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第1节　导数的概念、运算及几何意义
（时间：60分钟，满分：94分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.下列求导运算正确的是（　　）
A.（ x－）'＝1－
B.[log5（2x＋1）]'＝
C.（5x）'＝5xlog5x
D.（x2cos x）'＝2xcos x－x2sin x
2.（2025·海南海口二模）函数f（x）＝f'（1）x2＋在x＝1处的瞬时变化率是（　　）
A.－2 B.－1
C.0 D.1
3.已知函数f（x）＝＋1，则的值为（　　）
A.－ B.
C. D.0
4.（2026·广东湛江模拟）已知函数f（x）＝ex＋2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）
A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1
C.y＝2x D.y＝3x
5.（2025·北京市第二中学二模）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1－x）ex的切线有且仅有1条，则a＝（　　）
A.－3 B.3 C.－3或1 D.3或1
6.〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f'（x））'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在（ 0，）上是凸函数的是（　　）
A.f（x）＝sin x＋cos x B.f（x）＝ln x－2x
C.f（x）＝－x3＋2x－1 D.f（x）＝－xe－x
7.已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g'（x）是g（x）的导函数，则g'（3）＝　　　　.　
8.曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为　　　　，　　　　.
9.（13分）已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）.
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
（2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
10.过原点且与曲线y＝xsin x相切的直线有（　　）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
11.若点A（a，a），B（b，eb）（a，b∈R），则A，B两点间距离｜AB｜的最小值为（　　）
A. B.
C.1 D.2
12.（2026·山东济宁模拟）曲线y＝（a＞0）与y＝ln x和y＝ex分别交于A，B两点，设曲线y＝ln x在点A处的切线斜率为k1，y＝ex在点B处的切线斜率为k2，若k1＋k2＝，则a＝（　　）
A.2ln 2　　B.2ln 3　　C.3ln 2　　D.3ln 3
13.（2025·山东淄博一模）已知定义在R上的函数f（x），f'（x）为f（x）的导函数，f'（x）定义域也是R，f（x）满足f（x＋1 012）－f（1 013－x）＝4x＋1，则f'（i）＝　　　　.
14.（15分）设函数f（x）＝ax－，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0.
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
15.〔创新解法〕牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义xk（k∈N）是函数零点近似解的初始值，在点Pk（xk，f（xk））处的切线方程为y＝f'（xk）（x－xk）＋f（xk），切线与x轴交点的横坐标为xk＋1，即函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精确度的初始值即函数零点近似解.设函数f（x）＝x2－5，满足x0＝1.应用上述方法，则x3＝（　　）
A.3　　　　　　　　　　　B.　　　　　　　　　 　C.　　　　　　　　 　　D.
第1节　导数的概念、运算及几何意义
1.D　2.A　3.A　4.B　
5.C　设切点为（x0，（1－x0）），由已知得y'＝－xex，则切线斜率k＝－x0，切线方程为y－（1－x0）＝－x0（x－x0），直线过点A（a，0），则－（1－x0）＝－x0（a－x0），化简得－（a＋1）x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝（a＋1）2－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即（a＋3）（a－1）＝0，解得a＝－3或1.故选C.
6.ABC　对于A选项，f（x）＝sin x＋cos x，则f″（x）＝－sin x－cos x，当x∈（ 0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于B选项，f（x）＝ln x－2x，则f″（x）＝－，当x∈（ 0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于C选项，f（x）＝－x3＋2x－1，则f″（x）＝－6x＜0在x∈（ 0，）上恒成立，是凸函数；对于D选项，f（x）＝－xe－x，则f″（x）＝2e－x－xe－x＝（2－x）e－x，则f″（x）＞0在x∈（ 0，）上恒成立，故不是凸函数.故选A、B、C.
7.0　8.y＝x　y＝－x
9.解：f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）.
（1）由题意得
解得b＝0，a＝－3或1.
（2）因为曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4（1－a）2＋12a（a＋2）＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.
