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第3节　导数与函数的极值、最值
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.（2026·黑龙江伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为（　　）
A. B.
C. D.
2.已知定义域为[－3，5]的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的图象如图所示，则（　　）
A.f（x）在（－2，2）上先增后减
B.f（x）有极小值f（2）
C.f（x）有2个极值点
D.f（x）在x＝－3处取得最大值
3.函数f（x）＝在[0，2]上的最小值是（　　）
A. B.
C.0 D.
4.已知函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（　　）
A.[0，1]
B.（－∞，0]∪[1，＋∞）
C.[0，2]
D.（－∞，0]∪[2，＋∞）
5.函数f（x）＝x2＋（a－1）x－3ln x在（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　）
A.（ －，2） B.［－，2］
C.（ －，2） D.（ －，1］
6.〔多选〕（2026·山西运城调研）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则下面结论正确的为（　　）
A.a＝－1
B.f（x）的单调递增区间为（－2，1）
C.f（x）的极小值为1
D.f（x）的极大值为5e－3
7.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p（p≥20）元时的销售量为Q件，且Q＝8 300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润（毛利润＝销售收入－进货支出）为　　　　元.
8.已知函数f（x）＝x（ln x－ax）在（0，＋∞）上有两个极值，则实数a的取值范围为　　　　.
9.（13分）已知函数f（x）＝＋x（a∈R）.
（1）若f'（0）＝0，求实数a的值；
（2）讨论函数f（x）的极值.
10.（2026·广东六校联考）函数结构是值得关注的对象.为了研究y＝xx（x＞0）的结构，两边取对数，可得ln y＝ln xx，即ln y＝xln x，两边取指数，得eln y＝exln x，即y＝exln x，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结合上述材料，y＝xx（x＞0）的最小值为（　　）
A.1 B.e
C. D.e－e
11.已知直线x＝t分别与函数f（x）＝ex＋x和g（x）＝3x－1的图象交于点A，B，则｜AB｜的最小值为（　　）
A.ln 2 B.3－2ln 2
C.2ln 2 D.3＋2ln 2
12.〔多选〕（2026·山东济南联考）已知函数f（x）＝ex（sin x＋cos x）在区间（－2π，0）内有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（　　）
A.｜x1＋x2｜＝π
B.f（x）在区间（x1，x2）上单调递减
C.f（x1）＋f（x2）＞0
D.｜f（x1）－f（x2）｜＜1
13.（2026·河南五市联考）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＝－f'（3）ln x－f（1）x2－4x，则f（x）的极值点为　　　　.
14.（15分）已知函数f（x）＝ln x－ax，x∈（0，e]，其中e为自然对数的底数.
（1）若x＝1为f（x）的极值点，求f（x）的单调区间和最大值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）的最大值是－3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
15.〔创新交汇〕已知函数f（x）＝若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）的最大值为（　　）
A.3e3－12 B.3e3－20
C.5e5－12 D.5e5－20
第3节　导数与函数的极值、最值
1.B　2.B　3.C　4.C　5.A　
6.AD　由题可得f'（x）＝ex－1[x2＋（a＋2）x＋a－1]，x∈R，因为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以f'（－2）＝0，则4－2（a＋2）＋a－1＝0，解得a＝－1，故f（x）＝（x2－x－1）ex－1，f'（x）＝ex－1（x2＋x－2）＝（x－1）（x＋2）ex－1，当x＜－2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的单调递增区间为（－∞，－2），（1，＋∞），单调递减区间为（－2，1），故A正确，B错误；由上可知，f（x）的极大值为f（－2）＝5e－3，极小值为f（1）＝－1，故C错误，D正确.
7.23 000
8.（ 0，）　解析：f'（x）＝ln x＋1－2ax，由题意知ln x＋1－2ax＝0在（0，＋∞）上有两个不相等的实根，则2a＝，设g（x）＝，则g'（x）＝－.当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）的极大值为g（1）＝1，又当x＞1时，g（x）＞0，当x→＋∞时，g（x）→0，当x→0时，g（x）→－∞，所以0＜2a＜1，即0＜a＜.
9.解：（1）由函数f（x）＝＋x，
可得f'（x）＝1－＝，
所以f'（0）＝＝1－a＝0，解得a＝1.
（2）函数f（x）＝＋x的定义域为R，
且f'（x）＝1－＝，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，
所以f（x）在R上单调递增，f（x）无极值；
当a＞0时，令f'（x）＞0，解得x＞ln a；
令f'（x）＜0，解得x＜ln a，
所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增，
所以f（x）的极小值为f（ln a）＝1＋ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）的极小值为1＋ln a，无极大值.
10.C　设f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＞0，得x＞，令f'（x）＜0，得0＜x＜，所以f（x）在（ ，＋∞）上单调递增，在（ 0，）上单调递减，所以f（x）min＝f（ ）＝－，所以y＝xx的最小值为.故选C.
