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2026年广西南宁部分学校初中学业水平模拟考试冲刺卷 数学(二)
1．的绝对值是 （　　）
A． B． C． D．
2．下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某班同学的绘画成绩
B．了解秋季水果市场上苹果的质量情况
C．了解我省中学生的课外阅读量
D．了解某品牌某批次手机的防水能力
3．2025年，广西蔗糖产业迎来丰收年．据相关部门统计，2024-2025年榨季，广西糖料蔗种植面积1135万亩、同比增加11万亩，食糖产量646.5万吨、同比增加28.36万吨．将数“1135万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下图是一个圆柱，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．计算的结果等于（　　）
A．2 B． C． D．
6．如图，，将一把含角的直角三角板的直角顶点放在上，延长到点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．在中，，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．如图，在某城市中心花园的景观区，规划了三块正方形主题花坛，分别是种植牡丹的花坛、种植月季的花坛和种植雏菊的花坛．已知，且三块花坛沿同一直线方向依次衔接排列，则正方形DEFG的边长可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
12．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在顶点处．若刚好是等边三角形，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．
分解因式： 　 　．
14．写出一个使函数有意义的的值，则的值可以是　 　（写出一个符合要求的的值）．
15．2025年世界泳联跳水世界杯总决赛在国家游泳中心“水立方”举办．在男子双人10米跳台决赛中，共有来自中国、美国、英国、加拿大的4对选手参赛．赛后，跳水爱好者小赵计划从这4对选手中随机抽取2对的比赛录像进行回看，那么小赵恰好选中中国和英国这2对选手的概率是　 　．
16．如图，在等腰直角中，已知，是上一点，．若，则点到的距离为　 　．
17．计算、化简：
（1）；
（2）．
18．广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数图象上的点为顶点，作菱形，点在轴上，以点为圆心，长为半径作．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）则菱形的边长为______；
（3）求图中阴影部分的周长（结果保留）．
19．某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用该两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两款产品的学生用户各20名，对两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A.，B.，C.，D.）．下面给出了部分信息．
抽取的对甲款产品的所有评分数据：65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99．
抽取的对乙款产品的评分数据中组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90．
抽取的对乙款产品的评分扇形统计图
抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表
产品 中位数 众数 方差
甲 86.5 92.2
乙 89 70.6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，_____，_____；
（2）若甲、乙两款教育辅助产品的平均数都相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
20．如图，过外一点作的两条切线，，切点是，，为直径，连接．
（1）求证：；
（2），求的长．
21．学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话：
（1）根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价；
（2）由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？
22．【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
（1）【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）．
（2）【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
（3）【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）．
23．【对等角六边形】定义：在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”．
（1）如图1，对等角六边形的对边，的位置关系是_____；
（2）如图2，六边形是对等角六边形，若，求证：．
（3）如图3，在对等角六边形中，对角线交于点，已知，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵是负数，根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数．
∴它的绝对值是其相反数；
故答案为：D．
【分析】利用绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的相反数是0）分析求解即可.
