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2027届一轮复习 导数及其应用
专题2 导数与函数的单调性 导学案
考点一 利用导数研究函数的单调性
考向1 不含参数的函数
例1 函数的单调递减区间为 ．
【解析】函数的定义域为，，由得或（因为，故舍去），所以在区间上单调递增．
变式 若函数f(x)＝则函数f(x)的单调递增区间为　　　　．
【解析】　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝
令φ(x)＝－ln x－1(x>0)，φ'(x)＝－<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ（1）＝0，
∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0，即f'(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f'(x)<0，
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1)．
考向2 含参数的函数
例2 已知函数，试讨论函数的单调性；
【解】由题意可知的定义域为，且．当时，恒成立，所以的单调递减区间是，无单调递增区间．当时，令解得，令，解得；令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是．综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．
变式1 已知函数f(x)＝2x－－(a＋2)ln x(a∈R)，试讨论f(x)的单调性．
【解】因为f(x)＝2x－－(a＋2)ln x，x>0，则f′(x)＝2＋－＝＝．
①当≤0，即a≤0时，由f′(x)<0，得00，得x>1，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；
②当＝1时，a＝2时，对任意的x>0，f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当0<<1时，即00，得01，由f′(x)<0，得④当>1，即a>2时，由f′(x)>0，得0，由f′(x)<0，得1综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当02时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，，单调递减区间为．
变式2 已知函数f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax，讨论f(x)的单调区间．
解　由题意可知f(x)的定义域为R，且f'(x)＝2e2x＋(a－2)ex－a＝(2ex＋a)(ex－1)，
①若a≥0，则2ex＋a>0，令f'(x)>0，解得x>0；令f'(x)<0，解得x<0，
可知f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
②若a<0，令f'(x)＝0，解得x＝ln或x＝0，
(ⅰ)当ln<0，即－2令f'(x)>0，解得x>0或x可知f(x)在上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
(ⅱ)当ln＝0，即a＝－2时，则f'(x)＝2(ex－1)2≥0，可知f(x)在R上单调递增；
(ⅲ)当ln>0，即a<－2时，令f'(x)>0，解得x<0或x>ln；
令f'(x)<0，解得0综上所述，若a≥0，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)；
若－2若a＝－2，f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间；
若a<－2，f(x)的单调递减区间为单调递增区间为(－∞，0)．
考点二 函数单调性的应用
考向1 由单调性求参数
例3 已知函数在区间上单调递增，则数的取值范围为_________．
【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．故选C．
变式1 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为_________．
【解析】，
若在上单调递增，则在恒成立，
即，
令，其对称轴为，所以的最大值为，
故只需．即．
变式2 已知函数的单调递减区间为，则 ．
【解析】由题意可得，，解集为，则．
变式3 已知函数在上不单调，则数的取值范围为_________．
【解析】依题意，，故在上有零点．令，令，得，令，则，由，得，单调递增，又由，得，故，所以的取值范围是．故选A．
考向2 比较大小
例4 已知a＝b＝c＝则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
【解析】构造函数f(x)＝x∈(0，＋∞)，则f'(x)＝．令f'(x)>0，得0令f'(x)<0，得x>e，因此f(x)＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．而a＝＝f(4)，b＝＝f(e)，c＝＝f（3）．因为4>3>e，所以f(e)>f（3）>f(4)，即b>c>a．故选D．
变式 已知函数f(x)＝3x＋2cos x．若a＝f（3），b＝f（2），c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a【解析】由题意，得f′(x)＝3－2sin x．因为－1≤sin x≤1，所以f′(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数．因为，所以．又log24考向3 解不等式
例5 已知函数f(x)＝2ln x＋－x，则不等式f(2x－1)【解析】由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝－－1＝－≤0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2x－1)变式 已知函数f(x)＝－ex＋2x－x3．则不等式f(3a2)＋f(2a－1)≥0的解集为________．
【解析】由题意得f′(x)＝－－ex＋2－x2＝－＋2－x2．因为ex＋≥2＝2，当且仅当x＝0时等号成立，所以f′(x)≤0，所以f(x)在R上单调递减．又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0 f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，即3a2≤1－2a ，解得－1≤a≤．
专题2 导数与函数的单调性 课后作业
单选题
函数f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，1) C．(0，2) D．(2，＋∞)
C【解析】　f(x)＝x－2ln(2x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝1－2··2＝1－
由f'(x)<0，可得x∈(0，2)，
故f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为(0，2)．
2．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
A【解析】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，时，时，所以不等式的解集为．故选A．
3．(2025·山东聊城市模拟)已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f（1），f的大小关系为(　　)
A．f>f>f（1）B．f（1）>f>f C．f>f（1）>f D．f>f（1）>f
【解析】因为f(x)＝xsin x，x∈R，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f．又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f(x)在上单调递增，所以ff（1）>f．故选D．
4．若ln x－ln y＜－(x＞1，y＞1)，则(　　)
A．ey－x＜1 B．ey－x＞1 C．ey－x－1＜1 D．ey－x－1＞1
B【解析】依题意，ln x－＜ln y－．令f(t)＝t－(t≠0)，则f′(t)＝1＋＞0，所以f(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．又x＞1，y＞1，得ln x＞0，ln y＞0，则f(ln x)＜f(ln y)，由单调递增得ln x＜ln y，所以1＜x＜y，即y－x＞0，所以ey－x＞e0＝1，B正确，A不正确；
又y－x－1无法确定与0的大小关系，故C，D不正确．故选B．
二、多选题
5．如图为y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)有三个单调区间
B．f(－2)C．f(－1)D．f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减
【解析】对于选项A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误；
对于选项B，当x∈[－2，－1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以f(－2)>f(－1)，故B错误；
对于选项C，当x∈[－1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(－1)对于选项D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确．故选CD．
6．如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的有(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