所以a的取值范围为（ －∞，－）∪（ －，＋∞）.
10.C　令f（x）＝xsin x，则f'（x）＝sin x＋xcos x.设切点坐标为（x0，x0sin x0），当x0＝0时，切线的斜率为f'（0）＝0，切线方程为y＝0；当x0≠0时，因为切线过原点，所以＝sin x0＋x0cos x0，所以x0cos x0＝0，所以x0＝0（舍去）或cos x0＝0，所以sin x0＝±1，即切线的斜率为±1，则切线方程为y＝±x，综上，切线共有3条.
11.B　点A（a，a）在直线y＝x上，点B（b，eb）在曲线y＝ex上，即求｜AB｜的最小值等价于求直线y＝x上的点到曲线y＝ex上的点的距离的最小值，过y＝ex上的点（m，em）作y＝ex的切线，可得切线方程为y－em＝em（x－m），令em＝1，可得m＝0，故该切线方程为y＝x＋1，则直线y＝x＋1与y＝x的距离即为｜AB｜的最小值，此时｜AB｜＝＝，即｜AB｜min＝.
12.A　因为y＝ln x和y＝ex互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，且反比例函数y＝（a＞0）的图象也关于直线y＝x对称，可知点A，B关于直线y＝x对称，设A（x0，ln x0），x0＞1，则B（ln x0，x0），设f（x）＝ln x，g（x）＝ex，则f'（x）＝，g'（x）＝ex，由题意可得：k1＋k2＝＋＝＋x0＝，解得x0＝2或x0＝（舍去），可得A（2，ln 2），则＝ln 2，所以a＝2ln 2.故选A.
13.4 048　解析：对f（x＋1 012）－f（1 013－x）＝4x＋1两边同时求导得f'（x＋1 012）＋f'（1 013－x）＝4，即f'（x）＋f'（2 025－x）＝4，则f'（1）＋f'（2 024）＝4，f'（2）＋f'（2 023）＝4，…，f'（1 012）＋f'（1 013）＝4，则f'（i）＝4×1 012＝4 048.
14.解：（1）f'（x）＝a＋，
又根据切线方程可知
解得所以f（x）＝x－.
（2）设P（x0，y0）为曲线y＝f（x）上任一点，
由y'＝1＋知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（ 1＋）（x－x0），
即y－（ x0－）＝（ 1＋）（x－x0）.
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为（ 0，－）.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0，2x0）.
所以S＝｜－｜·｜2x0｜＝6.
故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
15.C　因为f（x）＝x2－5，所以f'（x）＝2x，因为x0＝1，所以f（x0）＝f（1）＝－4，f'（x0）＝2，则在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＋4＝2（x－1）.令y＝0，则x1＝3，则f（x1）＝4，f'（x1）＝6，则在点（x1，f（x1））处的切线方程为y－4＝6（x－3）.令y＝0，则x2＝，则f（x2）＝，f'（x2）＝，则在点（x2，f（x2））处的切线方程为y－＝（ x－）.令y＝0，则x3＝.故选C.
1 / 1第1节　导数的概念、运算及几何意义
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（形如f（ax＋b））的导数.
知识梳理
1.导数的概念
（1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值，即＝　　　　　　　　　　叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率；
提醒：Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝叫做函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝；
（3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝.
提醒：f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f（x0））'＝0.
2.导数的几何意义
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的　　　　，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝　　　
f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝　　　
f（x）＝sin x f'（x）＝　　　
f（x）＝cos x f'（x）＝　　　
f（x）＝ex f'（x）＝　　　
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　　
f（x）＝ln x f'（x）＝　　　
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　　
4.导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]'＝　　　　　　；
（2）[f（x）g（x）]'＝　　　　　　　　；
（3）［］'＝　　　　　　　　（g（x）≠0）；
（4）[cf（x）]'＝　　　　.
5.复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝　　　　　　.
