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第2节　导数与函数的单调性
（时间：60分钟，满分：92分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.函数f（x）＝xln x＋1的单调递减区间是（　　）
A.（ －∞，） B.（ ，＋∞）
C.（ 0，） D.（e，＋∞）
2.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
3.关于x的不等式－ln x＞0的解集是（　　）
A.（0，1） B.（－∞，e）
C.（e，＋∞） D.（0，e）
4.（2026·浙江金华调考）已知函数f（x）＝3x＋2cos x.若a＝f（），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
5.已知函数f（x）＝x3＋2x－sin x，若f（2a2）＋f（a－1）≤0，则实数a的取值范围为（　　）
A.（ －∞，－］∪[1，＋∞）
B.
C.（－∞，－1]∪
D.
6.〔多选〕（2025·广东茂名一模）若f（x）＝－x3＋x2＋2x＋1是区间（m－1，m＋4）上的单调函数，则实数m的值可以是（　　）
A.－4 B.－3
C.3 D.4
7.已知函数f（x）＝＋＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是　　　　.
8.已知函数f（x）满足下列条件：①f（x）的导函数f'（x）为偶函数；②f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，则f（x）的一个解析式为f（x）＝　　　　.（答案不唯一）
9.（10分）（2026·江西吉安质检）已知函数f（x）＝3aln x－x2－（a－3）x，试讨论f（x）的单调性.
10.若函数h（x）＝ln x－ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（　　）
A.[－1，＋∞）　　　　　
B.（－1，＋∞）
C.（ －∞，－］
D.（ －∞，－）
11.（2026·四川成都调研）已知函数f（x）＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f（2x－3）＋f（x）＞2的解集为（　　）
A.（－∞，－1） B.（－1，0）
C.（0，1） D.（1，＋∞）12.〔多选〕已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则g（x）＝（　　）
A.在区间（0，1）上单调递增
B.在区间（1，4）上单调递减
C.在区间（ 1，）上单调递减
D.在区间（ ，4）上单调递减
13.函数f（x）＝若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围为　　　　.
14.（15分）（2026·福建厦门模拟）已知函数f（x）＝aln x－ax－3（a∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2·［f'（x）＋］在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围.
15.〔创新设问〕已知函数f（x）＝－ax，当0＜x1＜x2时，不等式－＜0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－∞，e） B.（－∞，e] C.（ －∞，） D.（ －∞，］
第2节　导数与函数的单调性
1.C　2.D　3.D　4.D　5.D　
6.CD　由题意，知f'（x）＝－x2＋x＋2＝－（x－2）（x＋1），令f'（x）＞0，解得－1＜x＜2，令f'（x）＜0，解得x＜－1或x＞2，所以f（x）在（－1，2）上单调递增，在（－∞，－1），（2，＋∞）上单调递减，若函数f（x）＝－x3＋x2＋2x＋1在区间（m－1，m＋4）上单调，则m＋4≤－1或m－1≥2或解得m≤－5或m≥3或m∈ ，即m≤－5或m≥3.故选C、D.
7.（－∞，0）∪（4，＋∞）
8.x3－4x（答案不唯一）
9.解：由题意，f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝－x－（a－3）＝－＝－，
①若a≥0，则当0＜x＜3时，f'（x）＞0，
当x＞3时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减；
②若－3＜a＜0，由f'（x）＜0，得0＜x＜－a或x＞3，由f'（x）＞0，得－a＜x＜3，
∴f（x）在（0，－a），（3，＋∞）上单调递减，在（－a，3）上单调递增；
③若a＝－3，则f'（x）≤0恒成立，
∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减；
④若a＜－3，由f'（x）＜0，得0＜x＜3或x＞－a，
由f'（x）＞0，得3＜x＜－a，
∴f（x）在（0，3），（－a，＋∞）上单调递减，在（3，－a）上单调递增.
10.D　因为函数h（x）＝ln x－ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，所以存在x∈[1，4]，使h'（x）＝－ax－2＞0成立，即存在x∈[1，4]，使a＜－成立，令G（x）＝－，x∈[1，4]，变形得G（x）＝（ －1）2－1，因为x∈[1，4]，所以∈［，1］，所以当＝，即x＝4时，G（x）max＝－，所以a＜－.故选D.
11.D　令g（x）＝f（x）－1＝ex－e－x－2x，定义域为R，且g（－x）＝e－x－ex＋2x＝－g（x），所以g（x）为奇函数，f（2x－3）＋f（x）＞2变形为f（2x－3）－1＞1－f（x），即g（2x－3）＞－g（x）＝g（－x），g'（x）＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以g（x）在R上单调递增，所以2x－3＞－x，解得x＞1，所以所求不等式的解集为（1，＋∞）.
