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广东茂名市信宜市2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷
1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是(　　)
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项 A（清华大学校徽）：校徽内的文字和图案沿任何直线折叠，两旁的部分都无法完全重合，因此不是轴对称图形。
选项 B（北京大学校徽）：校徽图案沿竖直中线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，因此是轴对称图形。
选项 C（中国人民大学校徽）：校徽图案沿任何直线折叠，两旁的部分都无法完全重合，因此不是轴对称图形。
选项 D（浙江大学校徽）：校徽图案中的鹰形图案沿任何直线折叠，两旁的部分都无法完全重合，因此不是轴对称图形。
综上，只有选项 B 的校徽图案是轴对称图形.
故答案为：B .
【分析】本题的解题思路是紧扣轴对称图形的定义，逐一验证图形是否存在对称轴：先明确轴对称图形的核心判定标准，沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合，对每个校徽图案，尝试寻找是否存在这样的直线，北大校徽存在竖直对称轴，折叠后图案完全重合；其他校徽的文字、图案或线条不对称，不存在能让两侧完全重合的直线，最终确定符合定义的选项。
2．如图表示的是以下哪个不等式的解集(　　)
A．x>-1 B．x<-1 C．x≥-1 D．x≤-1
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：看边界点：数轴上在 1处画的是空心圆圈，表示解集不包含这个点，因此不等号是 “>” 或 “<”，排除选项 C、D（含等号）。看方向：折线从 1处向右延伸，数轴上右边的数比左边大，因此表示的是大于 1的数，即x> 1。综上，该数轴表示的是不等式x> 1的解集。
故答案为：A .
【分析】先根据边界点的画法判断是否包含该点：空心圆圈表示不包含，对应 “>” 或 “<”；实心圆点表示包含，对应 “≥” 或 “≤”；再根据折线的方向判断不等号的方向，向右延伸表示 “大于”，向左延伸表示 “小于”， 结合这两点，箭头向右表示大于该点，确定为x>-1，即是确定对应的不等式。
3．如图，在△ABC中，若∠A=20°， ∠B=30°，则∠ACD等于(　　)
A．10° B．40° C．60° D．50°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解： 在 △ABC 中，∠ACD 是外角，
∴ ∠ACD=∠A+∠B，
∵∠A=20 ，∠B=30 ，
∴∠ACD=20 +30 =50 。
故答案为：D .
【分析】先识别 ∠ACD 是 △ABC 的外角；根据 “三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，直接用 ∠A+∠B 计算 ∠ACD 的度数；验证结果，选出正确选项
4．如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF．若BC＝6，EC＝4，则平移的距离为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿着射线平移到，，，
∴平移的距离为，
故答案为：A.
【分析】根据图形平移的性质可知平移的距离为的长.
5．不等式组 的解集是(　　)
A．x<3 B．x>2 C．2【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：已知不等式组：，第一个不等式的解集是 “所有大于 2 的数”；第二个不等式的解集是 “所有小于 3 的数”；两个解集的公共部分，就是 “既大于 2 又小于 3 的数”，即 2故答案为：C .
【分析】本题的解题思路是利用不等式组解集的定义，找两个不等式解集的公共部分：先分别明确每个不等式的解集范围；再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的口诀，判断两个解集的公共部分；本题中 x>2 和 x<3 属于 “大小小大” 的情况，因此解集为中间部分 26．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何.如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形.则八边形的内角和为 (　　)
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：多边形内角和的计算公式为： (n 2)×180 ，其中 n 为多边形的边数。本题中杯口是八边形，即 n=8，代入公式： (8 2)×180 =6×180 =1080 ，因此，八边形的内角和为1080 。
故答案为：C .
【分析】本题的解题思路是直接应用多边形内角和公式：先明确多边形内角和公式 (n 2)×180 ，从题目中提取关键信息：杯口是八边形，即边数 n=8；将 n=8 代入公式计算，即可得到内角和的度数。
7．如图，a、b分别表示两个吉祥物的身高，c表示台阶的高度.上面两位小朋友的对话体现的数学原理是(　　)
A．若a>b，c>0， 则 ac> bc B．若a>b，b>c， 则a>c
C．若a>b， 则a+c>b+c D．若a>b，c>0， 则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由图可知，两个吉祥物原本的身高分别为 a 和 b，且 a>b。当它们都站在高度为 c 的台阶上后，新的高度分别为 a+c 和 b+c。对话 “你还是比我高”说明 a+c>b+c。这一现象体现了不等式的性质：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，即： 若 a>b，则 a+c>b+c。上述性质与选项 C 的表述完全一致。
故答案为：C .
【分析】先从对话和图示中提取核心信息：原本 a>b，加上相同高度 c 后，a+c>b+c 依然成立；再将这一现象与不等式的性质进行匹配，排除乘法、除法、传递性等其他性质，找到 “不等式两边加同一个数，不等号方向不变” 的对应选项
8．如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当时，，即，
∴由图象可知，关于x的不等式的解集是．
故选：A．
【分析】当函数图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
9．如图， 已知△ABC中， AB=5， AC=4， BC=3， AB的垂直平分线分别交 AC，AB于 D， E， 连接 BD， 则 BD的长为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC2+BC2=42+32=16+9=25，
AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形，且 ∠C=90 。
∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴AD=BD。
设 BD=x，则 AD=x，CD=AC AD=4 x。
在 Rt△BCD 中，由勾股定理： BD2=BC2+CD2，
即：x2=32+(4 x)2，
x2=9+16 8x+x2，
x=258，
∴BD 的长为 258。
故答案为：A .