2．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、因为某班同学人数有限，因此进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的绘画成绩，适合全面调查；
B、如果对秋季水果市场上苹果的质量进行全面调查，这样成本过高且检测可能破坏产品，因此适合抽样调查而不适合全面调查；
C、我省中学生的人数极多，如果采用全面调查，则耗费资源巨大，因此采用抽样调查而不适合全面调查；
D、如果采用全面调查了解某品牌某批次手机的防水能力，则会破坏被测手机，且无法对所有手机进行测试，因此采用抽样调查而不适合全面调查；
故答案为：A．
【分析】全面调查是指统计调查机构为了取得系统、全面的基本统计资料，对调查对象的所有单位逐一进行调查的一种统计调查方法。抽样调查是根据调查的目的与要求，运用科学的调查方法，有计划、有组织地搜集统计资料的工作，通常不涉及所有单位，而是选取一部分样本进行调查。本题逐个选项进行分析，并结合全面调查和抽样调查的特点以及可实操性，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指把一个大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中|1| ≤|a| ＜|10| )的记数法。本题先将1135万写成11350000，然后确定a=1.135，计算确定n=7，从而用科学记数法表示即可。
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：竖直放置的圆柱体，它俯视图是一个圆．
故答案为：C．
【分析】俯视图是从物体上面往下看到的图形。本题物体是圆柱体，主视图是一个长方形，俯视图是一个圆，从而得出答案。
5．【答案】A
【知识点】分式的约分；分式的加减法
【解析】【解答】解：．
故答案为：A。
【分析】本题先将原式变为，此时分母相同，对分子相加进行合并同类项计算得到，提取公因数2之后，对分子和分母进行约分即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，且延长到点，
∴．
故答案为：D。
【分析】本题依据A、C、E三点共线，且“两直线平行、同位角相等”，即可得出，从而得出答案。
7．【答案】D
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：如图，
在中，，，，
∴，
故答案为：D。
【分析】本题结合条件画出，然后根据正切定义列式计算即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】绝对值的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，∴，而x2≥0，∴，，
∴，因此A正确；
∵，当时，，因此B不正确；
∵，当时，即，∴，因此C不正确；
∵，当时，，因此D不正确．
故答案为：A．
【分析】结合条件以及不等式的性质、平方的非负性，即可得出，；此时依据“不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变”，即可判断A选项；“不等式的两边同时除以同一个负数，不等号方向改变”，即可判断B选项；结合绝对值的性质以及不等式的性质，即可判断C选项；“不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变”，即可判断D选项。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
∴的方程无实数根．
故答案为：D．
【分析】根的判别式用于判断一元二次方程的实数根个数，公式为Δ=b2-4ac，其中a、b、c是方程ax2+bx+c=0的系数，且a≠0。
根据判别式的值，可以判断方程根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。本题据此列式计算即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口向上，即；而二次函数与y轴交于负半轴，即；二次函数对称轴在y轴右侧，即，因此，
综上得出，，c＜0，
∴点在第三象限．
故答案为：C。
【分析】本题结合二次函数的性质，可以首先得出、，然后结合二次函数的对称轴，分析得出b＜0，此时综合得出，c＜0，最后根据象限坐标的特点即可得出答案。
11．【答案】B
【知识点】正方形的性质；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：，
∴，
∵，即，
而，
因此选项中只有3满足条件。
故答案为：B．
【分析】本题先根据正方形面积，求出，然后结合图中信息得出，此时可以确定，然后结合各选项即可得出答案。
12．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在矩形中，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
设PD=a，则，
∴=AB，
由折叠知，，
∴=AD，
∴，即．
故答案为：B．
【分析】本题先根据矩形性质得出，然后结合等边三角形性质计算得出，此时结合“含30度直角三角形的性质”以及勾股定理，计算得出=AB，结合折叠性质推出=AD，最后对比化简即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 解：原式=（2+x）（2-x）.
故答案为：（2+x）（2-x）.
【分析】原式符合a2-b2=(a+b)(a-b)， 利用平方差公式分解即可得出答案.
14．【答案】1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴，且，
解得且，
故答案为：1.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为零。本题结合二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，首先列式得出，且，求解得出x的取值范围且，最后在范围内任取一个数即可。
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列表如图：
　 中 美 英 加
中 　 美中 英中 加中
美 中美 　 英美 加美
英 中英 美英 　 加英
加 中加 美加 英加 　
共有12种等可能结果，其中恰好选中中国和英国这2对选手的结果是2种，
∴恰好选中中国和英国这2对选手的概率是．
故答案为：。
【分析】本题结合条件，用列表法列出所有等可能结果，发现一共有12种，而其中恰好选中中国和英国这2对选手的结果是2种，最后根据概率公式列式计算即可。
16．【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交于点E，连接EP，如图
在等腰直角中，，
∴，
∵，，
∴AD=PD，且∠ABD=∠PBD，
在△ABE和△PBE中，AB=BP，∠ABD=∠PBD，BE=BE，
∴△ABE≌△PBE（SAS），
∴AE=PE，∠BAE=∠EPC=90°，
∴PE=PC，
∵∠FCP+∠CPF=90°，∠EPD+∠CPF=90°，
∴∠FCP=∠EPD，
在△PFC和△EDP中，∠FCP=∠EPD，∠EDP=∠F=90°，PC=PE，
∴△PFC≌△EDP（AAS），
∴，
∵，
∴，
即点到的距离为5.
