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2027届一轮复习 导数及其应用
专题1 导数中的切线问题 导学案
考点一 导数的几何意义
考向1 求切线方程
例1 已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（　　）
A． B． C．1 D．2
【解析】由得，所以直线的斜率，又，所以直线的方程为，令，得，即在轴上的截距为．故选B．
变式1 曲线在点处的切线方程为　　　　　 ．
【解析】由题意，的导数，故曲线在点处的切线斜率为，则切线方程，即．故选．
变式2 已知函数为偶函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程是（　　）
A． B． C． D．
【解析】函数为偶函数，当时，，则当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是，即．故选A．
变式3 若直线与曲线相切，则实数______．
【解析】由，得．设与曲线相切于点，则有所以，．
考向2 与切线有关的参数问题
例2 （2025·新高考Ⅰ卷）若直线是曲线的切线，则　　　　　 ．
【解析】根据题意，，令，则，在切线中，当时，，所以切点坐标为．将代入曲线中，得，解得．
变式1 (2025·四川泸州市模拟)若直线与曲线相切，则实数（　　）
A． B． C． D．
【解析】设切点为，由可得，则，所以，解得，即．．故选D．
（2）
变式2 （高考题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是______________．
【解析】因为，所以．设切点为,则,切线斜率,切线方程为．因为切线过原点，所以,整理得．因为切线有两条，所以,解得或．
考点二 两曲线的公切线
例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x．若两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则实数m的值为（　　）
A．2 B．5 C．1 D．0
【解析】根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0．
由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率k＝f′(a)＝－4a．由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，则切线的斜率k＝g′(a)＝－－1．因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1，解得a＝1或a＝－(舍去)．又由g（1）＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1．故选C．
变式 若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝ ．
【解析】f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，则有f′(x)＝2x，g′(x)＝－2．设公共切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝－2，f(x0)＝x＋a，g(x0)＝4ln x0－2x0．根据题意，有 解得
例4 (2025·广州模拟)若直线l既和曲线C1相切，又和曲线C2相切，则称l为曲线C1和C2的公切线．已知曲线C1：f(x)＝ex－1和曲线C2：g(x)＝1＋ln x，请写出曲线C1和C2的一条公切线方程：　　　　　　．
答案　y＝x(答案不唯一，或填y＝ex－1)
解析　设公切线与C1：f(x)＝ex－1相切的切点为(x1－1)，与C2：g(x)＝1＋ln x相切的切点为(x2，1＋ln x2)．
由f'(x)＝ex，则f'(x1)＝则公切线方程为y＝(x－x1)＋－1，即y＝x＋(1－x1)－1；
由g'(x)＝则g'(x2)＝则公切线方程为y＝(x－x2)＋ln x2＋1，即y＝·x＋ln x2，
所以解得或故曲线C1和C2的公切线方程为y＝x或y＝ex－1．
变式1 若直线与曲线和曲线同时相切，则（　　）
A． B． C． D．
【解析】设直线直线与曲线相切于，与曲线相切于点，曲线，其导数，则有，则在点处切线的方程为，即，曲线，其导数，则有，则在处切线的方程为，即，则有，则有．又由，则有，则，则．故选A．
变式2 （2025·广东茂名市）已知曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解析】两个函数求导分别为．设，图象上的切点分别为，，则过这两点处的切线方程分别为，，则，，所以．设，，令，所以，所以即在上单调递增，且，则在上单调递减，在上单调递增，所以，．故选B．
专题1 导数中的切线问题 课后作业
一．单选题
1．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为(　　　)
A．1 B． C． D．
【解析】函数（x＞0）的导数．因为曲线在处的倾斜角为，所以，所以1＋=﹣1，所以．故选D．
2．若函数在区间内可导，且，则 的值为(　　　)
A． B． C． D．0
【解析】由题意知，．
故选B．
3．曲线在点处的切线方程为(　　　)
A． B． C． D．
【解析】由函数，可得，则且，即切线的斜率为，切点坐标为，所以切线方程为．故选C．
4．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为(　　　)
A． B． C．2 D．
