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广东省佛山市2025-2026学年九年级模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，小王某日收到微信红包 20元，在超市扫码支付 15元，此时收支情况是(　　)
A．+10元 B．-10元 C．+5元 D．-5元
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：收到微信红包 20 元，记为 +20 元； 扫码支付 15 元，记为 15 元。
计算最终收支情况： 20+( 15)=5 即收支情况为 +5 元，故选 C。
故答案为：C .
【分析】本题解题核心是理解正负数在实际情境中的意义：先根据题意，用正数表示收入，负数表示支出，将两笔收支转化为数学符号；再将两个数相加，计算出最终的结余，正数表示结余，负数表示超支。
2．数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的展开图；简单几何体的三视图；中心投影
【解析】【解答】解：选项 A：圆锥的侧面展开图是扇形，不是矩形，排除 A。
选项 B：圆柱的左视图（侧视图）是矩形，因为圆柱的侧面在左视时呈现为长方形，上下底面为平行的线段，侧面为垂直的线段，符合矩形特征，B 正确。
选项 C：球体的任何截面都是圆，不是矩形，排除 C。
选项 D：三角形的投影是三角形（中心投影下可能为相似三角形），不是矩形，排除 D。
故答案为：B .
【分析】题目给出了四种常见的转化场景：侧面展开、视图、截面、投影，我们需要根据每种方式的定义来判断结果。结合几何体特征判断： 圆锥的侧面展开图固定为扇形；圆柱的左视图是矩形；球体的任意截面都是圆；三角形的中心投影仍是三角形。 只有圆柱的左视图符合“矩形”的要求。
3． 2025年是“十四五”规划收官之年，也是中国式现代化进程中具有重要意义的一年，国内生产总值首次跃上 140万亿元新台阶，比上年增长 5.0%.将 140万亿用科学记数法表示应为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：单位换算：140 万亿 = 140 ×1 万亿，
∵1 万亿 = 1012，
∴140 万亿=140×1012，
科学记数法的标准形式为 a×10n（其中 1≤a<10）。
∴140×1012=1.4×102×1012=1.4×1014，
因此，140 万亿用科学记数法表示为 1.4×1014。
故答案为：D .
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键有两点：明确单位换算，先将“万亿”转换为以 “1”为单位的数字，避免因单位不清导致指数计算错误。掌握科学记数法标准形式：必须满足 1≤a<10，因此要将 140 转化为 1.4，同时指数加 2。
4．下列运算正确的是(　　)
A． B． C．2m·3m=5m2 D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：选项 A：根据同底数幂的乘法法则：am an=am+n。 所以 m3 m=m3+1=m4，A 选项正确。
选项 B：根据积的乘方与幂的乘方法则：(ab)n=anbn 和 (am)n=amn。 所以 (2m3)2=22 (m3)2=4 m3×2=4m6，而不是 4m5，B 选项错误。
选项 C：根据单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘。 所以 2m 3m=(2×3) m1+1=6m2，而不是 5m2，C 选项错误。
选项 D：根据同底数幂的除法法则：am÷an=am n。 所以 3m6÷m2=3 m6 2=3m4，而不是 3m3，D 选项错误。
故答案为：A .
【分析】本题是整式运算的基础题，核心考查幂的运算法则，解题思路是逐个应用法则验证：同底数幂相乘：底数不变，指数相加（am an=am+n），对应选项 A；积的乘方：等于各因式分别乘方，再把结果相乘（(ab)n=anbn），对应选项 B，需同时对系数和指数乘方；单项式相乘：系数相乘，同底数幂分别相乘，对应选项 C，注意系数和指数都要参与运算；同底数幂相除：底数不变，指数相减（am÷an=am n），对应选项 D。
5．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是(　　)
A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵三个正多边形在同一个顶点无缝隙拼接，
∴意味着它们的内角和必须为 360 ，
设该正多边形的一个内角为x，则：3x=360 ，
解得 x=120 。
设该正多边形为 n 边形，其内角和公式为 (n 2)×180 ，
∴，
(n 2)×180=120n，
180n 360=120n，
60n=360，
n=6，
因此，这种正多边形是正六边形。
故答案为：D .
【分析】利用 “无缝拼接” 求内角：无缝隙、不重叠意味着公共顶点处的内角和为 360 ，三个相同的内角相加等于360 ，因此每个内角为 120 。利用内角求边数：通过多边形内角和公式(n 2)×180 ，将内角 120 代入，解出边数n=6，即正六边形。
6．如图，直尺的一边DE经过直角三角板ABC的顶点C，若AB∥DE，则∠ACD的度数为 (　　)
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠A=∠ACE，
在直角三角板 ABC 中，∠ACB=90 ，∠A=30 ，
∴∠ACE=30°，
∵点 D、C、E 在同一直线上，
∴∠DCE=180 ，
∴∠ACD 与 ∠ACE 互补，
∴ ∠ACD=180 ∠ACE=180 30 =150 。
故答案为：D .
【分析】通过平行线AB、DE被BC所截形成的内错角，因此它们相等，即∠A=∠ACE。再利用直角三角板的角度特征，快速得到∠ACE=30 ，为后续计算做准备。再利用直尺的平角∠DCE=180 ，通过补角关系算出∠ACD。
7．不透明的袋子中装有个红球、个绿球，这个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，有个红球分别用表示、个绿球用表示，
共有6种等可能结果，其中相同的有2种，
∴颜色相同的概率是，
故选：C ．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出两个球颜色相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．如图，网格中的每个小正方形的边长都为 1，一条圆弧经过A，B，C三点，则这条圆弧所在圆的半径长为 (　　)
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵网格中每个小正方形的边长为 1，设 A、B、C 三点坐标分别为 A(0，2)、B(2，2)、C(3，1)，
∴弦 AB 是水平线段，中点为 (1，2)，其垂直平分线为过中点的竖直线 x=1，
连接 BC，用网格构造等腰直角三角形，可确定 BC 的垂直平分线：取 BC 中点 (2.5，1.5)，通过网格平移，可画出垂直平分线，该线与 x=1 的交点即为圆心 O(1，0)。
∴圆心 O(1，0) 到点 A(0，2) 的距离即为半径，
∴用勾股定理计算： r=OA= ，
所以这条圆弧所在圆的半径长为。
故答案为：B .
【分析】找圆心：利用 “弦的垂直平分线经过圆心” 的性质，先找两条弦的中点，再画垂直平分线，交点即为圆心。其中，水平弦的垂直平分线可直接通过中点作竖直线得到；斜弦的垂直平分线，可通过网格的等腰直角三角形性质确定方向，计算半径：确定圆心后，用勾股定理计算圆心到圆弧上任意一点的距离，即为半径。
9．在力F (单位：N)的作用下，若物体在力F的方向上发生位移s (单位：m)，则力F所做的功W (单位：J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示.在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，则力F (　　)
A．大于5N B．小于5N C．大于50N D．小于50N
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：已知功的公式为 W=Fs，且图像经过点 (10，50)，即当 F=10 N 时，s=50 m。
∴W=Fs=10×50=500 J
∴s 与 F 的函数关系式为（F>0）。
∵题目要求位移 s<100 m，
∴<100
∵F>0，
∴500<100F
解得： F>5，即力 F 需大于 5 N。
故答案为：A .
【分析】利用图像上的已知点 (10，50)，结合功的公式 W=Fs，求出定值功 W=500 J，从而得到反比例函数关系式。根据 “位移 s<100 m” 的要求，代入函数关系式，解关于 F 的不等式，得出 F>5 N 的结论。
10．如图，在M村庄附近有一个生态保护区，现要在公路 l边修建一个垃圾站 P，使它到 M，N两村庄的路程之和最短，且从 M村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：题目有两个核心约束条件：垃圾站 P 到 M、N 两村庄的路程之和 PM+PN 最短；从 M 村庄到公路 l 的路径不能穿过生态保护区。
方案 A：路径从 M 出发，沿不穿过生态保护区的路线到达公路上的 P 点，再连接 PN。该路径既满足 “不穿过保护区” 的限制，又在该约束下实现了 PM+PN 的和最短。
方案 B：从 M 到公路的路径必须穿过生态保护区，违反了第二个条件，直接排除。
方案 C：虽然路径不穿过保护区，但 PM+PN 的和并非最短路径，不符合第一个条件，排除。
方案 D：MP 是 M 到公路的垂线段（距离最短），但 PM+PN 的和不是最短路径，不符合第一个条件，排除。
综上，只有方案 A 同时满足两个条件。
故答案为：A .