故答案为：5.
【分析】做辅助线后，根据等腰直角三角形的性质得出，而△BAP是等腰三角形，结合等腰三角形三线合一的性质得出AD=PD，且∠ABD=∠PBD，此时利用SAS证明△ABE≌△PBE，从而得出AE=PE，∠BAE=∠EPC=90°，此时△EPC为等腰直角三角形，并得出PE=PC，然后结合直角三角形锐角互余以及角度，计算推出∠FCP=∠EPD，此时利用AAS证明△PFC≌△EDP，从而得出，据此即可得出答案。
17．【答案】（1）解：

（2）解：
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；有理数的乘法法则；合并同类项法则及应用；有理数的加法法则
【解析】【分析】（1）原式利用有理数的乘法计算出（-3）×2=-6、零指数幂计算出，最后利用有理数的加法法则计算即可；
（2）原式利用平方差公式计算出，然后结合合并同类项法则计算即可。
（1）解：
．
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：∵反比例函数图象上的点，
∴，
解得，
∴。
（2）2
（3）解：连接，
∵，
∴由轴对称知，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】（2）解：∵点，
∴，
∴菱形的边长为2；
故答案为：（2）2；
【分析】（1）利用待定系数法将代入反比例函数中，得到一个关于k的一元一次方程，求解k即可得出反比例函数解析式；
（2）利用A点坐标以及勾股定理列式即得求出的长，从而得出菱形的边长；
（3）结合对称性得出C点坐标，根据菱形性质得，而等边三角形的性质得出，最后根据弧长公式，将n=60°、r=OA=2，代入计算即可。
（1）解：∵反比例函数图象上的点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点，
∴，
∴菱形的边长为2；
（3）解：连接，
∵，
∴由轴对称知，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
．
19．【答案】（1），．
（2）解：乙款教育辅助产品更受用户欢迎．理由如下：
∵，乙众数>甲众数，
∴乙款教育辅助产品更加优秀且比较稳定，
∴乙款教育辅助产品更受用户欢迎．
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：乙款教育辅助产品在A组有（人），B组有（人），而C组有8人，
∴乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据在C组，且为：，，
∴乙款得分的中位数，
甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，即甲款得分的众数，
乙款抽取的名用户D组人数为：（人），
，即m=20；
故答案为：（1），．；
【分析】（1）先结合乙款产品抽样调查的20名用户以及扇形统计图，可以先求出A组有2人、B组有6人，而条件中得出C组有8人，此时根据中位数的定义可以判断得出，乙的中位数在C组，且第位数据85和第位数据86的平均数就是中位数a，计算可得；在根据众数的定义即可得出；最后求出D组的人数，除以20即为m；
（2）通过平均数、中位数、众数、方差的意义，分别对比发现，两款产品的平均数相同，而乙产品的众数大、方差小，因此得出结论，乙款教育辅助产品更加优秀且比较稳定，从而得出答案。
（1）解：乙款教育辅助产品在A组有（人），B组有（人），
∴乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，，
所以乙款得分的中位数为：，
甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：，
乙款抽取的名用户D组人数为：（人），
，
故答案为：，．；
（2）解：乙款教育辅助产品更受用户欢迎．理由如下：
∵，乙众数>甲众数，
∴乙款教育辅助产品比较稳定，
∴乙款教育辅助产品更受用户欢迎．
20．【答案】（1）证明：∵是的两条切线，
∴，
∵，
∴，
∴。
（2）解：如图所示，连接交于点，
∵，
∴是线段的垂直平分线，即，，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即的长为5．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线长定理；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得到，而圆的半径相等，即OC=OB，且图中OD为公共边，此时运用“SSS”证明，最后根据全等三角形对应角相等即可得出答案；
（2）结合垂直平分线的判定及性质，得出，，然后结合中位线的性质得出，接着利用AA证明，从而得出对应边成比例，即，求解DO即可。
（1）证明：∵是的两条切线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接交于点，
∵，
∴是线段的垂直平分线，即，，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，即的长为5．
21．【答案】（1）解：设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意得：
，
解得，
答：排球的单价为元，跳绳的单价为元；
（2）解：根据题意得：，
即，
由于、为正整数，
则，
解得，
由于，且是3的倍数，