11.B　当x＝t时，｜AB｜＝｜f（t）－g（t）｜＝｜et＋t－3t＋1｜＝｜et－2t＋1｜.令h（t）＝et－2t＋1，则h'（t）＝et－2.令h'（t）＝0，得t＝ln 2，当t＜ln 2时，h'（t）＜0，当t＞ln 2时，h'（t）＞0，∴h（t）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，则h（t）min＝h（ln 2）＝3－2ln 2＞0，∴｜AB｜的最小值为3－2ln 2.
12.BD　对于A，由题意知函数f（x）＝ex（sin x＋cos x）在区间（－2π，0）内有两个极值点x1，x2，则f'（x）＝2excos x＝0有两个实数根x1，x2，令cos x＝0，x∈（－2π，0），故x1＝－，x2＝－，当－2π＜x＜－时，f'（x）＞0，当－＜x＜－时，f'（x）＜0，当－＜x＜0时，f'（x）＞0，即x1＝－为f（x）在（－2π，0）内的极大值点，x2＝－为f（x）在（－2π，0）内的极小值点，所以｜x1＋x2｜＝2π，故A错误；对于B，当x∈（ －，－）时，f'（x）＜0，所以f（x）在区间（x1，x2）上单调递减，故B正确；对于C，f（x1）＝［sin（ －）＋cos（ －）］＝，f（x2）＝［sin（ －）＋cos（ －）］＝－，又y＝ex是R上的增函数，故＜，所以f（x1）＋f（x2）＝－＜0，故C错误；对于D，｜f（x1）－f（x2）｜＝＋＜＋＝，因为＞1，所以＞e，所以＜＜1，故｜f（x1）－f（x2）｜＜1，故D正确.
13.　解析：由f（x）＝－f'（3）ln x－f（1）x2－4x，可得f'（x）＝－f'（3）·－2f（1）x－4，将x＝3代入整理得4f'（3）＋21f（1）＋14＝0①，将x＝1代入f（x）＝－f'（3）ln x－f（1）·x2－4x可得f（1）＝－f（1）－4，即f（1）＝－2，将其代入①，解得f'（3）＝7，故得f（x）＝－3ln x＋2x2－4x.则f'（x）＝－＋4x－4，令f'（x）＝0可得x＝－或x＝，因为x＞0，所以当0＜x＜时，f'（x）＜0；当x＞时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（ 0，）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，即x＝是函数f（x）的极小值点，函数f（x）没有极大值点.
14.解：（1）∵f（x）＝ln x－ax，x∈（0，e]，
∴f'（x）＝，由f'（1）＝0，得a＝1.
∴f'（x）＝，
∴x∈（0，1），f'（x）＞0，x∈（1，e]，f'（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，e]，
f（x）的极大值为f（1）＝－1，也即f（x）的最大值为f（1）＝－1.
（2）∵f（x）＝ln x－ax，∴f'（x）＝－a＝，
①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递增，
得f（x）的最大值是f（e）＝1－ae＝－3，解得a＝＞0，舍去；
②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝，
当0＜＜e，即a＞时，
x∈（ 0，），f'（x）＞0，x∈（ ，e），f'（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（ 0，），单调递减区间是（ ，e），
又f（x）在（0，e]上的最大值为－3，
∴f（ ）＝－1－ln a＝－3，∴a＝e2；
当e≤，即0＜a≤时，f（x）在（0，e]上单调递增，
∴f（x）的最大值是f（e）＝1－ae＝－3，解得a＝＞，舍去.
综上，存在a符合题意，此时a＝e2.
15.D　作出f（x）的大致图象如图所示.由题意知，存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），因为f（x）＝x2＋4x＋5的图象关于直线x＝－2对称.所以x1＋x2＝－4，所以x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝（x1＋x2＋x3）f（x3）＝（x3－4）f（x3）＝（x3－4）ln x3，由图可知，1＜f（x3）≤5，所以e＜x3≤e5.设g（x）＝（x－4）ln x，x∈（e，e5]，则g'（x）＝ln x＋1－，易知g'（x）在（e，e5]上单调递增，又g'（e）＝2－＞0，所以当x∈（e，e5]时，g'（x）＞0，所以g（x）在（e，e5]上单调递增，所以g（x）max＝g（e5）＝（e5－4）ln e5＝5e5－20.
1 / 1第3节　导数与函数的极值、最值
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值. 3.掌握利用导数研究函数最值的方法. 4.会用导数研究生活中的最优化问题.
知识梳理
1.函数的极值与导数
条件 f'（x0）＝0
x0附近的左侧f'（x）　　0，右侧f'（x）　　0 x0附近的左侧f'（x）　　0，右侧f'（x）　　0
图象 形如山峰 形如山谷
极值 f（x0）为极　　值 f（x0）为极　　值
极值点 x0为极　　值点 x0为极　　值点
提醒：（1）极值点不是点，若函数f（x）在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f（x1）；（2）f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但0不是极值点.