【分析】本题是 “将军饮马” 问题的变形应用，解题思路分为两步：明确约束条件，本题在常规的“将军饮马”问题基础上，增加了 “路径不能穿过生态保护区” 的限制，所以不能直接作对称点求解，必须优先保证M到公路的路径不穿过保护区。判断最短路径，在满足不穿过保护区的前提下，选择能使PM+PN之和最短的方案。方案 A 的路径是从M到公路的非保护区路径与PN的连线，构成了最短路径。
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．计算：|-2|=　 　．
【答案】2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】｜－2｜＝－（－2）＝2.
故答案是：2.
【分析】本题主要考查有理数的绝对值；根据“一个负数的绝对值等于它的相反数”可知-2的绝对值等于-2的相反数2.
12．若 则m+n=　 　.
【答案】0
【知识点】平方差公式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对等式左边的多项式进行因式分解： x2 1=(x+1)(x 1) ；
将右边的式子展开： (x m)(x n)=x2 (m+n)x+mn
∵x2 1=(x m)(x n)，
∴x2 1=x2 (m+n)x+mn
根据多项式相等的条件，对应项的系数必须相等：
一次项系数： (m+n)=0
常数项：mn= 1
由一次项系数可得： m+n=0
故答案为：0 .
【分析】本题是一道基础的代数运算题，解题思路分为两步：首先因式分解，利用平方差公式，将等式左边的 x2 1 分解为(x+1)(x 1)。再对应系数相等：将等式右边的 (x m)(x n) 展开，得到标准的二次三项式形式，然后根据多项式相等时对应项系数相等的原则，直接读出一次项的系数关系，求出m+n 的值。
13．如图， D， C是以AB为直径的圆上两点，已知∠ABC=39°，则∠D的度数为　 　.
【答案】51°
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 连接AC，
∵ AB 是圆的直径，点 C 在圆上，
∴ ∠ACB=90 （直径所对的圆周角是直角）。
在 Rt△ABC 中，∠ABC=39 ，
∴ ∠BAC=90 ∠ABC=90 39 =51 。
又∵ ∠D 和 ∠BAC 都是弧 BC 所对的圆周角，
∴ ∠D=∠BAC=51 。
故答案为：51 .
【分析】本题是圆的基础计算题，解题思路分为两步：第一步：利用直径所对圆周角是直角，构造直角三角形 由 AB 为直径，直接得出 ∠ACB=90 ，结合已知的∠ABC=39 ，算出∠BAC 的度数。第二步：利用同弧所对的圆周角相等，得到∠D 的度数 因为∠D 和∠BAC 都是弧 BC 所对的圆周角，所以它们相等，从而求出 ∠D 的度数。整个解题过程的核心，是直径的圆周角性质和同弧圆周角相等这两个关键定理的直接应用。
14．已知 x的一个平方根是-8，则 x的立方根是　 　.
【答案】4
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：根据平方根的定义求 x 若一个数的平方根是 (-8)，则这个数 x 是（-8）的平方。
即(x=( 8)2=64)。
然后计算 64 的立方根：(=4)（因为(=4×4×4=64)）
因此，x 的立方根是4。
故答案为：4 .
【分析】本题解题核心是理解平方根和立方根的定义：已知一个数的平方根，通过平方运算求出原数x；再对求出的 x 进行开立方运算，得到其立方根。
15．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有 1个球，第二层有 3个球，第三层有 6个球，…，则第 5层小球的个数为　 　.
【答案】15
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：分析数列规律 观察各层球的个数：
第 1 层：
第 2 层：
第 3 层：
由此可归纳出第n层的球数公式为：（这是第n个三角形数）。
计算第 5 层的个数 将n=5代入公式： a5=5×=5×=15.
因此，第 5 层小球的个数为15。
故答案为：15 .
【分析】本题解题核心是找出数列的规律：
先通过前三层的球数第 1 层：1，第 2 层：3，第 3 层：6，归纳出第n层球数的通项公式；再将a=5代入公式计算，得到结果。
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求出函数的表达式.
【答案】解：由图象可知，直线l经过点(3，0)， (0，2)，
把点(3，0)， (0，2)代入y= kx+b得：
解得
所以一次函数的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】 本题解题核心是利用待定系数法求一次函数的表达式： 从图像里读出直线与坐标轴的交点：与 y 轴交点 (0，2)，与 x 轴交点 (3，0)，一次函数形式是 y=kx+b，把两个点代入得： ，解方程组求k和b，由第二个方程直接得 b=2；把b=2代入第一个方程，得 3k+2=0，解得 k=，将k和b代回，得到： y=x+2。
17．低空经济是国家“十五五”规划重点布局的战略性新兴产业.佛山某外卖平台启用无人机开展配送测试，市民小王在公园露营时，通过手机在该平台下单.一架无人机接收指令后从商家起飞执行配送任务，原本传统方式配送需行驶的 5km行程，经无人机配送缩短至 3km，配送时间也较传统方式节省 12min.已知无人机配送速度是传统方式配送速度的 3倍，求无人机的配送速度(单位： km/h).
【答案】解：
设传统方式配送速度为 xkm/h，无人机的配送速度为 3x km/h，由题意得
解得 x=20，
经检验，x=20是所列方程的根且符合题意，
则无人机的配送速度为 3x=3×20=60km/h.
答：无人机的配送速度为 60km/h.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】题目中时间差给的是 12 分钟，而速度单位是km/h，所以必须先把 12 分钟换算成小时：12 min= h。这是很多学生容易忽略的细节。因为无人机速度是传统方式的 3 倍，所以设传统方式速度为x km/h，则无人机速度为3x km/h。这样设未知数，能简化后续计算。根据 “路程 / 速度 = 时间”，分别表示出两种方式的用时；传统方式时间：小时，无人机时间：小时，解出x=20后，必须做两件事：检验x=20是否让原分式方程的分母不为0；检验速度是否为正数，符合实际意义。 最后再算出无人机速度3x=60 km/h。
18．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AC与DE相交于点M.下面给出四个关系：①AB=DE； ②AC=DF； ③∠ABC=∠DEF； ④BE=CF.
（1）任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题(用序号表示)，并证明.
（2）在(1)条件下，当△EMC的面积是△DEF面积的一半时，若BC=2，求BE的长度.
【答案】（1）解：①③④ ②. (答案不唯一)
已知：在△ABC和△DEF中， B， E， C， F在同一直线上， BE=CF， ∠ABC=∠DEF， AB=DE.
求证： AC=DF.
证明过程如下：
∵BC=BE+EC， EF=CF+EC， BE=CF， EC=EC，
∴BC=EF.
∵BC=EF， ∠ABC=∠DEF， AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF；
（2）解：由(1)知△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF，
∴△EMC∽△EDF，
∵△EMC的面积是△DEF面积的一半，
即
由(1)可知BC=EF，
又∵BC=2，
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】(1)这一问的核心是利用已知条件构造三角形全等，属于开放性命题。由BE=CF，利用等式性质可得BE+EC=CF+EC，即BC=EF；结合已知的AB=DE和∠ABC=∠DEF，用SAS证明△ABC △DEF；由全等三角形的性质，直接得出AC=DF。这一问考查了全等三角形的判定（SAS）和性质，以及等式性质的应用，是后续解题的基础。
(2) 这一问的核心是由全等推出平行，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解。由 (1) 中△ABC △DEF，可得∠ACB=∠DFE，从而推出AC∥DF；由AC∥DF，可证△EMC∽△EDF；根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即，解得；结合BC=EF=2，算出EC=，再由BE=BC EC，得BE=2 。
19．某新能源汽车协会为研究用户对车型的偏好，针对三款同价位车型(A、B、C)开展调研.协会从 200名潜在用户中随机抽取 10名(编号为①~⑩)，让其分别对三款车型的驾驶体验和外观设计进行评分(采用1~10分制，评分均为整数，分值越高表示满意度越高).现收集数据如表 1，并根据收集到的数据，绘制统计图表(表 2和图 1).