【解析】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，
当时，，，，则，，即曲线在点处切线的斜率为2．故选C．
5．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则(　　　)
A． B． C．1 D．2
【解析】由题意得，过点作曲线的两条切线，设切点坐标为，则，即，由于，故，．由题意可知，为的两个解，则，，故．故选B．
6．已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为(　　　)
A． B． C． D．
【解析】设与曲线相切于点，与相切于点，由，可得的斜率，所以①，
又由，可得，所以，即②，
又因为③，
将②③代入①中，可得，由③易知，,则④，
将④代入③，可得，则．令，则，当时，单调递减；当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号，故，可得，所以，所以的方程为，即．故选B．
二．多选题
7．下列命题正确的有(　　　)
A．若f(x)＝xsin x－cos x，则f′(x)＝sin x－xcos x＋sin x
B．设函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e
C．已知函数f(x)＝3x2ex，则f′（1）＝12e
D．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′（2）＋ln x，则f′（2）＝－
【解析】对于选项A，f ′(x)＝sin x＋xcos x＋sin x． 故选项A不正确．
对于选项B，f ′(x)＝ln x＋1，则f ′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e． 故选项B正确．
对于选项C，f ′(x)＝6xex＋3x2ex，则f ′（1）＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确．
对于选项D，f ′(x)＝2x＋3f ′（2）＋，则f′（2）＝4＋3f′（2）＋，解得f ′（2）＝－，故选项D正确．故选BD．
8．若直线与曲线满足下面两个条件：① 直线在点处与曲线相切；② 曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的有(　　　)
A．直线在点处“切过”曲线：
B．直线在点处“切过”曲线：
C．直线在点处“切过”曲线：
D．直线在点处“切过”曲线：．
【解析】对于选项A，，所以是曲线在点 处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线的两侧，A正确．
对于选项B，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，B正确．
对于选项C，，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，C正确．
对于选项D,，，在点处的切线为，令，可得，所以，故，可知曲线：在点附近位于直线的下侧，D错误．故选ABC．
三．填空题
9．过点可作的斜率为1的切线，则实数 ．
【解析】由，设切点的横坐标为．由，解得，
故，由过点且斜率为1的切线方程：．令得．，即．
10．若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值为 ．
【解析】设直线y＝kx＋1在曲线y＝ln x上的切点为P(x0，y0)．因为y＝ln x，所以y′＝，所以切线斜率k＝，所以曲线y＝ln x在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)．又y0＝ln x0，所以切线方程为y＝·x－1＋ln x0．又切线方程为y＝kx＋1，所以解得
11．若点，则两点间距离的最小值为 ．
【解析】点在直线上，点在曲线上，即求的最小值等价于求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，过上的点作的切线，可得，令，可得，故该切线为，则直线与的距离即为长的最小值，此时，即．
12．若定义域都为R的函数及其导数满足对任意实数x，都有，则 ．
【解析】对，两边同时求导导数得，则，，，，从而．
四．解答题
13．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b∈R)的图象过点(2，4)，且f'(1)＝1．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y＝f(x)过点(0，－1)的切线方程．
解　(1)因为函数f(x)＝x3－ax2＋b的图象过点(2，4)，所以b＝4a－4． ①
又f'(x)＝3x2－2ax，f'(1)＝1，
所以f'(1)＝3×12－2a＝3－2a＝1， ②
由①②解得a＝1，b＝0．
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2，
设所求切线在曲线y＝f(x)上的切点坐标为(m，m3－m2)，则f'(m)＝3m2－2m，
所以切线方程为y－m3＋m2＝(3m2－2m)(x－m)，
又切线过点(0，－1)，所以2m3－m2－1＝0，
可得2m3－2－m2＋1＝0，
即2(m3－1)－(m2－1)＝0，
即(m－1)(2m2＋m＋1)＝0，解得m＝1，
所以切点坐标为(1，0)，切线方程为x－y－1＝0．
故曲线y＝f(x)过点(0，－1)的切线方程为x－y－1＝0．
14．已知函数f（x）＝2＋lnx，g(x)=．若总存在两条不同的直线与函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，求实数a的取值范围；