12.AC　当x＝0或x＝2时，f（x）＝0，则函数g（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，2）∪（2，＋∞），排除选项B、D；g'（x）＝，由图易得，当x∈（0，1）时，f（x）＞f'（x），即g'（x）＝＞0，所以函数g（x）＝在（0，1）上单调递增，故选项A正确；又由图象得，当x∈（ 1，）时，f（x）＜f'（x），即g'（x）＝＜0，所以函数g（x）＝在（ 1，）上单调递减，故选项C正确.故选A、C.
13.［0，］　解析：依题意，函数f（x）＝2（2－a）x－在（0，＋∞）上单调递增，则2－a＞0，即a＜2；由f（x）＝x3－ax2＋a（x≤0），求导得f'（x）＝3x2－2ax.因为函数f（x）＝x3－ax2＋a在（－∞，0]上单调递增，所以3x2－2ax≥0在x∈（－∞，0]上恒成立，令3x2－2ax＝0，得x＝0或x＝，当a＜0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，0]上不恒成立；当a≥0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，0]上恒成立，故a≥0，又函数f（x）在R上是增函数，则a≤，从而0≤a≤，所以实数a的取值范围是［0，］.
14.解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝，
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）；
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0，1）；
当a＝0时，f（x）不是单调函数.
（2）由（1）及题意得f'（2）＝－＝1，即a＝－2，
∴f（x）＝－2ln x＋2x－3，f'（x）＝，
∴g（x）＝x3＋（ ＋2）x2－2x，
∴g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2.
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，
即g'（x）在区间（t，3）上有变号零点.
由于g'（0）＝－2，
∴
当g'（t）＜0，即3t2＋（m＋4）t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立，
由于g'（0）＜0，故g'（1）＜0且g'（2）＜0，
即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；
由g'（3）＞0，得m＞－.
所以－＜m＜－9.
即实数m的取值范围是（ －，－9）.
15.D　因为当0＜x1＜x2时，不等式－＜0恒成立，所以＜，即x1f（x1）＜x2f（x2），令g（x）＝xf（x）＝ex－ax2，则g（x1）＜g（x2），又因为0＜x1＜x2，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g'（x）＝ex－2ax≥0在（0，＋∞）上恒成立，分离参数得2a≤在（0，＋∞）上恒成立，令h（x）＝（x＞0），则只需2a≤h（x）min，而h'（x）＝ex·，令h'（x）＞0，得x＞1，令h'（x）＜0，得0＜x＜1，所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）＝e，故2a≤e，即a≤.
1 / 1第2节　导数与函数的单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等.
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）内　　　　　
f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）内　　　　　
f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）内是　　　　　
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的　　　　；
第2步，求出导数f'（x）的　　　　；
第3步，用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.
提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
1.若函数f（x）在（a，b）内单调递增，则x∈（a，b）时，f'（x）≥0恒成立；若函数f（x）在（a，b）内单调递减，则x∈（a，b）时，f'（x）≤0恒成立. 2.若函数f（x）在（a，b）内存在单调递增区间，则x∈（a，b）时，f'（x）＞0有解；若函数f（x）在（a，b）内存在单调递减区间，则x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.（　　）
（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（　　）
（3）若在（a，b）内f'（x）≤0且f'（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）内单调递减.（　　）
（4）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定是增函数.（　　）
2.函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图，则下列判断正确的是（　　）
A.f（x）在（－3，1）内单调递增 B.f（x）在（1，3）内单调递减
C.f（x）在（2，4）内单调递减 D.f（x）在（3，＋∞）上单调递增
3.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）内的单调性为（　　）
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
4.函数f（x）＝xln x的单调递减区间为（　　）
A.（ 0，） B.（ ，＋∞）
C.（1，＋∞） D.（0，1）
5.若函数f（x）＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.
函数的单调性
（定向精析突破）
考向1　不含参函数的单调性
（1）已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图，则f（x）的图象可能是（　　）
（2）若函数f（x）＝，则函数f（x）的单调递减区间为　　　　.
听课记录
利用导数求函数单调区间的方法 （1）当导函数不等式可解时，解导函数不等式，求出单调区间； （2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间； （3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开.
考向2　含参函数的单调性
（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性.
研究含参函数单调性的思路 （1）研究含参函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小关系等； （2）划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
训练1 （1）设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是（　　）
A.（ 0，）　　　 　B.（ ，＋∞）
C.（－∞，0） D.（－∞，0）和（ ，＋∞）
（2）（2026·广东湛江模拟节选）已知函数f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x，若a≥－，试讨论f（x）的单调性.