【分析】通过勾股定理的逆定理，先判断出△ABC 是直角三角形，为后续使用勾股定理做铺垫，利用垂直平分线转化线段，根据垂直平分线的性质得到AD=BD，将 BD 转化为 AD，从而把 CD 用含 BD 的代数式表示出来，在直角△BCD 中，设BD=AD=x，用x表示CD，再在Rt△BCD中利用勾股定理列方程求解x，解方程即可得到结果。
10．如图，在△ABC中，∠BAC=60°， AD是∠BAC的平分线， 若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点 N，则PN+PC的最小值是(　　)
A．1 B． C．1.5 D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；正弦的概念
【解析】【解答】解：过点 P 作 PM⊥AB 于点 M，
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线，且 PN⊥AC，
∴PN=PM，
∴PN+PC=PM+PC，
当 C、P、M 三点共线，且 CM⊥AB 时，PM+PC 的值最小，其最小值就是点 C 到直线 AB 的垂线段长度 CM。
在Rt△AMC 中，∠BAC=60 ，AC=，
∴CM=AC sin60 ===1.5，
∴PN+PC 的最小值为 1.5。
故答案为：C .
【分析】本题的解题思路是利用角平分线的性质，将两条线段和的问题转化为 “将军饮马” 型最短路径问题，根据角平分线的性质，将 PN 转化为点 P 到 AB 的距离 PM，从而把问题转化为求 PM+PC 的最小值，利用 “垂线段最短” 的原理，判断出当 CM⊥AB 时，PM+PC 的值最小，其最小值就是点 C 到 AB 的垂线段长度，在 Rt△ACM 中，利用三角函数或勾股定理计算出 CM 的长度，即为所求的最小值。
11．若 a>b，则 　 　(填“>”或“<”).
【答案】<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变：
给 a>b 两边同时乘以，得：，
根据不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变：
给上式两边同时乘以 1，得：，因此，横线上应填 <。
故答案为： .
【分析】先根据 “不等式两边乘正数，不等号方向不变”，由 a>b 推出；再根据 “不等式两边乘负数，不等号方向改变”，推出，结合负数与正数的大小关系，最终得出结论。
12．在Rt△ABC中， ∠B=90°， ∠A=72°，则∠C=　 　.
【答案】18°
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠B=90 ，
∴∠A+∠C=90 ，
∵∠A=72 ，
∴∠C=90 ∠A=90 72 =18 。
故答案为：18 .
【分析】本题的解题思路是直接应用直角三角形的核心性质：两锐角互余，先根据题目中 “Rt△ABC，∠B=90 ”，判断出这是一个直角三角形；利用 “直角三角形的两个锐角之和为90 ”这一性质，直接用90 减去已知锐角的度数，即可快速求出另一个锐角的度数。
13．要使代数式 有意义，则x的值可以是　 　.
【答案】2026 (答案不唯一)
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，
因此需满足：x 2026≥0 解得：x≥2026 ，
因此，x 可取任意大于或等于 2026 的数.例如 2026、2027、2030 等（答案不唯一）。
故答案为：2026 .
【分析】本题的解题思路是直接应用二次根式有意义的条件：明确二次根式的核心要求，根号下的被开方数必须大于或等于 0，据此列出不等式 x 2026≥0，解出 x 的取值范围；从取值范围内任选一个数作为答案即可，题目未要求写出所有解，因此答案不唯一
14．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°， MN是BC的中垂线，交AB于点E.如果AC=2， AB=6，那么△ACE的周长为　 　.
【答案】8
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN 是 BC 的中垂线，点 E 在 MN 上，
∴EB=EC，
∵△ACE 的周长为： C△ACE=AC+CE+AE，
将 CE 替换为 EB，
∴C△ACE=AC+EB+AE ，
∵EB+AE=AB，
∴C△ACE=AC+AB，
∵AC=2，AB=6，
∴C△ACE=2+6=8，
故答案为：8 .
【分析】本题的核心解题思路是利用线段垂直平分线的性质进行线段转化，从而简化周长计算：
先识别出 MN 是 BC 的中垂线，因此 E 到 B、C 的距离相等，即 EB=EC；再将△ACE 的周长表达式中的 CE 替换为 EB，发现 AE+EB=AB，因此周长就等于 AC+AB；最后代入已知数值直接计算，无需单独求 CE 和 AE 的长度。
15．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的两边与坐标轴重合，OA=2，OC=1.将长方形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第 2026次旋转结束时，点B的坐标是　 　.
【答案】(-2，-1)
【知识点】点的坐标；旋转的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题意，长方形 ABCO 中，OA=2，OC=1，且OA在 x 轴上，OC在 y 轴上，因此初始时B点坐标为(2，1)。
每次逆时针旋转90 ，旋转 4 次后（4×90 =360 ），图形回到初始位置，因此旋转周期为4。
第 1 次旋转后（逆时针90 ）：B(2，1)→B1( 1，2)
第 2 次旋转后（逆时针180 ）：B1( 1，2)→B2( 2， 1)
第 3 次旋转后（逆时针270 ）：B2( 2， 1)→B3(1， 2)
第 4 次旋转后（逆时针360 ）：B3(1， 2)→B4(2，1)，回到初始位置。
计算 2026 除以 4 的余数： 2026÷4=506余2 余数为 2，说明第 2026 次旋转后的位置与第 2 次旋转后的位置相同。
因此，第 2026 次旋转结束时，点 B 的坐标为（ 2， 1）。
故答案为：（ 2， 1） .