2.函数的最值与导数
（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条　　　　　　的曲线，那么它必有最大值和最小值；
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的　 　　，f（b）为函数的　 　　；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的　　　，f（b）为函数的　　　　.
若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对于可导函数f（x），若f'（x0）＝0，则x0为极值点.（　　）
（2）函数的极大值不一定比极小值大.（　　）
（3）闭区间上的连续函数必有最值.（　　）
（4）函数在区间（a，b）上不存在最值.（　　）
（5）函数的极大值一定是函数的最大值.（　　）
（6）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，则y＝f（x）在区间（a，b）内不单调.（　　）
2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，下列结论正确的是（　　）
A.y＝f（x）在x＝－1处取得极大值
B.1是函数y＝f（x）的极值点
C.－2是函数y＝f（x）的极小值点
D.函数y＝f（x）在区间（－1，1）上单调递减
3.函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e]上的最大值为（　　）
A.1－e B.－1
C.－e D.0
4.函数 g（x）＝－x2的极值点是　　　　，函数f（x）＝（x－1）3的极值点　　　　（填“存在”或“不存在”）.
5.若函数f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝　　　　.
函数的极值
（定向精析突破）
考向1　由图象判断函数的极值
〔多选〕设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数g（x）＝xf'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）
A.f（x）有两个极值点
B.f（0）为f（x）的极大值
C.f（x）有两个极小值点
D.f（－1）为f（x）的极小值
听课记录
由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点 （1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点； （2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.
考向2　求函数的极值（极值点）
已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.
（1）当a＝时，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
求函数的极值或极值点的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根； （3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的极值.
考向3　已知函数的极值求参数
（1）（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x－a）的极值点，则f（0）＝　　　　；
（2）若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围为　　　　.
听课记录
　　已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 提醒：若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内不是单调函数.
训练1 （1）（2026·广东汕头模拟）设a∈R，若函数f（x）＝x3－x2＋x＋2在（1，2）内存在极值点，则a的取值范围是（　　）
A. B.（ 3，）
C.（－∞，3） D.
（2）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　）
A.bc＞0 B.ab＞0
C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0
函数的最值
（定向精析突破）
考向1　不含参函数的最值
（1）函数f（x）＝x2sin x＋2xcos x在区间［－，π］上的最大值与最小值分别为（　　）
A.，－2π B.，－
C.2π，－ D.2π，－2π
（2）已知函数f（x）＝2ln x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），则x2－2x1的最大值为　　　　.
听课记录
利用导数求给定区间上函数最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值.
考向2　含参函数的最值
已知函数f（x）＝－ln x（a∈R）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在［，e］上的最大值g（a）.
　　求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.
训练2 （1）函数f（x）＝在[2，＋∞）上的最小值为（　　）
A.－ B.－1
C. D.1
（2）（2025·江苏宿迁二模）若函数f（x）＝有最大值，则k的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
（3）若函数f（x）＝x3＋x2－在区间（a，a＋5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A.[－5，0） B.（－5，0）
C.[－3，0） D.（－3，0）
第3节　导数与函数的极值、最值
【夯实必备知识】
知识梳理
1.＞　＜　＜　＞　大　小　大　小　
2.（1）连续不断　（2）最小值　最大值　最大值　最小值
诊断自测
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）×　（5）×　（6）√
2.C　3.B　4.0　不存在　5.－e2
【研透核心考点】
考点1
【例1】　BC　根据g（x）＝xf'（x）的图象，可得当x＜－2时，g（x）＝xf'（x）＞0，可得f'（x）＜0，即f（x）单调递减，当－2＜x＜0时，g（x）＝xf'（x）＜0，可得f'（x）＞0，即f（x）单调递增，当0＜x＜1时，g（x）＝xf'（x）＜0，可得f'（x）＜0，即f（x）单调递减，当x＞1时，g（x）＝xf'（x）＞0，可得f'（x）＞0，即f（x）单调递增，因此f（x）在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；f（0）为f（x）的极大值，B正确；f（－1）不是f（x）的极小值，D错误.
【例2】　解：（1）当a＝时，f（x）＝ln x－x，函数的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－＝，
令f'（x）＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 单调递增 ln 2－1 单调递减
故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值.
（2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝－a＝（x＞0）.
当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，
则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无极值点；
当a＞0时，若x∈，则f'（x）＞0，
若x∈，则f'（x）＜0，
故函数在x＝处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点；
当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为.
【例3】　（1）－4　（2）（ －，0）
解析：（1）f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所以f（0）＝－4.
（2）函数f（x）＝ln（2x）＋ax的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x）＝＋a，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值，不符合题意；当a＜0时，当0＜x＜－时，f'（x）＞0，当x＞－时，f'（x）＜0，则当x＝－时，函数f（x）取得极大值f（ －），因此f（ －）＝ln（ －）－1＞0，即ln（ －）＞1，解得－＜a＜0.