函数单调性的简单应用
（定向精析突破）
考向1　比较大小
（1）已知函数f（x）＝xsin x，x∈R，则f（ ），f（1），f（ －）的大小关系为（　　）
A.f（ －）＞f（1）＞f（ ）
B.f（1）＞f（ －）＞f（ ）
C.f（ ）＞f（1）＞f（ －）
D.f（ －）＞f（ ）＞f（1）
（2）已知a＝，b＝，c＝e，则下列大小关系正确的是（　　）
A.a＜b＜c　　　　　B.a＜c＜b
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
听课记录
由函数的单调性比较大小的方法 （1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小； （2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.
考向2　解不等式
（1）已知函数f（x）＝2ln x＋－x，则不等式f（2x－1）＜f（1－x）的解集为（　　）
A.（ 0，） B.（ ，1）
C.（ ，1） D.（ ，）
（2）（2026·山东齐鲁名校大联考）已知y＝exf（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，则满足ex－2f（2x－3）＞f（x－1）的x的取值范围是　　　　.
听课记录
利用函数的单调性解不等式的关键 （1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数； （2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性； （3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围.
考向3　已知函数单调性求参数
（1）（2026·广东佛山模拟）若函数f（x）＝ex＋ax－x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－1，＋∞） B.（0，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－∞，0）
（2）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　）
A.e2 B.e
C.e－1 D.e－2
听课记录
根据函数单调性求参数的一般思路 （1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f'（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式； （2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； （3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'（x）＝0，则参数可取这个值. 提醒：当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题.
训练2 （1）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且a＞b，则（　　）
A.af（b）＞bf（a） B.af（a）＞bf（b）
C.af（a）＜bf（b） D.af（b）＜bf（a）
（2）设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　　）
A.（－∞，1） B.（ －∞，）
C.（ ，＋∞） D.（1，＋∞）
（3）（2026·四川模拟预测）已知函数f（x）＝x2＋（x－2）ex－2x＋5在区间（3m－1，m＋2）上不单调，则m的取值范围是　　　　.
常见组合函数的图象
　　在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.
〔多选〕下列函数中，在区间（0，＋∞）上是先减后增函数的有（　　）
A.y＝xln x　　　　　　B.y＝
C.y＝xex D.y＝
听课记录
第2节　导数与函数的单调性
【夯实必备知识】
知识梳理
1.单调递增　单调递减　常数函数　
2.定义域　零点　
诊断自测
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）×
2.C　3.D　4.A　5.[－3，0]
【研透核心考点】
考点1
【例1】　（1）C　（2）（1，＋∞）　解析：（1）由f'（x）的图象知，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增；当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减；当x∈（x1，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增.故选C.
（2）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，令φ（x）＝－ln x－1（x＞0），则φ'（x）＝－－＜0，∴φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
【例2】　解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1.
当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln.
当x∈（ －∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ ln，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（ －∞，ln）上单调递减，在（ ln，＋∞）上单调递增.
综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（ －∞，ln）上单调递减，在（ ln，＋∞）上单调递增.
训练1　（1）D　由f（x）＝2x2－x3，得f'（x）＝4x－3x2＝x（4－3x），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示.
x （－∞， 0） 0 （ 0，） （ ，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调 递减 0 单调 递增 单调 递减
所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0）和（ ，＋∞）.
（2）解：由f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x，x＞0，得f'（x）＝－2x＋＋1－a＝＝.
令（x＋a）（2x－a－1）＝0，
得x＝－a或x＝.
若a≥0，则－a≤0，＞0，
当x∈（ 0，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
若－＜a＜0，则＞－a＞0，当x∈（0，－a）和（ ，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ －a，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
若a＝－，则＝－a＝，f'（x）≤0在x∈（0，＋∞）上恒成立，f（x）单调递减.
综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（ 0，），单调递减区间为（ ，＋∞）；
当－＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为（ －a，），单调递减区间为（0，－a）和（ ，＋∞）；
当a＝－时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间.
考点2
【例3】　（1）A　（2）C　解析：（1）由题知f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsin x＝f（x），则函数f（x）是偶函数，故f（ －）＝f（ ）.又当x∈（ 0，）时，f'（x）＝sin x＋xcos x＞0，所以函数f（x）在（ 0，）上单调递增，所以f（ ）＜f（1）＜f（ ），即f（ －）＞f（1）＞f（ ）.　
（2）由题，c＝.令f（x）＝（x≥e），则f'（x）＝，因为x≥e，所以f'（x）≥0，所以f（x）＝在[e，＋∞）上单调递增，又a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），e＜3＜4，故c＜b＜a.故选C.
【例4】　（1）B　（2）（ －∞，）∪（2，＋∞）
解析：（1）由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞）.因为f'（x）＝－－1＝－（ －1）2≤0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.由f（2x－1）＜f（1－x），可得解得＜x＜1，即原不等式的解集为（ ，1）.
