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2027届一轮复习 导数及其应用
专题3 导数与函数的极值、最值 导学案
考点一 利用导数研究函数的极值
考向1　根据函数图象判断极值
例1 (多选题)如图是函数y＝f(x)的导数f (x)的图象．下列说法正确的有(　　)
A．f（1）为函数f(x)的极大值
B．当x＝－1时，f(x)取得极小值
C．f(x)在(－1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减
D．当x＝3时，f(x)取得极小值
【解析】由图象知，当x∈(－2，－1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－2，－1)上单调递减，当x∈(－1，2)时，f′(x)>0，即f(x)在(－1，2)上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故A错误，B正确；当x∈(2，4)时，f′(x)<0，即f(x)在(2，4)上单调递减，故C正确，D错误．故选BC．
变式 设函数f(x)在R上可导，其导数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f（2）和极小值f（1）
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f（1）
C．函数f(x)有极大值f（2）和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f（2）
【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0．由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．
考向2　求已知函数的极值（点）
例2 设函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，试讨论f(x)的单调性，并判断f(x)有无极值．若有极值，求出f(x)的极值．
【解】f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝(x＋2)(x＋a)ex，
当a＝2时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在R上是增函数，无极值；
当a≠2时，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝－a，不妨令x1x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
当－a>－2，即a<2时，取x1＝－2，x2＝－a，其单调区间如表所示，极大值为f(－2)＝(4－a)，极小值为f(－a)＝a．
当－a<－2，即a>2时，取x1＝－a，x2＝－2，其单调区间如表所示，极小值为f(－2)＝(4－a)e－2，极大值为f(－a)＝a．
变式 (2025·沈阳模拟)已知函数f(x)＝2ln x－2(a－1)x－ax2，讨论f(x)的极值．
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，求导得f'(x)＝－2(a－1)－2ax＝－
因为a>0，则当x∈时，f'(x)>0，当x∈时，f'(x)<0，
因此f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以当x＝时，f(x)取得极大值f＝2ln －2，无极小值．
考向3　已知极值(点)求参数
例3　已知函数f(x)＝aex＋bx在x＝0处取得极小值1，则f'（2）等于(　　)
A．e2－2 B．2－e2 C．e2－1 D．e2
答案　C
解析　由f(x)＝aex＋bx，得f'(x)＝aex＋b，因为f(x)在x＝0处取得极小值1，
所以 f'(x)＝ex－1，当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝0处取得极小值，故a＝1，b＝－1满足题意，于是有f'（2）＝e2－1．
变式 (2024·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c等于(　　)
A．－6 B．－2 C．－6或－2 D．－4
答案　A
解析　由函数f(x)＝x(x－c)2，可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，
因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值，可得f'(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6，
当c＝－2时，令f'(x)>0，解得x<－2或x>－；令f'(x)<0，解得－2所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)在x＝－2处取极大值，不符合题意，舍去；
当c＝－6时，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6所以函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝－2处取极小值，符合题意，综上可得，c＝－6．
考点二 利用导数研究函数的最值
考向1　求不含参函数的最值
例4 (2025·广东一模)已知函数，曲线在处与直线相切．求：
（1）a，b的值； （2）在上的最大值和最小值．
【解】（1）因为函数，其中，则．因为曲线在处与直线相切，所以，解得．
（2）由（1）可得，所以．
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极大值即最大值，则．又，，
所以．
变式 已知函数f(x)＝x＋2sin x，x∈[0，2π]，则f(x)的值域为(　　)
A． B． C． D．[0，2π]
【解析】令又所以所以所以的值域为故选D．
考向2　求含参函数的最值
例5 求函数在上的最小值．
【解】因为，所以当时，，所以在上单调递增，所以；当时，令，得．
①当时，则，所以在上单调递增，所以；
②当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，则．
综上：当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为．
变式 (2025·湛江模拟)已知．若函数有最小值，则实数的最大值为 ．
【解析】当时，，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且，当时，，若，在上单调递增，此时没有最小值，若，在上单调递减，要想函数有最小值，则，解得，故实数的最大值为．
考点三 利用导数研究函数的极值
例6 （2025·八省联考）已知函数．
（1）设，，求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）若是的极小值点，求实数的取值范围．
【解】（1）当，时，，，则，令，化简得，解得（负值舍去），又此时（1），则切线过点，结合切线方程斜率为2，则切线方程为，即．
（2）由题可得定义域为，，因为是的极小值点，则（1），即，则，
若，令，解得，令，则，则在上单调递增，在上单调递减，得是的极大值点，不满足题意；
若，令，则，令，则，，，则在上单调递增，在，上单调递减，得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，，令，则，，，故在上单调递增，在，上单调递减，所以是的极小值点，满足题意．
综上，是的极小值点时，的取值范围是．