训练1　（1）B　（2）BCD　解析：（1）依题意，f'（x）＝2x2－ax＋1在（1，2）内存在变号零点.所以a＝2x＋在（1，2）内有解，易知y＝2x＋在（1，2）上单调递增，所以3＜a＜.故选B.
（2）因为函数f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选B、C、D.
考点2
【例4】　（1）A　（2）－4　解析：（1）由题意，得f'（x）＝2xsin x＋x2cos x＋2cos x－2xsin x＝（x2＋2）cos x.当x∈［－，］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈（ ，π］时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又因为f（ ）＝，f（ －）＝－，f（π）＝－2π，所以f（x）的最大值与最小值分别为与－2π.故选A.
（2）设f（x1）＝g（x2）＝m，m∈R，则x1＝，x2＝m－2，x2－2x1＝m－2－2.令h（x）＝x－2－2，则h'（x）＝1－，令h'（x）＞0，解得x＜0，所以h（x）在（－∞，0）上单调递增，令h'（x）＜0，解得x＞0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减，h（x）max＝h（0）＝－4，所以x2－2x1的最大值为－4.
【例5】　解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝，
①若a≤0，则f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减；
②若a＞0，则当x＞a时，f'（x）＜0；当0＜x＜a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减.
（2）f'（x）＝，由（1）知，
当a≤时，f（x）在［，e］上单调递减，
所以f（x）max＝f（ ）＝2－ae；
当＜a＜e时，f（x）在［，a］上单调递增，在[a，e]上单调递减，
所以f（x）max＝f（a）＝－ln a；
当a≥e时，f（x）在［，e］上单调递增，
所以f（x）max＝f（e）＝－.
综上，g（a）＝
训练2　（1）C　（2）C　（3）C
解析：（1）f'（x）＝，令f'（x）＞0，解得x＞3，令f'（x）＜0，解得2≤x＜3，故f（x）在[2，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，故f（x）min＝f（3）＝.
（2）当x≥2时，f（x）＝，则f'（x）＝，当2≤x＜e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，则函数f（x）在x＝e处取得极大值，且极大值为f（e）＝，因为函数f（x）＝有最大值，则解得0≤k≤，因此实数k的最大值为.故选C.
（3）由题意，f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），当x＜－2或x＞0时，f'（x）＞0；当－2＜x＜0时，f'（x）＜0.故f（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递增，在（－2，0）上单调递减，所以函数f（x）的极小值为f（0）＝－.
令x3＋x2－＝－得x3＋3x2＝0，解得x＝0或x＝－3，作其图象如图，结合图象可知解得a∈[－3，0）.
1 / 1(共64张PPT)
第3节　导数与函数的极值、最值
课标要求
1. 借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2. 能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值.
3. 掌握利用导数研究函数最值的方法.
4. 会用导数研究生活中的最优化问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 函数的极值与导数
条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f'
（x） 0，右侧f'
（x） 0 x0附近的左侧f'（x） 0，右
侧f'（x） 0
＞　
＜　
＜　
＞　
图象 形如山峰
形如山谷
极值 f（x0）为极 值 f（x0）为极 值
极值点 x0为极 值点 x0为极 值点
大　
小　
大　
小　
提醒：（1）极值点不是点，若函数f（x）在x1处取得极大值，则x1为极
大值点，极大值为f（x1）；（2）f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极
值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但0不是极值点.
2. 函数的最值与导数
（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条 的
曲线，那么它必有最大值和最小值；
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的
，f（b）为函数的 ；若函数f（x）在[a，b]上单调递
减，则f（a）为函数的 ，f（b）为函数的 .
连续不断　
最小
值　
最大值　
最大值　
最小值　
若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极值点一定
是函数的最值点.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对于可导函数f（x），若f'（x0）＝0，则x0为极值点. （　×　）
（2）函数的极大值不一定比极小值大. （　√　）
（3）闭区间上的连续函数必有最值. （　√　）
（4）函数在区间（a，b）上不存在最值. （　×　）
（5）函数的极大值一定是函数的最大值. （　×　）
（6）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，则y＝f（x）在区间
（a，b）内不单调. （　√　）
×
√
√
×
×
√
2. 如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，下列结论正确的是
（　　）
A. y＝f（x）在x＝－1处取得极大值
B. 1是函数y＝f（x）的极值点
C. －2是函数y＝f（x）的极小值点
D. 函数y＝f（x）在区间（－1，1）上单调递减
√
解析： 　由题图可知当x＜－2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当
x≥－2时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，故－2是函数y＝f（x）的极
小值点，y＝f（x）无极大值.故选C.
3. 函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e]上的最大值为（　　）
A. 1－e B. －1
C. －e D. 0
√
解析： 　因为f'（x）＝ －1＝ ，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当
x∈（1，e]时，f'（x）＜0，所以当x＝1时，f（x）取得最大值ln 1－1＝
－1.故选B.