（2）设g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex（f（x）＋f'（x））.由当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，得ex（f（x）＋f'（x））＞0，即g'（x）＞0，故g（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.又ex－2f（2x－3）＞f（x－1），所以e2x－3f（2x－3）＞ex－1f（x－1），即g（2x－3）＞g（x－1），因为g（x）为R上的偶函数，所以g（｜2x－3｜）＞g（｜x－1｜），即｜2x－3｜＞｜x－1｜，即（2x－3）2＞（x－1）2，所以（3x－4）（x－2）＞0，解得x＞2或x＜.
【例5】　（1）C　（2）C　解析：（1）函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x.若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故选C.
（2）法一 由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递减.∴ x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C.
法二 ∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C.
训练2　（1）B　（2）D　（3）（ －1，）
解析：（1）由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B.
（2）根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，此时有f'（x）＝ex＋sin x＞0，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0 f（2x－1）＞－f（x－2） f（2x－1）＞f（2－x） 2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集为（1，＋∞）.
（3）由题意知f'（x）＝（x－1）ex＋2x－2＝（ex＋2）·（x－1），因为f（x）在区间（3m－1，m＋2）上不单调，即y＝f'（x）在区间（3m－1，m＋2）上有变号零点，又ex＋2＞0，所以f'（x）＝0 x＝1，f'（x）＞0 x＞1，f'（x）＜0 x＜1，所以x＝1在区间（3m－1，m＋2）内，所以解得－1＜m＜，即m的取值范围是（ －1，）.
衔接教材
【例】　AD　对于A，y'＝1＋ln x，当0＜x＜时，y'＜0，当x＞时，y'＞0，因此函数y＝xln x在（ 0，）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，A符合；对于B，y'＝，当0＜x＜e时，y'＞0，当x＞e时，y'＜0，因此函数y＝在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，B不符合；对于C，当x＞0时，y'＝（x＋1）ex＞0，函数y＝xex在（0，＋∞）上单调递增，C不符合；对于D，y'＝，当0＜x＜1时，y'＜0，当x＞1时，y'＞0，因此函数y＝在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，D符合.故选A、D.
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第2节　导数与函数的单调性
课标要求
1. 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
3. 会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f（x）在区间（a，b）
内可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）内

f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）内

f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）内是

单调递
增　
单调递
减　
常数
函数　
2. 利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的 ；
第2步，求出导数f'（x）的 ；
第3步，用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'
（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.
提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解
时，要坚持“定义域优先”原则.
定义域　
零点　
1. 若函数f（x）在（a，b）内单调递增，则x∈（a，b）时，f'（x）
≥0恒成立；若函数f（x）在（a，b）内单调递减，则x∈（a，b）
时，f'（x）≤0恒成立.
2. 若函数f（x）在（a，b）内存在单调递增区间，则x∈（a，b）时，
f'（x）＞0有解；若函数f（x）在（a，b）内存在单调递减区间，则x∈
（a，b）时，f'（x）＜0有解.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.
（　×　）
（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没
有单调性. （　√　）
（3）若在（a，b）内f'（x）≤0且f'（x）＝0的根有有限个，则f（x）
在（a，b）内单调递减. （　√　）
（4）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一
定是增函数. （　×　）
×
√
√
×
2. 函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图，则下列判断正确的是
（　　）
A. f（x）在（－3，1）内单调递增
B. f（x）在（1，3）内单调递减
C. f（x）在（2，4）内单调递减
D. f（x）在（3，＋∞）上单调递增
√
解析： 　当x∈（－3，0）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－3，0）内单
调递减；当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，2）内单调递
增；当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，故f（x）在（2，4）内单调递减；
当x∈（4，＋∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（4，＋∞）上单调递
增，显然C正确，其他选项错误.
3. 函数f（x）＝ cos x－x在（0，π）内的单调性为（　　）
A. 先增后减 B. 先减后增
C. 单调递增 D. 单调递减
√
解析： 　因为在区间（0，π）内，f'（x）＝－ sin x－1＜0恒成立，所以
f（x）在（0，π）内单调递减.故选D.
4. 函数f（x）＝xln x的单调递减区间为（　　）
A. （0， ） B. （ ，＋∞）
C. （1，＋∞） D. （0，1）
√
解析： 　函数f（x）的定义域是（0，＋∞），由已知f'（x）＝ln x＋
1，由f'（x）＝ln x＋1＜0得0＜x＜ ，∴单调递减区间为（0， ）.
5. 若函数f（x）＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围
是 .
解析：f'（x）＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2＋12a≤0，
解得－3≤a≤0.
