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广西壮族自治区崇左市扶绥县柳桥镇第二初级中学2026年春季学期八年级下册期中质量检测数学试卷
1．若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
2．下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．若在实数范围内有意义，则可取下列中（　　）
A． B．3 C．2 D．0
4． 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．7，8，9
5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　）
A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米
6．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（　　）
A．7 B．7.5 C． D．14
9．如图，在中，，是的中点，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．1
11．如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上位置．若，且．则的长为（　　）
A． B． C．5 D．
12．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
13．当时，二次根式的值为　 　．
14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点处观测停放于、两处的小船，测得船B在点A北偏东方向80米处，船C在点A南偏东方向60米处，则船B与船C之间的距离为　 　米．
15．如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为　 　．
16．如图，将正方形与正方形叠在一起，且这两个正方形的边长之差为，两个正方形相交于点M、N，连结，，若阴影部分的面积是9，，，则正方形的边长为　 　．
17．计算题
（1）
（2）
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，小明用一块有一个锐角为的直角三角形测量树高，已知小明与树的距离为．角所对直角边与地面平行，小明的眼睛到地面的距离为．这棵树的高度是多少m？
20．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米．
（1）求的长；
（2）求小路的长．
21．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，平分，求的长．
22．在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求证：平分．
23．“小小停车位，关乎大民生”，某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定的隐患，于是打算向学校提供一个增设停车位的方案．
素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32米，宽14米．
素材2：
停车位布置方式 垂直停车位 倾斜停车位
示意图
车位标准尺寸 长6米，宽2.5米 倾斜线长6米，倾斜线之间的距离为2.5米
通道 通道宽度不小于3.5米
任务1 兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位．垂直停车位如图1，，，；倾斜停车位如图2，，，．请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种说明理由．
任务2 为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若用上述设计的两种停车位，并尽可能多的设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？（参考数据：）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 由题意，得x-1≥0，
∴x≥1，
∴实数x的值可以是2
故答案为：D.
【分析】根据二次根式中被开方数非负判断即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a6÷a3=a3，故不对；
B、（a3）2=a6，故不对；
C、2和3不是同类二次根式，因而不能合并，故不对；
D、符合二次根式的除法法则，正确．
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴且，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选：B．
【分析】根据二次根式，分式有意义的条件即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵42+52≠62，∴A不能组成直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵52+72≠92，∴B不能组成直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵62+82=102，∴C能组成直角三角形，∴C符合题意；
D、∵72+82≠92，∴D不能组成直角三角形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】
解：如图，，，，，
在中，
∵，
∴，
∴
∴，即小巷的宽度为2.7米．
故选：D．
【分析】此题考查勾股定理的实际应用、直角三角形的边长计算、线段的和差计算. 解题关键在于将梯子靠墙问题转化为两个直角三角形模型，先在Rt中用勾股定理求梯子长度AB；再在Rt中求BD的长；最后通过，利用线段和差计算小巷宽度.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
根据折叠的性质得：
，
在中，设，则
即，解得.
故答案为：C．
【分析】根据折叠的性质得与全等，根据全等性质得，，再根据勾股定理求得为8，设，则，再勾股定理列方程，
解出即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；余角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中与互余的角是，共有4个，
故选：C．
【分析】根据三角形三角形内角和定理可得∠B，直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠CDE，∠ADE，再根据余角定义即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
取的中点E，连接，
∵，，，
∴，，
∴；
∵，
∴当三点共线，且在的延长线上时，最大，最大值为；
∵.
∴的最大值为7．
故答案为：Ａ.
【分析】取的中点E，连接，根据勾股定理得，，根据得当三点共线，且在的延长线上时，最大，最大值为，计算即可求得最大值．
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
是的中点，
，
是直角三角形，且，为等边三角形，
，
．
，
∴，
．
故答案为：Ｃ.
【分析】根据是的中点，得等于的一半，进一步得等于的一半，即可证明是直角三角形，且，为等边三角形，即可得等于，等于，根据得，即可得的度数.
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据完全平方公式，结合分式的加减化简，再整体代入即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，
∵是折叠而成，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
，
在中，，根据勾股定理得：
，即，解得，
∴，
∴，
∴，
在，有则：
故答案为：B．
【分析】根据是等边三角形得等于，根据折叠性质得等于，等于6，根据，进一步推理得，根据勾股定理得＝，进一步计算可得，即可得，可得，即可根据等于
，计算得，再根据直角三角形的性质得即可.
