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微专题　放缩法证明不等式
　　放缩法主要应用于不等式的证明问题中，函数与导数不等式中的放缩问题主要涉及利用基本不等式进行放缩，与ex、ln x有关的放缩及与三角函数sin x、cos x、tan x有关的放缩等.
利用基本不等式进行放缩
设f（x）＝ln（x＋1）＋－1，求证：当x∈（0，2）时，f（x）＜.
　　将符合如a2＋b2≥2ab（a，b∈R），a＋b≥2（a≥0，b≥0）的式子，利用基本不等式进行放缩后，构造函数，从而证明不等式.
与ex，ln x有关的放缩
已知函数f（x）＝ex－x－1.
（1）求证：f（x）≥0；
（2）当m≤1时，求证：不等式ex－mx＋cos x－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.
1.指数放缩 （1）放缩成一次函数：ex≥x＋1，ex＞x，ex≥ex； （2）放缩成类反比例函数：ex≤（x＜1），ex＜－（x＜0）. 2.对数放缩 （1）放缩成一次函数：ln x≤x－1，ln（1＋x）≤x； （2）放缩成类反比例函数：ln x≥1－，ln（1＋x）≥.
与sin x，cos x，tan x有关的放缩
已知函数f（x）＝ax－sin x.
（1）若函数f（x）为增函数，求实数a的取值范围；
（2）求证：当x＞0时，ex＞2sin x.
常见的三角函数放缩 　　sin x＜x（x＞0），x＜tan x（ 0＜x＜），sin x≥x－x2，1－x2≤cos x≤1－sin2x.
1.已知函数f（x）＝，g（x）＝，证明：f（x）＞2g（x）－1.
2.求证：ex＋ln x＞cos x＋.
3.已知函数f（x）＝－x.
（1）求f（x）的最大值；
（2）求证：ln（n＋1）＜＋＋…＋，n∈N*.
微专题　放缩法证明不等式
【例1】　证明：由基本不等式，当x＞0时，＜，
∴＜＋1.
∴f（x）＝ln（x＋1）＋－1＜ln（x＋1）＋.
记h（x）＝ln（x＋1）＋－，
则h'（x）＝＋－＝.
当0＜x＜2时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，2）上单调递减，故h（x）＜h（0）＝0.
∴ln（x＋1）＋＜.
从而f（x）＜.
【例2】　证明：（1）f'（x）＝ex－1，当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）min＝f（0）＝0，所以f（x）≥0.
（2）令g（x）＝ex－mx＋cos x－2，则g'（x）＝ex－m－sin x，
由（1）可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，
又m≤1，所以g'（x）≥x＋1－1－sin x＝x－sin x.
令h（x）＝x－sin x，则h'（x）＝1－cos x，
当x≥0时，h'（x）≥0，所以h（x）在[0，＋∞）上单调递增，
所以当x∈[0，＋∞）时，h（x）≥h（0）＝0，
则g'（x）≥0，g（x）在[0，＋∞）上单调递增，
当x∈[0，＋∞）时，g（x）≥g（0）＝0，即ex－mx＋cos x－2≥0，
所以当m≤1时，不等式ex－mx＋cos x－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.
【例3】　解：（1）因为f（x）＝ax－sin x，所以f'（x）＝a－cos x，
由函数f（x）为增函数，则f'（x）＝a－cos x≥0恒成立，即a≥cos x在R上恒成立.
因为y＝cos x∈[－1，1]，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞）.
（2）证明：由（1）知，当a＝1时，f（x）＝x－sin x为增函数，
当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0 x＞sin x，
要证当x＞0时，ex＞2sin x，
只需证当x＞0时，ex＞2x，
即证ex－2x＞0在（0，＋∞）上恒成立.
设g（x）＝ex－2x（x＞0），则g'（x）＝ex－2，
令g'（x）＝0，解得x＝ln 2，所以g（x）在（0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（ln 2）＝eln 2－2ln 2＝2（1－ln 2）＞0，所以g（x）≥g（ln 2）＞0，所以ex＞2x成立，故当x＞0时，ex＞2sin x.
强化训练
1.证明：要证f（x）＞2g（x）－1，即证＞－1，
因为当x＞0时ex＞x＋1＞0，即＞，也即＞，－1＞－1.