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数. 2.函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，｜f'（x）｜的大小反映了f（x）图象变化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（　　）
（2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）.　（　　）
（3）函数y＝sin 的导数为y'＝cos .（　　）
（4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（　　）
（5）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（　　）
2.下列函数的求导正确的是（　　）
A.（x－2）'＝－2x　　
B.（xcos x）'＝cos x－xsin x
C.（ln 10）'＝
D.（e2x）'＝2ex
3.函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（　　）
4.已知函数f（x）满足f（x）＝f'（ ）cos x－sin x，则f'（ ）＝　　　　.
5.（2026·浙江杭州模拟）曲线y＝3x在点（0，1）处的切线方程是　　　　.
导数的基本概念
（基础自学过关）
1.设f（x）在x＝x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（　　）
A. B.
C. D.
2.函数f（x）的图象如图所示，f'（x）为函数f（x）的导函数，下列数值排序正确的是（　　）
A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
C.0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2）
D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2－7x＋15（其中0≤x≤8）.则第2 h～4 h中，原油温度的平均变化率为　　　　，第6 h时原油温度的瞬时变化率为　　　　，在第6 h附近原油的温度在　　　　（填“上升”或“下降”）.
4.（2025·贵州六盘水一模）将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m＝　　　　.
求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求平均变化率＝； （2）求瞬时变化率，即取极限，得到f'（x0）.　
导数的运算
（基础自学过关）
1.〔多选〕下列求导正确的是（　　）
A.（e－2x＋1）'＝e－2x＋1 B.（x3ln x）'＝3x2ln x＋x2
C.（ ）'＝ D.[（3x＋5）3]'＝9（3x＋5）2
2.已知函数f（x）＝2f'（3）x－x2＋ln x（f'（x）是f（x）的导函数），则f（1）＝（　　）
A.－ B.－ C. D.
3.设函数f（x）＝，若f'（ ）＝0，则a＝　　　　.
4.已知f（x）＝x（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＋2 026，则f'（0）＝　　　　.
函数求导应遵循的原则 （1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； （2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混； （3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导. 提醒：当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可.
导数的几何意义及应用
（定向精析突破）
考向1　求切线方程
（1）（2024·全国甲卷6题）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）
A. B.
C. D.
（2）〔多选〕（2026·陕西商洛模拟）过点（1，0）向曲线y＝x3－x作切线，则切线方程可能是（　　）
A.2x－y－2＝0 B.3x－y－3＝0
C.x＋4y－1＝0 D.2x＋y－2＝0
听课记录
1.求在切点P（x0，f（x0））处曲线的切线方程 （1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率； （2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. 2.求过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程 （1）设切点坐标P'（x1，f（x1））； （2）写出在点P'（x1，f（x1））处的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）； （3）将点P（x0，y0）代入求x1的值，再代入得所求切线方程. 提醒：注意“过”与“在”的区别，前者不一定为切点，而后者一定为切点.
考向2　求切点坐标
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　　　　.
听课记录
　　求切点坐标的一般步骤
考向3　求参数的值（范围）
（2025·全国Ⅰ卷12题）若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝　　　.
听课记录
利用导数的几何意义求参数的基本方法 　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围. 提醒：（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上.
训练 （1）设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝x上，则｜PQ｜的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
（2）（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　.
第1节　导数的概念、运算及几何意义
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）
2.斜率
3.0　αxα－1　cos x　－sin x　ex　axln a　　
4.（1）f'（x）±g'（x）　
（2）f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　
（3）
（4）cf'（x）
5.y'u·u'x
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√　（5）×
2.B　3.B　4.1－　5.xln 3－y＋1＝0
【研透核心考点】
考点1
1.B　2.B　3.－1 ℃/h　5 ℃/h　上升　4.2　
考点2
1.BD　2.D　3.1　4.24
考点3
【例1】　（1）A　（2）AC　解析：（1）f'（x）＝，
所以f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（ －，0），所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝.故选A.