12．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】如图，
连接，作于F点，
∵是边上的中线，是边上的高线，
∴，
，
，为等腰三角形，
∴，
∴，
，
∵是边上的中线，
，
，得，
，
，
∴G为CE的中点，
，
故答案为：D．
【分析】连接DE，题目已知可求出DE、DC等于5，为等腰三角形，可得AB等于10，AD等于6，进而求出的面积，根据是边上的中线，得，根据等积变换得，即可得，根据得G为CE的中点，即可得，计算即可得的面积.
13．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：把x=1代入得：，
所以当时，二次根式的值为2.
故答案为：2.
【分析】直接将x=1代入中进行计算并结合二次根式的性质化简即可.
14．【答案】100
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∴，
∵米，米，
∴米．
故答案为100．
【分析】由题意可知，，根据补角可得∠BAC，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，
在中，有：，，，
∴，
根据折叠性质得：，，，
∴，
设，则，
∵，
∴解得：，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理，结合已知求出，根据折叠性质得等于4，等于，相等，设，则，根据勾股定理求出等于，等于，再根据等面积法即可求出的长.
16．【答案】4
【知识点】多项式乘多项式；矩形的判定与性质；正方形的性质；平行四边形的面积；四边形的综合
【解析】【解答】解：连接，如图：
设正方形的边长为，
∵这两个正方形的边长之差为，
∴正方形的边长为，
根据题意得：，
∵四边形、是正方形，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵阴影部分的面积是9，
∴，
∴，化简得：，解得：.
故答案为：4．
【分析】设正方形的边长为，再表示正方形的边长为，，根据四边形、是正方形可证明四边形是矩形，即可得等于，等于，根据面积关系列式得的和为，等于与的差，代入数据计算即可得正方形的边长.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先化简的二次根式，计算平方差公式部分得，再运算加法，即可作答．
（2）分别计算的算术平方根、立方根、绝对值、零指数幂，
得，再运算加法，即可作答．
（1）解：
（2）解：
18．【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的除法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的除法，结合完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
19．【答案】解：在中，，
设，则，
由，得，
解得，（舍去负值），
所以大树高为：（米）．
答：这棵树的高度是2.68米．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】设，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）解：∵米，米，米，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴，
故的长9米；
（2）解：∵，
∴，
∴（米），
故小路的长为米．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵米，米，米，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴，
故的长9米；
（2）解：∵，
∴，
∴（米），
故小路的长为米．
21．【答案】（1）证明：如图，
四边形是平行四边形，
，
于点，点在上，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：如图，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
的长为5．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行，即可得平行，而相等，即可证明四边形是平行四边形，再根据等于，即可推出四边形是矩形.
（2）根据等于，，，根据勾股定理可求得，即可得等于5，再根据角平分线定义证明相等，根据等角对等边求出的长为5．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
于点，点在上，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
的长为5．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
，
，
即平分．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理及性质，矩形的判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，则，根据勾股定理可得BC，再根据等边对等角可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
23．【答案】解：任务一
图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，
理由：在图1中，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
在图2中，因为，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
任务二：
设置垂直停车位
空地长32米，宽14米，垂直停车位长6米，宽2.5米，通道宽度不小于3.5米，
（个），即按照宽度来设置停车位可以设置个，
（列），即垂直停车位可以设置3列，
垂直停车位最多可以设置（个）；
设置倾斜停车位：
过点作于点，过点作垂直于延长线于点，
四边形是平行四边形，
米，，，
，
，米，，，
，，
在中，，
米，
米，
在中，，
设，则，
，解得，
米，
每行设置车位数个，
，
可以设置两行倾斜停车位，共个，
学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置个停车位
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】任务一：易证可以判定四边形是矩形；在图2中利用已知条件：，，可推出EG∥FH，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
任务二：按照空地宽度设置垂直停车位的宽度，确定设置列数，就可以求出总的车位数；过点作于点，过点作垂直于延长线于点，由于，利用平行四边形的性质和勾股定理，分别计算出，，，确定每行车位数和设置的行数，进而求出设置倾斜停车位数，即可得出结论．
1 / 1广西壮族自治区崇左市扶绥县柳桥镇第二初级中学2026年春季学期八年级下册期中质量检测数学试卷
1．若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 由题意，得x-1≥0，
∴x≥1，
∴实数x的值可以是2
故答案为：D.