【分析】本题的解题思路是先找旋转周期，再用余数定位坐标：先根据长方形的边长确定点 B 的初始坐标；依次写出每次旋转后的坐标，发现每旋转4 次就会回到初始位置，周期为4；用总次数 2026 除以周期 4，通过余数判断第 2026 次旋转对应周期中的位置，从而得到点 B 的坐标。
16．解不等式组 并把它的解集表示在数轴上.
【答案】解：
解不等式①得： x>-1，
解不等式②得： x≤3，
∴原不等式组的解集为-1把它的解集表示在数轴上，如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题的解题思路是先分别求解每个不等式，再取公共部分得到不等式组的解集，最后用数轴表示：第一步，按照一元一次不等式的解法，分别解出两个不等式的解集；第二步，利用 “大小小大中间找” 的口诀，确定两个解集的公共部分；第三步，根据数轴表示不等式解集的规则，将结果画在数轴上，注意区分空心圆圈和实心圆点。
17．下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务
解不等式
解： 去分母， 得x+2>3(x-2)
第一步 去括号， 得x+2>3x-6
第二步 移项，合并同类项，得-2x>-8
第三步 两边都除以-2，得x>4
第四步 所以，原不等式的解集为x>4.
（1）任务一：上述求解过程中，从第　 　步发生错误，具体错误是　 　；
（2）任务二：解不等式
【答案】（1）四；-2x>-8两边都除以-2时，不等号的方向没有改变
（2）解：
3(2+x)≤2(1+2x)+6，
6+3x≤2+4x+6，
3x-4x≤2+6-6，
-x≤2，
x≥-2.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：第四步：系数化为 1 两边同时除以 2，根据不等式的性质，不等号方向必须改变，而-2x>-8两边都除以-2时，不等号的方向没有改变，正确应为：x<4，而原解答写成了 x>4，因此从第四步开始出错。
故答案为：四；-2x>-8两边都除以-2时，不等号的方向没有改变。
【分析】（1）纠错分析：重点考查不等式的性质 3，即两边同乘（或除以）负数时，不等号方向必须改变，而-2x>-8两边都除以-2时，不等号的方向没有改变，需要定位错误步骤并说明原因。
（2）规范求解：按照 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 的步骤解一元一次不等式，尤其注意系数化为 1 时不等号方向的变化。
18．如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题：
（1）图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是　 　图形 (填“轴对称”或“中心对称”)
（2）请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征.
【答案】（1）中心对称
（2）解：如图所示(答案不唯一)：
【知识点】利用旋转设计图案；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：观察图①中的三个图案，将每个图案绕其中心旋转180 ，旋转后的图形都能与原图形完全重合。 结论：这三个图案都是中心对称图形。
故答案为：中心对称。
【分析】（1）中心对称和轴对称图形的定义，再对比图①的三个图案，发现它们都满足 “绕中心旋转 180° 后与自身重合” 的中心对称特征，而非轴对称。
（2）第一步得出的 “中心对称” 要求，在空白网格中设计图案，核心是保证涂阴影的部分关于网格中心对称。
19．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∵DE∥BC，
∴∠AED+∠C＝70°，
∴∠BDE＝∠A+∠AED＝105°．
20．某校为丰富学生的校园生活，准备购买一批足球和篮球.已知购买 2个足球和 3个篮球共需 340元；购买4个足球和 1个篮球共需 280元.
（1）求足球和篮球的单价各是多少元
（2）若学校计划购买足球和篮球共 30个，且总费用不超过 1600元，那么最多可以购买多少个篮球
【答案】（1）解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，
根据题意得：
解得
答：足球的单价为 50元，篮球的单价为 80元；
（2）解：设购买篮球m个，则购买足球(30-m)个，
根据题意得： 80m+50(30-m)≤1600，
解得
由于m为整数，
则m的最大值为 3，
答：最多可以购买 3个篮球.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用二元一次方程组求单价，根据题目给出的两种购买方案，设出两个未知数x和y，列出二元一次方程组，通过代入消元法求解，得到足球和篮球的单价。
（2）利用一元一次不等式求最值，利用第一问求出的单价，设出购买篮球的数量m个，则购买足球(30-m)个，用含该未知数的代数式表示足球数量 80m+50(30-m)， 根据总费用不超过 1600元 列出不等式，求解 德后结合实际意义（数量为整数）确定最大值。

21．项目式学习
项目主题 设计与制作风筝
项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史.以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”.以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程.
驱动任务一 ⑴在正方形网格 (如图 1)中进行风筝骨架的设计：请你以直线 l为对称轴画出风筝骨架的另一半.
驱动任务二 ⑵用细竹条扎制风筝骨架，竹条AC与BD的交点为 O(如图 2)，测得 .下面结论错误的是 ▲(单选题) A. BD平分∠ADC B. △ABO≌△CBO C. BD=AC D. AC⊥BD
驱动任务三 ⑶将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝 (如图 2)进一步改良.若AC=36cm， BD=50cm. 则风筝ABCD面积是 ▲cm2
项目小结 ⑷为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识： ▲
【答案】解：⑴任务一：图形如图所示：
⑵任务二： C.
⑶任务三：900；
⑷在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；轴对称的性质；三角形全等的判定-SSS；多边形的面积
【解析】【解答】解：⑵任务二： ∵AD=CD， AB=CB， BD=BD.