（2）令f（x）＝x3－x，则f'（x）＝3x2－1.设切点坐标为（x0，－x0），则切线方程为y－（－x0）＝（3－1）（x－x0），将（1，0）代入，整理得2－3＋1＝2－2－＋1＝0，即（x0－1）2（2x0＋1）＝0，解得x0＝1或x0＝－.当x0＝1时，切线方程为2x－y－2＝0；当x0＝－时，切线方程为x＋4y－1＝0.故选A、C.
【例2】　（e，1）　解析：设A（m，n），则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝（x－m）.又切线过点（－e，－1），所以有n＋1＝（m＋e）.再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为（e，1）.
【例3】　4　解析：设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为（x0，＋x0＋a），由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y'＝＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为（0，1＋a），又切点（0，1＋a）在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4.
【训练】　（1）B　（2）（－∞，－4）∪（0，＋∞）
解析：（1）令y'＝ex＝，得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得y＝e－1＝，所以｜PQ｜的最小值即为点（ －1，）到直线y＝x的距离d＝.
（2）因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0，（x0＋a）），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y'＝（x0＋a＋1）＝，化简，得＋ax0－a＝0.因为曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.
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第1节　导数的概念、运算及几何意义
课标要求
1. 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2. 通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3. 能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（形如f（ax＋b））的导数.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 导数的概念
（1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值 ，即
＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变
化率；
提醒：Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
　
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬
时变化率 ＝ 叫做函数y＝f（x）在x＝
x0处的导数，记作f'（x0）或y' ，即f'（x0）＝ ＝
；
（3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f
（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'
（x）＝y'＝ .
提醒：f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数
值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f
（x0））'＝0.
2. 导数的几何意义
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处
切线的 ，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝
＝f'（x0）.
3. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝
f（x）＝xα（α∈R，且
α≠0） f'（x）＝
f（x）＝ sin x f'（x）＝
斜率　
0　
αxα－1　
cos x　
基本初等函数 导数
f（x）＝ cos x f'（x）＝
f（x）＝ex f'（x）＝
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ln x f'（x）＝
f（x）＝logax（a＞0，且
a≠1） f'（x）＝
－ sin x　
ex　
axln a　
　
　
4. 导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]'＝ ；
（2）[f（x）g（x）]'＝ ；
（3）［ ］'＝ 　 　（g（x）≠0）；
（4）[cf（x）]'＝ .
5. 复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数
间的关系为y'x＝ .
f'（x）±g'（x）　
f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　
　
cf'（x）　
y'u·u'x　
1. 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函
数的导数还是周期函数.
2. 函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其
正负号反映了变化的方向，｜f'（x）｜的大小反映了f（x）图象变化的快
慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率. （　×　）
（2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）. （　×　）
（3）函数y＝ sin 的导数为y'＝ cos . （　×　）
（4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. （　√　）
（5）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. （　×　）
×
×
×
√
×
2. 下列函数的求导正确的是（　　）
A. （x－2）'＝－2x
B. （x cos x）'＝ cos x－x sin x
C. （ln 10）'＝
D. （e2x）'＝2ex
√
解析： 　（x－2）'＝－2x－3，∴A错误；（x cos x）'＝ cos x－x sin x，
∴B正确；（ln 10）'＝0，∴C错误；（e2x）'＝2e2x，∴D错误.故选B.
3. 函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（　　）
√
解析： 　由导数的几何意义可知，f'（x）为常数，且f'（x）＜0.
4. 已知函数f（x）满足f（x）＝f'（ ） cos x－ sin x，则f'（ ）＝
.
解析：f'（x）＝－f'（ ） sin x－ cos x，令x＝ ，得f'（ ）＝－ f'
（ ）－ ，解得f'（ ）＝1－ .
1－
　
5. （2026·浙江杭州模拟）曲线y＝3x在点（0，1）处的切线方程是
.
