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微专题　两曲线的公切线问题
　　两曲线的公切线问题是高考的热点题型之一.其中单一曲线的切线问题相对简单，但两曲线的公切线问题相对较复杂，其解题关键是“公切线”这一条件的转化，即f'（x1）＝g'（x2）＝.
共切点的公切线问题
（2026·山东济南质量监测）已知曲线y＝ln x与曲线y＝a（ x－）在交点（1，0）处有相同的切线，则a＝（　　）
A.1　　　B.　　　C.－　　　D.－1
听课记录
求共切点的公切线的一般思路 （1）设两曲线的公共切点P0（x0，y0）； （2）列关系式 （3）求公共切点P0的横坐标x0，再代入y＝f（x）或y＝h（x），求y0； （4）所求公切线方程为y－y0＝f'（x0）（x－x0）或y－y0＝h'（x0）（x－x0）.
不同切点的公切线问题
（1）与曲线y＝ex和y＝－都相切的直线方程为　　　　；
（2）（2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝　　　　.
听课记录
求两曲线不同切点的公切线的一般思路 （1）分别设出两曲线的切点P1（x1，y1），P2（x2，y2）； （2）分别求两曲线在切点处的方程y＝h1（x），y＝h2（x）； （3）由公切线转化为两切线方程对应项系数相等，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程.
1.已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m＝（　　）
A.2　　　　　　　 　B.3
C.5 D.7
2.已知f（x）＝ex－1，g（x）＝ln x＋1，则f（x）与g（x）的公切线有（　　）
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
3.（2026·福建福州模拟）若曲线y1＝x3与曲线y2＝aln x相切，则a＝　　　　.
4.（2026·江苏南通部分学校联考）若存在直线与曲线f（x）＝x3－x，g（x）＝x2＋a都相切，则a的取值范围为　　　　.
微专题　两曲线的公切线问题
【例1】　B　由题知曲线y＝ln x和曲线y＝a（ x－）在交点（1，0）处有相同的切线，即斜率k相等.对曲线y＝ln x，求导得y'＝，所以该曲线在点（1，0）处的切线斜率k＝1，对曲线y＝a（ x－），求导得y'＝a（ 1＋），所以a（ 1＋）＝1，得a＝，故B正确.
【例2】　（1）y＝x＋1　（2）ln 2
解析：（1）设所求直线与曲线y＝ex相切于点（x1，）.因为y'＝ex，所以该直线的方程为y－＝（x－x1），即y＝x＋（1－x1）.设所求直线与曲线y＝－相切于点（ x2，－）.因为y'＝－，所以该直线的方程为y＋＝－（x－x2），即y＝－x＋，所以解得x1＝0，x2＝－2，所以直线方程为y＝x＋1.
（2）由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），由两曲线有公切线得y'＝＝2，解得x0＝－，则切点为（ －，a＋ln），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln＝0，故a＝ln 2.
强化训练
1.C　2.C　3.e
4.[－1，＋∞）　解析：设直线与曲线f（x）相切于点（x1，－x1），因为f'（x）＝3x2－1，所以切线方程为y－（－x1）＝（3－1）（x－x1），即y＝（3－1）x－2，设直线与曲线g（x）相切于点（x2，＋a），因为g'（x）＝2x，所以切线方程为y－（＋a）＝2x2（x－x2），即y＝2x2x－＋a，根据题意有所以a＝－2＝（ ）2－2＝－2－＋，令h（x）＝x4－2x3－x2＋，h'（x）＝9x3－6x2－3x＝3x（3x＋1）（x－1），所以函数h（x）在（ －∞，－），（0，1）上单调递减，在（ －，0），（1，＋∞）上单调递增，且h（1）＝－1，h（ －）＝，所以h（x）min＝h（1）＝－1，所以a≥－1，故a的取值范围为[－1，＋∞）.
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微专题　两曲线的公切线问题
　　两曲线的公切线问题是高考的热点题型之一.其中单一曲线的切线问
题相对简单，但两曲线的公切线问题相对较复杂，其解题关键是“公切
线”这一条件的转化，即f'（x1）＝g'（x2）＝ .
共切点的公切线问题
（2026·山东济南质量监测）已知曲线y＝ln x与曲线y＝a（x－ ）
在交点（1，0）处有相同的切线，则a＝（　　）
A. 1 B.
C. － D. －1
√
解析： 由题知曲线y＝ln x和曲线y＝a（x－ ）在交点（1，0）处有
相同的切线，即斜率k相等.对曲线y＝ln x，求导得y'＝ ，所以该曲线在
点（1，0）处的切线斜率k＝1，对曲线y＝a（x－ ），求导得y'＝a（1
＋ ），所以a（1＋ ）＝1，得a＝ ，故B正确.