∴△ABD≌△CBD(SSS)， BD是AC 的垂直平分线；
∴∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC，故A选项结论正确，不合题意；AC⊥BD，故D选项结论正确，不合题意；
∴Rt△ABO≌Rt△CBO(HL)故 B选项结论正确，不合题意；
BD与AC不一定正确.故 C选项结论不正确，符合题意；
故选： C.
⑶任务三：四边形 ABCD的面积
故答案为： 900；
⑷项目小结用到的知识：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分.
故答案为：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分.
【分析】（1）这一步是整个项目的起点，核心考查轴对称图形的绘制。解题的关键是利用 “轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分” 这一性质，找到图形顶点关于直线l的对称点，再依次连线，补全风筝骨架。这一步是后续所有分析的基础，也体现了几何知识在手工制作中的实际应用。
（2）这一步是项目的核心，考查全等三角形的判定与性质。题目给出了风筝骨架的边长条件AD=CD，AB=CB，解题的突破口是通过SSS证明△ABD △CBD，进而推出BD是AC的垂直平分线。由全等可以直接推出BD平分∠ADC，也能通过HL证明△ABO △CBO；由垂直平分线的性质，可以得到AC⊥BD；而 “BD=AC” 这一结论，没有任何条件能证明它成立，因此是错误的。 这一步的本质，是用严谨的几何推理来验证风筝骨架设计的合理性。
（3）这一步是项目的成果量化，考查对角线互相垂直的四边形面积公式。因为前面已经证明了AC⊥BD，所以可以直接套用公式S=×AC×BD，代入数值快速计算出风筝的面积。这一步体现了几何公式在实际测量中的高效应用。
（4）这一步是项目的收尾，要求学生从整个制作过程中提炼出用到的数学知识，比如轴对称的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定等。它考查的是学生的归纳总结能力，将实践操作与理论知识建立联系。
22．如图，在△ABC 中， D 是 BC 上的一点，连接AD，作 DE⊥AB 交AB于点E， DF⊥AC交AC于点 F，且AD平分∠BAC，连接EF.
（1）证明： AD 垂直平分EF.
（2）若△ABC的周长为18，面积为24， BC=6，求DE的长.
【答案】（1）证明： ∵DF⊥AC， DE⊥AB，
∴∠AED=∠AFD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
在△AED 和△AFD中，
∴△AED≌△AFD (AAS)，
∴DE=DF， AE=AF，
∴点A 和点 D 在 EF的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分 EF；
（2）解：∵BC=6， △ABC 的周长为18，
∴AB+AC=12，
由(1)得△ADE≌△ADF，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴若△ABC 的周长为18，面积为24， BC=6，则DE=4.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查角平分线性质、全等三角形判定与垂直平分线判定。
(1)先证明得到、，由两点确定一条直线的原理得出垂直平分；
(2)利用角平分线性质得，将的面积拆分为与的面积和，用面积法计算的长度。
23．已知关于 x，y的二元一次方程组 (其中 m是参数).
（1）观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得3x+3y=　 　；(用含 m的代数式表示结果)
（2）若方程组的解满足不等式x+y>0，求 m的取值范围；
（3）在(2)的条件下，若不等式(6m+1)x-6m<1的解集为x>1，请求出整数 m的值；
（4）若关于 x的不等式组 (其中 a是参数)的解集恰好含有两个整数，请直接写出 a的取值范围.
【答案】（1）3+m
（2）解：∵x+y>0， 3x+3y=3+m，
∴3+m>0，
解得m>-3；
（3）解：移项，得(6m+1)x<6m+1.
∵(6m+1)x-6m<1的解集为x>1，
∴6m+1<0，
∵m>-3，
∴整数m的值为-2， - 1；
（4）解：
解得不等式2x-2>a，得
∵不等式组的解集恰好含有两个整数，
∴4设整数的值为k， k+1，
则有
∴2k-4≤a<2k-2， k∴2∴整数 k为 3或 4，
当k=3时，
解得3当k=4时，
解得4当5内必有 3个整数解，不符合题意，舍去；
当a=6时，
4综上， a的取值范围为3【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；不等式的性质；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：已知二元一次方程组：，根据 “整体法”，将方程 (1) 和方程 (2) 直接相加： (2x+y)+(x+2y)=(1+2m)+(2 m) 左边合并同类项得： 3x+3y 右边合并同类项得： 1+2m+2 m=3+m 因此： 3x+3y=3+m
故答案为：3+m。
【分析】（1）考查整体法。面对方程组，不直接求解x和y，而是通过将两个方程直接相加，凑出3x+3y的整体，快速得到用m表示的结果。这一步为后续利用x+y的条件打下了基础，也体现了代数中 “不直接求个体，而求整体” 的技巧。
（2）题目给出x+y>0的条件，我们可以直接利用第 (1) 问的结果，将3x+3y=3+m两边同时除以 3，得到x+y=，再代入不等式求解m的范围。这一步考查的是“将方程组的解转化为参数的不等式”的能力，是衔接方程组与不等式的桥梁。
（3）逆向应用不等式的性质 3。给出不等式(6m+1)x 6m<1，其解集为x>1。根据 “不等式两边除以负数，不等号方向改变” 的性质，可以反推出系数6m+1<0，从而得到m的一个新范围。再结合第 (2) 问的m> 3，取交集后找出范围内的整数解。
（4）根据不等式组的整数解个数，反推参数的取值范围。 解题的关键是先求出不等式组的解集1 / 1广东茂名市信宜市2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷
1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是(　　)
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
2．如图表示的是以下哪个不等式的解集(　　)
A．x>-1 B．x<-1 C．x≥-1 D．x≤-1
3．如图，在△ABC中，若∠A=20°， ∠B=30°，则∠ACD等于(　　)
A．10° B．40° C．60° D．50°
4．如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF．若BC＝6，EC＝4，则平移的距离为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．不等式组 的解集是(　　)
A．x<3 B．x>2 C．26．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何.如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形.则八边形的内角和为 (　　)
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
7．如图，a、b分别表示两个吉祥物的身高，c表示台阶的高度.上面两位小朋友的对话体现的数学原理是(　　)
A．若a>b，c>0， 则 ac> bc B．若a>b，b>c， 则a>c
C．若a>b， 则a+c>b+c D．若a>b，c>0， 则
8．如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
9．如图， 已知△ABC中， AB=5， AC=4， BC=3， AB的垂直平分线分别交 AC，AB于 D， E， 连接 BD， 则 BD的长为 (　　)
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠BAC=60°， AD是∠BAC的平分线， 若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点 N，则PN+PC的最小值是(　　)
A．1 B． C．1.5 D．
11．若 a>b，则 　 　(填“>”或“<”).