解析：由题设y'＝3xln 3，则切线斜率k＝ln 3，所以曲线y＝3x在点（0，
1）处的切线方程是y－1＝ln 3·（x－0），即xln 3－y＋1＝0.
xln
3－y＋1＝0　
02
PART
研透核心考点
导数的基本概念（基础自学过关）
1. 设f（x）在x＝x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（　　）
A.
B.
C.
D.
√
解析： 　对于A， ＝－ ＝－f'（x0），A错误；对于B， ＝f'（x0），B正确；对于C， ＝2 ＝2f'（x0），C错误；对于D， ＝－ ＝－f'（x0），D错误.故选B.
2. 函数f（x）的图象如图所示，f'（x）为函数f（x）的导函数，下列数
值排序正确的是（　　）
A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B. 0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
C. 0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2）
D. 0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
√
解析： 　过点A作切线lA，过点B作切线lB，连接AB，得到直线lAB，由
图可知，lA的斜率＞lAB的斜率＞lB的斜率，即f'（2）＞ ＞f'
（3）＞0，所以0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选B.
3. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却
和加热.已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2－7x＋15
（其中0≤x≤8）.则第2 h～4 h中，原油温度的平均变化率为
，第6 h时原油温度的瞬时变化率为 ，在第6 h附近原油的
温度在 （填“上升”或“下降”）.
－1
℃/h　
5 ℃/h　
上升　
解析：第2 h～4 h中，原油温度的平均变化率为 ＝－1
（℃/h）.第6 h时原油温度的瞬时变化率为f'（6），由导数的定义， ＝
＝ ＝
＝Δx＋5，故f'（6）＝ ＝ （Δx＋5）＝5，由f'
（6）＞0，故在第6 h附近原油的温度在上升.
4. （2025·贵州六盘水一模）将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝
m时球的体积膨胀率为 ，则m＝ .
解析：因为V＝ R3，体积的增加量ΔV＝ m3－ ＝ （m3－1），所
以 ＝ ＝ ，所以m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍
去）.
2　
求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求平均变化率 ＝ ；
（2）求瞬时变化率，即取极限 ，得到f'（x0）.
导数的运算（基础自学过关）
1. 〔多选〕下列求导正确的是（　　）
A. （e－2x＋1）'＝e－2x＋1
B. （x3ln x）'＝3x2ln x＋x2
C. （ ）'＝
D. [（3x＋5）3]'＝9（3x＋5）2
√
√
解析： 　对于A，（e－2x＋1）'＝－2e－2x＋1，故A错误；对于B，（x3ln
x）'＝（x3）'ln x＋x3（ln x）'＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于C，（ ）
'＝ ＝ ，故C错误；对于D，[（3x＋5）
3]'＝3（3x＋5）2（3x＋5）'＝9（3x＋5）2，故D正确.
2. 已知函数f（x）＝2f'（3）x－ x2＋ln x（f'（x）是f（x）的导函
数），则f（1）＝（　　）
A. － B. －
C. D.
√
解析： 　由题意得f'（x）＝2f'（3）－ x＋ ，∴f'（3）＝2f'（3）－
＋ ，得f'（3）＝1，∴f（x）＝2x－ x2＋ln x，∴f（1）＝2－ ＝ ，
故选D.
3. 设函数f（x）＝ ，若f'（ ）＝0，则a＝ .
解析：由f（x）＝ ，得f'（x）＝ ＝
，所以f'（ ）＝ ＝0，得a＝1.
1　
4. 已知f（x）＝x（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＋2 026，则f'
（0）＝ .
解析：令g（x）＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4），则f（x）＝
xg（x）＋2 026，所以f'（x）＝g（x）＋xg'（x），所以f'（0）＝g
（0）＝1×2×3×4＝24.
24　
函数求导应遵循的原则
（1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求
导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
（2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记
错记混；
（3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，
确定复合过程，然后求导.
提醒：当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把
待定系数看成常数，再根据题意求解即可.