表 1：三款车型驾驶体验评分表
序号车型 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
车型 A 7 7 5 7 7 8 7 8 9 7
车型 B 8 6 9 8 8 7 10 7 8 9
车型 C 8 5 6 7 9 6 7 7 7 6
表 2：三款车型驾驶体验、外观设计评分统计表
评分车型 驾驶体验 外观设计
平均分 中位数 平均分 中位数
车型 A 7.2 7 7.9 7
车型 B a b 7.3 7
车型 C 6.8 7 C 8
分析并应用数据：
（1）根据表 1，表 2中a=　 　，b=　 　，估计 200人中最满意车型 A驾驶体验的人数；
（2）已知表 2中车型 C的外观设计评分中位数为 8，且评分唯一众数为 8，请结合这些统计量，推测车型C的外观设计平均分c的最大值，说明理由并补全图 1；
（3）调研发现，车型 C的外观设计平均分实际为 8.4分，部分用户对驾驶体验和外观设计的重视程度比例为3：2，依据三款车型的综合平均得分，为这部分用户推荐一款车型.
【答案】（1）8；8
（2）解：已知车型 C外观设计评分中位数为 8分，则将得分从小到大排序后，第五个和第六个都是 8，前四个数不超过 8，后四个数不小于 8；
为使平均分变大，则前后各四个数都取大；
考虑唯一众数为 8分，则当前四个数都取 8、后四个数都取 10时，平均分最大；
所以最大c=(8×6+10×4)+10=8.8，
补全图如图所示：
（3）解：车型 A得分： (7.2×3+7.9×2)÷5=7.48分，
车型 B得分： (8×3+7.3×2)÷5=7.72分，
车型 C得分： (6.8×3+8.4×2)÷5=7.44分，
因为7.72>7.48>7.44，所以推荐车型B.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）车型 B 的评分数据为：8， 6， 9， 8， 8， 7， 10， 7， 8， 9。 a===8，
将数据排序：6， 7， 7， 8， 8， 8， 8， 9， 9， 10。 中位数为第 5、6 个数的平均数： b==8，
故答案为：8，8。
样本中给车型 A 打 9 分及以上的有 1 人（评分 9），频率为。 估计 200 人中最满意的人数为： 200×=20人。
【分析】 (1) 这一问的核心是求平均数和中位数，再用样本估计总体：计算车型 B 的驾驶体验平均分a：将 10 个评分相加除以 10，得a=8；求车型 B 驾驶体验的中位数b：把 10 个评分排序后取第 5、6 位的平均数，得b=8；估计 200 人中最满意车型 A 驾驶体验的人数：先算出样本中给车型 A 打最高分（9 分）的用户占比，再乘以总人数 200 即可。
(2) 这一问的核心是理解中位数和众数的定义，结合约束条件求平均数的最大值：已知车型 C 外观设计评分的中位数为 8，说明排序后第 5、6 位的数都是 8；又已知唯一众数为 8，说明 8 出现的次数最多，其他数都只出现一次；要让平均分最大，需让数据在满足中位数和众数的前提下尽可能大：前 4 个数取 8，后 4 个数取 10，这样既保证了中位数和众数的条件，又让总分最高，最终算出平均分最大值为 8.8。
(3)这一问的核心是加权平均数的应用：根据用户对驾驶体验和外观设计 3：2 的重视比例，分别计算三款车型的加权平均分：车型 A：(7.2×3+7.9×2)÷5=7.48；车型 B：(8×3+7.3×2)÷5=7.72；车型 C：(6.8×3+8.4×2)÷5=7.44；对比得分，车型 B 的加权平均分最高，因此推荐车型 B。
20．已知抛物线 (b， c为常数) .
（1）若抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线经过点(3，0)，求该抛物线的表达式；
（2）若点M(b，y1)、N(2b-3，y2)在抛物线上，当. 时，求b的取值范围.
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线经过点(3，0)，
解得
∴该抛物线的表达式
（2）解：∵点M(b，y1)、N(2b-3，y2)在抛物线 上，
∴当 时，
即(4b-3)(b-3)>0，
或
解得b>3或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）先通过对称轴公式 x=，结合对称轴x=2，直接求出b= 4；再将已知点(3，0)和b= 4代入解析式，算出c=3，得到最终表达式y=x2 4x+3。这一问主要考查二次函数的基本性质和代数计算能力。
（2）核心是将点代入、作差因式分解，转化为解一元二次不等式：把点M(b，y1)和N(2b 3，y2)代入抛物线，用含b的代数式表示y1和y2；利用y10；分两种情况解不等式，得出b>3或b<。
21．初三(1)班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究.
【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如下表(单位：m)：
停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度
斜停式 平行式 30° 6 2.4 3.8
5.3 2.4 3.8
45° 5.3 2.4 3.8
60° 5.3 2.4 4.2
垂直式 5.3 2.4 5.5
【整理数据】关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据 (单位：m)：
θ Ⅱ L
30° 4.8 4.8
45° 5.5 3.4
60° 5.8 2.8
【设计方案】如图，现教学楼与围墙之间有一块长42m，宽9m的广场，计划改造为停车场.请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由.(参考数据：
【答案】解：方案一：平行式
沿教学楼设计平行式停车位，最小宽度为：2.4+3.8=6.2<9，
可设计42÷6=7个：
沿教学楼和围墙分别设计平行式停车位，中间通道，
最小宽度为： 2.4×2+3.8=8.6<9，
所以停车位数量为2×7=14个；
方案二：垂直式
沿教学楼设计垂直式停车位，最小宽度为：5.3+5.5=10.8>9，不满足条件；
方案三：斜停式，且θ=30°，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：4.8+3.8=8.6<9，
设此时车位数为(x+1)个，
则
解得， 取x=7，故可设计停车位数量为 8个；
方案四：斜停式，且θ=45°，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：5.5+3.8=9.3>9，不满足条件；
方案五：斜停式，且θ=60°，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：5.8+4.2=10>9，不满足条件；综上所述，建议采用平行式车位设计，可设计车位 14个.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先要读懂题目给出的所有限制：场地条件：长 42m，宽 9m。停车方式的关键参数：车位长度、宽度、通道最小宽度，以及斜停式车位的H（垂直场地宽度方向的占用）和L（平行场地长度方向的占用）。核心约束：车位 + 通道的总宽度必须≤9m，否则方案无法实施。分方案验证可行性，淘汰不满足条件的方案：题目给出了平行式、垂直式、斜停式（30°、45°、60°）共 5 种方案，我们逐一验证：垂直式：车位长度 5.3m + 通道最小宽度 5.5m = 10.8m > 9m，直接排除。斜停式 45°：H=5.5m + 通道 3.8m = 9.3m > 9m，排除。斜停式 60°：H=5.8m + 通道 4.2m = 10m > 9m，排除。至此，只剩下平行式和斜停式 30°两种可行方案。计算可行方案的最大车位数量：平行式方案：可以采用 “两侧停车 + 中间通道” 的布局，此时场地宽度占用为 2.4×2+3.8=8.6m ≤ 9m，满足条件。沿长度方向可停放 42÷6=7 个 / 侧，两侧共7×2=14 个。斜停式 30° 方案：场地宽度占用为 4.8+3.8=8.6m ≤ 9m，满足条件。设车位数量为x+1个，得4.8x+2.4cos30°+5.3sin30°≤42，解得x≈7.5，取整后最多可停 8 个。对比择优，确定最终方案 对比两种可行方案：平行式可停 14 个，斜停式 30°最多停 8 个。因此，平行式车位设计能使车位数量最大化，是最优方案。
22．已知在平面直角坐标系中，A(2，0)，点B是直线y=x上的动点，以AB为边作正方形ABCD，点A，B，C，D按顺时针方向排序.
（1）如图，若点D在x轴上，求点C的坐标；
（2）当点B不与原点重合时，
①连接AC，猜想∠OAC与∠ABO的数量关系，直接写出结论；
②过点C作CH⊥y轴，垂足为H， 是否为定值 若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵点D在x轴上，
∴AB⊥x轴，
∵点A(2，0)，
∵点B在y=x上，
∴当x=2时， y=2，
∴B(2，2)，
∵AD=AB=2，
∴OD=OA+AD=4
∴D点坐标为(4，0)，
∵CD⊥x轴， CD-AB=2
∴点C的坐标为(4，2)；
（2）解：①猜想： ∠OAC+∠ABO=180°或∠ABO=∠OAC.
