D作的平行线交于点F，求的度数．
【答案】解： ，
平分

【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质求出∠ADC的度数，再利用角平分线的定义可得∠EBC的度数，再利用平行线的性质求出∠CDF的度数即可.
18．如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
【答案】解：连接AB，分别以A和B为圆心，以大于为半径的两弧交于点E和F，
作直线EF，与河岸交于点C，如图，则码头应建在点C处．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】连接AB，分别以A和B为圆心，以大于为半径的两弧交于点E和F，作直线EF，与河岸交于点C，点C即为所求.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．先化简，再求值：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式
解：原式
（1）甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_________；（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②；③
（2）解： 若选择甲同学的解法：
；
若选择乙同学的解法：
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的基本性质；分式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：②；③，理由如下：
甲同学把括号里面的分式进行通分，变成同分母的分式，那么应用的是分式的基本性质，
乙同学把括号里面的每个分式都乘以括号外面的分式，那么可知乙同学应用的是乘法分配律．
故答案为：②；③；
【分析】（1）根据分式的性质及乘法分配律即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简计算即可求出答案.
（1）解：②；③，理由如下：
甲同学把括号里面的分式进行通分，变成同分母的分式，那么应用的是分式的基本性质，
乙同学把括号里面的每个分式都乘以括号外面的分式，那么可知乙同学应用的是乘法分配律．
故答案为：②；③；
（2）解： 若选择甲同学的解法：
；
若选择乙同学的解法：
．
20．目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示：
进价 售价
A模型 20元 30元
B模型 30元 45元
（1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？
（2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润．
【答案】（1）解：设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型
由题意可得：200-x≤2x
解得：
∵x为正整数
∴x的最小值为67
∴该航模店至少购进x个A款飞机模型
（2）解：由题意可得：200-x≥x
解得：x≤100
∵，且x为正整数
∴67≤x≤100
设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元
∴y=(30-20)x+(45-30-2)(200-x)=-3x+2600
∵-3<0
∴y随x的增大而减小
所以当x=67时，y取得最大值，最大值为2399
∴ 航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润为2399元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据B模型的数量不少于A模型的数量建立不等式，解不等式可得67≤x≤100，设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
（1）操作与实践：
①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；
②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
（2）应用与求解：
将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标．
【答案】（1）解：①如图，即为所求．
②如图，即为所求．
（2）解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，
∴旋转中心M的坐标为．
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）①根据旋转性质作图即可.
②根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质即可求出答案.
（1）解：①如图，即为所求．
②如图，即为所求．
（2）解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，
∴旋转中心M的坐标为．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°．
探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺．
如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明．
解：设有x个正五边形．
因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则，解得（不符合题意）．
所以正五边形不可以共顶点单一密铺．
（1）问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明．
（2）问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由．
探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺．
（3）问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由．
（4）问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计方案，并说明理由．
【答案】（1）解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺，
设有x个正三角形，
∵正三角形的每个内角为，
∴，
解得：，
∴6个正三角形可以共顶点单一密铺.
（2）解：4个正方形可以共顶点单一密铺，
设有x个正方形，
∵正方形的每个内角为，
∴，
解得：，
∴4个正方可以共顶点单一密铺；
（3）解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形，
设有x个正三角形，y个正六边形，
∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为，
则，
当时，，
当时，，
∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形；
（4）解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形，
设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，
∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为，
∴，
∴当时符合题意，
∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形．
【知识点】二元一次方程的解；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）利用镶嵌、密铺的计算方法（判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能）分析求解，设有x个正三角形，y个正六边形，再列出方程求解即可；
（2）利用镶嵌、密铺的计算方法（判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能）分析求解，设有x个正方形，再列出方程求解即可；
（3）利用镶嵌、密铺的计算方法分析求解，设有x个正三角形，y个正六边形，再列出方程求解即可；
（4）利用镶嵌、密铺的计算方法分析求解，设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，再列出方程求解即可.
（1）解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺，
设有x个正三角形，
∵正三角形的每个内角为，
∴，
解得：，
∴6个正三角形可以共顶点单一密铺；
（2）解：4个正方形可以共顶点单一密铺，
设有x个正方形，
∵正方形的每个内角为，
∴，
解得：，
∴4个正方可以共顶点单一密铺；
（3）解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形
设有x个正三角形，y个正六边形，
∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为，
则，
当时，，
当时，，
∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形；
（4）解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形，
设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，
∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为，
∴，
∴当时符合题意，
∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形．
23．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
【初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为___________，长为___________．
【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
（1）的度数为___________，的度数为___________；
（2）求证：点为线段的中点．
【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】初识图形：2，4，
深度探析：（1），；
（2）证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
拓展探究：或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：初识图形：连接，，如图所示：
在和中，，，．
，，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
故答案为：2，4，
深度探析：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
综上，或或．
【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题需结合旋转特点和图形性质逐步推导。
初识图形：在中，，，故；因点E在上，，故，且，为等边三角形，所以；，在中，，由勾股定理得。
深度探析(1)因，，故；又，故，；因，故，则；，故。
(2)延长、交于点H，因，故，又，故；因，故，结合，，可证，故，即F为中点。
拓展探究：分三种情况，①当时，由初识图形可知；②当点E在延长线上时，；③当在延长线上时，为等边三角形，，，，由勾股定理得，故的长为2、6或。
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