故要证原不等式成立，
只需证≥－1，即证xln x≥x－1.
令m（x）＝xln x－x＋1，则m'（x）＝ln x，
所以当x∈（0，1）时，m'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，m'（x）＞0，
所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以m（x）min＝m（1）＝0，即m（x）≥0，
所以xln x≥x－1，则f（x）＞2g（x）－1得证.
2.证明：要证ex＋ln x＞cos x＋，当x＞0时，由－1≤cos x≤1，x＞sin x，及ex＞x＋1，
得ex＋ln x＞x＋1＋ln x，
cos x＋＜1＋1－＝2－，
故要证原不等式成立，
只需证x＋1＋ln x＞2－，
即证x2－x＋1＋xln x＞0.
令f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1，当x∈（ 0，）时，f'（x）＜0，当x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（ 0，）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，所以f（x）≥f（x）min＝f（ ）＝－.
令g（x）＝x2－x＋1＝（ x－）2＋，所以g（x）≥g（x）min＝g（ ）＝，因为两函数不同时取最小值.
所以f（x）＋g（x）＝x2－x＋1＋xln x＞－＞0，则原不等式成立.
3.解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－1＝.
令g（x）＝1－x2－ln x，x＞0，则g'（x）＝－2x－＜0，
∴g（x）在（0，＋∞）上单调递减，
∵g（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）max＝f（1）＝－1.
（2）证明：由（1）知f（x）＝－x≤－1，即ln x≤x（x－1），
即ln（x＋1）≤x（x＋1），当且仅当x＝0时，等号成立.
令x＝，∵n∈N*，∴ln（ ＋1）＜（ ＋1）＝，即ln＜，
∴＋＋…＋＞ln 2＋ln＋…＋ln＝ln（n＋1），即ln（n＋1）＜＋＋…＋，n∈N*.
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微专题　放缩法证明不等式
　　放缩法主要应用于不等式的证明问题中，函数与导数不等式中的放缩
问题主要涉及利用基本不等式进行放缩，与ex、ln x有关的放缩及与三角函
数 sin x、 cos x、tan x有关的放缩等.
利用基本不等式进行放缩
设f（x）＝ln（x＋1）＋ －1，求证：当x∈（0，2）时，f
（x）＜ .
证明：由基本不等式，当x＞0时， ＜ ，∴ ＜
＋1.
∴f（x）＝ln（x＋1）＋ －1＜ln（x＋1）＋ .
记h（x）＝ln（x＋1）＋ － ，
则h'（x）＝ ＋ － ＝ .
当0＜x＜2时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，2）上单调递减，故h
（x）＜h（0）＝0.
∴ln（x＋1）＋ ＜ .从而f（x）＜ .
　　将符合如a2＋b2≥2ab（a，b∈R），a＋b≥2 （a≥0，b≥0）
的式子，利用基本不等式进行放缩后，构造函数，从而证明不等式.
与ex，ln x有关的放缩
已知函数f（x）＝ex－x－1.
（1）求证：f（x）≥0；
证明： f'（x）＝ex－1，当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x
＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）min＝f（0）＝0，所以f（x）≥0.
（2）当m≤1时，求证：不等式ex－mx＋ cos x－2≥0在x∈[0，＋∞）上
恒成立.
证明：令g（x）＝ex－mx＋ cos x－2，则g'（x）＝ex－m－ sin x，
由（1）可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，
又m≤1，所以g'（x）≥x＋1－1－ sin x＝x－ sin x.
令h（x）＝x－ sin x，
则h'（x）＝1－ cos x，
当x≥0时，h'（x）≥0，
所以h（x）在[0，＋∞）上单调递增，
所以当x∈[0，＋∞）时，h（x）≥h（0）＝0，
则g'（x）≥0，g（x）在[0，＋∞）上单调递增，
当x∈[0，＋∞）时，g（x）≥g（0）＝0，即ex－mx＋ cos x－2≥0，
所以当m≤1时，不等式ex－mx＋ cos x－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.
1. 指数放缩
（1）放缩成一次函数：ex≥x＋1，ex＞x，ex≥ex；
（2）放缩成类反比例函数：ex≤ （x＜1），ex＜－ （x＜0）.