则的值可以为39、42，
当时，，
当时，，
答：该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据班长和店员的对话，分析得出“24个排球和20根跳绳一共2800元”列出方程24x+20y=2800，条件“20个排球和24根跳绳一共2480元”列出方程20x+24y=2480，组成二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意“ 购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元 ”，列式得出，变形得到，结合的取值范围和、为正整数的条件，求出的正整数值和对应的的值，从而得到购进方案．
（1）解：设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意得：
，
解得，
答：排球的单价为元，跳绳的单价为元；
（2）解：根据题意得：，
即，
由于、为正整数，
则，
解得，
由于，且是3的倍数，
则的值可以为39、42，
当时，，
当时，，
答：该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根．
22．【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米，
即，
∵，
在中，，
∴，
解得（米）．
（2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为()，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴．
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴米，
∴当时，，
则米，
∴米，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米)，
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）做辅助线后，结合条件分析得出，此时根据正弦定义列式，代入计算求出MN即可；
（2）先以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，分析得出B点坐标为，接着将B点坐标代入抛物线的解析式()中进行计算，求出a即可得出抛物线解析式；
（3）条件“车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米”，而DE=10米，因此有米，即当时，代入计算求出米，进而得出米，而“ 必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米 ”，即可得出（米)，从而得出答案。
（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴（米）．
（2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为()，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴．
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米)，
∵涉及安全问题，
∴（米）．
23．【答案】（1）
（2）连接，如图，
由（1）知，，
同理，，
∵，
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵.
∴.
∵，
∴，
∴.
（3）解：∵对等角六边形的对角线交于点，
∴对角线将六边形分割为 6 个小三角形，
由（1）知，六边形相对的边平行，
∴相对的两个三角形相似，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴点O是六边形的对称中心，
∵，
∴
故四边形的面积为7.5．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边；多边形的内角和公式；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】（1）解：如图，过点F作，
则，
∵六边形是对等角六边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：（1）；
【分析】（1）做平行线后， 结合“两直线平行、同旁内角互补”得出，然后结合多边形内角和列式得出，结合“对等角六边形”的定义计算得出，并进一步得出，此时根据“同旁内角互补、两直线平行”得出，从而得出答案；
（2）结合（1）的结论与证明步骤，同理推出，此时利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出是平行四边形，根据平行四边形的性质得，此时利用AAS证明，最后依据全等三角形对边相等即得答案；
（3）对角线将六边形分割为 6 个小三角形后，利用平行出相对的两个三角形相似，即，从而综合得，，而点O是六边形的对称中心，即得。
（1）解：如图，过点F作，
则，
∵六边形是对等角六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）连接，如图，
由（1）知，，
同理，，
∵，
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵.
∴.
∵，
∴，
∴.