4. 函数 g（x）＝－x2的极值点是 ，函数f（x）＝（x－1）3的极值
点 （填“存在”或“不存在”）.
解析：结合函数图象（图略）可知g（x）＝－x2的极值点是x＝0.因为f'
（x）＝3（x－1）2≥0，所以f'（x）＝0无变号零点，故函数f（x）＝
（x－1）3不存在极值点.
5. 若函数f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝ .
解析：∵f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，∴f'（2）＝e2＋a＝0，解
得a＝－e2，经检验，符合题意.
0　
不存在　
－e2　
02
PART
研透核心考点
函数的极值（定向精析突破）
考向1　由图象判断函数的极值
〔多选〕设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数g
（x）＝xf'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）
A. f（x）有两个极值点
B. f（0）为f（x）的极大值
C. f（x）有两个极小值点
D. f（－1）为f（x）的极小值
√
√
解析： 　根据g（x）＝xf'（x）的图象，可得当x＜－2时，g（x）＝
xf'（x）＞0，可得f'（x）＜0，即f（x）单调递减，当－2＜x＜0时，g
（x）＝xf'（x）＜0，可得f'（x）＞0，即f（x）单调递增，当0＜x＜1
时，g（x）＝xf'（x）＜0，可得f'（x）＜0，即f（x）单调递减，当x＞
1时，g（x）＝xf'（x）＞0，可得f'（x）＞0，即f（x）单调递增，因此
f（x）在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值
点，A错误，C正确；f（0）为f（x）的极大值，B正确；f（－1）不是f
（x）的极小值，D错误.
由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点
（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值
点；
（2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可
得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.
考向2　求函数的极值（极值点）
已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.
（1）当a＝ 时，求f（x）的极值；
解： 当a＝ 时，f（x）＝ln x－ x，函数的定义域为（0，＋∞），且f'
（x）＝ － ＝ ，
令f'（x）＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 单调递增 ln 2－1 单调递减
故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值.
（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝ －a＝ （x＞0）.
当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，
则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无极值点；
当a＞0时，若x∈ ，则f'（x）＞0，
若x∈ ，则f'（x）＜0，
故函数在x＝ 处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点；
当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为 .
求函数的极值或极值点的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根；
（3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的
极值.
考向3　已知函数的极值求参数
（1）（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－
2）（x－a）的极值点，则f（0）＝ ；
解析： f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1）
（x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因
为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝
0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所
以f（0）＝－4.
－4　

解析：函数f（x）＝ln（2x）＋ax的定义域为（0，＋∞），求导得f'
（x）＝ ＋a，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上是
增函数，无极值，不符合题意；当a＜0时，当0＜x＜－ 时，f'（x）＞
0，当x＞－ 时，f'（x）＜0，则当x＝－ 时，函数f（x）取得极大值f
（－ ），因此f（－ ）＝ln（－ ）－1＞0，即ln（－ ）＞1，解得－
＜a＜0.
（－ ，0）　
　　已知函数极值点或极值求参数的2个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定
系数法求解；
（2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用
待定系数法求解后必须验证根的合理性.
提醒：若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在
（a，b）内不是单调函数.
训练1 （1）（2026·广东汕头模拟）设a∈R，若函数f（x）＝ x3－ x2＋
x＋2在（1，2）内存在极值点，则a的取值范围是（　B　）
C. （－∞，3）
解析： 依题意，f'（x）＝2x2－ax＋1在（1，2）内存在变号零点.所以a
＝2x＋ 在（1，2）内有解，易知y＝2x＋ 在（1，2）上单调递增，所
以3＜a＜ .故选B.
B
（2）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋ ＋
（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　BCD　）
A. bc＞0 B. ab＞0
C. b2＋8ac＞0 D. ac＜0
BCD
解析：因为函数f（x）＝aln x＋ ＋ （a≠0），所以函数f（x）的定
义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ，因为函数f（x）既有极大值也
有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，
x2，则 即 所以 故选B、
C、D.
函数的最值（定向精析突破）
考向1　不含参函数的最值
（1）函数f（x）＝x2 sin x＋2x cos x在区间［－ ，π］上的最大值与
最小值分别为（　A　）
D. 2π，－2π
A
解析： 由题意，得f'（x）＝2x sin x＋x2 cos x＋2 cos x－2x sin x＝（x2＋
2） cos x.当x∈［－ ， ］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈
（ ，π］时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又因为f（ ）＝ ，f（－
）＝－ ，f（π）＝－2π，所以f（x）的最大值与最小值分别为 与－
2π.故选A.
（2）已知函数f（x）＝2ln x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），
则x2－2x1的最大值为 .
解析：设f（x1）＝g（x2）＝m，m∈R，则x1＝ ，x2＝m－2，x2－
2x1＝m－2－2 .令h（x）＝x－2－2 ，则h'（x）＝1－ ，令h'
（x）＞0，解得x＜0，所以h（x）在（－∞，0）上单调递增，令h'
（x）＜0，解得x＞0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减，h（x）
max＝h（0）＝－4，所以x2－2x1的最大值为－4.
