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微专题　三次函数的图象与性质
　　三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的定义域为R，值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值；f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，其判别式Δ＝4b2－12ac.
a＞0 a＜0
f（x）的 图象
f'（x）的 图象 Δ＞0 Δ≤0 Δ＞0 Δ≤0
f（x）的 对称中心 三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的对称中心为点（ －，f（ －）），其横坐标为二阶导数的零点
〔一题多解〕〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷11题）设函数f（x）＝2x3－3ax2＋1，则（　　）
A.当a＞1时，f（x）有三个零点
B.当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点
C.存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴
D.存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心
听课记录
1.（2026·湖南长沙模拟）已知f（x）＝x3＋3x2＋6x＋14，且f（m）＝1，f（n）＝19，则m＋n＝（　　）
A.－2 B.0
C.1 D.2
2.（2026·广西南宁质检）设ab≠0，若a为函数f（x）＝a（x－a）2（x－b）的极大值点，则（　　）
A.a＜b B.a＞b
C.ab＜b2 D.ab＞b2
3.〔多选〕（2026·山东临沂模拟）设函数f（x）＝x3－3x－2，则（　　）
A.f（x）有3个零点
B.过原点作曲线y＝f（x）的切线，有且仅有一条
C.y＝f（x）与y＝ax－2交点的横坐标之和为0
D.f（x）在区间（－2，2）上的取值范围是[－4，0）
4.若函数f（x）＝－x3＋2x2－3x＋t有且仅有一个零点，则实数t的取值范围为　　　　.
微专题　三次函数的图象与性质
【例】　AD　因为f（x）＝2x3－3ax2＋1，所以f'（x）＝6x2－6ax＝6x（x－a）.对于选项A，令f'（x）＞0，则x＞a或x＜0；令f'（x）＜0，则0＜x＜a.所以f（x）在（－∞，0）和（a，＋∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减.又因为f（0）＝1，f（a）＝2a3－3a3＋1＝1－a3＜0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以f（x）的大致图象如图，所以f（x）有三个零点，故选项A正确；对于选项B，令f'（x）＞0，则x＜a或x＞0；令f'（x）＜0，则a＜x＜0.所以x＝0是f（x）的极小值点，故选项B错误；对于选项C，法一　三次函数为中心对称函数，其图象无对称轴，故选项C错误；法二　当x→＋∞时，f（x）→＋∞，当x→－∞时，f（x）→－∞，故曲线y＝f（x）必不存在对称轴，C错误；对于选项D，法一（排除法）　由于是多项选择题A正确，B、C错误，则D一定正确.
法二（利用对称中心的二级结论）　f（1）＝3－3a，若存在a，使得（1，3－3a）为f（x）的对称中心，则f（x）＋f（2－x）＝6－6a，事实上，f（x）＋f（2－x）＝2x3－3ax2＋1＋2（2－x）3－3a（2－x）2＋1＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，于是6－6a＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，即解得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确.法三（利用拐点）　任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f（x）＝2x3－3ax2＋1，f'（x）＝6x2－6ax，f″（x）＝12x－6a，由f″（x）＝0 x＝，于是该三次函数的对称中心为（ ，f（ ）），由题意（1，f（1））也是对称中心，故＝1 a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确.
法四（三次函数对称中心的二级结论）　任意三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象均关于点（ －，f（ －））成中心对称，又f（x）＝2x3－3ax2＋1，对比系数可得－＝，由题意（1，f（1））也是对称中心，故＝1，得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D正确.故选A、D.
强化训练
1.A　2.C　
3.BC　令f'（x）＝3x2－3＝0，解得x＝±1，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示.
x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调 递增 0 单调 递减 －4 单调 递增
所以f（x）有2个零点，A错误；对于选项B，设切点为（x0，－3x0－2），则切线方程为y－（－3x0－2）＝（3－3）（x－x0），代入原点，整理得x0＝－1，故切线有且仅有一条，B正确；对于选项C，由题意得x3－3x－2＝ax－2，x3＝（a＋3）x，得x＝0或x2＝a＋3，若a＋3≥0，根据对称性知，根之和为0，若a＋3＜0，方程只有一个根为0，C正确；对于选项D，f（－2）＝－8＋6－2＝－4，f（2）＝8－6－2＝0，又f（－1）＝0，f（1）＝－4，故f（x）在区间（－2，2）上的取值范围是[－4，0]，D错误.故选B、C.
4.（－∞，0）∪（ ，＋∞）　解析：由f（x）＝－x3＋2x2－3x＋t，得f'（x）＝－x2＋4x－3，当x＞3或x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，1），（3，＋∞）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以f（x）极大值＝f（3）＝t，f（x）极小值＝f（1）＝t－，又x→＋∞时，f（x）→－∞，x→－∞时，f（x）→＋∞，因此，为使曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，结合f（x）的单调性，得f（x）极大值＝t＜0或f（x）极小值＝t－＞0，所以t＜0或t＞，即当t＜0或t＞时，使得曲线y＝f（x）与x轴有且仅有一个交点.
