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微专题　指、对同构
　　在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数或证明不等式，部分试题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的是同一函数），无疑会大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法，其实质还是指数、对数恒等式的变换.
　　几种常见变形：xex＝ex＋ln x；＝ex－ln x；＝eln x－x；x＋ln x＝ln（xex）；x－ln x＝ln.
和、差型同构
（1）已知x＞0，y＞0，且ex＋ln y＞x＋y，则下列选项正确的是（　　）
A.x＞y B.x＞ln y
C.x＜y D.x＜ln y
（2）已知函数f（x）＝aex－1－ln x＋ln a，若f（x）≥1，则实数a的取值范围为　　　　.
听课记录
和、差型ea±a＞b±ln b的两种同构方式 （1）同左构造：ea±a＞eln b±ln b，构造函数f（x）＝ex±x； （2）同右构造：ea±ln ea＞b±ln b，构造函数f（x）＝x±ln x.
积型同构
（1）设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜bln b，则（　　）
A.ab＞e B.b＞ea
C.ab＜e D.b＜ea
（2）设实数m＞0，若对任意的正实数x，不等式emx≥恒成立，则m的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
听课记录
积型aea≤bln b的三种同构方式 （1）同左构造：aea≤eln bln b，构造函数f（x）＝xex； （2）同右构造：ealn ea≤bln b，构造函数f（x）＝xln x； （3）取对构造：a＋ln a≤ln b＋ln（ln b）（b＞1），构造函数f（x）＝x＋ln x.
商型同构
（1）已知函数f（x）＝，若不等式f（x）≥对x∈（0，e]恒成立，则a的取值范围为（　　）
A.（ －∞，］ B.［－，0）
C.（ 0，］ D.［，＋∞）
（2）已知x∈N*，y∈N*，x＜y，则方程xy＝yx的解的组数为（　　）
A.0 B.1
C.2 D.无穷多个
听课记录
商型≤的三种同构方式 （1）同左构造：≤，构造函数f（x）＝； （2）同右构造：≤，构造函数f（x）＝； （3）取对构造：a－ln a≤ln b－ln（ln b）（b＞1），构造函数f（x）＝x－ln x.
1.不等式ax＋eax＞ln（bx）＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是（　　）
A.f（x）＝ln x＋x B.f（x）＝xln x
C.f（x）＝xex D.f（x）＝
2.已知函数f（x）＝mln（x＋1）－3x－3，若不等式f（x）＞mx－3ex在（0，＋∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A.[0，3] B.[3，＋∞）
C.（－∞，3] D.（－∞，0]
3.〔多选〕已知a＞0，b∈R，e是自然对数的底数，若b＋eb＝a＋ln a，则a－b的值可以是（　　）
A.－1 B.1
C.2 D.3
4.设实数k＞0，对于任意的x＞1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为　　　　.
5.已知函数f（x）＝aexln x，g（x）＝x2＋xln a，a＞0.设函数h（x）＝g（x）－f（x），若h（x）＞0对任意的x∈（0，1）恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.
微专题　指、对同构
【例1】　（1）B　（2）[1，＋∞）　解析：（1）原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－ln ex＞y－ln y.令g（x）＝x－ln x，则不等式ex－ln ex＞y－ln y，等价于g（ex）＞g（y），因为g'（x）＝，所以当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＝＞0，所以g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，因为x＞0，所以ex＞1.若y∈（1，＋∞），由g（ex）＞g（y），有ex＞y，若y∈（0，1]，恒有ex＞y.综上所述，ex＞y，即x＞ln y.故选B.
（2）f（x）的定义域为（0，＋∞），f（x）＝aex－1－ln x＋ln a＝eln a＋x－1－ln x＋ln a≥1，等价于eln a＋x－1＋ln a＋x－1≥ln x＋x＝eln x＋ln x.令g（x）＝ex＋x，上述不等式等价于g（ln a＋x－1）≥g（ln x）.显然g（x）为增函数，则不等式等价于ln a＋x－1≥ln x，即ln a≥ln x－x＋1.令h（x）＝ln x－x＋1，则h'（x）＝－1＝.当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0，所以ln a≥0，即a≥1，所以a的取值范围是[1，＋∞）.
【例2】　（1）B　（2）A　解析：（1）由aea＜bln b，得ealn ea＜bln b.设f（x）＝xln x（x＞0），因为a＞0，则ea＞1，因为b＞0，且bln b＞aea＞0，则b＞1.当x＞1时，f'（x）＝ln x＋1＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，ealn ea＜bln b，即f（ea）＜f（b），所以ea＜b.
（2）∵m＞0，emx≥，∴memx≥ln x，当0＜x＜1时，不等式显然成立，当x＞1时，原不等式可变形为mxemx≥xln x＝eln x·ln x，设函数g（x）＝xex，则g'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）单调递增，则不等式emx≥恒成立等价于g（mx）≥g（ln x）恒成立，即mx≥ln x恒成立，即m≥（ ）max，设G（x）＝，x＞1，则G'（x）＝，当1＜x＜e时，G'（x）＞0，当x＞e时，G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，则G（x）max＝G（e）＝，则m≥，即m的最小值为.