（3）解：∵对等角六边形的对角线交于点，
∴对角线将六边形分割为 6 个小三角形，
由（1）知，六边形相对的边平行，
∴相对的两个三角形相似，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴点O是六边形的对称中心，
∵，
∴
故四边形的面积为7.5．
1 / 12026年广西南宁部分学校初中学业水平模拟考试冲刺卷 数学(二)
1．的绝对值是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵是负数，根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数．
∴它的绝对值是其相反数；
故答案为：D．
【分析】利用绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的相反数是0）分析求解即可.
2．下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某班同学的绘画成绩
B．了解秋季水果市场上苹果的质量情况
C．了解我省中学生的课外阅读量
D．了解某品牌某批次手机的防水能力
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、因为某班同学人数有限，因此进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的绘画成绩，适合全面调查；
B、如果对秋季水果市场上苹果的质量进行全面调查，这样成本过高且检测可能破坏产品，因此适合抽样调查而不适合全面调查；
C、我省中学生的人数极多，如果采用全面调查，则耗费资源巨大，因此采用抽样调查而不适合全面调查；
D、如果采用全面调查了解某品牌某批次手机的防水能力，则会破坏被测手机，且无法对所有手机进行测试，因此采用抽样调查而不适合全面调查；
故答案为：A．
【分析】全面调查是指统计调查机构为了取得系统、全面的基本统计资料，对调查对象的所有单位逐一进行调查的一种统计调查方法。抽样调查是根据调查的目的与要求，运用科学的调查方法，有计划、有组织地搜集统计资料的工作，通常不涉及所有单位，而是选取一部分样本进行调查。本题逐个选项进行分析，并结合全面调查和抽样调查的特点以及可实操性，即可得出答案。
3．2025年，广西蔗糖产业迎来丰收年．据相关部门统计，2024-2025年榨季，广西糖料蔗种植面积1135万亩、同比增加11万亩，食糖产量646.5万吨、同比增加28.36万吨．将数“1135万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指把一个大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中|1| ≤|a| ＜|10| )的记数法。本题先将1135万写成11350000，然后确定a=1.135，计算确定n=7，从而用科学记数法表示即可。
4．下图是一个圆柱，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：竖直放置的圆柱体，它俯视图是一个圆．
故答案为：C．
【分析】俯视图是从物体上面往下看到的图形。本题物体是圆柱体，主视图是一个长方形，俯视图是一个圆，从而得出答案。
5．计算的结果等于（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的约分；分式的加减法
【解析】【解答】解：．
故答案为：A。
【分析】本题先将原式变为，此时分母相同，对分子相加进行合并同类项计算得到，提取公因数2之后，对分子和分母进行约分即可得出答案。
6．如图，，将一把含角的直角三角板的直角顶点放在上，延长到点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，且延长到点，
∴．
故答案为：D。
【分析】本题依据A、C、E三点共线，且“两直线平行、同位角相等”，即可得出，从而得出答案。
7．在中，，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：如图，
在中，，，，
∴，
故答案为：D。
【分析】本题结合条件画出，然后根据正切定义列式计算即可得出答案。
8．如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，∴，而x2≥0，∴，，
∴，因此A正确；
∵，当时，，因此B不正确；
∵，当时，即，∴，因此C不正确；
∵，当时，，因此D不正确．
故答案为：A．
【分析】结合条件以及不等式的性质、平方的非负性，即可得出，；此时依据“不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变”，即可判断A选项；“不等式的两边同时除以同一个负数，不等号方向改变”，即可判断B选项；结合绝对值的性质以及不等式的性质，即可判断C选项；“不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变”，即可判断D选项。