【解析】依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数．对于选项A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g'(x)<0，所以g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于选项B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；
对于选项C，g(x)＝xln x，x>0，g'(x)＝1＋ln x，当x∈时，g'(x)<0，所以g(x)在上单调递减，故C中函数不是“F函数”；
对于选项D，g(x)＝xsin x，g'(x)＝sin x＋xcos x，当x∈时，g'(x)<0，所以g(x)在上单调递减，故D中函数不是“F函数”．故选ACD．
7．若实数满足，则有（ ）
A． B． C． D．
【解析】设函数，显然为增函数，，，由已知，故，故A正确；
由，有，故，则，故，故B正确；
由，得，故，故C错误；
由得，则，由于，得，故D正确．故选ABD．
三、填空题
8．若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值范围是　　　　　．
1由f'(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)，
由f'(x)≤0，可得0因为f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，
所以或m－1≥3，解得19．已知函数f(x)＝3x－sin x，若f(a)＋f(a2－2)>0，则实数a的取值范围是　　　　　．
(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】函数f(x)＝3x－sin x的定义域为R，且f(－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－sin x为奇函数．又f'(x)＝3－cos x>0，所以f(x)＝3x－sin x在R上单调递增，不等式f(a)＋f(a2－2)>0，即f(a2－2)>－f(a)＝f(－a)，等价于a2－2>－a，解得a>1或a<－2，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
10．函数的导数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是　　　　　．
【解析】对于函数，，，令，则．因为在区间上单调递减，所以恒成立，即恒成立．又，所以．又在区间上单调递增，所以恒成立，所以，解得．综合得．
11．若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1【解析】对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1<2，
易知m≥0，x1>0，x2>0，
则x1ln x2－x2ln x1<2x2－2x1，
所以x1(ln x2＋2)即>．
令f(x)＝
则函数f(x)在(m，＋∞)上单调递减．
因为f'(x)＝－
由f'(x)<0，可得x>
所以函数f(x)的单调递减区间为
所以(m，＋∞) 故m≥
即实数m的取值范围为．
四、解答题
12．已知函数f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x的图象在x＝1处的切线方程为y＝bx＋(a，b∈R)．
（1）求a，b的值；
（2）证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
【解】因为f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x，所以f'(x)＝x＋a－aln x－＝x－－aln x．
依题意可得即解得
（2）【证明】由（1）可得f(x)＝＋2x－(2x＋1)ln x，则f'(x)＝x－－2ln x．令g(x)＝f'(x)＝x－－2ln x，x∈(1，＋∞)，则g'(x)＝1＋>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g（1）＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
13．已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)．
（1）若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【解】　（1）因为f(x)在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时，f'(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥恒成立．
设G(x)＝x∈[1，4]，所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－又因为a≠0，所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．
（2）因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，则f'(x)<0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，a>有解，又当x∈[1，4]时＝－1(此时x＝1)，
所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．
14．已知函数．
（1）求当时，曲线在处的切线方程；
（2）试讨论的单调性．
【解】（1）由题意知，当时，，则，故曲线在处的切线方程为．
（2）的定义域为，且．当时，则，
令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增．当时，则有：若，则，令，则单调递增；令，则或单调递减；若，则，令，则单调递增；令，则或单调递减；
若，则单调递减．综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减．
专题2 导数与函数的单调性 第1页 共3页2027届一轮复习 导数及其应用
专题2 导数与函数的单调性 导学案
考点一 利用导数研究函数的单调性
考向1 不含参数的函数
例1 函数的单调递减区间为 ．
变式 若函数f(x)＝则函数f(x)的单调递增区间为　　　　．
考向2 含参数的函数
例2 已知函数，试讨论函数的单调性；
变式1 已知函数f(x)＝2x－－(a＋2)ln x(a∈R)，试讨论f(x)的单调性．
变式2 已知函数f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax，讨论f(x)的单调区间．
考点二 函数单调性的应用
考向1 由单调性求参数
例3 已知函数在区间上单调递增，则数的取值范围为_________．
变式1 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为_________．
变式2 已知函数的单调递减区间为，则 ．
变式3 已知函数在上不单调，则数的取值范围为_________．
考向2 比较大小
例4 已知a＝b＝c＝则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
变式 已知函数f(x)＝3x＋2cos x．若a＝f（3），b＝f（2），c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a考向3 解不等式
例5 已知函数f(x)＝2ln x＋－x，则不等式f(2x－1)变式 已知函数f(x)＝－ex＋2x－x3．则不等式f(3a2)＋f(2a－1)≥0的解集为________．
专题2 导数与函数的单调性 课后作业
单选题
函数f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，1) C．(0，2) D．(2，＋∞)
2．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
3．(2025·山东聊城市模拟)已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f（1），f的大小关系为(　　)
A．f>f>f（1）B．f（1）>f>f C．f>f（1）>f D．f>f（1）>f
4．若ln x－ln y＜－(x＞1，y＞1)，则(　　)
A．ey－x＜1 B．ey－x＞1 C．ey－x－1＜1 D．ey－x－1＞1
二、多选题
5．如图为y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)有三个单调区间
B．f(－2)C．f(－1)D．f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减
6．如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的有(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
7．若实数满足，则有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值范围是　　　　　．
9．已知函数f(x)＝3x－sin x，若f(a)＋f(a2－2)>0，则实数a的取值范围是　　　　　．
10．函数的导数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是　　　　　．
11．若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1四、解答题
12．已知函数f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x的图象在x＝1处的切线方程为y＝bx＋(a，b∈R)．
（1）求a，b的值； （2）证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
13．已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)．
（1）若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
14．已知函数．
（1）求当时，曲线在处的切线方程； （2）试讨论的单调性．
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