【例3】　（1）D　（2）B　解析：（1）因为≥，设函数g（x）＝，则≥等价于g（eax）≥g（x）.因为g'（x）＝，所以当x∈（0，e2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（e2，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，且当x∈（0，e）时，g（x）＜0，当x∈（e，＋∞）时，g（x）＞0，所以当x∈（0，e]时，g（eax）≥g（x）等价于eax≥x，即a≥恒成立.设函数h（x）＝，x∈（0，e]，则h'（x）＝≥0，即h（x）在（0，e]上单调递增，所以h（x）max＝h（e）＝，则a≥，所以a的取值范围为［，＋∞）.
（2）xy＝yx，两边取自然对数，得yln x＝xln y，即＝，设f（x）＝，x＞0，则f'（x）＝，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，且当x∈（0，1]时，f（x）≤0，当x＞1时，f（x）＞0，f（2）＝，f（4）＝＝，所以满足x∈N*，y∈N*，x＜y的方程xy＝yx的解的组数为1.
强化训练
1.A　2.C　
3.BCD　设函数f（x）＝x＋ex，则f（x）在R上是增函数，则b＋eb－（a＋ln a）＝b＋eb－（ln a＋eln a）＝f（b）－f（ln a）＝0，所以b＝ln a，即a＝eb，所以a－b＝eb－b，令g（x）＝ex－x，则g'（x）＝ex－1，当x＜0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（0）＝1，从而a－b≥1，结合选项，选项B、C、D符合题意.
4.　解析：由kekx≥ln x（x＞1）得kxekx≥xln x，即kxekx≥eln x·ln x，令f（x）＝xex，则f（kx）≥f（ln x）.因为f'（x）＝（x＋1）ex，所以f（x）在（－1，＋∞）上单调递增，因为kx＞0，ln x＞0，所以kx≥ln x，即k≥，令h（x）＝（x＞1），则h'（x）＝，当x∈（1，e）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（e，＋∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（e）＝，即k≥，所以k的最小值为.
5.［，＋∞）　解析：由h（x）＞0，得g（x）－f（x）＞0，得aexln x＜x2＋xln a，所以＜＋＝，即＞对任意x∈（0，1）恒成立.设H（x）＝，则H'（x）＝.当x∈（0，e）时，H'（x）＞0，H（x）单调递增；当x∈（e，＋∞）时，H'（x）＜0，H（x）单调递减，且当x∈（1，＋∞）时，H（x）＞0；当x∈（0，1）时，H（x）＜0，若aex≥1＞x，则H（aex）≥H（1）＝0＞H（x），若0＜aex＜1，因为H（aex）＞H（x），且H（x）在（0，1）上单调递增，则可得aex＞x.综上可知，aex＞x对任意x∈（0，1）恒成立，即a＞对任意x∈（0，1）恒成立.设G（x）＝，x∈（0，1），则G'（x）＝＞0，所以G（x）在（0，1）上单调递增，则G（x）＜G（1）＝，所以a≥，即实数a的取值范围为［，＋∞）.
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微专题　指、对同构
　　在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数或证明不等式，部分试题
是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即
不等式两边对应的是同一函数），无疑会大大加快解决问题的速度.找到
这个函数模型的方法，我们称为同构法，其实质还是指数、对数恒等式的
变换.
　　几种常见变形：xex＝ex＋ln x； ＝ex－ln x； ＝eln x－x；x＋ln x＝ln
（xex）；x－ln x＝ln .
和、差型同构
（1）已知x＞0，y＞0，且ex＋ln y＞x＋y，则下列选项正确的是
（　B　）
A. x＞y B. x＞ln y
C. x＜y D. x＜ln y
B
解析： 原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－ln ex＞y－ln y.令g
（x）＝x－ln x，则不等式ex－ln ex＞y－ln y，等价于g（ex）＞g
（y），因为g'（x）＝ ，所以当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＝ ＞
0，所以g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，因为x＞0，所以ex＞1.
若y∈（1，＋∞），由g（ex）＞g（y），有ex＞y，若y∈（0，1]，恒
有ex＞y.综上所述，ex＞y，即x＞ln y.故选B.
（2）已知函数f（x）＝aex－1－ln x＋ln a，若f（x）≥1，则实数a的取
值范围为 .
解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f（x）＝aex－1－ln x＋ln a＝eln a
＋x－1－ln x＋ln a≥1，等价于eln a＋x－1＋ln a＋x－1≥ln x＋x＝eln x＋ln x.