－4　
利用导数求给定区间上函数最值的步骤
（1）求函数f（x）的导数f'（x）；
（2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有极值点的函数值；
（3）求f（x）在给定区间上的端点值；
（4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大
值与最小值.
考向2　含参函数的最值
已知函数f（x）＝ －ln x（a∈R）.
（1）讨论f（x）的单调性；
解： 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝ ，
①若a≤0，则f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋
∞）上单调递减；
②若a＞0，则当x＞a时，f'（x）＜0；当0＜x＜a时，f'（x）＞0，所以
f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减.
（2）求f（x）在［ ，e］上的最大值g（a）.
解：f'（x）＝ ，由（1）知，
当a≤ 时，f（x）在［ ，e］上单调递减，
所以f（x）max＝f（ ）＝2－ae；
当 ＜a＜e时，f（x）在［ ，a］上单调递增，在[a，e]上单调递减，
所以f（x）max＝f（a）＝－ln a；
当a≥e时，f（x）在［ ，e］上单调递增，所以f（x）max＝f（e）＝－ .
综上，g（a）＝
　　求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参
数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.
训练2 （1）函数f（x）＝ 在[2，＋∞）上的最小值为（　C　）
B. －1 D. 1
解析： f'（x）＝ ，令f'（x）＞0，解得x＞3，令f'
（x）＜0，解得2≤x＜3，故f（x）在[2，3）上单调递减，在（3，＋
∞）上单调递增，故f（x）min＝f（3）＝ .
C
（2）（2025·江苏宿迁二模）若函数f（x）＝ 有最大值，
则k的最大值为（　C　）
C
解析： 当x≥2时，f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，当2≤x＜e
时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，此
时函数f（x）单调递减，则函数f（x）在x＝e处取得极大值，且极大值
为f（e）＝ ，因为函数f（x）＝ 有最大值，则
解得0≤k≤ ，因此实数k的最大值为 .故选C.
（3）若函数f（x）＝ x3＋x2－ 在区间（a，a＋5）内存在最小值，则
实数a的取值范围是（　C　）
A. [－5，0） B. （－5，0）
C. [－3，0） D. （－3，0）
解析： 由题意，f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），当
x＜－2或x＞0时，f'（x）＞0；当－2＜x＜0时，f'（x）
＜0.故f（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递
增，在（－2，0）上单调递减，所以函数f（x）的极小值
为f（0）＝－ .
令 x3＋x2－ ＝－ 得x3＋3x2＝0，解得x＝0或x＝－3，
作其图象如图，结合图象可知 解得a∈[－3，0）.
C
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. （2026·黑龙江伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为
（　　）
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√
解析： 　f'（x）＝4e2x＋2（4x－5）e2x＝（8x－6）e2x，令f'（x）＜
0，得x＜ ，此时函数单调递减；令f'（x）＞0，得x＞ ，此时函数单调
递增.所以f（x）的极小值点为 ，无极大值点.故选B.
2. 已知定义域为[－3，5]的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的
图象如图所示，则（　　）
A. f（x）在（－2，2）上先增后减
B. f（x）有极小值f（2）
C. f（x）有2个极值点
D. f（x）在x＝－3处取得最大值
√
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2
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解析： 　由f'（x）的图象可知，当x∈（－2，2）或x∈（4，5）时，f'
（x）＜0，则f（x）单调递减，故A错误；当x∈（－3，－2）或x∈
（2，4）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以当x＝2时，f（x）有
极小值f（2），故B正确；由f'（x）的图象结合单调性可知，当x＝－2，
2，4时，f（x）有极值，所以f（x）有3个极值点，故C错误；当x∈（－
3，－2）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以f（－3）＜f（－
2），f（x）在x＝－3处不取得最大值，故D错误.
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3. 函数f（x）＝ 在[0，2]上的最小值是（　　）
C. 0
√
解析： 因为f（x）＝ ，所以f'（x）＝ ＝ ，当x∈[0，
1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（1，2]时，f'（x）＜
0，函数f（x）单调递减，当x＝0时，f（0）＝0，当x＝2时，f（2）＝
，所以函数f（x）在[0，2]上的最小值为0.
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4. 已知函数f（x）＝ x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值
范围是（　　）
A. [0，1] B. （－∞，0]∪[1，＋∞）
C. [0，2] D. （－∞，0]∪[2，＋∞）
√
解析： 　由f（x）＝ x3＋（a－1）x2＋x＋1，得f'（x）＝x2＋2（a－
1）x＋1.根据题意得[2（a－1）]2－4≤0，解得0≤a≤2.