求共切点的公切线的一般思路
（1）设两曲线的公共切点P0（x0，y0）；
（2）列关系式
（3）求公共切点P0的横坐标x0，再代入y＝f（x）或y＝h（x），求
y0；
（4）所求公切线方程为y－y0＝f'（x0）（x－x0）或y－y0＝h'（x0）（x
－x0）.
不同切点的公切线问题
（1）与曲线y＝ex和y＝－ 都相切的直线方程为 ；
解析： 设所求直线与曲线y＝ex相切于点（x1， ）.因为y'＝ex，所以
该直线的方程为y－ ＝ （x－x1），即y＝ x＋ （1－x1）.设
所求直线与曲线y＝－ 相切于点（x2，－ ）.因为y'＝－ ，所以该直
线的方程为y＋ ＝－ （x－x2），即y＝－ x＋ ，所以
解得x1＝0，x2＝－2，所以直线方程为y＝x＋1.
y＝x＋1　
（2）（2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也
是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝ .
解析： 由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在
（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝ ，设
切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），由
两曲线有公切线得y' ＝ ＝2，解得x0＝－ ，则切点为（－ ，
a＋ln ），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln ＝0，故a＝ln 2.
ln 2　
求两曲线不同切点的公切线的一般思路
（1）分别设出两曲线的切点P1（x1，y1），P2（x2，y2）；
（2）分别求两曲线在切点处的方程y＝h1（x），y＝h2（x）；
（3）由公切线转化为两切线方程对应项系数相等，列方程组消元求解x1
或x2，再求公切线方程.
1. 已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－
4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m＝
（　　）
A. 2 B. 3
C. 5 D. 7
√
解析： 　依题意，设曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点（x0，y0）
处的切线相同.∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，∴f'（x）＝
2x，h'（x）＝ －4，∴ 即
∵x0＞0，∴x0＝1，m＝5.
2. 已知f（x）＝ex－1，g（x）＝ln x＋1，则f（x）与g（x）的公切线
有（　　）
A. 0条 B. 1条
C. 2条 D. 3条
√
解析： 　根据题意，设直线l与f（x）＝ex－1相切于点（m，em－
1），与g（x）＝ln x＋1相切于点（n，ln n＋1），对于f（x）＝ex－
1，有f'（x）＝ex，则直线l的斜率k＝em，则直线l的方程为y＋1－em＝
em（x－m），即y＝emx＋（1－m）em－1，对于g（x）＝ln x＋1，有
g'（x）＝ ，则直线l的斜率k＝ ，则直线l的方程为y－（ln n＋1）＝
（x－n），即y＝ x＋ln n，则 可得（1－m）
（em－1）＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝ex－1或y＝x，故f
（x）与g（x）的公切线有2条.
3. （2026·福建福州模拟）若曲线y1＝ x3与曲线y2＝aln x相切，则a
＝ .
解析：由已知得y'1＝x2，y'2＝ ，设切点为（b， ），b＞0，则该点也
在曲线y2＝aln x上，故 ＝aln b，因为两曲线相切，所以两曲线在切点
处的切线相同，因为y'1｜x＝b＝b2，y'2｜x＝b＝ ，所以b2＝ ，则a＝
b3，a＞0，代入 ＝aln b，得 ＝aln b，所以ln b＝ ，解得b＝ ，则
a＝e.
e　
4. （2026·江苏南通部分学校联考）若存在直线与曲线f（x）＝x3－x，g
（x）＝x2＋a都相切，则a的取值范围为 .
解析：设直线与曲线f（x）相切于点（x1， －x1），因为f'（x）＝3x2
－1，所以切线方程为y－（ －x1）＝（3 －1）（x－x1），即y＝
（3 －1）x－2 ，设直线与曲线g（x）相切于点（x2， ＋a），因
为g'（x）＝2x，所以切线方程为y－（ ＋a）＝2x2（x－x2），即y＝
2x2x－ ＋a，根据题意有 所以a＝ －2 ＝
[－1，＋∞）　
（ ）2－2 ＝ －2 － ＋ ，令h（x）＝ x4－2x3－ x2＋
，h'（x）＝9x3－6x2－3x＝3x（3x＋1）（x－1），所以函数h（x）
在（－∞，－ ），（0，1）上单调递减，在（－ ，0），（1，＋∞）上
单调递增，且h（1）＝－1，h（－ ）＝ ，所以h（x）min＝h（1）＝
－1，所以a≥－1，故a的取值范围为[－1，＋∞）.
THANKS
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