12．在Rt△ABC中， ∠B=90°， ∠A=72°，则∠C=　 　.
13．要使代数式 有意义，则x的值可以是　 　.
14．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°， MN是BC的中垂线，交AB于点E.如果AC=2， AB=6，那么△ACE的周长为　 　.
15．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的两边与坐标轴重合，OA=2，OC=1.将长方形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第 2026次旋转结束时，点B的坐标是　 　.
16．解不等式组 并把它的解集表示在数轴上.
17．下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务
解不等式
解： 去分母， 得x+2>3(x-2)
第一步 去括号， 得x+2>3x-6
第二步 移项，合并同类项，得-2x>-8
第三步 两边都除以-2，得x>4
第四步 所以，原不等式的解集为x>4.
（1）任务一：上述求解过程中，从第　 　步发生错误，具体错误是　 　；
（2）任务二：解不等式
18．如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题：
（1）图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是　 　图形 (填“轴对称”或“中心对称”)
（2）请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征.
19．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
20．某校为丰富学生的校园生活，准备购买一批足球和篮球.已知购买 2个足球和 3个篮球共需 340元；购买4个足球和 1个篮球共需 280元.
（1）求足球和篮球的单价各是多少元
（2）若学校计划购买足球和篮球共 30个，且总费用不超过 1600元，那么最多可以购买多少个篮球
21．项目式学习
项目主题 设计与制作风筝
项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史.以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”.以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程.
驱动任务一 ⑴在正方形网格 (如图 1)中进行风筝骨架的设计：请你以直线 l为对称轴画出风筝骨架的另一半.
驱动任务二 ⑵用细竹条扎制风筝骨架，竹条AC与BD的交点为 O(如图 2)，测得 .下面结论错误的是 ▲(单选题) A. BD平分∠ADC B. △ABO≌△CBO C. BD=AC D. AC⊥BD
驱动任务三 ⑶将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝 (如图 2)进一步改良.若AC=36cm， BD=50cm. 则风筝ABCD面积是 ▲cm2
项目小结 ⑷为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识： ▲
22．如图，在△ABC 中， D 是 BC 上的一点，连接AD，作 DE⊥AB 交AB于点E， DF⊥AC交AC于点 F，且AD平分∠BAC，连接EF.
（1）证明： AD 垂直平分EF.
（2）若△ABC的周长为18，面积为24， BC=6，求DE的长.
23．已知关于 x，y的二元一次方程组 (其中 m是参数).
（1）观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得3x+3y=　 　；(用含 m的代数式表示结果)
（2）若方程组的解满足不等式x+y>0，求 m的取值范围；
（3）在(2)的条件下，若不等式(6m+1)x-6m<1的解集为x>1，请求出整数 m的值；
（4）若关于 x的不等式组 (其中 a是参数)的解集恰好含有两个整数，请直接写出 a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项 A（清华大学校徽）：校徽内的文字和图案沿任何直线折叠，两旁的部分都无法完全重合，因此不是轴对称图形。
选项 B（北京大学校徽）：校徽图案沿竖直中线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，因此是轴对称图形。
选项 C（中国人民大学校徽）：校徽图案沿任何直线折叠，两旁的部分都无法完全重合，因此不是轴对称图形。
选项 D（浙江大学校徽）：校徽图案中的鹰形图案沿任何直线折叠，两旁的部分都无法完全重合，因此不是轴对称图形。
综上，只有选项 B 的校徽图案是轴对称图形.
故答案为：B .
【分析】本题的解题思路是紧扣轴对称图形的定义，逐一验证图形是否存在对称轴：先明确轴对称图形的核心判定标准，沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合，对每个校徽图案，尝试寻找是否存在这样的直线，北大校徽存在竖直对称轴，折叠后图案完全重合；其他校徽的文字、图案或线条不对称，不存在能让两侧完全重合的直线，最终确定符合定义的选项。
2．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：看边界点：数轴上在 1处画的是空心圆圈，表示解集不包含这个点，因此不等号是 “>” 或 “<”，排除选项 C、D（含等号）。看方向：折线从 1处向右延伸，数轴上右边的数比左边大，因此表示的是大于 1的数，即x> 1。综上，该数轴表示的是不等式x> 1的解集。
故答案为：A .