[－3，0]　
02
PART
研透核心考点
函数的单调性（定向精析突破）
考向1　不含参函数的单调性
（1）已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图，则f
（x）的图象可能是（　C　）
C
解析： 由f'（x）的图象知，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，∴f
（x）单调递增；当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减；
当x∈（x1，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增.故选C.
（2）若函数f（x）＝ ，则函数f（x）的单调递减区间为 　 .
解析： f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ，令φ
（x）＝ －ln x－1（x＞0），则φ'（x）＝－ － ＜0，∴φ（x）在
（0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞
0，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，f'（x）＜0，∴f
（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
（1，＋∞）
利用导数求函数单调区间的方法
（1）当导函数不等式可解时，解导函数不等式，求出单调区间；
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，确定各区间f'（x）的符
号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，
利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及
“或”连接，只能用“，”“和”隔开.
考向2　含参函数的单调性
（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨
论f（x）的单调性.
解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1.
当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln .
当x∈（－∞，ln ）时，f'（x）＜0；当x∈（ln ，＋∞）时，f'（x）
＞0.
所以f（x）在（－∞，ln ）上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递
增.
综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0
时，f（x）在（－∞，ln ）上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递
增.
研究含参函数单调性的思路
（1）研究含参函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类
讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间
的大小关系等；
（2）划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
训练1 （1）设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是（　　）
A. （0， ） B. （ ，＋∞）
C. （－∞，0） D. （－∞，0）和（ ，＋∞）
√
解析： 　由f（x）＝2x2－x3，得f'（x）＝4x－3x2＝x（4－3x），令f'
（x）＝0，得x＝0或x＝ ，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如
表所示.
x （－∞，0） 0 （0， ） （ ，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 0 单调递增 单调递减
所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0）和（ ，＋∞）.
（2）（2026·广东湛江模拟节选）已知函数f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x
＋（1－a）x，若a≥－ ，试讨论f（x）的单调性.
解：由f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x，x＞0，得f'（x）＝
－2x＋ ＋1－a＝ ＝ .
令（x＋a）（2x－a－1）＝0，得x＝－a或x＝ .
若a≥0，则－a≤0， ＞0，
当x∈（0， ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ ，＋
∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
若－ ＜a＜0，则 ＞－a＞0，当x∈（0，－a）和（ ，＋∞）
时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（－a， ）时，f'（x）＞
0，f（x）单调递增.
若a＝－ ，则 ＝－a＝ ，f'（x）≤0在x∈（0，＋∞）上恒成立，f
（x）单调递减.
综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0， ），单调递减
区间为（ ，＋∞）；
当－ ＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为（－a， ），单调递减区
间为（0，－a）和（ ，＋∞）；
当a＝－ 时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间.
函数单调性的简单应用（定向精析突破）
考向1　比较大小
（1）已知函数f（x）＝x sin x，x∈R，则f（ ），f（1），f（－
）的大小关系为（　A　）
A. f（－ ）＞f（1）＞f（ ）
B. f（1）＞f（－ ）＞f（ ）
C. f（ ）＞f（1）＞f（－ ）
D. f（－ ）＞f（ ）＞f（1）
A
解析： 由题知f（－x）＝（－x）· sin （－x）＝x sin x＝f（x），则函
数f（x）是偶函数，故f（－ ）＝f（ ）.又当x∈（0， ）时，f'
（x）＝ sin x＋x cos x＞0，所以函数f（x）在（0， ）上单调递增，所
以f（ ）＜f（1）＜f（ ），即f（－ ）＞f（1）＞f（ ）.　
（2）已知a＝ ，b＝ ，c＝e，则下列大小关系正确的是（　C　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. c＜b＜a D. c＜a＜b
C
解析： 由题，c＝ .令f（x）＝ （x≥e），则f'（x）＝ ，因
为x≥e，所以f'（x）≥0，所以f（x）＝ 在[e，＋∞）上单调递增，
又a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），e＜3＜4，故c＜b＜a.故选C.
由函数的单调性比较大小的方法
（1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调
性，然后根据单调性比较大小；
（2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅
助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.
考向2　解不等式
（1）已知函数f（x）＝2ln x＋ －x，则不等式f（2x－1）＜f（1
－x）的解集为（　B　）
A. （0， ） B. （ ，1）
C. （ ，1） D. （ ， ）
B
解析： 由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞）.因为f'（x）＝ －
－1＝－（ －1）2≤0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.由f
（2x－1）＜f（1－x），可得 解得 ＜x＜1，即原不
等式的解集为（ ，1）.