当点B在第一象限时， ∠OAC+∠ABO=180°
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC =∠ACB =45°，
由(1)知∠AOB=45°，
在△AOB中， ∠ABO+∠AOB+∠OAB=180°，
∴∠ABO+∠BAC+∠OAB=180°，
∵∠BAC+∠OAB=∠OAC，
∴∠OAC+∠ABO=180°；
当点B在第三象限时， ∠ABO=∠OAC，
如图，在△AOB中， ∠AOB=45°+90°=135°，
∴∠ABO+∠OAB=180°-∠AOB=45°，
Rt△ABC中，由(1)知∠BAC=45°，即∠OAB+∠OAC=45°，
∴∠OAB=45°-∠OAC，
∴∠ABO+45°-∠OAC=45°，即∠ABO=∠OAC
②是定值， 理由如下：
过点 B作BE⊥CH于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，过点 A作AG⊥BF交BF于点 G，
当点 B在第三象限时，
∵∠BEH=∠EHF=∠EFH=90°，
∴四边形EBFH 是矩形，
∴BF=EH ， ∠EBF=90°，
在正方形ABCD中， ∠ABC=90°， AB=BC，
∴∠ABC=∠EBF，即∠CBE+∠EBA=∠ABF+∠EBA，
∴∠CBE=∠ABF，
∵AG⊥BF，
∴∠AGB=∠CEB=90°， ∠ABG=∠CBE，
∴△BCE≌△BAG(AAS)
∴CE=AG，
∵∠AGB=∠GFO=∠AOF=90°，
∴四边形AOFG是矩形，
∴AG=OF，
在Rt△OBF中， ∵B在直线y=x上，
∴AG=BF=EH=CE，
∴CH=CE+EH=2OF，
当点 B在第一象限时，如图
∵∠BFO=∠FOA=∠AGF=90°，
∴四边形OAFG是矩形，
∴AG=OF，
同理可证，四边形BEHF 是矩形，
∴BF=EH， ∠FBE=90°，
∵点B在直线y=x上，
∴BF=OH=EH，
∵∠FBE=∠ABC=90°，
∴∠FBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE，即∠ABG=∠CBE，
∵∠AGB=∠BEC=90°，AB=BC，
∴△ABG≌△CBE(AAS)，
∴AG=EC，
∴OF=FB=HE=CE，
∴CH=HE+CE=2FB，
在Rt△OBF中，根据勾股定理
综上， 为定值，
【知识点】一次函数图象与几何变换；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 (1) 特殊情境下的坐标求解，建立直观认识 这一步是全题的基础，通过 “点 D 在 x 轴上” 的特殊限制，将动态问题转化为静态问题。由正方形性质可知AB⊥AD，又因 D 在 x 轴上，所以AB⊥x轴，即 B 点横坐标与 A 点相同，为 2；再结合 B 在直线y=x上，直接得出 B 点坐标为(2，2)；利用正方形边长相等（AD=AB=2）和对边平行（CD∥AB），最终确定 C 点坐标为(4，2)。这一步的目的是让学生通过具体计算，建立对正方形顶点坐标关系的直观认识，为后续探究打下基础。
(2) ①：探究角的数量关系，渗透分类讨论思想 这一步是从特殊到一般的过渡，核心是探究∠OAC与∠ABO的关系，需要分情况讨论：当 B 在第一象限时：利用正方形对角线平分直角（∠BAC=45 ）和直线y=x的性（∠AOB=45 ），结合三角形内角和定理，推导出∠OAC+∠ABO=180 ；当 B 在第三象限时：同样利用∠BAC=45 ，结合∠AOB=135 ，推导出∠ABO=∠OAC。 这一步的难点在于根据 B 点位置的不同，分情况讨论角度关系，体现了分类讨论的数学思想。
(2) ②：探究线段比值的定值问题，考查综合推理能力 这是全题的难点，核心是证明为定值，解题的关键是构造全等三角形和利用直线y=x的性质：首先，过 B、A 作坐标轴的垂线，构造出矩形BEHF和AOFG；利用正方形中AB=BC和∠ABC=90 ，通过 “同角的余角相等” 证明∠ABG=∠CBE，再用 AAS 证明△ABG △CBE，得到AG=CE；结合AG=OF（矩形对边相等）和BF=OF（B 在y=x上），推出CH=2OF；最后，在Rt△OBF中，由勾股定理得OB=OF，从而算出。 这一步无论 B 在第一还是第三象限，通过构造辅助线，都能证明该比值恒为，考查了学生的几何构造能力和严谨的逻辑推理能力。
23．【问题情境】
如图 1，小王将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在折痕BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.
（1）【实践操作】尺规作图：当点B'与点D重合时，在图 2中作出折痕EF；
（2）【问题解决】如图 3，若AB=4， BC=8，点A'， B'， C在同一条直线上，求BB'的长；
（3）【深入探究】
在【问题情境】的折叠操作中，设AB=a，BC=b.从下列两个问题中任选一个进行解决：
①连接AC，当a，b满足什么数量关系时，A'B'与AC始终平行 请说明理由；
②若点F 是边BC的中点，求的最大值.
【答案】（1）解：如图，线段EF为所作；
（2）解：过点 C作CG⊥BD于点 G，如图，
在矩形ABCD中， CD=AB=4， BC=8， ∠BCD=90°，
∵∠1=∠1， ∠DCB=∠DGC=90°，
∴△CDB∽△GDC，
即
在矩形ABCD中， AB∥CD，
∴∠1=∠2，
由折叠知∠2=∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
（3）解：选①，记AC与BD的交点为点O，如图，
若A'B'与AC平行，则∠3=∠AOB，
由FB=FB'知， ∠5=∠6，
∵∠3+∠6=90°， ∠2+∠5=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠2=∠AOB，又OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，故∠BAC=60°，
∴在Rt△ABC中， 即
∴要使A'B'与AC平行，只需
故当 且 B与B'不重合时， A'B'与AC'始终平行；
选②，过点 E作EH⊥BC，垂足为点 H，
∵∠ABH =∠BAE=∠BHE=90°，
∴四边形ABHE 是矩形，
∴EH =AB=a， ∠DEH=∠AEH=90°，
∴∠HEF+∠DEF=90°，
由折叠得EF⊥BD，
∴∠DEF+∠ADB=90°，
∴∠HEF=∠ADB，
∵∠EHF=∠DAB=90°，
∴△EHF∽△DAB，
即
的最大值为
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)尺规作图，理解折叠的本质 这是全题的基础，核心是理解折叠的本质是轴对称。当点B'与点D重合时，折痕EF就是线段BD的垂直平分线。因此，尺规作图的关键就是作BD的垂直平分线，与AD、BC的交点即为E、F。这一步的目的是让学生通过操作，建立对 “折叠” 和 “轴对称” 的直观认识。
(2)问题解决，利用相似求线段长度 这一步的核心是利用相似三角形和折叠的性质求线段长。首先，在矩形中用勾股定理算出对角线BD=；然后，过C作CG⊥BD，构造出△CDB∽△GDC，利用相似求出DG=；再根据折叠的性质，结合平行线的内错角相等，推出∠1=∠4，从而得到CB'=CD，说明B'是等腰三角形CBD的顶点，DB'=2DG=；最后，用BD DB'算出BB'=。 这一步的难点在于通过角度关系推导出CB'=CD，进而利用等腰三角形的性质简化计算。
(3) 深入探究，从特殊到一般，考查综合能力 这一问提供了两个选做问题，分别考查了平行线判定和几何最值，是整道题的升华。
选①：探究A'B'∥AC的条件 解题思路是由果索因：假设A'B'∥AC，利用平行线的性质、折叠的角度关系以及矩形对角线的性质，反推出△ABO为等边三角形，从而得到∠BAC=60 。再在Rt△ABC中利用三角函数tan60 ==，得出b=。
选②：求ab的最大值 解题关键是构造相似三角形和利用不等式求最值：
过E作EH⊥BC，构造矩形ABHE，得到EH=a；利用折叠中EF⊥BD的垂直关系，推出∠HEF=∠ADB，从而证明△EHF∽△DAB；
由相似比，得到HF=；结合F是BC中点，HF≤BF=，得到不等式≤，化简后求得≤，即最大值为。
1 / 1广东省佛山市2025-2026学年九年级模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，小王某日收到微信红包 20元，在超市扫码支付 15元，此时收支情况是(　　)
A．+10元 B．-10元 C．+5元 D．-5元
2．数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是(　　)
A． B．
C． D．
3． 2025年是“十四五”规划收官之年，也是中国式现代化进程中具有重要意义的一年，国内生产总值首次跃上 140万亿元新台阶，比上年增长 5.0%.将 140万亿用科学记数法表示应为(　　)
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是(　　)
A． B． C．2m·3m=5m2 D．
5．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是(　　)
A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形
6．如图，直尺的一边DE经过直角三角板ABC的顶点C，若AB∥DE，则∠ACD的度数为 (　　)
A．120° B．130° C．140° D．150°
7．不透明的袋子中装有个红球、个绿球，这个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，网格中的每个小正方形的边长都为 1，一条圆弧经过A，B，C三点，则这条圆弧所在圆的半径长为 (　　)
A． B． C．2 D．
9．在力F (单位：N)的作用下，若物体在力F的方向上发生位移s (单位：m)，则力F所做的功W (单位：J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示.在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，则力F (　　)
A．大于5N B．小于5N C．大于50N D．小于50N
10．如图，在M村庄附近有一个生态保护区，现要在公路 l边修建一个垃圾站 P，使它到 M，N两村庄的路程之和最短，且从 M村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．计算：|-2|=　 　．
12．若 则m+n=　 　.