导数的几何意义及应用（定向精析突破）
考向1　求切线方程
（1）（2024·全国甲卷6题）设函数f（x）＝ ，则曲线y＝f
（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（　A　）
A. B. C. D.
A
解析： f'（x）＝ ，所以f'（0）＝3，所
以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x
－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－ ，0），所以
切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ×1× ＝ .故选A.
（2）〔多选〕（2026·陕西商洛模拟）过点（1，0）向曲线y＝x3－x作切
线，则切线方程可能是（　AC　）
A. 2x－y－2＝0 B. 3x－y－3＝0
C. x＋4y－1＝0 D. 2x＋y－2＝0
AC
解析： 令f（x）＝x3－x，则f'（x）＝3x2－1.设切点坐标为（x0， －
x0），则切线方程为y－（ －x0）＝（3 －1）（x－x0），将（1，
0）代入，整理得2 －3 ＋1＝2 －2 － ＋1＝0，即（x0－1）2
（2x0＋1）＝0，解得x0＝1或x0＝－ .当x0＝1时，切线方程为2x－y－2
＝0；当x0＝－ 时，切线方程为x＋4y－1＝0.故选A、C.
1. 求在切点P（x0，f（x0））处曲线的切线方程
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P
（x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
2. 求过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程
（1）设切点坐标P'（x1，f（x1））；
（2）写出在点P'（x1，f（x1））处的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x
－x1）；
（3）将点P（x0，y0）代入求x1的值，再代入得所求切线方程.
提醒：注意“过”与“在”的区别，前者不一定为切点，而后者一定
为切点.
考向2　求切点坐标
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处
的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标
是 .
解析：设A（m，n），则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝
（x－m）.又切线过点（－e，－1），所以有n＋1＝ （m＋e）.再由n
＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为（e，1）.
（e，1）　
　　求切点坐标的一般步骤
考向3　求参数的值（范围）
（2025·全国Ⅰ卷12题）若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切
线，则a＝ .
解析：设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为（x0， ＋x0
＋a），由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y' ＝ ＋1＝2，解得
x0＝0，所以切点坐标为（0，1＋a），又切点（0，1＋a）在切线y＝2x
＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4.
4　
利用导数的几何意义求参数的基本方法
　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程
（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.
提醒：（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又
在曲线上.
训练 （1）设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝ x上，则｜PQ｜的最
小值为（　B　）
A. B.
C. D.
解析： 令y'＝ex＝ ，得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得y＝e－1＝ ，所
以｜PQ｜的最小值即为点（－1， ）到直线y＝ x的距离d＝ .
B
（2）（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的
切线，则a的取值范围是 .
解析：因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0，
（x0＋a） ），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y' ＝
（x0＋a＋1） ＝ ，化简，得 ＋ax0－a＝0.因为曲线y
＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程 ＋ax0－a
＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的
取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.
（－∞，－4）∪（0，＋∞）　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：94分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 下列求导运算正确的是（　　）
A. （x－ ）'＝1－
B. [log5（2x＋1）]'＝
C. （5x）'＝5xlog5x
D. （x2 cos x）'＝2x cos x－x2 sin x
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√
解析： 　对于A， '＝1＋ ，对于B，[log5（2x＋1）]'＝
，对于C，（5x）'＝5xln 5.故A、B、C错误，D正确.
2. （2025·海南海口二模）函数f（x）＝f'（1）x2＋ 在x＝1处
的瞬时变化率是（　　）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
√
解析： 　f'（x）＝2f'（1）x＋ ＝2f'（1）x＋
，令x＝1，可得f'（1）＝2f'（1）＋2，解得f'（1）＝－2.
故选A.
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3. 已知函数f（x）＝ ＋1，则 的值为（　　）
A. － B.
C. D. 0
√
解析： 　由f（x）＝ ＋1，得f'（x）＝ ，所以
＝－ ＝－f'（1）＝－
× ＝－ .