9．关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
∴的方程无实数根．
故答案为：D．
【分析】根的判别式用于判断一元二次方程的实数根个数，公式为Δ=b2-4ac，其中a、b、c是方程ax2+bx+c=0的系数，且a≠0。
根据判别式的值，可以判断方程根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。本题据此列式计算即可得出答案。
10．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口向上，即；而二次函数与y轴交于负半轴，即；二次函数对称轴在y轴右侧，即，因此，
综上得出，，c＜0，
∴点在第三象限．
故答案为：C。
【分析】本题结合二次函数的性质，可以首先得出、，然后结合二次函数的对称轴，分析得出b＜0，此时综合得出，c＜0，最后根据象限坐标的特点即可得出答案。
11．如图，在某城市中心花园的景观区，规划了三块正方形主题花坛，分别是种植牡丹的花坛、种植月季的花坛和种植雏菊的花坛．已知，且三块花坛沿同一直线方向依次衔接排列，则正方形DEFG的边长可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】正方形的性质；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：，
∴，
∵，即，
而，
因此选项中只有3满足条件。
故答案为：B．
【分析】本题先根据正方形面积，求出，然后结合图中信息得出，此时可以确定，然后结合各选项即可得出答案。
12．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在顶点处．若刚好是等边三角形，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在矩形中，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
设PD=a，则，
∴=AB，
由折叠知，，
∴=AD，
∴，即．
故答案为：B．
【分析】本题先根据矩形性质得出，然后结合等边三角形性质计算得出，此时结合“含30度直角三角形的性质”以及勾股定理，计算得出=AB，结合折叠性质推出=AD，最后对比化简即可得出答案。
13．
分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 解：原式=（2+x）（2-x）.
故答案为：（2+x）（2-x）.
【分析】原式符合a2-b2=(a+b)(a-b)， 利用平方差公式分解即可得出答案.
14．写出一个使函数有意义的的值，则的值可以是　 　（写出一个符合要求的的值）．
【答案】1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴，且，
解得且，
故答案为：1.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为零。本题结合二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，首先列式得出，且，求解得出x的取值范围且，最后在范围内任取一个数即可。
15．2025年世界泳联跳水世界杯总决赛在国家游泳中心“水立方”举办．在男子双人10米跳台决赛中，共有来自中国、美国、英国、加拿大的4对选手参赛．赛后，跳水爱好者小赵计划从这4对选手中随机抽取2对的比赛录像进行回看，那么小赵恰好选中中国和英国这2对选手的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列表如图：
　 中 美 英 加
中 　 美中 英中 加中
美 中美 　 英美 加美
英 中英 美英 　 加英
加 中加 美加 英加 　
共有12种等可能结果，其中恰好选中中国和英国这2对选手的结果是2种，
∴恰好选中中国和英国这2对选手的概率是．
故答案为：。
【分析】本题结合条件，用列表法列出所有等可能结果，发现一共有12种，而其中恰好选中中国和英国这2对选手的结果是2种，最后根据概率公式列式计算即可。
16．如图，在等腰直角中，已知，是上一点，．若，则点到的距离为　 　．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交于点E，连接EP，如图
在等腰直角中，，
∴，
∵，，
∴AD=PD，且∠ABD=∠PBD，
在△ABE和△PBE中，AB=BP，∠ABD=∠PBD，BE=BE，
∴△ABE≌△PBE（SAS），
∴AE=PE，∠BAE=∠EPC=90°，
∴PE=PC，
∵∠FCP+∠CPF=90°，∠EPD+∠CPF=90°，
∴∠FCP=∠EPD，
在△PFC和△EDP中，∠FCP=∠EPD，∠EDP=∠F=90°，PC=PE，
∴△PFC≌△EDP（AAS），
∴，
∵，
∴，
即点到的距离为5.
故答案为：5.