【分析】先根据边界点的画法判断是否包含该点：空心圆圈表示不包含，对应 “>” 或 “<”；实心圆点表示包含，对应 “≥” 或 “≤”；再根据折线的方向判断不等号的方向，向右延伸表示 “大于”，向左延伸表示 “小于”， 结合这两点，箭头向右表示大于该点，确定为x>-1，即是确定对应的不等式。
3．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解： 在 △ABC 中，∠ACD 是外角，
∴ ∠ACD=∠A+∠B，
∵∠A=20 ，∠B=30 ，
∴∠ACD=20 +30 =50 。
故答案为：D .
【分析】先识别 ∠ACD 是 △ABC 的外角；根据 “三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，直接用 ∠A+∠B 计算 ∠ACD 的度数；验证结果，选出正确选项
4．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿着射线平移到，，，
∴平移的距离为，
故答案为：A.
【分析】根据图形平移的性质可知平移的距离为的长.
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：已知不等式组：，第一个不等式的解集是 “所有大于 2 的数”；第二个不等式的解集是 “所有小于 3 的数”；两个解集的公共部分，就是 “既大于 2 又小于 3 的数”，即 2故答案为：C .
【分析】本题的解题思路是利用不等式组解集的定义，找两个不等式解集的公共部分：先分别明确每个不等式的解集范围；再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的口诀，判断两个解集的公共部分；本题中 x>2 和 x<3 属于 “大小小大” 的情况，因此解集为中间部分 26．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：多边形内角和的计算公式为： (n 2)×180 ，其中 n 为多边形的边数。本题中杯口是八边形，即 n=8，代入公式： (8 2)×180 =6×180 =1080 ，因此，八边形的内角和为1080 。
故答案为：C .
【分析】本题的解题思路是直接应用多边形内角和公式：先明确多边形内角和公式 (n 2)×180 ，从题目中提取关键信息：杯口是八边形，即边数 n=8；将 n=8 代入公式计算，即可得到内角和的度数。
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由图可知，两个吉祥物原本的身高分别为 a 和 b，且 a>b。当它们都站在高度为 c 的台阶上后，新的高度分别为 a+c 和 b+c。对话 “你还是比我高”说明 a+c>b+c。这一现象体现了不等式的性质：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，即： 若 a>b，则 a+c>b+c。上述性质与选项 C 的表述完全一致。
故答案为：C .
【分析】先从对话和图示中提取核心信息：原本 a>b，加上相同高度 c 后，a+c>b+c 依然成立；再将这一现象与不等式的性质进行匹配，排除乘法、除法、传递性等其他性质，找到 “不等式两边加同一个数，不等号方向不变” 的对应选项
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当时，，即，
∴由图象可知，关于x的不等式的解集是．
故选：A．
【分析】当函数图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC2+BC2=42+32=16+9=25，
AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形，且 ∠C=90 。
∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴AD=BD。
设 BD=x，则 AD=x，CD=AC AD=4 x。
在 Rt△BCD 中，由勾股定理： BD2=BC2+CD2，
即：x2=32+(4 x)2，
x2=9+16 8x+x2，
x=258，
∴BD 的长为 258。
故答案为：A .
【分析】通过勾股定理的逆定理，先判断出△ABC 是直角三角形，为后续使用勾股定理做铺垫，利用垂直平分线转化线段，根据垂直平分线的性质得到AD=BD，将 BD 转化为 AD，从而把 CD 用含 BD 的代数式表示出来，在直角△BCD 中，设BD=AD=x，用x表示CD，再在Rt△BCD中利用勾股定理列方程求解x，解方程即可得到结果。
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；正弦的概念
【解析】【解答】解：过点 P 作 PM⊥AB 于点 M，
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线，且 PN⊥AC，
∴PN=PM，
∴PN+PC=PM+PC，
当 C、P、M 三点共线，且 CM⊥AB 时，PM+PC 的值最小，其最小值就是点 C 到直线 AB 的垂线段长度 CM。
在Rt△AMC 中，∠BAC=60 ，AC=，
∴CM=AC sin60 ===1.5，
∴PN+PC 的最小值为 1.5。
故答案为：C .
【分析】本题的解题思路是利用角平分线的性质，将两条线段和的问题转化为 “将军饮马” 型最短路径问题，根据角平分线的性质，将 PN 转化为点 P 到 AB 的距离 PM，从而把问题转化为求 PM+PC 的最小值，利用 “垂线段最短” 的原理，判断出当 CM⊥AB 时，PM+PC 的值最小，其最小值就是点 C 到 AB 的垂线段长度，在 Rt△ACM 中，利用三角函数或勾股定理计算出 CM 的长度，即为所求的最小值。
11．【答案】<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变：
给 a>b 两边同时乘以，得：，
根据不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变：
给上式两边同时乘以 1，得：，因此，横线上应填 <。
故答案为： .
【分析】先根据 “不等式两边乘正数，不等号方向不变”，由 a>b 推出；再根据 “不等式两边乘负数，不等号方向改变”，推出，结合负数与正数的大小关系，最终得出结论。
12．【答案】18°
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠B=90 ，
∴∠A+∠C=90 ，
∵∠A=72 ，
∴∠C=90 ∠A=90 72 =18 。
故答案为：18 .