【分析】根据二次根式中被开方数非负判断即可.
2．下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a6÷a3=a3，故不对；
B、（a3）2=a6，故不对；
C、2和3不是同类二次根式，因而不能合并，故不对；
D、符合二次根式的除法法则，正确．
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
3．若在实数范围内有意义，则可取下列中（　　）
A． B．3 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴且，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选：B．
【分析】根据二次根式，分式有意义的条件即可求出答案.
4． 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．7，8，9
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵42+52≠62，∴A不能组成直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵52+72≠92，∴B不能组成直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵62+82=102，∴C能组成直角三角形，∴C符合题意；
D、∵72+82≠92，∴D不能组成直角三角形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　）
A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】
解：如图，，，，，
在中，
∵，
∴，
∴
∴，即小巷的宽度为2.7米．
故选：D．
【分析】此题考查勾股定理的实际应用、直角三角形的边长计算、线段的和差计算. 解题关键在于将梯子靠墙问题转化为两个直角三角形模型，先在Rt中用勾股定理求梯子长度AB；再在Rt中求BD的长；最后通过，利用线段和差计算小巷宽度.
6．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
根据折叠的性质得：
，
在中，设，则
即，解得.
故答案为：C．
【分析】根据折叠的性质得与全等，根据全等性质得，，再根据勾股定理求得为8，设，则，再勾股定理列方程，
解出即可得答案.
7．如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；余角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中与互余的角是，共有4个，
故选：C．
【分析】根据三角形三角形内角和定理可得∠B，直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠CDE，∠ADE，再根据余角定义即可求出答案.
8．如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（　　）
A．7 B．7.5 C． D．14
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
取的中点E，连接，
∵，，，
∴，，
∴；
∵，
∴当三点共线，且在的延长线上时，最大，最大值为；
∵.
∴的最大值为7．
故答案为：Ａ.
【分析】取的中点E，连接，根据勾股定理得，，根据得当三点共线，且在的延长线上时，最大，最大值为，计算即可求得最大值．
9．如图，在中，，是的中点，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
是的中点，
，
是直角三角形，且，为等边三角形，
，
．
，
∴，
．
故答案为：Ｃ.
【分析】根据是的中点，得等于的一半，进一步得等于的一半，即可证明是直角三角形，且，为等边三角形，即可得等于，等于，根据得，即可得的度数.
10．已知，，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据完全平方公式，结合分式的加减化简，再整体代入即可求出答案.
11．如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上位置．若，且．则的长为（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，
∵是折叠而成，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
，
在中，，根据勾股定理得：
，即，解得，
∴，
∴，
∴，
在，有则：
故答案为：B．
【分析】根据是等边三角形得等于，根据折叠性质得等于，等于6，根据，进一步推理得，根据勾股定理得＝，进一步计算可得，即可得，可得，即可根据等于
，计算得，再根据直角三角形的性质得即可.
12．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】如图，
连接，作于F点，
∵是边上的中线，是边上的高线，
∴，
，
，为等腰三角形，
∴，
∴，
，
∵是边上的中线，
，
，得，
，
，
∴G为CE的中点，
，
故答案为：D．
【分析】连接DE，题目已知可求出DE、DC等于5，为等腰三角形，可得AB等于10，AD等于6，进而求出的面积，根据是边上的中线，得，根据等积变换得，即可得，根据得G为CE的中点，即可得，计算即可得的面积.
13．当时，二次根式的值为　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：把x=1代入得：，
所以当时，二次根式的值为2.
故答案为：2.
【分析】直接将x=1代入中进行计算并结合二次根式的性质化简即可.
14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点处观测停放于、两处的小船，测得船B在点A北偏东方向80米处，船C在点A南偏东方向60米处，则船B与船C之间的距离为　 　米．
【答案】100
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∴，
∵米，米，
∴米．
故答案为100．
【分析】由题意可知，，根据补角可得∠BAC，再根据勾股定理即可求出答案.