【分析】做辅助线后，根据等腰直角三角形的性质得出，而△BAP是等腰三角形，结合等腰三角形三线合一的性质得出AD=PD，且∠ABD=∠PBD，此时利用SAS证明△ABE≌△PBE，从而得出AE=PE，∠BAE=∠EPC=90°，此时△EPC为等腰直角三角形，并得出PE=PC，然后结合直角三角形锐角互余以及角度，计算推出∠FCP=∠EPD，此时利用AAS证明△PFC≌△EDP，从而得出，据此即可得出答案。
17．计算、化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：

（2）解：
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；有理数的乘法法则；合并同类项法则及应用；有理数的加法法则
【解析】【分析】（1）原式利用有理数的乘法计算出（-3）×2=-6、零指数幂计算出，最后利用有理数的加法法则计算即可；
（2）原式利用平方差公式计算出，然后结合合并同类项法则计算即可。
（1）解：
．
（2）解：
．
18．广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数图象上的点为顶点，作菱形，点在轴上，以点为圆心，长为半径作．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）则菱形的边长为______；
（3）求图中阴影部分的周长（结果保留）．
【答案】（1）解：∵反比例函数图象上的点，
∴，
解得，
∴。
（2）2
（3）解：连接，
∵，
∴由轴对称知，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】（2）解：∵点，
∴，
∴菱形的边长为2；
故答案为：（2）2；
【分析】（1）利用待定系数法将代入反比例函数中，得到一个关于k的一元一次方程，求解k即可得出反比例函数解析式；
（2）利用A点坐标以及勾股定理列式即得求出的长，从而得出菱形的边长；
（3）结合对称性得出C点坐标，根据菱形性质得，而等边三角形的性质得出，最后根据弧长公式，将n=60°、r=OA=2，代入计算即可。
（1）解：∵反比例函数图象上的点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点，
∴，
∴菱形的边长为2；
（3）解：连接，
∵，
∴由轴对称知，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
．
19．某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用该两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两款产品的学生用户各20名，对两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A.，B.，C.，D.）．下面给出了部分信息．
抽取的对甲款产品的所有评分数据：65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99．
抽取的对乙款产品的评分数据中组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90．
抽取的对乙款产品的评分扇形统计图
抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表
产品 中位数 众数 方差
甲 86.5 92.2
乙 89 70.6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，_____，_____；
（2）若甲、乙两款教育辅助产品的平均数都相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1），．
（2）解：乙款教育辅助产品更受用户欢迎．理由如下：
∵，乙众数>甲众数，
∴乙款教育辅助产品更加优秀且比较稳定，
∴乙款教育辅助产品更受用户欢迎．
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：乙款教育辅助产品在A组有（人），B组有（人），而C组有8人，
∴乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据在C组，且为：，，
∴乙款得分的中位数，
甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，即甲款得分的众数，
乙款抽取的名用户D组人数为：（人），
，即m=20；
故答案为：（1），．；
【分析】（1）先结合乙款产品抽样调查的20名用户以及扇形统计图，可以先求出A组有2人、B组有6人，而条件中得出C组有8人，此时根据中位数的定义可以判断得出，乙的中位数在C组，且第位数据85和第位数据86的平均数就是中位数a，计算可得；在根据众数的定义即可得出；最后求出D组的人数，除以20即为m；
（2）通过平均数、中位数、众数、方差的意义，分别对比发现，两款产品的平均数相同，而乙产品的众数大、方差小，因此得出结论，乙款教育辅助产品更加优秀且比较稳定，从而得出答案。
（1）解：乙款教育辅助产品在A组有（人），B组有（人），
∴乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，，
所以乙款得分的中位数为：，
甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：，
乙款抽取的名用户D组人数为：（人），
，
故答案为：，．；
（2）解：乙款教育辅助产品更受用户欢迎．理由如下：
∵，乙众数>甲众数，
∴乙款教育辅助产品比较稳定，
∴乙款教育辅助产品更受用户欢迎．
20．如图，过外一点作的两条切线，，切点是，，为直径，连接．
（1）求证：；
（2），求的长．
【答案】（1）证明：∵是的两条切线，
∴，
∵，
∴，
∴。
（2）解：如图所示，连接交于点，
∵，
∴是线段的垂直平分线，即，，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即的长为5．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线长定理；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得到，而圆的半径相等，即OC=OB，且图中OD为公共边，此时运用“SSS”证明，最后根据全等三角形对应角相等即可得出答案；
（2）结合垂直平分线的判定及性质，得出，，然后结合中位线的性质得出，接着利用AA证明，从而得出对应边成比例，即，求解DO即可。
（1）证明：∵是的两条切线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接交于点，
∵，
∴是线段的垂直平分线，即，，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，即的长为5．
21．学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话：
（1）根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价；