解析：设g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex（f（x）＋f'（x））.由当
x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，得ex（f（x）＋f'（x））＞0，即g'（x）
＞0，故g（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.又ex－2f（2x－3）＞f（x
－1），所以e2x－3f（2x－3）＞ex－1f（x－1），即g（2x－3）＞g（x－
1），因为g（x）为R上的偶函数，所以g（｜2x－3｜）＞g（｜x－
1｜），即｜2x－3｜＞｜x－1｜，即（2x－3）2＞（x－1）2，所以（3x
－4）（x－2）＞0，解得x＞2或x＜ .
（2）（2026·山东齐鲁名校大联考）已知y＝exf（x）是定义在R上的偶函
数，且当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，则满足ex－2f（2x－3）＞f（x
－1）的x的取值范围是 .
（－∞， ）∪（2，＋∞）　
利用函数的单调性解不等式的关键
（1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，
合理地构造新函数；
（2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，
借用导数，判断函数的单调性；
（3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通
过解不等式（组），得到未知数的取值范围.
考向3　已知函数单调性求参数
（1）（2026·广东佛山模拟）若函数f（x）＝ex＋ax－ x2存在单调
递减区间，则实数a的取值范围是（　C　）
A. （－1，＋∞） B. （0，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－∞，0）
解析： 函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x.若f（x）存在单
调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－
ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在
（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g
（0）＝－1，故a＜－1.故选C.
C
（2）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在
区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　C　）
A. e2 B. e
C. e－1 D. e－2
C
解析：法一 由题意，得f'（x）＝aex－ ，∴f'（x）＝aex－ ≥0在区间
（1，2）上恒成立，即a≥ 在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝
，x∈（1，2），则g'（x）＝－ ＜0，∴函数g（x）在区间（1，
2）上单调递减.∴ x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝ ＝e－1.∴a≥e－
1，∴a的最小值为e－1.故选C.
法二 ∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－ .∵函数f（x）＝
aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，
即aex－ ≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜ ≤xex在（1，2）恒
成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'
（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，
∴ ≤e，即a≥ ＝e－1，故选C.
根据函数单调性求参数的一般思路
（1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f'
（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；
（2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
（3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于
0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'
（x）＝0，则参数可取这个值.
提醒：当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该
区间上有解问题.
训练2 （1）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且
a＞b，则（　B　）
A. af（b）＞bf（a） B. af（a）＞bf（b）
C. af（a）＜bf（b） D. af（b）＜bf（a）
解析： 由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝
xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g
（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B.
B
（2）设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－ cos x，则不
等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　D　）
A. （－∞，1） B. （－∞， ）
C. （ ，＋∞） D. （1，＋∞）
解析： 根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－ cos x，此时有f'（x）＝ex＋
sin x＞0，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函
数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0 f（2x－1）
＞－f（x－2） f（2x－1）＞f（2－x） 2x－1＞2－x，解得x＞1，
即不等式的解集为（1，＋∞）.
D
（3）（2026·四川模拟预测）已知函数f（x）＝x2＋（x－2）ex－2x＋5
在区间（3m－1，m＋2）上不单调，则m的取值范围是 .
解析： 由题意知f'（x）＝（x－1）ex＋2x－2＝（ex＋2）·（x－1），
因为f（x）在区间（3m－1，m＋2）上不单调，即y＝f'（x）在区间
（3m－1，m＋2）上有变号零点，又ex＋2＞0，所以f'（x）＝0 x＝1，
f'（x）＞0 x＞1，f'（x）＜0 x＜1，所以x＝1在区间（3m－1，m＋
2）内，所以 解得－1＜m＜ ，即m的取值范围是（－1， ）.
（－1， ）　
常见组合函数的图象
　　在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半
功倍的效果.
〔多选〕下列函数中，在区间（0，＋∞）上是先减后增函数的有
（　AD　）
A. y＝xln x B. y＝ C. y＝xex D. y＝
AD
解析：　对于A，y'＝1＋ln x，当0＜x＜ 时，y'＜0，当x＞ 时，y'＞0，
因此函数y＝xln x在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，
A符合；对于B，y'＝ ，当0＜x＜e时，y'＞0，当x＞e时，y'＜0，因
此函数y＝ 在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，B不符
合；对于C，当x＞0时，y'＝（x＋1）ex＞0，函数y＝xex在（0，＋∞）
上单调递增，C不符合；对于D，y'＝ ，当0＜x＜1时，y'＜0，
当x＞1时，y'＞0，因此函数y＝ 在（0，1）上单调递减，在（1，＋
∞）上单调递增，D符合.故选A、D.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：92分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 函数f（x）＝xln x＋1的单调递减区间是（　　）
A. （－∞， ） B. （ ，＋∞）
C. （0， ） D. （e，＋∞）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
解析： 　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1＋ln x，所以在区
间（0， ）上f'（x）＜0，f（x）单调递减.故选C.
2. 函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f
（x）的图象可能是（　　）
√
解析： f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0
的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合.