15．如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，
在中，有：，，，
∴，
根据折叠性质得：，，，
∴，
设，则，
∵，
∴解得：，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理，结合已知求出，根据折叠性质得等于4，等于，相等，设，则，根据勾股定理求出等于，等于，再根据等面积法即可求出的长.
16．如图，将正方形与正方形叠在一起，且这两个正方形的边长之差为，两个正方形相交于点M、N，连结，，若阴影部分的面积是9，，，则正方形的边长为　 　．
【答案】4
【知识点】多项式乘多项式；矩形的判定与性质；正方形的性质；平行四边形的面积；四边形的综合
【解析】【解答】解：连接，如图：
设正方形的边长为，
∵这两个正方形的边长之差为，
∴正方形的边长为，
根据题意得：，
∵四边形、是正方形，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵阴影部分的面积是9，
∴，
∴，化简得：，解得：.
故答案为：4．
【分析】设正方形的边长为，再表示正方形的边长为，，根据四边形、是正方形可证明四边形是矩形，即可得等于，等于，根据面积关系列式得的和为，等于与的差，代入数据计算即可得正方形的边长.
17．计算题
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先化简的二次根式，计算平方差公式部分得，再运算加法，即可作答．
（2）分别计算的算术平方根、立方根、绝对值、零指数幂，
得，再运算加法，即可作答．
（1）解：
（2）解：
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的除法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的除法，结合完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
19．如图，小明用一块有一个锐角为的直角三角形测量树高，已知小明与树的距离为．角所对直角边与地面平行，小明的眼睛到地面的距离为．这棵树的高度是多少m？
【答案】解：在中，，
设，则，
由，得，
解得，（舍去负值），
所以大树高为：（米）．
答：这棵树的高度是2.68米．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】设，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
20．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米．
（1）求的长；
（2）求小路的长．
【答案】（1）解：∵米，米，米，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴，
故的长9米；
（2）解：∵，
∴，
∴（米），
故小路的长为米．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵米，米，米，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴，
故的长9米；
（2）解：∵，
∴，
∴（米），
故小路的长为米．
21．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，平分，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
四边形是平行四边形，
，
于点，点在上，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：如图，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
的长为5．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行，即可得平行，而相等，即可证明四边形是平行四边形，再根据等于，即可推出四边形是矩形.
（2）根据等于，，，根据勾股定理可求得，即可得等于5，再根据角平分线定义证明相等，根据等角对等边求出的长为5．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
于点，点在上，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
的长为5．
22．在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求证：平分．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
，
，
即平分．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理及性质，矩形的判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，则，根据勾股定理可得BC，再根据等边对等角可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
23．“小小停车位，关乎大民生”，某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定的隐患，于是打算向学校提供一个增设停车位的方案．
素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32米，宽14米．
素材2：
停车位布置方式 垂直停车位 倾斜停车位
示意图
车位标准尺寸 长6米，宽2.5米 倾斜线长6米，倾斜线之间的距离为2.5米
通道 通道宽度不小于3.5米
任务1 兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位．垂直停车位如图1，，，；倾斜停车位如图2，，，．请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种说明理由．
任务2 为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若用上述设计的两种停车位，并尽可能多的设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？（参考数据：）
【答案】解：任务一
图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，
理由：在图1中，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
在图2中，因为，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
任务二：
设置垂直停车位
空地长32米，宽14米，垂直停车位长6米，宽2.5米，通道宽度不小于3.5米，
（个），即按照宽度来设置停车位可以设置个，
（列），即垂直停车位可以设置3列，
垂直停车位最多可以设置（个）；
设置倾斜停车位：
过点作于点，过点作垂直于延长线于点，
四边形是平行四边形，
米，，，
，
，米，，，
，，
在中，，
米，
米，
在中，，
设，则，
，解得，
米，
每行设置车位数个，
，
可以设置两行倾斜停车位，共个，
学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置个停车位
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】任务一：易证可以判定四边形是矩形；在图2中利用已知条件：，，可推出EG∥FH，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
任务二：按照空地宽度设置垂直停车位的宽度，确定设置列数，就可以求出总的车位数；过点作于点，过点作垂直于延长线于点，由于，利用平行四边形的性质和勾股定理，分别计算出，，，确定每行车位数和设置的行数，进而求出设置倾斜停车位数，即可得出结论．
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