（2）由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？
【答案】（1）解：设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意得：
，
解得，
答：排球的单价为元，跳绳的单价为元；
（2）解：根据题意得：，
即，
由于、为正整数，
则，
解得，
由于，且是3的倍数，
则的值可以为39、42，
当时，，
当时，，
答：该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据班长和店员的对话，分析得出“24个排球和20根跳绳一共2800元”列出方程24x+20y=2800，条件“20个排球和24根跳绳一共2480元”列出方程20x+24y=2480，组成二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意“ 购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元 ”，列式得出，变形得到，结合的取值范围和、为正整数的条件，求出的正整数值和对应的的值，从而得到购进方案．
（1）解：设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意得：
，
解得，
答：排球的单价为元，跳绳的单价为元；
（2）解：根据题意得：，
即，
由于、为正整数，
则，
解得，
由于，且是3的倍数，
则的值可以为39、42，
当时，，
当时，，
答：该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根．
22．【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
（1）【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）．
（2）【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
（3）【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）．
【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米，
即，
∵，
在中，，
∴，
解得（米）．
（2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为()，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴．
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴米，
∴当时，，
则米，
∴米，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米)，
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）做辅助线后，结合条件分析得出，此时根据正弦定义列式，代入计算求出MN即可；
（2）先以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，分析得出B点坐标为，接着将B点坐标代入抛物线的解析式()中进行计算，求出a即可得出抛物线解析式；
（3）条件“车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米”，而DE=10米，因此有米，即当时，代入计算求出米，进而得出米，而“ 必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米 ”，即可得出（米)，从而得出答案。
（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴（米）．
（2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为()，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴．
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米)，
∵涉及安全问题，
∴（米）．
23．【对等角六边形】定义：在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”．
（1）如图1，对等角六边形的对边，的位置关系是_____；
（2）如图2，六边形是对等角六边形，若，求证：．
（3）如图3，在对等角六边形中，对角线交于点，已知，求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）连接，如图，
由（1）知，，
同理，，
∵，
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵.
∴.
∵，
∴，
∴.
（3）解：∵对等角六边形的对角线交于点，
∴对角线将六边形分割为 6 个小三角形，
由（1）知，六边形相对的边平行，
∴相对的两个三角形相似，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴点O是六边形的对称中心，
∵，
∴
故四边形的面积为7.5．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边；多边形的内角和公式；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】（1）解：如图，过点F作，
则，
∵六边形是对等角六边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：（1）；
【分析】（1）做平行线后， 结合“两直线平行、同旁内角互补”得出，然后结合多边形内角和列式得出，结合“对等角六边形”的定义计算得出，并进一步得出，此时根据“同旁内角互补、两直线平行”得出，从而得出答案；
（2）结合（1）的结论与证明步骤，同理推出，此时利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出是平行四边形，根据平行四边形的性质得，此时利用AAS证明，最后依据全等三角形对边相等即得答案；
（3）对角线将六边形分割为 6 个小三角形后，利用平行出相对的两个三角形相似，即，从而综合得，，而点O是六边形的对称中心，即得。
（1）解：如图，过点F作，
则，
∵六边形是对等角六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）连接，如图，
由（1）知，，
同理，，
∵，
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵.
∴.
∵，
∴，
∴.
（3）解：∵对等角六边形的对角线交于点，
∴对角线将六边形分割为 6 个小三角形，
由（1）知，六边形相对的边平行，
∴相对的两个三角形相似，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴点O是六边形的对称中心，
∵，
∴
故四边形的面积为7.5．
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