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4. （2026·广东湛江模拟）已知函数f（x）＝ex＋2x，则曲线y＝f（x）
在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）
A. y＝2x＋1 B. y＝3x＋1
C. y＝2x D. y＝3x
√
解析： 　由f（x）＝ex＋2x，得f'（x）＝ex＋2，则f（0）＝1，f'（0）
＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x＋1.
故选B.
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5. （2025·北京市第二中学二模）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1－
x）ex的切线有且仅有1条，则a＝（　　）
A. －3 B. 3
C. －3或1 D. 3或1
√
解析： 　设切点为（x0，（1－x0） ），由已知得y'＝－xex，则切线
斜率k＝－x0 ，切线方程为y－（1－x0） ＝－x0 （x－x0），直
线过点A（a，0），则－（1－x0） ＝－x0 （a－x0），化简得
－（a＋1）x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝（a＋1）2－4＝0，化简
得a2＋2a－3＝0，即（a＋3）（a－1）＝0，解得a＝－3或1.故选C.
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6. 〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导
函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″
（x）＝（f'（x））'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上
为凸函数.以下四个函数在（0， ）上是凸函数的是（　　）
A. f（x）＝ sin x＋ cos x B. f（x）＝ln x－2x
C. f（x）＝－x3＋2x－1 D. f（x）＝－xe－x
√
√
√
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解析： 　对于A选项，f（x）＝ sin x＋ cos x，则f″（x）＝－ sin x－
cos x，当x∈（0， ）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于B选项，f
（x）＝ln x－2x，则f″（x）＝－ ，当x∈（0， ）时，恒有f″（x）
＜0，是凸函数；对于C选项，f（x）＝－x3＋2x－1，则f″（x）＝－6x
＜0在x∈（0， ）上恒成立，是凸函数；对于D选项，f（x）＝－xe－
x，则f″（x）＝2e－x－xe－x＝（2－x）e－x，则f″（x）＞0在x∈（0，
）上恒成立，故不是凸函数.故选A、B、C.
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7. 已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）
在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g'（x）是g（x）的导函数，则
g'（3）＝ .　
0　
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解析：由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处切线的斜率等于－ ，∴f'
（3）＝－ .∵g（x）＝xf（x），∴g'（x）＝f（x）＋xf'（x），∴g'
（3）＝f（3）＋3f'（3），又由题图可知f（3）＝1，∴g'（3）＝1＋3×
（－ ）＝0.
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8. 曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为 ，
.
解析：先求当x＞0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为（x0，
y0），则由y'＝ ，得切线斜率为 ，又切线的斜率为 ，所以 ＝ ，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为 ，切线方程为y＝
x.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－ x.综上可知，两条切线方程
为y＝ x，y＝－ x.
y＝ x　
y＝
－ x　
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9. （13分）已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，
b∈R）.
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，
b的值；
（1）由题意得
解得b＝0，a＝－3或1.
解：f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）.
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解：因为曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）＝0有两个不相等的实
数根，
所以Δ＝4（1－a）2＋12a（a＋2）＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－ .所以a的取值范围为（－∞，－ ）∪
（－ ，＋∞）.
（2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
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10. 过原点且与曲线y＝x sin x相切的直线有（　　）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
√
解析： 　令f（x）＝x sin x，则f'（x）＝ sin x＋x cos x.设切点坐标为
（x0，x0 sin x0），当x0＝0时，切线的斜率为f'（0）＝0，切线方程为y＝
0；当x0≠0时，因为切线过原点，所以 ＝ sin x0＋x0 cos x0，所以x0
cos x0＝0，所以x0＝0（舍去）或 cos x0＝0，所以 sin x0＝±1，即切线的斜
率为±1，则切线方程为y＝±x，综上，切线共有3条.