【分析】本题的解题思路是直接应用直角三角形的核心性质：两锐角互余，先根据题目中 “Rt△ABC，∠B=90 ”，判断出这是一个直角三角形；利用 “直角三角形的两个锐角之和为90 ”这一性质，直接用90 减去已知锐角的度数，即可快速求出另一个锐角的度数。
13．【答案】2026 (答案不唯一)
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，
因此需满足：x 2026≥0 解得：x≥2026 ，
因此，x 可取任意大于或等于 2026 的数.例如 2026、2027、2030 等（答案不唯一）。
故答案为：2026 .
【分析】本题的解题思路是直接应用二次根式有意义的条件：明确二次根式的核心要求，根号下的被开方数必须大于或等于 0，据此列出不等式 x 2026≥0，解出 x 的取值范围；从取值范围内任选一个数作为答案即可，题目未要求写出所有解，因此答案不唯一
14．【答案】8
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN 是 BC 的中垂线，点 E 在 MN 上，
∴EB=EC，
∵△ACE 的周长为： C△ACE=AC+CE+AE，
将 CE 替换为 EB，
∴C△ACE=AC+EB+AE ，
∵EB+AE=AB，
∴C△ACE=AC+AB，
∵AC=2，AB=6，
∴C△ACE=2+6=8，
故答案为：8 .
【分析】本题的核心解题思路是利用线段垂直平分线的性质进行线段转化，从而简化周长计算：
先识别出 MN 是 BC 的中垂线，因此 E 到 B、C 的距离相等，即 EB=EC；再将△ACE 的周长表达式中的 CE 替换为 EB，发现 AE+EB=AB，因此周长就等于 AC+AB；最后代入已知数值直接计算，无需单独求 CE 和 AE 的长度。
15．【答案】(-2，-1)
【知识点】点的坐标；旋转的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题意，长方形 ABCO 中，OA=2，OC=1，且OA在 x 轴上，OC在 y 轴上，因此初始时B点坐标为(2，1)。
每次逆时针旋转90 ，旋转 4 次后（4×90 =360 ），图形回到初始位置，因此旋转周期为4。
第 1 次旋转后（逆时针90 ）：B(2，1)→B1( 1，2)
第 2 次旋转后（逆时针180 ）：B1( 1，2)→B2( 2， 1)
第 3 次旋转后（逆时针270 ）：B2( 2， 1)→B3(1， 2)
第 4 次旋转后（逆时针360 ）：B3(1， 2)→B4(2，1)，回到初始位置。
计算 2026 除以 4 的余数： 2026÷4=506余2 余数为 2，说明第 2026 次旋转后的位置与第 2 次旋转后的位置相同。
因此，第 2026 次旋转结束时，点 B 的坐标为（ 2， 1）。
故答案为：（ 2， 1） .
【分析】本题的解题思路是先找旋转周期，再用余数定位坐标：先根据长方形的边长确定点 B 的初始坐标；依次写出每次旋转后的坐标，发现每旋转4 次就会回到初始位置，周期为4；用总次数 2026 除以周期 4，通过余数判断第 2026 次旋转对应周期中的位置，从而得到点 B 的坐标。
16．【答案】解：
解不等式①得： x>-1，
解不等式②得： x≤3，
∴原不等式组的解集为-1把它的解集表示在数轴上，如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题的解题思路是先分别求解每个不等式，再取公共部分得到不等式组的解集，最后用数轴表示：第一步，按照一元一次不等式的解法，分别解出两个不等式的解集；第二步，利用 “大小小大中间找” 的口诀，确定两个解集的公共部分；第三步，根据数轴表示不等式解集的规则，将结果画在数轴上，注意区分空心圆圈和实心圆点。
17．【答案】（1）四；-2x>-8两边都除以-2时，不等号的方向没有改变
（2）解：
3(2+x)≤2(1+2x)+6，
6+3x≤2+4x+6，
3x-4x≤2+6-6，
-x≤2，
x≥-2.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：第四步：系数化为 1 两边同时除以 2，根据不等式的性质，不等号方向必须改变，而-2x>-8两边都除以-2时，不等号的方向没有改变，正确应为：x<4，而原解答写成了 x>4，因此从第四步开始出错。
故答案为：四；-2x>-8两边都除以-2时，不等号的方向没有改变。
【分析】（1）纠错分析：重点考查不等式的性质 3，即两边同乘（或除以）负数时，不等号方向必须改变，而-2x>-8两边都除以-2时，不等号的方向没有改变，需要定位错误步骤并说明原因。
（2）规范求解：按照 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 的步骤解一元一次不等式，尤其注意系数化为 1 时不等号方向的变化。
18．【答案】（1）中心对称
（2）解：如图所示(答案不唯一)：
【知识点】利用旋转设计图案；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：观察图①中的三个图案，将每个图案绕其中心旋转180 ，旋转后的图形都能与原图形完全重合。 结论：这三个图案都是中心对称图形。
故答案为：中心对称。
【分析】（1）中心对称和轴对称图形的定义，再对比图①的三个图案，发现它们都满足 “绕中心旋转 180° 后与自身重合” 的中心对称特征，而非轴对称。
（2）第一步得出的 “中心对称” 要求，在空白网格中设计图案，核心是保证涂阴影的部分关于网格中心对称。
19．【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∵DE∥BC，
∴∠AED+∠C＝70°，
∴∠BDE＝∠A+∠AED＝105°．
20．【答案】（1）解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，
根据题意得：
解得
答：足球的单价为 50元，篮球的单价为 80元；
（2）解：设购买篮球m个，则购买足球(30-m)个，
根据题意得： 80m+50(30-m)≤1600，
解得
由于m为整数，
则m的最大值为 3，
答：最多可以购买 3个篮球.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用二元一次方程组求单价，根据题目给出的两种购买方案，设出两个未知数x和y，列出二元一次方程组，通过代入消元法求解，得到足球和篮球的单价。
（2）利用一元一次不等式求最值，利用第一问求出的单价，设出购买篮球的数量m个，则购买足球(30-m)个，用含该未知数的代数式表示足球数量 80m+50(30-m)， 根据总费用不超过 1600元 列出不等式，求解 德后结合实际意义（数量为整数）确定最大值。

21．【答案】解：⑴任务一：图形如图所示：
⑵任务二： C.