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微专题　三次函数的图象与性质
　　三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的定义域为R，值域为
R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值；f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，
其判别式Δ＝4b2－12ac.
a＞0 a＜0
f（x）
的图象
f'（x）
的图象 Δ＞0 Δ≤0 Δ＞0 Δ≤0
f（x）的对称中心 三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的对称中心为点（－ ，f（－ ）），其横坐标为二阶导数的零点
〔一题多解〕〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷11题）设函数f（x）＝2x3－
3ax2＋1，则（　　）
A. 当a＞1时，f（x）有三个零点
B. 当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点
C. 存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴
D. 存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心
√
√
解析： 　因为f（x）＝2x3－3ax2＋1，所以f'（x）＝
6x2－6ax＝6x（x－a）.对于选项A，令f'（x）＞0，则x
＞a或x＜0；令f'（x）＜0，则0＜x＜a.所以f（x）在
（－∞，0）和（a，＋∞）上单调递增，在（0，a）上单
调递减.又因为f（0）＝1，f（a）＝2a3－3a3＋1＝1－a3＜0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以f（x）的大致图象如图，所以f（x）有三个零点，故选项A正确；对于选项B，令f'（x）＞0，则x＜a或x＞0；令f'（x）＜0，则a＜x＜0.所以x＝0是f（x）的极小值点，故选项B错误；对于选项C，法一　三次函数为中心对称函数，其图象无对称轴，故选项C错误；法二　当x→＋∞时，f（x）→＋∞，当x→－∞时，f（x）→－∞，故曲线y＝f（x）必不存在对称轴，C错
误；对于选项D，法一（排除法）　由于是多项选择题A正确，B、C错误，则D一定正确.
法二（利用对称中心的二级结论）　f（1）＝3－3a，若
存在a，使得（1，3－3a）为f（x）的对称中心，则f
（x）＋f（2－x）＝6－6a，事实上，f（x）＋f（2－
x）＝2x3－3ax2＋1＋2（2－x）3－3a（2－x）2＋1＝
（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，于是6－6a＝
（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，即 解得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确.法三（利用拐点）　任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是
二阶导数的零点，f（x）＝2x3－3ax2＋1，f'（x）＝6x2－6ax，f″（x）＝12x－6a，由f″（x）＝0 x＝ ，于是该三次函数的对称中心为（ ，f（ ）），由题意（1，f（1））也是对称中心，故 ＝1 a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确.
法四（三次函数对称中心的二级结论）　任意三次函数f
（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象均关于点（－
，f（－ ））成中心对称，又f（x）＝2x3－3ax2＋1，
对比系数可得－ ＝ ，由题意（1，f（1））也是对称中心，故 ＝1，得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D正确.故选A、D.
1. （2026·湖南长沙模拟）已知f（x）＝x3＋3x2＋6x＋14，且f（m）＝
1，f（n）＝19，则m＋n＝（　　）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
√
解析： 　因为三次函数的对称中心为点（－ ，f（－ ）），－ ＝
－1，f（－1）＝10.故函数f（x）的对称中心为点（－1，10）.因为f
（m）＋f（n）＝2×10，所以m＋n＝2×（－1）＝－2.
2. （2026·广西南宁质检）设ab≠0，若a为函数f（x）＝a（x－a）2
（x－b）的极大值点，则（　　）
A. a＜b B. a＞b
C. ab＜b2 D. ab＞b2
√
解析： 　由三次函数的性质可知，要使a为函
数f（x）＝a（x－a）2（x－b）的极大值
点，则当a＞0时，函数f（x）的大致图象如图
1所示，则0＜a＜b，此时ab＜b2；当a＜0
时，函数f（x）的大致图象如图2所示，则b＜a＜0，此时ab＜b2.综上，ab＜b2.
3. 〔多选〕（2026·山东临沂模拟）设函数f（x）＝x3－3x－2，则
（　　）
A. f（x）有3个零点
B. 过原点作曲线y＝f（x）的切线，有且仅有一条
C. y＝f（x）与y＝ax－2交点的横坐标之和为0
D. f（x）在区间（－2，2）上的取值范围是[－4，0）
√
√
解析： 　令f'（x）＝3x2－3＝0，解得x＝±1，当x变化时，f'（x），
f（x）的变化情况如表所示.
x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 0 单调递减 －4 单调递增
所以f（x）有2个零点，A错误；对于选项B，设切点为（x0， －3x0－
2），则切线方程为y－（ －3x0－2）＝（3 －3）（x－x0），代入原
点，整理得x0＝－1，故切线有且仅有一条，B正确；对于选项C，由题意
得x3－3x－2＝ax－2，x3＝（a＋3）x，得x＝0或x2＝a＋3，若a＋
3≥0，根据对称性知，根之和为0，若a＋3＜0，方程只有一个根为0，C正
确；对于选项D，f（－2）＝－8＋6－2＝－4，f（2）＝8－6－2＝0，又f
（－1）＝0，f（1）＝－4，故f（x）在区间（－2，2）上的取值范围是
[－4，0]，D错误.故选B、C.
4. 若函数f（x）＝－ x3＋2x2－3x＋t有且仅有一个零点，则实数t的取
值范围为 .
解析：由f（x）＝－ x3＋2x2－3x＋t，得f'（x）＝－x2＋4x－3，当x＞
3或x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在
（－∞，1），（3，＋∞）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以f
（x）极大值＝f（3）＝t，f（x）极小值＝f（1）＝t－ ，又x→＋∞时，f
（x）→－∞，x→－∞时，f（x）→＋∞，因此，为使曲线y＝f（x）
与x轴仅有一个交点，结合f（x）的单调性，得f（x）极大值＝t＜0或f
（x）极小值＝t－ ＞0，所以t＜0或t＞ ，即当t＜0或t＞ 时，使得曲线
y＝f（x）与x轴有且仅有一个交点.
（－∞，0）∪（ ，＋∞）　
THANKS
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