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11. 若点A（a，a），B（b，eb）（a，b∈R），则A，B两点间距
离｜AB｜的最小值为（　　）
A. B.
C. 1 D. 2
√
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解析： 点A（a，a）在直线y＝x上，点B（b，eb）在曲线y＝ex
上，即求｜AB｜的最小值等价于求直线y＝x上的点到曲线y＝ex上的点
的距离的最小值，过y＝ex上的点（m，em）作y＝ex的切线，可得切线
方程为y－em＝em（x－m），令em＝1，可得m＝0，故该切线方程为y
＝x＋1，则直线y＝x＋1与y＝x的距离即为｜AB｜的最小值，此时｜
AB｜＝ ＝ ，即｜AB｜min＝ .
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12. （2026·山东济宁模拟）曲线y＝ （a＞0）与y＝ln x和y＝ex分别交
于A，B两点，设曲线y＝ln x在点A处的切线斜率为k1，y＝ex在点B处的
切线斜率为k2，若k1＋k2＝ ，则a＝（　　）
A. 2ln 2 B. 2ln 3
C. 3ln 2 D. 3ln 3
√
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解析： 因为y＝ln x和y＝ex互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，
且反比例函数y＝ （a＞0）的图象也关于直线y＝x对称，可知点A，B
关于直线y＝x对称，设A（x0，ln x0），x0＞1，则B（ln x0，x0），设f
（x）＝ln x，g（x）＝ex，则f'（x）＝ ，g'（x）＝ex，由题意可得：
k1＋k2＝ ＋ ＝ ＋x0＝ ，解得x0＝2或x0＝ （舍去），可得A
（2，ln 2），则 ＝ln 2，所以a＝2ln 2.故选A.
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13. （2025·山东淄博一模）已知定义在R上的函数f（x），f'（x）为f
（x）的导函数，f'（x）定义域也是R，f（x）满足f（x＋1 012）－f（1
013－x）＝4x＋1，则 f'（i）＝ .
解析：对f（x＋1 012）－f（1 013－x）＝4x＋1两边同时求导得f'（x＋1
012）＋f'（1 013－x）＝4，即f'（x）＋f'（2 025－x）＝4，则f'（1）＋f'
（2 024）＝4，f'（2）＋f'（2 023）＝4，…，f'（1 012）＋f'（1 013）＝
4，则 f'（i）＝4×1 012＝4 048.
4 048　
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14. （15分）设函数f（x）＝ax－ ，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））
处的切线方程为7x－4y－12＝0.
（1）求f（x）的解析式；
解： f'（x）＝a＋ ，
又根据切线方程可知
解得 所以f（x）＝x－ .
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（2）证明：曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所
围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
解： 设P（x0，y0）为曲线y＝f（x）上任一点，
由y'＝1＋ 知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（1＋ ）
（x－x0），
即y－（x0－ ）＝（1＋ ）（x－x0）.
令x＝0得y＝－ ，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为（0，－ ）.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0，2x0）.
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所以S＝ ｜－ ｜·｜2x0｜＝6.
故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形
的面积为定值，此定值为6.
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15. 〔创新解法〕牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一
种方法.若定义xk（k∈N）是函数零点近似解的初始值，在点Pk（xk，f
（xk））处的切线方程为y＝f'（xk）（x－xk）＋f（xk），切线与x轴交
点的横坐标为xk＋1，即函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足
精确度的初始值即函数零点近似解.设函数f（x）＝x2－5，满足x0＝1.应
用上述方法，则x3＝（　　）
A. 3 B.
√
C. D.
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解析： 　因为f（x）＝x2－5，所以f'（x）＝2x，因为x0＝1，所以f
（x0）＝f（1）＝－4，f'（x0）＝2，则在点（x0，f（x0））处的切线方
程为y＋4＝2（x－1）.令y＝0，则x1＝3，则f（x1）＝4，f'（x1）＝6，
则在点（x1，f（x1））处的切线方程为y－4＝6（x－3）.令y＝0，则x2
＝ ，则f（x2）＝ ，f'（x2）＝ ，则在点（x2，f（x2））处的切线方
程为y－ ＝ （x－ ）.令y＝0，则x3＝ .故选C.
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