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5. 函数f（x）＝x2＋（a－1）x－3ln x在（1，2）内有最小值，则实数a
的取值范围为（　　）
√
解析： 　f'（x）＝2x＋（a－1）－ ＝ ，设g（x）＝
2x2＋（a－1）x－3，因为Δ＝（a－1）2＋24＞0，因此g（x）＝0有两
个不同实根，又g（0）＝－3＜0，因此g（x）＝0的两根一正一负，由题
意得正根在（1，2）内，所以 解得
－ ＜a＜2.故选A.
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6. 〔多选〕（2026·山西运城调研）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－
1）ex－1的极值点，则下面结论正确的为（　　）
A. a＝－1
B. f（x）的单调递增区间为（－2，1）
C. f（x）的极小值为1
D. f（x）的极大值为5e－3
√
√
1
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解析： 　由题可得f'（x）＝ex－1[x2＋（a＋2）x＋a－1]，x∈R，因
为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以f'（－2）＝
0，则4－2（a＋2）＋a－1＝0，解得a＝－1，故f（x）＝（x2－x－1）
ex－1，f'（x）＝ex－1（x2＋x－2）＝（x－1）（x＋2）ex－1，当x＜－2
时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f
（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的
单调递增区间为（－∞，－2），（1，＋∞），单调递减区间为（－2，
1），故A正确，B错误；由上可知，f（x）的极大值为f（－2）＝5e－3，
极小值为f（1）＝－1，故C错误，D正确.
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7. 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定
为p（p≥20）元时的销售量为Q件，且Q＝8 300－170p－p2，则这批商
品的最大毛利润（毛利润＝销售收入－进货支出）为 元.
解析：设毛利润为L（p）元，由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－
20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000
（p≥20），所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p
＝30或p＝－130（舍去）.因为当20≤p＜30时，L'（p）＞0，当p＞30
时，L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L
（30）也是最大值，L（30）＝23 000，即零售价定为每件30元时，最大
毛利润为23 000元.
23 000　
1
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解析：f'（x）＝ln x＋1－2ax，由题意知ln x＋1－2ax＝0在（0，＋∞）
上有两个不相等的实根，则2a＝ ，设g（x）＝ ，则g'（x）＝
－ .当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'
（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）的极大值为g（1）＝1，又当
x＞1时，g（x）＞0，当x→＋∞时，g（x）→0，当x→0时，g（x）→
－∞，所以0＜2a＜1，即0＜a＜ .
（0， ）　
1
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9. （13分）已知函数f（x）＝ ＋x（a∈R）.
（1）若f'（0）＝0，求实数a的值；
解： 由函数f（x）＝ ＋x，
可得f'（x）＝1－ ＝ ，
所以f'（0）＝ ＝1－a＝0，解得a＝1.
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（2）讨论函数f（x）的极值.
解： 函数f（x）＝ ＋x的定义域为R，
且f'（x）＝1－ ＝ ，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，
所以f（x）在R上单调递增，f（x）无极值；
当a＞0时，令f'（x）＞0，解得x＞ln a；令f'（x）＜0，解得x＜ln a，
所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增，
所以f（x）的极小值为f（ln a）＝1＋ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）的极小值为1
＋ln a，无极大值.
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10. （2026·广东六校联考）函数结构是值得关注的对象.为了研究y＝xx
（x＞0）的结构，两边取对数，可得ln y＝ln xx，即ln y＝xln x，两边取指
数，得eln y＝exln x，即y＝exln x，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结
合上述材料，y＝xx（x＞0）的最小值为（　　）
A. 1 B. e
D. e－e
√
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解析： 　设f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＞0，得x＞
，令f'（x）＜0，得0＜x＜ ，所以f（x）在（ ，＋∞）上单调递增，
在（0， ）上单调递减，所以f（x）min＝f（ ）＝－ ，所以y＝xx的最
小值为 .故选C.
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11. 已知直线x＝t分别与函数f（x）＝ex＋x和g（x）＝3x－1的图象交
于点A，B，则｜AB｜的最小值为（　　）
A. ln 2 B. 3－2ln 2
C. 2ln 2 D. 3＋2ln 2
√
解析： 　当x＝t时，｜AB｜＝｜f（t）－g（t）｜＝｜et＋t－3t＋1｜
＝｜et－2t＋1｜.令h（t）＝et－2t＋1，则h'（t）＝et－2.令h'（t）＝
0，得t＝ln 2，当t＜ln 2时，h'（t）＜0，当t＞ln 2时，h'（t）＞0，
∴h（t）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递
增，则h（t）min＝h（ln 2）＝3－2ln 2＞0，∴｜AB｜的最小值为3－
2ln 2.