2. 对数放缩
（1）放缩成一次函数：ln x≤x－1，ln（1＋x）≤x；
（2）放缩成类反比例函数：ln x≥1－ ，ln（1＋x）≥ .
与 sin x， cos x，tan x有关的放缩
已知函数f（x）＝ax－ sin x.
（1）若函数f（x）为增函数，求实数a的取值范围；
解： 因为f（x）＝ax－ sin x，所以f'（x）＝a－ cos x，
由函数f（x）为增函数，则f'（x）＝a－ cos x≥0恒成立，即a≥ cos x在
R上恒成立.
因为y＝ cos x∈[－1，1]，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋
∞）.
（2）求证：当x＞0时，ex＞2 sin x.
解：证明：由（1）知，当a＝1时，f（x）＝x－ sin x为增函数，
当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0 x＞ sin x，
要证当x＞0时，ex＞2 sin x，
只需证当x＞0时，ex＞2x，
即证ex－2x＞0在（0，＋∞）上恒成立.
设g（x）＝ex－2x（x＞0），则g'（x）＝ex－2，
令g'（x）＝0，解得x＝ln 2，所以g（x）在（0，ln 2）上单调递减，在
（ln 2，＋∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（ln 2）＝eln 2－2ln 2＝2（1－ln 2）＞0，所以g（x）
≥g（ln 2）＞0，所以ex＞2x成立，故当x＞0时，ex＞2 sin x.
常见的三角函数放缩
　　 sin x＜x（x＞0），x＜tan x（0＜x＜ ）， sin x≥x－ x2，1－
x2≤ cos x≤1－ sin 2x.
1. 已知函数f（x）＝ ，g（x）＝ ，证明：f（x）＞2g（x）－1.
证明：要证f（x）＞2g（x）－1，即证 ＞ －1，
因为当x＞0时ex＞x＋1＞0，即 ＞ ，也即 ＞ ， －1＞
－1.
故要证原不等式成立，
只需证 ≥ －1，即证xln x≥x－1.
令m（x）＝xln x－x＋1，则m'（x）＝ln x，
所以当x∈（0，1）时，m'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，m'（x）
＞0，
所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以m（x）min＝m（1）＝0，即m（x）≥0，
所以xln x≥x－1，则f（x）＞2g（x）－1得证.
2. 求证：ex＋ln x＞ cos x＋ .
证明：要证ex＋ln x＞ cos x＋ ，当x＞0时，由－1≤ cos x≤1，x＞
sin x，及ex＞x＋1，
得ex＋ln x＞x＋1＋ln x，
cos x＋ ＜1＋1－ ＝2－ ，
故要证原不等式成立，
只需证x＋1＋ln x＞2－ ，
即证x2－x＋1＋xln x＞0.
令f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1，当x∈（0， ）时，f'（x）＜0，
当x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0， ）上单调递
减，在（ ，＋∞）上单调递增，所以f（x）≥f（x）min＝f（ ）＝－ .
令g（x）＝x2－x＋1＝（x－ ）2＋ ，所以g（x）≥g（x）min＝g
（ ）＝ ，因为两函数不同时取最小值.
所以f（x）＋g（x）＝x2－x＋1＋xln x＞ － ＞0，则原不等式成立.
3. 已知函数f（x）＝ －x.
（1）求f（x）的最大值；
解： f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ －1＝
.
令g（x）＝1－x2－ln x，x＞0，则g'（x）＝－2x－ ＜0，
∴g（x）在（0，＋∞）上单调递减，∵g（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）max＝f（1）＝－1.
（2）求证：ln（n＋1）＜ ＋ ＋…＋ ，n∈N*.
解： 证明：由（1）知f（x）＝ －x≤－1，即ln x≤x（x－1），
即ln（x＋1）≤x（x＋1），当且仅当x＝0时，等号成立.
令x＝ ，∵n∈N*，∴ln（ ＋1）＜ （ ＋1）＝ ，即ln ＜ ，
∴ ＋ ＋…＋ ＞ln 2＋ln ＋…＋ln ＝ln（n＋1），即ln（n＋1）
＜ ＋ ＋…＋ ，n∈N*.
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