13．如图， D， C是以AB为直径的圆上两点，已知∠ABC=39°，则∠D的度数为　 　.
14．已知 x的一个平方根是-8，则 x的立方根是　 　.
15．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有 1个球，第二层有 3个球，第三层有 6个球，…，则第 5层小球的个数为　 　.
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求出函数的表达式.
17．低空经济是国家“十五五”规划重点布局的战略性新兴产业.佛山某外卖平台启用无人机开展配送测试，市民小王在公园露营时，通过手机在该平台下单.一架无人机接收指令后从商家起飞执行配送任务，原本传统方式配送需行驶的 5km行程，经无人机配送缩短至 3km，配送时间也较传统方式节省 12min.已知无人机配送速度是传统方式配送速度的 3倍，求无人机的配送速度(单位： km/h).
18．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AC与DE相交于点M.下面给出四个关系：①AB=DE； ②AC=DF； ③∠ABC=∠DEF； ④BE=CF.
（1）任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题(用序号表示)，并证明.
（2）在(1)条件下，当△EMC的面积是△DEF面积的一半时，若BC=2，求BE的长度.
19．某新能源汽车协会为研究用户对车型的偏好，针对三款同价位车型(A、B、C)开展调研.协会从 200名潜在用户中随机抽取 10名(编号为①~⑩)，让其分别对三款车型的驾驶体验和外观设计进行评分(采用1~10分制，评分均为整数，分值越高表示满意度越高).现收集数据如表 1，并根据收集到的数据，绘制统计图表(表 2和图 1).
表 1：三款车型驾驶体验评分表
序号车型 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
车型 A 7 7 5 7 7 8 7 8 9 7
车型 B 8 6 9 8 8 7 10 7 8 9
车型 C 8 5 6 7 9 6 7 7 7 6
表 2：三款车型驾驶体验、外观设计评分统计表
评分车型 驾驶体验 外观设计
平均分 中位数 平均分 中位数
车型 A 7.2 7 7.9 7
车型 B a b 7.3 7
车型 C 6.8 7 C 8
分析并应用数据：
（1）根据表 1，表 2中a=　 　，b=　 　，估计 200人中最满意车型 A驾驶体验的人数；
（2）已知表 2中车型 C的外观设计评分中位数为 8，且评分唯一众数为 8，请结合这些统计量，推测车型C的外观设计平均分c的最大值，说明理由并补全图 1；
（3）调研发现，车型 C的外观设计平均分实际为 8.4分，部分用户对驾驶体验和外观设计的重视程度比例为3：2，依据三款车型的综合平均得分，为这部分用户推荐一款车型.
20．已知抛物线 (b， c为常数) .
（1）若抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线经过点(3，0)，求该抛物线的表达式；
（2）若点M(b，y1)、N(2b-3，y2)在抛物线上，当. 时，求b的取值范围.
21．初三(1)班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究.
【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如下表(单位：m)：
停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度
斜停式 平行式 30° 6 2.4 3.8
5.3 2.4 3.8
45° 5.3 2.4 3.8
60° 5.3 2.4 4.2
垂直式 5.3 2.4 5.5
【整理数据】关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据 (单位：m)：
θ Ⅱ L
30° 4.8 4.8
45° 5.5 3.4
60° 5.8 2.8
【设计方案】如图，现教学楼与围墙之间有一块长42m，宽9m的广场，计划改造为停车场.请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由.(参考数据：
22．已知在平面直角坐标系中，A(2，0)，点B是直线y=x上的动点，以AB为边作正方形ABCD，点A，B，C，D按顺时针方向排序.
（1）如图，若点D在x轴上，求点C的坐标；
（2）当点B不与原点重合时，
①连接AC，猜想∠OAC与∠ABO的数量关系，直接写出结论；
②过点C作CH⊥y轴，垂足为H， 是否为定值 若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
23．【问题情境】
如图 1，小王将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在折痕BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.
（1）【实践操作】尺规作图：当点B'与点D重合时，在图 2中作出折痕EF；
（2）【问题解决】如图 3，若AB=4， BC=8，点A'， B'， C在同一条直线上，求BB'的长；
（3）【深入探究】
在【问题情境】的折叠操作中，设AB=a，BC=b.从下列两个问题中任选一个进行解决：
①连接AC，当a，b满足什么数量关系时，A'B'与AC始终平行 请说明理由；
②若点F 是边BC的中点，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：收到微信红包 20 元，记为 +20 元； 扫码支付 15 元，记为 15 元。
计算最终收支情况： 20+( 15)=5 即收支情况为 +5 元，故选 C。
故答案为：C .
【分析】本题解题核心是理解正负数在实际情境中的意义：先根据题意，用正数表示收入，负数表示支出，将两笔收支转化为数学符号；再将两个数相加，计算出最终的结余，正数表示结余，负数表示超支。
2．【答案】B
【知识点】几何体的展开图；简单几何体的三视图；中心投影
【解析】【解答】解：选项 A：圆锥的侧面展开图是扇形，不是矩形，排除 A。
选项 B：圆柱的左视图（侧视图）是矩形，因为圆柱的侧面在左视时呈现为长方形，上下底面为平行的线段，侧面为垂直的线段，符合矩形特征，B 正确。
选项 C：球体的任何截面都是圆，不是矩形，排除 C。
选项 D：三角形的投影是三角形（中心投影下可能为相似三角形），不是矩形，排除 D。
故答案为：B .
【分析】题目给出了四种常见的转化场景：侧面展开、视图、截面、投影，我们需要根据每种方式的定义来判断结果。结合几何体特征判断： 圆锥的侧面展开图固定为扇形；圆柱的左视图是矩形；球体的任意截面都是圆；三角形的中心投影仍是三角形。 只有圆柱的左视图符合“矩形”的要求。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：单位换算：140 万亿 = 140 ×1 万亿，
∵1 万亿 = 1012，
∴140 万亿=140×1012，
科学记数法的标准形式为 a×10n（其中 1≤a<10）。
∴140×1012=1.4×102×1012=1.4×1014，
因此，140 万亿用科学记数法表示为 1.4×1014。
故答案为：D .
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键有两点：明确单位换算，先将“万亿”转换为以 “1”为单位的数字，避免因单位不清导致指数计算错误。掌握科学记数法标准形式：必须满足 1≤a<10，因此要将 140 转化为 1.4，同时指数加 2。
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：选项 A：根据同底数幂的乘法法则：am an=am+n。 所以 m3 m=m3+1=m4，A 选项正确。
选项 B：根据积的乘方与幂的乘方法则：(ab)n=anbn 和 (am)n=amn。 所以 (2m3)2=22 (m3)2=4 m3×2=4m6，而不是 4m5，B 选项错误。
选项 C：根据单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘。 所以 2m 3m=(2×3) m1+1=6m2，而不是 5m2，C 选项错误。
选项 D：根据同底数幂的除法法则：am÷an=am n。 所以 3m6÷m2=3 m6 2=3m4，而不是 3m3，D 选项错误。
故答案为：A .