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3. 关于x的不等式 －ln x＞0的解集是（　　）
A. （0，1） B. （－∞，e）
C. （e，＋∞） D. （0，e）
√
解析： 　令f（x）＝ －ln x，则f（x）的定义域为（0，＋∞），由f'
（x）＝－ － ＜0，知f（x）＝ －ln x在（0，＋∞）上单调递减，又
f（e）＝0，所以不等式f（x）＞0的解集是（0，e），即原不等式的解集
为（0，e）.故选D.
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4. （2026·浙江金华调考）已知函数f（x）＝3x＋2 cos x.若a＝f（ ），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（　　）
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. b＜a＜c D. b＜c＜a
√
解析： 　由题意，得f'（x）＝3－2 sin x.因为－1≤ sin x≤1，所以f'
（x）＞0恒成立，所以f（x）是增函数.因为 ＞1，所以 ＞3.又
log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜ ，所以f（2）＜f
（log27）＜f（ ），即b＜c＜a.
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5. 已知函数f（x）＝x3＋2x－ sin x，若f（2a2）＋f（a－1）≤0，则实
数a的取值范围为（　　）
A. （－∞，－ ］∪[1，＋∞）
B.
C. （－∞，－1]∪
D.
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解析： 　函数f（x）＝x3＋2x－ sin x的定义域为R，f（－x）＝（－
x）3＋2（－x）－ sin （－x）＝－f（x），故函数f（x）是奇函数.又f'
（x）＝3x2＋2－ cos x＞0恒成立，所以函数f（x）在R上单调递增，不等
式f（2a2）＋f（a－1）≤0 f（2a2）≤－f（a－1），即f（2a2）≤f
（－a＋1），于是2a2≤－a＋1，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤ ，所
以实数a的取值范围为 .
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6. 〔多选〕（2025·广东茂名一模）若f（x）＝－ x3＋ x2＋2x＋1是区
间（m－1，m＋4）上的单调函数，则实数m的值可以是（　　）
A. －4 B. －3
C. 3 D. 4
√
√
解析： 　由题意，知f'（x）＝－x2＋x＋2＝－（x－2）（x＋1），令
f'（x）＞0，解得－1＜x＜2，令f'（x）＜0，解得x＜－1或x＞2，所以f
（x）在（－1，2）上单调递增，在（－∞，－1），（2，＋∞）上单调
递减，若函数f（x）＝－ x3＋ x2＋2x＋1在区间（m－1，m＋4）上单
调，则m＋4≤－1或m－1≥2或 解得m≤－5或m≥3或
m∈ ，即m≤－5或m≥3.故选C、D.
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7. 已知函数f（x）＝ ＋ ＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取
值范围是 .
解析：由函数f（x）＝ ＋ ＋ax＋1，可得f'（x）＝x2＋ax＋a，由
函数f（x）存在三个单调区间，可得f'（x）有两个不相等的实数根，则满
足Δ＝a2－4a＞0，解得a＜0或a＞4，即实数a的取值范围是（－∞，0）
∪（4，＋∞）.
（－∞，0）∪（4，＋∞）　
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8. 已知函数f（x）满足下列条件：①f（x）的导函数f'（x）为偶函数；
②f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，则f（x）的
一个解析式为f（x）＝ .（答案不唯一）
解析：因为f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，所以
当x∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0.又f（x）的导函数f'
（x）为偶函数，所以令f'（x）＝x2－4，满足题意，所以f（x）＝ x3－
4x（答案不唯一）.
x3－4x（答案不唯一）　
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9. （10分）（2026·江西吉安质检）已知函数f（x）＝3aln x－ x2－（a
－3）x，试讨论f（x）的单调性.
解：由题意，f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝ －x－（a－3）＝－ ＝－ ，
①若a≥0，则当0＜x＜3时，f'（x）＞0，
当x＞3时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减；
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②若－3＜a＜0，由f'（x）＜0，得0＜x＜－a或x＞3，由f'（x）＞0，得
－a＜x＜3，
∴f（x）在（0，－a），（3，＋∞）上单调递减，在（－a，3）上单调
递增；
③若a＝－3，则f'（x）≤0恒成立，
∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减；
④若a＜－3，由f'（x）＜0，得0＜x＜3或x＞－a，
由f'（x）＞0，得3＜x＜－a，
∴f（x）在（0，3），（－a，＋∞）上单调递减，在（3，－a）上单调
递增.