⑶任务三：900；
⑷在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；轴对称的性质；三角形全等的判定-SSS；多边形的面积
【解析】【解答】解：⑵任务二： ∵AD=CD， AB=CB， BD=BD.
∴△ABD≌△CBD(SSS)， BD是AC 的垂直平分线；
∴∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC，故A选项结论正确，不合题意；AC⊥BD，故D选项结论正确，不合题意；
∴Rt△ABO≌Rt△CBO(HL)故 B选项结论正确，不合题意；
BD与AC不一定正确.故 C选项结论不正确，符合题意；
故选： C.
⑶任务三：四边形 ABCD的面积
故答案为： 900；
⑷项目小结用到的知识：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分.
故答案为：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分.
【分析】（1）这一步是整个项目的起点，核心考查轴对称图形的绘制。解题的关键是利用 “轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分” 这一性质，找到图形顶点关于直线l的对称点，再依次连线，补全风筝骨架。这一步是后续所有分析的基础，也体现了几何知识在手工制作中的实际应用。
（2）这一步是项目的核心，考查全等三角形的判定与性质。题目给出了风筝骨架的边长条件AD=CD，AB=CB，解题的突破口是通过SSS证明△ABD △CBD，进而推出BD是AC的垂直平分线。由全等可以直接推出BD平分∠ADC，也能通过HL证明△ABO △CBO；由垂直平分线的性质，可以得到AC⊥BD；而 “BD=AC” 这一结论，没有任何条件能证明它成立，因此是错误的。 这一步的本质，是用严谨的几何推理来验证风筝骨架设计的合理性。
（3）这一步是项目的成果量化，考查对角线互相垂直的四边形面积公式。因为前面已经证明了AC⊥BD，所以可以直接套用公式S=×AC×BD，代入数值快速计算出风筝的面积。这一步体现了几何公式在实际测量中的高效应用。
（4）这一步是项目的收尾，要求学生从整个制作过程中提炼出用到的数学知识，比如轴对称的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定等。它考查的是学生的归纳总结能力，将实践操作与理论知识建立联系。
22．【答案】（1）证明： ∵DF⊥AC， DE⊥AB，
∴∠AED=∠AFD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
在△AED 和△AFD中，
∴△AED≌△AFD (AAS)，
∴DE=DF， AE=AF，
∴点A 和点 D 在 EF的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分 EF；
（2）解：∵BC=6， △ABC 的周长为18，
∴AB+AC=12，
由(1)得△ADE≌△ADF，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴若△ABC 的周长为18，面积为24， BC=6，则DE=4.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查角平分线性质、全等三角形判定与垂直平分线判定。
(1)先证明得到、，由两点确定一条直线的原理得出垂直平分；
(2)利用角平分线性质得，将的面积拆分为与的面积和，用面积法计算的长度。
23．【答案】（1）3+m
（2）解：∵x+y>0， 3x+3y=3+m，
∴3+m>0，
解得m>-3；
（3）解：移项，得(6m+1)x<6m+1.
∵(6m+1)x-6m<1的解集为x>1，
∴6m+1<0，
∵m>-3，
∴整数m的值为-2， - 1；
（4）解：
解得不等式2x-2>a，得
∵不等式组的解集恰好含有两个整数，
∴4设整数的值为k， k+1，
则有
∴2k-4≤a<2k-2， k∴2∴整数 k为 3或 4，
当k=3时，
解得3当k=4时，
解得4当5内必有 3个整数解，不符合题意，舍去；
当a=6时，
4综上， a的取值范围为3【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；不等式的性质；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：已知二元一次方程组：，根据 “整体法”，将方程 (1) 和方程 (2) 直接相加： (2x+y)+(x+2y)=(1+2m)+(2 m) 左边合并同类项得： 3x+3y 右边合并同类项得： 1+2m+2 m=3+m 因此： 3x+3y=3+m
故答案为：3+m。
【分析】（1）考查整体法。面对方程组，不直接求解x和y，而是通过将两个方程直接相加，凑出3x+3y的整体，快速得到用m表示的结果。这一步为后续利用x+y的条件打下了基础，也体现了代数中 “不直接求个体，而求整体” 的技巧。
（2）题目给出x+y>0的条件，我们可以直接利用第 (1) 问的结果，将3x+3y=3+m两边同时除以 3，得到x+y=，再代入不等式求解m的范围。这一步考查的是“将方程组的解转化为参数的不等式”的能力，是衔接方程组与不等式的桥梁。
（3）逆向应用不等式的性质 3。给出不等式(6m+1)x 6m<1，其解集为x>1。根据 “不等式两边除以负数，不等号方向改变” 的性质，可以反推出系数6m+1<0，从而得到m的一个新范围。再结合第 (2) 问的m> 3，取交集后找出范围内的整数解。
（4）根据不等式组的整数解个数，反推参数的取值范围。 解题的关键是先求出不等式组的解集1 / 1

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