【分析】本题是整式运算的基础题，核心考查幂的运算法则，解题思路是逐个应用法则验证：同底数幂相乘：底数不变，指数相加（am an=am+n），对应选项 A；积的乘方：等于各因式分别乘方，再把结果相乘（(ab)n=anbn），对应选项 B，需同时对系数和指数乘方；单项式相乘：系数相乘，同底数幂分别相乘，对应选项 C，注意系数和指数都要参与运算；同底数幂相除：底数不变，指数相减（am÷an=am n），对应选项 D。
5．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵三个正多边形在同一个顶点无缝隙拼接，
∴意味着它们的内角和必须为 360 ，
设该正多边形的一个内角为x，则：3x=360 ，
解得 x=120 。
设该正多边形为 n 边形，其内角和公式为 (n 2)×180 ，
∴，
(n 2)×180=120n，
180n 360=120n，
60n=360，
n=6，
因此，这种正多边形是正六边形。
故答案为：D .
【分析】利用 “无缝拼接” 求内角：无缝隙、不重叠意味着公共顶点处的内角和为 360 ，三个相同的内角相加等于360 ，因此每个内角为 120 。利用内角求边数：通过多边形内角和公式(n 2)×180 ，将内角 120 代入，解出边数n=6，即正六边形。
6．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠A=∠ACE，
在直角三角板 ABC 中，∠ACB=90 ，∠A=30 ，
∴∠ACE=30°，
∵点 D、C、E 在同一直线上，
∴∠DCE=180 ，
∴∠ACD 与 ∠ACE 互补，
∴ ∠ACD=180 ∠ACE=180 30 =150 。
故答案为：D .
【分析】通过平行线AB、DE被BC所截形成的内错角，因此它们相等，即∠A=∠ACE。再利用直角三角板的角度特征，快速得到∠ACE=30 ，为后续计算做准备。再利用直尺的平角∠DCE=180 ，通过补角关系算出∠ACD。
7．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，有个红球分别用表示、个绿球用表示，
共有6种等可能结果，其中相同的有2种，
∴颜色相同的概率是，
故选：C ．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出两个球颜色相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵网格中每个小正方形的边长为 1，设 A、B、C 三点坐标分别为 A(0，2)、B(2，2)、C(3，1)，
∴弦 AB 是水平线段，中点为 (1，2)，其垂直平分线为过中点的竖直线 x=1，
连接 BC，用网格构造等腰直角三角形，可确定 BC 的垂直平分线：取 BC 中点 (2.5，1.5)，通过网格平移，可画出垂直平分线，该线与 x=1 的交点即为圆心 O(1，0)。
∴圆心 O(1，0) 到点 A(0，2) 的距离即为半径，
∴用勾股定理计算： r=OA= ，
所以这条圆弧所在圆的半径长为。
故答案为：B .
【分析】找圆心：利用 “弦的垂直平分线经过圆心” 的性质，先找两条弦的中点，再画垂直平分线，交点即为圆心。其中，水平弦的垂直平分线可直接通过中点作竖直线得到；斜弦的垂直平分线，可通过网格的等腰直角三角形性质确定方向，计算半径：确定圆心后，用勾股定理计算圆心到圆弧上任意一点的距离，即为半径。
9．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：已知功的公式为 W=Fs，且图像经过点 (10，50)，即当 F=10 N 时，s=50 m。
∴W=Fs=10×50=500 J
∴s 与 F 的函数关系式为（F>0）。
∵题目要求位移 s<100 m，
∴<100
∵F>0，
∴500<100F
解得： F>5，即力 F 需大于 5 N。
故答案为：A .
【分析】利用图像上的已知点 (10，50)，结合功的公式 W=Fs，求出定值功 W=500 J，从而得到反比例函数关系式。根据 “位移 s<100 m” 的要求，代入函数关系式，解关于 F 的不等式，得出 F>5 N 的结论。
10．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：题目有两个核心约束条件：垃圾站 P 到 M、N 两村庄的路程之和 PM+PN 最短；从 M 村庄到公路 l 的路径不能穿过生态保护区。
方案 A：路径从 M 出发，沿不穿过生态保护区的路线到达公路上的 P 点，再连接 PN。该路径既满足 “不穿过保护区” 的限制，又在该约束下实现了 PM+PN 的和最短。
方案 B：从 M 到公路的路径必须穿过生态保护区，违反了第二个条件，直接排除。
方案 C：虽然路径不穿过保护区，但 PM+PN 的和并非最短路径，不符合第一个条件，排除。
方案 D：MP 是 M 到公路的垂线段（距离最短），但 PM+PN 的和不是最短路径，不符合第一个条件，排除。
综上，只有方案 A 同时满足两个条件。
故答案为：A .
【分析】本题是 “将军饮马” 问题的变形应用，解题思路分为两步：明确约束条件，本题在常规的“将军饮马”问题基础上，增加了 “路径不能穿过生态保护区” 的限制，所以不能直接作对称点求解，必须优先保证M到公路的路径不穿过保护区。判断最短路径，在满足不穿过保护区的前提下，选择能使PM+PN之和最短的方案。方案 A 的路径是从M到公路的非保护区路径与PN的连线，构成了最短路径。
11．【答案】2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】｜－2｜＝－（－2）＝2.
故答案是：2.
【分析】本题主要考查有理数的绝对值；根据“一个负数的绝对值等于它的相反数”可知-2的绝对值等于-2的相反数2.
12．【答案】0
【知识点】平方差公式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对等式左边的多项式进行因式分解： x2 1=(x+1)(x 1) ；
将右边的式子展开： (x m)(x n)=x2 (m+n)x+mn
∵x2 1=(x m)(x n)，
∴x2 1=x2 (m+n)x+mn
根据多项式相等的条件，对应项的系数必须相等：
一次项系数： (m+n)=0
常数项：mn= 1
由一次项系数可得： m+n=0
故答案为：0 .
【分析】本题是一道基础的代数运算题，解题思路分为两步：首先因式分解，利用平方差公式，将等式左边的 x2 1 分解为(x+1)(x 1)。再对应系数相等：将等式右边的 (x m)(x n) 展开，得到标准的二次三项式形式，然后根据多项式相等时对应项系数相等的原则，直接读出一次项的系数关系，求出m+n 的值。
13．【答案】51°
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 连接AC，
∵ AB 是圆的直径，点 C 在圆上，
∴ ∠ACB=90 （直径所对的圆周角是直角）。
在 Rt△ABC 中，∠ABC=39 ，
∴ ∠BAC=90 ∠ABC=90 39 =51 。
又∵ ∠D 和 ∠BAC 都是弧 BC 所对的圆周角，
∴ ∠D=∠BAC=51 。
故答案为：51 .
【分析】本题是圆的基础计算题，解题思路分为两步：第一步：利用直径所对圆周角是直角，构造直角三角形 由 AB 为直径，直接得出 ∠ACB=90 ，结合已知的∠ABC=39 ，算出∠BAC 的度数。第二步：利用同弧所对的圆周角相等，得到∠D 的度数 因为∠D 和∠BAC 都是弧 BC 所对的圆周角，所以它们相等，从而求出 ∠D 的度数。整个解题过程的核心，是直径的圆周角性质和同弧圆周角相等这两个关键定理的直接应用。
14．【答案】4
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：根据平方根的定义求 x 若一个数的平方根是 (-8)，则这个数 x 是（-8）的平方。
即(x=( 8)2=64)。
然后计算 64 的立方根：(=4)（因为(=4×4×4=64)）
因此，x 的立方根是4。
故答案为：4 .
【分析】本题解题核心是理解平方根和立方根的定义：已知一个数的平方根，通过平方运算求出原数x；再对求出的 x 进行开立方运算，得到其立方根。
15．【答案】15
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：分析数列规律 观察各层球的个数：
第 1 层：
第 2 层：
第 3 层：
由此可归纳出第n层的球数公式为：（这是第n个三角形数）。
计算第 5 层的个数 将n=5代入公式： a5=5×=5×=15.
因此，第 5 层小球的个数为15。
故答案为：15 .