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10. 若函数h（x）＝ln x－ ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，则实
数a的取值范围为（　　）
A. [－1，＋∞） B. （－1，＋∞）
C. （－∞，－ ］ D. （－∞，－ ）
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解析： 　因为函数h（x）＝ln x－ ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区
间，所以存在x∈[1，4]，使h'（x）＝ －ax－2＞0成立，即存在
x∈[1，4]，使a＜ － 成立，令G（x）＝ － ，x∈[1，4]，变形
得G（x）＝（ －1）2－1，因为x∈[1，4]，所以 ∈［ ，1］，所以
当 ＝ ，即x＝4时，G（x）max＝－ ，所以a＜－ .故选D.
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11. （2026·四川成都调研）已知函数f（x）＝ex－e－x－2x＋1，则不等
式f（2x－3）＋f（x）＞2的解集为（　　）
A. （－∞，－1） B. （－1，0）
C. （0，1） D. （1，＋∞）
√
解析： 　令g（x）＝f（x）－1＝ex－e－x－2x，定义域为R，且g（－
x）＝e－x－ex＋2x＝－g（x），所以g（x）为奇函数，f（2x－3）＋f
（x）＞2变形为f（2x－3）－1＞1－f（x），即g（2x－3）＞－g
（x）＝g（－x），g'（x）＝ex＋e－x－2≥2 －2＝0，当且仅当
ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以g（x）在R上单调递增，所以2x－
3＞－x，解得x＞1，所以所求不等式的解集为（1，＋∞）.
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12. 〔多选〕已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则g（x）＝
（　　）
A. 在区间（0，1）上单调递增
B. 在区间（1，4）上单调递减
C. 在区间（1， ）上单调递减
D. 在区间（ ，4）上单调递减
√
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解析： 　当x＝0或x＝2时，f（x）＝0，则函数g（x）＝ 的定
义域为（－∞，0）∪（0，2）∪（2，＋∞），排除选项B、D；g'（x）
＝ ，由图易得，当x∈（0，1）时，f（x）＞f'（x），即
g'（x）＝ ＞0，所以函数g（x）＝ 在（0，1）上单
调递增，故选项A正确；又由图象得，当x∈（1， ）时，f（x）＜f'
（x），即g'（x）＝ ＜0，所以函数g（x）＝ 在
（1， ）上单调递减，故选项C正确.故选A、C.
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13. 函数f（x）＝ 若函数f（x）在R上是增函
数，则实数a的取值范围为 .
［0， ］　
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解析：依题意，函数f（x）＝2（2－a）x－ 在（0，＋∞）上单调递增，则
2－a＞0，即a＜2；由f（x）＝x3－ax2＋a（x≤0），求导得f'（x）＝
3x2－2ax.因为函数f（x）＝x3－ax2＋a在（－∞，0]上单调递增，所以
3x2－2ax≥0在x∈（－∞，0]上恒成立，令3x2－2ax＝0，得x＝0或x＝
，当a＜0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，0]上不恒
成立；当a≥0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，0]上恒
成立，故a≥0，又函数f（x）在R上是增函数，则a≤ ，从而
0≤a≤ ，所以实数a的取值范围是［0， ］.
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14. （15分）（2026·福建厦门模拟）已知函数f（x）＝aln x－ax－3
（a∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
解： 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝ ，
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋
∞）；
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为
（0，1）；
当a＝0时，f（x）不是单调函数.
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（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为
45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2·［f'（x）＋ ］在区
间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围.
解：由（1）及题意得f'（2）＝－ ＝1，即a＝－2，
∴f（x）＝－2ln x＋2x－3，f'（x）＝ ，
∴g（x）＝x3＋（ ＋2）x2－2x，
∴g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2.
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，
即g'（x）在区间（t，3）上有变号零点.
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由于g'（0）＝－2，∴
当g'（t）＜0，即3t2＋（m＋4）t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立，
由于g'（0）＜0，故g'（1）＜0且g'（2）＜0，
即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；
由g'（3）＞0，得m＞－ .
所以－ ＜m＜－9.
即实数m的取值范围是（－ ，－9）.
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15. 〔创新设问〕已知函数f（x）＝ －ax，当0＜x1＜x2时，不等式
－ ＜0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. （－∞，e） B. （－∞，e]
C. （－∞， ） D. （－∞， ］
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解析： 　因为当0＜x1＜x2时，不等式 － ＜0恒成立，所
以 ＜ ，即x1f（x1）＜x2f（x2），令g（x）＝xf（x）＝
ex－ax2，则g（x1）＜g（x2），又因为0＜x1＜x2，所以g（x）在（0，
＋∞）上单调递增，所以g'（x）＝ex－2ax≥0在（0，＋∞）上恒成立，
分离参数得2a≤ 在（0，＋∞）上恒成立，令h（x）＝ （x＞0），
则只需2a≤h（x）min，而h'（x）＝ex· ，令h'（x）＞0，得x＞1，令
h'（x）＜0，得0＜x＜1，所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，
＋∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）＝e，故2a≤e，即a≤ .
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