变式 若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【解析】由f(x)＝ex－ax2－2ax，得f′(x)＝ex－2ax－2a．因为函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，所以f′(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点，令f′(x)＝0，得＝，设g(x)＝，y＝；则g′(x)＝－．令g′(x)＝0，即－＝0，解得x＝0，当x>0时，g′(x)<0；当x<0时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．当x→－∞时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→0．分别作出函数g(x)＝与y＝的图象，如图所示，
由图可知，0<<1，解得a>，所以实数a的取值范围是．故选D．
专题3 导数与函数的极值、最值 课后作业
一．单选题
1．下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于选项A，，，故为偶函数，不符题意；
对于选项B，，为奇函数，，得，当时，时，故的极小值，故B正确；
对于选项C，为偶函数，不符题意；
对于选项D，无极值，不符题意．故选B．
2．若函数f(x)＝的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b＝(　　)
A．－4　　　 B． C．2 D．0
【解析】对f′(x)＝，当－0；当x<－或x>时，f′(x)<0．故f(x)＝的极大值点与极小值点分别为，－，则a＝，b＝－，所以a＋b＝0．故选D．
3．当时，函数取得最大值，则f′（2）＝（ ）
A． B． C． D．1
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选B．
4．若x＝2是函数f(x)＝x2＋2(a－2)x－4aln x的极大值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－2，2)
【解析】f′(x)＝2x＋2(a－2)－＝＝(x＞0)．
①若a≥0，当x＞2时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以当x＝2时，f(x)取得极小值，不满足题意，故舍去．
②若a＜－2，由f′(x)＞0可得0＜x＜2或x＞－a，由f′(x)＜0可得2＜x＜－a，所以当x＝2时，f(x)取得极大值，满足题意．
③若－2＜a＜0，由f′(x)＞0可得0＜x＜－a或x＞2，由f′(x)＜0可得－a＜x＜2，所以当x＝2时，f(x)取得极小值，不满足题意．
④若a＝－2，则f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，此时f(x)无极值．综上，a＜－2满足条件．故选A．
5．(2025·安徽淮北模拟)已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解析】不妨设，则，，则．令，则，记，则，所以在上单调递增．由，可得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以．故选A．
二．多选题
6．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，下列结论一定正确的有(　　)
A．x∈R，f(x)≥ f(x0) B．－x0是f(－x)的极大值点
C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f (－x)的极小值点
【解析】对于选项A， x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，并不是最小值点，故A错误；
对于选项B， f(－x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象，故－x0应是f(－x)的极大值点，故B正确；
对于选项C， －f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象，故x0应是－f(x)的极小值点，不能确定－x0的情况，故C错误；
对于选项D，－f(－x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称的图象，故D正确．故选BD．
7．(2025·重庆三模)已知函数f(x)＝，则关于函数f(x)，下列结论正确的有(　　)
A．有2个零点
B．有2个极值点
C．在(0，1)上单调递增
D．最小值为1
【解析】f(x)＝定义域为R，f′(x)＝，令f′(x)＝0得x＝0或x＝1，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，0)和(1，＋∞)时，f′(x)<0，如下表：
x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 递减 极小值1 递增 极大值 递减
从而判断出函数有两个极值点，在(0，1)上单调递增，B正确，C正确；
由于f(x)＝＝>0恒成立，所以函数f(x)无零点，A错误；
当x→＋∞时，f(x)→0，故函数无最小值，D错误．故选BC．
8．若函数f(x)＝aln x＋＋(其中a≠0)既有极大值也有极小值，则有(　　)
A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0
【解析】由题意可知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝．由f(x)既有极大值也有极小值，可知关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以所以b与a同号，c与a异号，故bc<0，所以A错误，BCD正确．故选BCD．
三．填空题：
9．的极大值为 ．
【解析】，当时，，当时，，故在，上单调递减，在上单调递增，故有极大值．
10．（2025·陕西商洛市期中）函数的最小值为 ．
【解析】因为函数，所以．令，得，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以在处取极小值，也是最小值，所以函数最小值为．
11．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，则实数a的取值范围是　　　　　　．
答案　(2，＋∞)
解析　f(x)＝x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝x－a＋
要使函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，则f'(x)＝x－a＋在(0，2)上有变号零点，
令g(x)＝x＋x∈(0，2)，则g(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2．
当a＝2时，f'(x)＝x－a＋＝x＋－2≥0，函数f(x)单调递增，则函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上没有极值，故a>2，即实数a的取值范围是(2，＋∞)．
四．解答题
12．(2025·河南开封市模拟)已知函数f(x)＝2x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3．
（1）求函数f(x)的最小值；
（2）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．
【解】（1） f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝．当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0．所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．故当x＝时，f(x)取得最小值为－．