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12. 〔多选〕（2026·山东济南联考）已知函数f（x）＝ex（ sin x＋ cos
x）在区间（－2π，0）内有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（　　）
A. ｜x1＋x2｜＝π
B. f（x）在区间（x1，x2）上单调递减
C. f（x1）＋f（x2）＞0
D. ｜f（x1）－f（x2）｜＜1
√
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解析： 　对于A，由题意知函数f（x）＝ex（ sin x＋ cos x）在区间
（－2π，0）内有两个极值点x1，x2，则f'（x）＝2ex cos x＝0有两个实数
根x1，x2，令 cos x＝0，x∈（－2π，0），故x1＝－ ，x2＝－ ，当－
2π＜x＜－ 时，f'（x）＞0，当－ ＜x＜－ 时，f'（x）＜0，当－
＜x＜0时，f'（x）＞0，即x1＝－ 为f（x）在（－2π，0）内的极大值
点，x2＝－ 为f（x）在（－2π，0）内的极小值点，所以｜x1＋x2｜＝
2π，故A错误；对于B，当x∈（－ ，－ ）时，f'（x）＜0，所以f
（x）在区间（x1，x2）上单调递减，故B正确；
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对于C，f（x1）＝ ［ sin （－ ）＋ cos （－ ）］＝ ，f（x2）
＝ ［ sin （－ ）＋ cos （－ ）］＝－ ，又y＝ex是R上的增函数，
故 ＜ ，所以f（x1）＋f（x2）＝ － ＜0，故C错误；对于
D，｜f（x1）－f（x2）｜＝ ＋ ＜ ＋ ＝ ，因为 ＞1，所
以 ＞e，所以 ＜ ＜1，故｜f（x1）－f（x2）｜＜1，故D正确.
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13. （2026·河南五市联考）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f
（x）＝－ f'（3）ln x－f（1）x2－4x，则f（x）的极值点为 　 　.
解析：由f（x）＝－ f'（3）ln x－f（1）x2－4x，可得f'（x）＝－ f'
（3） －2f（1）x－4，将x＝3代入整理得4f'（3）＋21f（1）＋14＝0
①，将x＝1代入f（x）＝－ f'（3）ln x－f（1）x2－4x可得f（1）＝－f
（1）－4，即f（1）＝－2，将其代入①，解得f'（3）＝7，故得f（x）＝
－3ln x＋2x2－4x.则f'（x）＝－ ＋4x－4，令f'（x）＝0可得x＝－ 或
　
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x＝ ，因为x＞0，所以当0＜x＜ 时，f'（x）＜0；当x＞ 时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，即x＝ 是函数f（x）的极小值点，函数f（x）没有极大值点.
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14. （15分）已知函数f（x）＝ln x－ax，x∈（0，e]，其中e为自然对数
的底数.
（1）若x＝1为f（x）的极值点，求f（x）的单调区间和最大值；
解： ∵f（x）＝ln x－ax，x∈（0，e]，
∴f'（x）＝ ，由f'（1）＝0，得a＝1.
∴f'（x）＝ ，
∴x∈（0，1），f'（x）＞0，x∈（1，e]，f'（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，e]，f（x）
的极大值为f（1）＝－1，也即f（x）的最大值为f（1）＝－1.
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（2）是否存在实数a，使得f（x）的最大值是－3？若存在，求出a的
值；若不存在，说明理由.
解： ∵f（x）＝ln x－ax，∴f'（x）＝ －a＝ ，
①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递增，
得f（x）的最大值是f（e）＝1－ae＝－3，解得a＝ ＞0，舍去；
②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝ ，
当0＜ ＜e，即a＞ 时，
x∈（0， ），f'（x）＞0，x∈（ ，e），f'（x）＜0，
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∴f（x）的单调递增区间是（0， ），单调递减区间是（ ，e），
又f（x）在（0，e]上的最大值为－3，
∴f（ ）＝－1－ln a＝－3，∴a＝e2；
当e≤ ，即0＜a≤ 时，f（x）在（0，e]上单调递增，
∴f（x）的最大值是f（e）＝1－ae＝－3，解得a＝ ＞ ，舍去.
综上，存在a符合题意，此时a＝e2.
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15. 〔创新交汇〕已知函数f（x）＝ 若存在实数
x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1f（x1）
＋x2f（x2）＋x3f（x3）的最大值为（　　）
A. 3e3－12 B. 3e3－20
C. 5e5－12 D. 5e5－20
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解析： 　作出f（x）的大致图象如图所示.由题
意知，存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f
（x1）＝f（x2）＝f（x3），因为f（x）＝x2＋
4x＋5的图象关于直线x＝－2对称.所以x1＋x2＝
－4，所以x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝（x1＋x2＋x3）f（x3）＝（x3－4）f（x3）＝（x3－4）ln x3，由图可知，1＜f（x3）≤5，所以
e＜x3≤e5.设g（x）＝（x－4）ln x，x∈（e，e5]，则g'（x）＝ln x＋1－ ，易知g'（x）在（e，e5]上单调递增，又g'（e）＝2－ ＞0，所
以当x∈（e，e5]时，g'（x）＞0，所以g（x）在（e，e5]上单调递增，所以g（x）max＝g（e5）＝（e5－4）ln e5＝5e5－20.
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