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20.1 勾股定理及其应用
(课时3)
第二十章 勾股定理人教版(2024)
素养目标
1 能利用勾股定理证明直角三角形全等的判定定理；
2 能利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.
新知导入
在八年级上册中，我们曾经通过探究得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C ∠C′ 90°，AB A′B′，AC A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
勾股定理
SSS
△ABC≌△A′B′C′
【分析】∠C ∠C′ 90°，AB A′B′，AC A′C′
探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C ∠C′ 90°，AB A′B′，AC A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C =∠C′ = 90°
又 AB=A′B′， AC=A′C′，
根据勾股定理，得
∴BC=B′C′.
∴ △ ABC≌△A′B′C′ (SSS).
探究新知
点 A 表示的数字为 -2，
实数
数轴上的点
一 一 对 应
那么如何在数轴上表示无理数呢？
点 B 表示的数字为1.
A
B
0
-1
-2
-3
1
2
3
探究新知
我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示的点吗？
能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点．
探究新知
在等腰直角三角形中，直角边为1，斜边为多少？
1
1
你能在数轴上画出表示的点吗？呢？
-1 0 1 2 3
1
1
探究新知
【思考】长为的线段可以是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？
是直角边分别为2，3的直角三角形的斜边长.
√
√
？
2
？
3
？
1
×
探究新知
步骤：1.O为数轴原点，在数轴上找到点A，使OA=3；
2.过点A作直线 l⊥OA，在l上取一点B，使 AB=2；
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示的点．
l
A
B
C
O
1
2
3
4
2
3
2
归纳总结
利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法：
利用勾股定理把一个无理数表示成直角边的长为正整数的直角三角形的斜边；
以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.
原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无理数.
探究新知
类比地，利用勾股定理，在数轴上画出表示，，…的点.
-1 0 1 2 3
1
1
探究新知
利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型”图案，它被选为第七届国际数学教育大会的会徽.
数学海螺
1
1
1
1
解：如图，过点A作x轴的垂线，过点B作x，y轴的垂线.相交于点C，连接AB.
∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴A，B两点间的距离为5.
探究新知
【知识拓展】两点之间的距离公式
如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5)，B(1,2)，求A，B两点间的距离.
A
2
1
-3
-2
-1
-1
2
3
1
4
5
y
O
x
3
B
C
【总结】两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点A(x1, y1),B(x2, y2)，则
D
C
A
B
D
C
A
小结
勾股定理的应用
利用勾股定理在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理验证“HL”
利用勾股定理求两点之间的距离.
谢谢 聆听

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