【解析】由f（x）＝2＋lnx，得f′（x）=．设切点坐标为（t，2＋lnt），则过切点的切线方程为y=（x﹣t）＋2＋lnt=x＋lnt＋1．联立，得，即x﹣at＋tlnt＋t＝0．因为t＞0，则at＞0，得a＞0；由Δ＝a2t2﹣4tlnt﹣4t＝0，得，令h（t），得h′（t），可得当t∈（0，1）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，当t∈（1，＋∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，所以h（t）max＝g（1）＝4．所以a2＜4，解得﹣2＜a＜2．又a＞0，所以实数a的取值范围是（0，2）．
专题1 导数中的切线问题 第1页 共3页2027届一轮复习 导数及其应用
专题1 导数中的切线问题（含导数概念） 导学案
考点一 导数的几何意义
考向1 求切线方程（过某点、在某点）
例1 已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（　　）
A． B． C．1 D．2
变式1 曲线在点处的切线方程为　　　　　．
变式2 已知函数为偶函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程是（　　）
A． B． C． D．
变式3 若过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为　　　　　．
考向2 与切线有关的参数问题
例2 （2025·新高考Ⅰ卷）若直线是曲线的切线，则　　　　　．
变式1 (2025·四川泸州市模拟)若直线与曲线相切，则实数（　　）
A． B． C． D．
变式2 （高考题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是______________．
考点二 两曲线的公切线
例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x．若两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则实数m的值为（　　）
A．2 B．5 C．1 D．0
变式 若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝ ．
例4 (2025·广州模拟)若直线l既和曲线C1相切，又和曲线C2相切，则称l为曲线C1和C2的公切线．已知曲线C1：f(x)＝ex－1和曲线C2：g(x)＝1＋ln x，则曲线C1和C2的公切线方程：______________．
变式1 若直线与曲线和曲线同时相切，则（　　）
A． B． C． D．
变式2 已知曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是______________．
专题1 导数中的切线问题（含导数概念） 课后作业
一．单选题
1．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为(　　　)
A．1 B． C． D．
2．若函数在区间内可导，且，则 的值为(　　　)
A． B． C． D．0
3．曲线在点处的切线方程为(　　　)
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为(　　　)
A． B． C．2 D．
5．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则(　　　)
A． B． C．1 D．2
6．已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为(　　　)
A． B． C． D．
二．多选题
7．下列命题正确的有(　　　)
A．若f(x)＝xsin x－cos x，则f′(x)＝sin x－xcos x＋sin x
B．设函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e
C．已知函数f(x)＝3x2ex，则f′（1）＝12e
D．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′（2）＋ln x，则f′（2）＝－
8．若直线与曲线满足下面两个条件：① 直线在点处与曲线相切；② 曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的有(　　　)
A．直线在点处“切过”曲线：
B．直线在点处“切过”曲线：
C．直线在点处“切过”曲线：
D．直线在点处“切过”曲线：．
三．填空题
9．过点可作的斜率为1的切线，则实数 ．
10．若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值为 ．
11．若点，则两点间距离的最小值为 ．
12．若定义域都为R的函数及其导数满足对任意实数x，都有，则 ．
四．解答题
13．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b∈R)的图象过点(2，4)，且f'(1)＝1．
（1）求a，b的值； （2）求曲线y＝f(x)过点(0，－1)的切线方程．
14．已知函数f（x）＝2＋lnx，g(x)=．若总存在两条不同的直线与函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，求实数a的取值范围；
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