【分析】本题解题核心是找出数列的规律：
先通过前三层的球数第 1 层：1，第 2 层：3，第 3 层：6，归纳出第n层球数的通项公式；再将a=5代入公式计算，得到结果。
16．【答案】解：由图象可知，直线l经过点(3，0)， (0，2)，
把点(3，0)， (0，2)代入y= kx+b得：
解得
所以一次函数的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】 本题解题核心是利用待定系数法求一次函数的表达式： 从图像里读出直线与坐标轴的交点：与 y 轴交点 (0，2)，与 x 轴交点 (3，0)，一次函数形式是 y=kx+b，把两个点代入得： ，解方程组求k和b，由第二个方程直接得 b=2；把b=2代入第一个方程，得 3k+2=0，解得 k=，将k和b代回，得到： y=x+2。
17．【答案】解：
设传统方式配送速度为 xkm/h，无人机的配送速度为 3x km/h，由题意得
解得 x=20，
经检验，x=20是所列方程的根且符合题意，
则无人机的配送速度为 3x=3×20=60km/h.
答：无人机的配送速度为 60km/h.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】题目中时间差给的是 12 分钟，而速度单位是km/h，所以必须先把 12 分钟换算成小时：12 min= h。这是很多学生容易忽略的细节。因为无人机速度是传统方式的 3 倍，所以设传统方式速度为x km/h，则无人机速度为3x km/h。这样设未知数，能简化后续计算。根据 “路程 / 速度 = 时间”，分别表示出两种方式的用时；传统方式时间：小时，无人机时间：小时，解出x=20后，必须做两件事：检验x=20是否让原分式方程的分母不为0；检验速度是否为正数，符合实际意义。 最后再算出无人机速度3x=60 km/h。
18．【答案】（1）解：①③④ ②. (答案不唯一)
已知：在△ABC和△DEF中， B， E， C， F在同一直线上， BE=CF， ∠ABC=∠DEF， AB=DE.
求证： AC=DF.
证明过程如下：
∵BC=BE+EC， EF=CF+EC， BE=CF， EC=EC，
∴BC=EF.
∵BC=EF， ∠ABC=∠DEF， AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF；
（2）解：由(1)知△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF，
∴△EMC∽△EDF，
∵△EMC的面积是△DEF面积的一半，
即
由(1)可知BC=EF，
又∵BC=2，
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】(1)这一问的核心是利用已知条件构造三角形全等，属于开放性命题。由BE=CF，利用等式性质可得BE+EC=CF+EC，即BC=EF；结合已知的AB=DE和∠ABC=∠DEF，用SAS证明△ABC △DEF；由全等三角形的性质，直接得出AC=DF。这一问考查了全等三角形的判定（SAS）和性质，以及等式性质的应用，是后续解题的基础。
(2) 这一问的核心是由全等推出平行，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解。由 (1) 中△ABC △DEF，可得∠ACB=∠DFE，从而推出AC∥DF；由AC∥DF，可证△EMC∽△EDF；根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即，解得；结合BC=EF=2，算出EC=，再由BE=BC EC，得BE=2 。
19．【答案】（1）8；8
（2）解：已知车型 C外观设计评分中位数为 8分，则将得分从小到大排序后，第五个和第六个都是 8，前四个数不超过 8，后四个数不小于 8；
为使平均分变大，则前后各四个数都取大；
考虑唯一众数为 8分，则当前四个数都取 8、后四个数都取 10时，平均分最大；
所以最大c=(8×6+10×4)+10=8.8，
补全图如图所示：
（3）解：车型 A得分： (7.2×3+7.9×2)÷5=7.48分，
车型 B得分： (8×3+7.3×2)÷5=7.72分，
车型 C得分： (6.8×3+8.4×2)÷5=7.44分，
因为7.72>7.48>7.44，所以推荐车型B.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）车型 B 的评分数据为：8， 6， 9， 8， 8， 7， 10， 7， 8， 9。 a===8，
将数据排序：6， 7， 7， 8， 8， 8， 8， 9， 9， 10。 中位数为第 5、6 个数的平均数： b==8，
故答案为：8，8。
样本中给车型 A 打 9 分及以上的有 1 人（评分 9），频率为。 估计 200 人中最满意的人数为： 200×=20人。
【分析】 (1) 这一问的核心是求平均数和中位数，再用样本估计总体：计算车型 B 的驾驶体验平均分a：将 10 个评分相加除以 10，得a=8；求车型 B 驾驶体验的中位数b：把 10 个评分排序后取第 5、6 位的平均数，得b=8；估计 200 人中最满意车型 A 驾驶体验的人数：先算出样本中给车型 A 打最高分（9 分）的用户占比，再乘以总人数 200 即可。
(2) 这一问的核心是理解中位数和众数的定义，结合约束条件求平均数的最大值：已知车型 C 外观设计评分的中位数为 8，说明排序后第 5、6 位的数都是 8；又已知唯一众数为 8，说明 8 出现的次数最多，其他数都只出现一次；要让平均分最大，需让数据在满足中位数和众数的前提下尽可能大：前 4 个数取 8，后 4 个数取 10，这样既保证了中位数和众数的条件，又让总分最高，最终算出平均分最大值为 8.8。
(3)这一问的核心是加权平均数的应用：根据用户对驾驶体验和外观设计 3：2 的重视比例，分别计算三款车型的加权平均分：车型 A：(7.2×3+7.9×2)÷5=7.48；车型 B：(8×3+7.3×2)÷5=7.72；车型 C：(6.8×3+8.4×2)÷5=7.44；对比得分，车型 B 的加权平均分最高，因此推荐车型 B。
20．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线经过点(3，0)，
解得
∴该抛物线的表达式
（2）解：∵点M(b，y1)、N(2b-3，y2)在抛物线 上，
∴当 时，
即(4b-3)(b-3)>0，
或
解得b>3或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）先通过对称轴公式 x=，结合对称轴x=2，直接求出b= 4；再将已知点(3，0)和b= 4代入解析式，算出c=3，得到最终表达式y=x2 4x+3。这一问主要考查二次函数的基本性质和代数计算能力。
（2）核心是将点代入、作差因式分解，转化为解一元二次不等式：把点M(b，y1)和N(2b 3，y2)代入抛物线，用含b的代数式表示y1和y2；利用y10；分两种情况解不等式，得出b>3或b<。
21．【答案】解：方案一：平行式
沿教学楼设计平行式停车位，最小宽度为：2.4+3.8=6.2<9，
可设计42÷6=7个：
沿教学楼和围墙分别设计平行式停车位，中间通道，
最小宽度为： 2.4×2+3.8=8.6<9，
所以停车位数量为2×7=14个；
方案二：垂直式
沿教学楼设计垂直式停车位，最小宽度为：5.3+5.5=10.8>9，不满足条件；
方案三：斜停式，且θ=30°，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：4.8+3.8=8.6<9，
设此时车位数为(x+1)个，
则
解得， 取x=7，故可设计停车位数量为 8个；
方案四：斜停式，且θ=45°，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：5.5+3.8=9.3>9，不满足条件；
方案五：斜停式，且θ=60°，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：5.8+4.2=10>9，不满足条件；综上所述，建议采用平行式车位设计，可设计车位 14个.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先要读懂题目给出的所有限制：场地条件：长 42m，宽 9m。停车方式的关键参数：车位长度、宽度、通道最小宽度，以及斜停式车位的H（垂直场地宽度方向的占用）和L（平行场地长度方向的占用）。核心约束：车位 + 通道的总宽度必须≤9m，否则方案无法实施。分方案验证可行性，淘汰不满足条件的方案：题目给出了平行式、垂直式、斜停式（30°、45°、60°）共 5 种方案，我们逐一验证：垂直式：车位长度 5.3m + 通道最小宽度 5.5m = 10.8m > 9m，直接排除。斜停式 45°：H=5.5m + 通道 3.8m = 9.3m > 9m，排除。斜停式 60°：H=5.8m + 通道 4.2m = 10m > 9m，排除。至此，只剩下平行式和斜停式 30°两种可行方案。计算可行方案的最大车位数量：平行式方案：可以采用 “两侧停车 + 中间通道” 的布局，此时场地宽度占用为 2.4×2+3.8=8.6m ≤ 9m，满足条件。沿长度方向可停放 42÷6=7 个 / 侧，两侧共7×2=14 个。斜停式 30° 方案：场地宽度占用为 4.8+3.8=8.6m ≤ 9m，满足条件。设车位数量为x+1个，得4.8x+2.4cos30°+5.3sin30°≤42，解得x≈7.5，取整后最多可停 8 个。对比择优，确定最终方案 对比两种可行方案：平行式可停 14 个，斜停式 30°最多停 8 个。因此，平行式车位设计能使车位数量最大化，是最优方案。
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵点D在x轴上，
∴AB⊥x轴，
∵点A(2，0)，
∵点B在y=x上，
∴当x=2时， y=2，
∴B(2，2)，
∵AD=AB=2，
∴OD=OA+AD=4
∴D点坐标为(4，0)，
∵CD⊥x轴， CD-AB=2
∴点C的坐标为(4，2)；
（2）解：①猜想： ∠OAC+∠ABO=180°或∠ABO=∠OAC.