（2） 存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤g(x)成立，即2x ln x≤－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)上能成立，等价于a≥2ln x＋x＋在x∈(0，＋∞)上能成立，等价于a≥(2ln x＋x＋)min．记h(x)＝2ln x＋x＋，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝＋1－＝＝．当x∈(0，1)时，h′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0．所以当x＝1时，h(x)取得最小值为4，故a≥4．故实数a的取值范围是[4，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝＋x(a∈R)．
（1）若f'(0)＝0，求实数a的值；
（2）讨论函数f(x)的极值．
解　（1）由函数f(x)＝＋x，可得f'(x)＝1－所以f'(0)＝＝1－a＝0，解得a＝1．
（2）函数f(x)＝＋x的定义域为R，且f'(x)＝1－
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值；
当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值．
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值．
14．已知函数f(x)＝ln x－x(其中a∈R，e为自然对数的底数)
（1）若f(x)在区间(，2)存在极值点，求a的取值范围；
（2）若函数存在极大值，且极大值不小于1，求a的取值范围；
解析　（1）
（2）由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝．
①当a≤0时，f'(x)＝>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)无极值；
②当a>0时，f'(x)＝由f'(x)＝＝0可得x＝．
当00，所以f(x)在上单调递增；当x>时，f'(x)<0，所以f(x)在上单调递减，
于是函数f(x)在x＝处取得极大值．
由已知，f≥1，即ln －1≥1，ln ≥2＝ln e2，因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以≥e2，即a≤又a>0，所以0综上所述，a的取值范围为．
思维升华　根据函数的极值(点)求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
（2）验证：求解后验证根的合理性．
专题3 导数与函数的极值、最值 第1页 共2页2027届一轮复习 导数及其应用
专题3 导数与函数的极值、最值 导学案
考点一 利用导数研究函数的极值
考向1　根据函数图象判断极值
例1 (多选题)如图是函数y＝f(x)的导数f (x)的图象．下列说法正确的有(　　)
A．f（1）为函数f(x)的极大值
B．当x＝－1时，f(x)取得极小值
C．f(x)在(－1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减
D．当x＝3时，f(x)取得极小值
变式 设函数f(x)在R上可导，其导数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f（2）和极小值f（1）
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f（1）
C．函数f(x)有极大值f（2）和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f（2）
考向2　求已知函数的极值（点）
例2 设函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，试讨论f(x)的单调性，并判断f(x)有无极值．若有极值，求出f(x)的极值．
变式 (2025·沈阳模拟)已知函数f(x)＝2ln x－2(a－1)x－ax2，讨论f(x)的极值．
考向3　已知极值(点)求参数
例3　已知函数f(x)＝aex＋bx在x＝0处取得极小值1，则f'（2）等于(　　)
A．e2－2 B．2－e2 C．e2－1 D．e2
变式 (2024·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c等于(　　)
A．－6 B．－2 C．－6或－2 D．－4
考点二 利用导数研究函数的最值
考向1　求不含参函数的最值
例4 (2025·广东一模)已知函数，曲线在处与直线相切．求：
（1）a，b的值； （2）在上的最大值和最小值．
变式 已知函数f(x)＝x＋2sin x，x∈[0，2π]，则f(x)的值域为(　　)
A． B． C． D．[0，2π]
考向2　求含参函数的最值
例5 求函数在上的最小值．
变式 (2025·湛江模拟)已知．若函数有最小值，则实数的最大值为 ．
考点三 利用导数研究函数的极值
例6 （2025·八省联考）已知函数．
（1）设，，求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）若是的极小值点，求实数的取值范围．
变式 若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
专题3 导数与函数的极值、最值 课后作业
一．单选题
1．下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数f(x)＝的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b＝(　　)
A．－4　　　 B． C．2 D．0
3．当时，函数取得最大值，则f′（2）＝（ ）
A． B． C． D．1
4．若x＝2是函数f(x)＝x2＋2(a－2)x－4aln x的极大值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－2，2)
5．(2025·安徽淮北模拟)已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二．多选题
6．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，下列结论一定正确的有(　　)
A．x∈R，f(x)≥ f(x0) B．－x0是f(－x)的极大值点
C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f (－x)的极小值点
7．(2025·重庆三模)已知函数f(x)＝，则关于函数f(x)，下列结论正确的有(　　)
A．有2个零点
B．有2个极值点
C．在(0，1)上单调递增
D．最小值为1
8．若函数f(x)＝aln x＋＋(其中a≠0)既有极大值也有极小值，则有(　　)
A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0
三．填空题：
9．函数的极大值为 ．
10．（2025·陕西商洛市期中）函数的最小值为 ．
11．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，则实数a的取值范围是　　　　　　．
四．解答题
12．(2025·河南开封市模拟)已知函数f(x)＝2x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3．
（1）求函数f(x)的最小值；
（2）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．
13．已知函数f(x)＝＋x(a∈R)．
（1）若f '(0)＝0，求实数a的值；
（2）讨论函数f(x)的极值．
14．已知函数f(x)＝ln x－x(其中a∈R，e为自然对数的底数)
（1）若f(x)在区间(，2)存在极值点，求a的取值范围；
（2）若函数存在极大值，且极大值不小于1，求a的取值范围；
专题3 导数与函数的极值、最值 第1页 共2页

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