当点B在第一象限时， ∠OAC+∠ABO=180°
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC =∠ACB =45°，
由(1)知∠AOB=45°，
在△AOB中， ∠ABO+∠AOB+∠OAB=180°，
∴∠ABO+∠BAC+∠OAB=180°，
∵∠BAC+∠OAB=∠OAC，
∴∠OAC+∠ABO=180°；
当点B在第三象限时， ∠ABO=∠OAC，
如图，在△AOB中， ∠AOB=45°+90°=135°，
∴∠ABO+∠OAB=180°-∠AOB=45°，
Rt△ABC中，由(1)知∠BAC=45°，即∠OAB+∠OAC=45°，
∴∠OAB=45°-∠OAC，
∴∠ABO+45°-∠OAC=45°，即∠ABO=∠OAC
②是定值， 理由如下：
过点 B作BE⊥CH于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，过点 A作AG⊥BF交BF于点 G，
当点 B在第三象限时，
∵∠BEH=∠EHF=∠EFH=90°，
∴四边形EBFH 是矩形，
∴BF=EH ， ∠EBF=90°，
在正方形ABCD中， ∠ABC=90°， AB=BC，
∴∠ABC=∠EBF，即∠CBE+∠EBA=∠ABF+∠EBA，
∴∠CBE=∠ABF，
∵AG⊥BF，
∴∠AGB=∠CEB=90°， ∠ABG=∠CBE，
∴△BCE≌△BAG(AAS)
∴CE=AG，
∵∠AGB=∠GFO=∠AOF=90°，
∴四边形AOFG是矩形，
∴AG=OF，
在Rt△OBF中， ∵B在直线y=x上，
∴AG=BF=EH=CE，
∴CH=CE+EH=2OF，
当点 B在第一象限时，如图
∵∠BFO=∠FOA=∠AGF=90°，
∴四边形OAFG是矩形，
∴AG=OF，
同理可证，四边形BEHF 是矩形，
∴BF=EH， ∠FBE=90°，
∵点B在直线y=x上，
∴BF=OH=EH，
∵∠FBE=∠ABC=90°，
∴∠FBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE，即∠ABG=∠CBE，
∵∠AGB=∠BEC=90°，AB=BC，
∴△ABG≌△CBE(AAS)，
∴AG=EC，
∴OF=FB=HE=CE，
∴CH=HE+CE=2FB，
在Rt△OBF中，根据勾股定理
综上， 为定值，
【知识点】一次函数图象与几何变换；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 (1) 特殊情境下的坐标求解，建立直观认识 这一步是全题的基础，通过 “点 D 在 x 轴上” 的特殊限制，将动态问题转化为静态问题。由正方形性质可知AB⊥AD，又因 D 在 x 轴上，所以AB⊥x轴，即 B 点横坐标与 A 点相同，为 2；再结合 B 在直线y=x上，直接得出 B 点坐标为(2，2)；利用正方形边长相等（AD=AB=2）和对边平行（CD∥AB），最终确定 C 点坐标为(4，2)。这一步的目的是让学生通过具体计算，建立对正方形顶点坐标关系的直观认识，为后续探究打下基础。
(2) ①：探究角的数量关系，渗透分类讨论思想 这一步是从特殊到一般的过渡，核心是探究∠OAC与∠ABO的关系，需要分情况讨论：当 B 在第一象限时：利用正方形对角线平分直角（∠BAC=45 ）和直线y=x的性（∠AOB=45 ），结合三角形内角和定理，推导出∠OAC+∠ABO=180 ；当 B 在第三象限时：同样利用∠BAC=45 ，结合∠AOB=135 ，推导出∠ABO=∠OAC。 这一步的难点在于根据 B 点位置的不同，分情况讨论角度关系，体现了分类讨论的数学思想。
(2) ②：探究线段比值的定值问题，考查综合推理能力 这是全题的难点，核心是证明为定值，解题的关键是构造全等三角形和利用直线y=x的性质：首先，过 B、A 作坐标轴的垂线，构造出矩形BEHF和AOFG；利用正方形中AB=BC和∠ABC=90 ，通过 “同角的余角相等” 证明∠ABG=∠CBE，再用 AAS 证明△ABG △CBE，得到AG=CE；结合AG=OF（矩形对边相等）和BF=OF（B 在y=x上），推出CH=2OF；最后，在Rt△OBF中，由勾股定理得OB=OF，从而算出。 这一步无论 B 在第一还是第三象限，通过构造辅助线，都能证明该比值恒为，考查了学生的几何构造能力和严谨的逻辑推理能力。
23．【答案】（1）解：如图，线段EF为所作；
（2）解：过点 C作CG⊥BD于点 G，如图，
在矩形ABCD中， CD=AB=4， BC=8， ∠BCD=90°，
∵∠1=∠1， ∠DCB=∠DGC=90°，
∴△CDB∽△GDC，
即
在矩形ABCD中， AB∥CD，
∴∠1=∠2，
由折叠知∠2=∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
（3）解：选①，记AC与BD的交点为点O，如图，
若A'B'与AC平行，则∠3=∠AOB，
由FB=FB'知， ∠5=∠6，
∵∠3+∠6=90°， ∠2+∠5=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠2=∠AOB，又OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，故∠BAC=60°，
∴在Rt△ABC中， 即
∴要使A'B'与AC平行，只需
故当 且 B与B'不重合时， A'B'与AC'始终平行；
选②，过点 E作EH⊥BC，垂足为点 H，
∵∠ABH =∠BAE=∠BHE=90°，
∴四边形ABHE 是矩形，
∴EH =AB=a， ∠DEH=∠AEH=90°，
∴∠HEF+∠DEF=90°，
由折叠得EF⊥BD，
∴∠DEF+∠ADB=90°，
∴∠HEF=∠ADB，
∵∠EHF=∠DAB=90°，
∴△EHF∽△DAB，
即
的最大值为
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)尺规作图，理解折叠的本质 这是全题的基础，核心是理解折叠的本质是轴对称。当点B'与点D重合时，折痕EF就是线段BD的垂直平分线。因此，尺规作图的关键就是作BD的垂直平分线，与AD、BC的交点即为E、F。这一步的目的是让学生通过操作，建立对 “折叠” 和 “轴对称” 的直观认识。
(2)问题解决，利用相似求线段长度 这一步的核心是利用相似三角形和折叠的性质求线段长。首先，在矩形中用勾股定理算出对角线BD=；然后，过C作CG⊥BD，构造出△CDB∽△GDC，利用相似求出DG=；再根据折叠的性质，结合平行线的内错角相等，推出∠1=∠4，从而得到CB'=CD，说明B'是等腰三角形CBD的顶点，DB'=2DG=；最后，用BD DB'算出BB'=。 这一步的难点在于通过角度关系推导出CB'=CD，进而利用等腰三角形的性质简化计算。
(3) 深入探究，从特殊到一般，考查综合能力 这一问提供了两个选做问题，分别考查了平行线判定和几何最值，是整道题的升华。
选①：探究A'B'∥AC的条件 解题思路是由果索因：假设A'B'∥AC，利用平行线的性质、折叠的角度关系以及矩形对角线的性质，反推出△ABO为等边三角形，从而得到∠BAC=60 。再在Rt△ABC中利用三角函数tan60 ==，得出b=。
选②：求ab的最大值 解题关键是构造相似三角形和利用不等式求最值：
过E作EH⊥BC，构造矩形ABHE，得到EH=a；利用折叠中EF⊥BD的垂直关系，推出∠HEF=∠ADB，从而证明△EHF∽△DAB；
由相似比，得到HF=；结合F是BC中点，HF≤BF=，得到不等式≤，化简后求得≤，即最大值为。
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