令g（x）＝ex＋x，上述不等式等价于g（ln a＋x－1）≥g（ln x）.显
然g（x）为增函数，则不等式等价于ln a＋x－1≥ln x，即ln a≥ln x－x＋
1.令h（x）＝ln x－x＋1，则h'（x）＝ －1＝ .当x∈（0，1）时，h'
（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＜0，h
（x）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0，所以ln a≥0，即a≥1，所
以a的取值范围是[1，＋∞）.
[1，＋∞）　
和、差型ea±a＞b±ln b的两种同构方式
（1）同左构造：ea±a＞eln b±ln b，构造函数f（x）＝ex±x；
（2）同右构造：ea±ln ea＞b±ln b，构造函数f（x）＝x±ln x.
积型同构
（1）设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜bln b，则
（　B　）
A. ab＞e B. b＞ea
C. ab＜e D. b＜ea
解析： 由aea＜bln b，得ealn ea＜bln b.设f（x）＝xln x（x＞0），因
为a＞0，则ea＞1，因为b＞0，且bln b＞aea＞0，则b＞1.当x＞1时，f'
（x）＝ln x＋1＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，ealn ea＜bln
b，即f（ea）＜f（b），所以ea＜b.
B
（2）设实数m＞0，若对任意的正实数x，不等式emx≥ 恒成立，则m
的最小值为（　A　）
A. B.
C. D.
A
解析：∵m＞0，emx≥ ，∴memx≥ln x，当0＜x＜1时，不等式显然成
立，当x＞1时，原不等式可变形为mxemx≥xln x＝eln x·ln x，设函数g
（x）＝xex，则g'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞1时，g'（x）＞
0，∴g（x）单调递增，则不等式emx≥ 恒成立等价于g（mx）≥g
（ln x）恒成立，即mx≥ln x恒成立，即m≥（ ）max，设G（x）＝
，x＞1，则G'（x）＝ ，当1＜x＜e时，G'（x）＞0，当x＞e时，
G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递
减，则G（x）max＝G（e）＝ ，则m≥ ，即m的最小值为 .
积型aea≤bln b的三种同构方式
（1）同左构造：aea≤eln bln b，构造函数f（x）＝xex；
（2）同右构造：ealn ea≤bln b，构造函数f（x）＝xln x；
（3）取对构造：a＋ln a≤ln b＋ln（ln b）（b＞1），构造函数f（x）＝
x＋ln x.
商型同构
（1）已知函数f（x）＝ ，若不等式f（x）≥ 对x∈
（0，e]恒成立，则a的取值范围为（　D　）
A. （－∞， ］ B. ［－ ，0）
C. （0， ］ D. ［ ，＋∞）
D
解析： 因为 ≥ ，设函数g（x）＝ ，则 ≥
等价于g（eax）≥g（x）.因为g'（x）＝ ，所以当x∈（0，e2）
时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（e2，＋∞）时，g'（x）＜
0，g（x）单调递减，且当x∈（0，e）时，g（x）＜0，当x∈（e，＋
∞）时，g（x）＞0，所以当x∈（0，e]时，g（eax）≥g（x）等价于
eax≥x，即a≥ 恒成立.设函数h（x）＝ ，x∈（0，e]，则h'（x）
＝ ≥0，即h（x）在（0，e]上单调递增，所以h（x）max＝h（e）
＝ ，则a≥ ，所以a的取值范围为［ ，＋∞）.
（2）已知x∈N*，y∈N*，x＜y，则方程xy＝yx的解的组数为（　B　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无穷多个
B
解析：xy＝yx，两边取自然对数，得yln x＝xln y，即 ＝ ，设f（x）
＝ ，x＞0，则f'（x）＝ ，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f
（x）单调递增，当x∈（e，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
且当x∈（0，1]时，f（x）≤0，当x＞1时，f（x）＞0，f（2）＝
，f（4）＝ ＝ ，所以满足x∈N*，y∈N*，x＜y的方程xy＝yx的
解的组数为1.
商型 ≤ 的三种同构方式
（1）同左构造： ≤ ，构造函数f（x）＝ ；
（2）同右构造： ≤ ，构造函数f（x）＝ ；
（3）取对构造：a－ln a≤ln b－ln（ln b）（b＞1），构造函数f（x）＝
x－ln x.
1. 不等式ax＋eax＞ln（bx）＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是
（　　）
A. f（x）＝ln x＋x B. f（x）＝xln x
C. f（x）＝xex D. f（x）＝
√
解析： 　由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，所以ax＋eax＞ln（bx）＋
bx可变形为ln eax＋eax＞ln（bx）＋bx，构造函数f（x）＝ln x＋x，可
得f（eax）＞f（bx）.
2. 已知函数f（x）＝mln（x＋1）－3x－3，若不等式f（x）＞mx－3ex
在（0，＋∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A. [0，3] B. [3，＋∞）
C. （－∞，3] D. （－∞，0]
√
解析： 　由题意得，mln（x＋1）－3（x＋1）＞mx－3ex＝mln ex－
3ex.令g（x）＝mln x－3x，则有g（x＋1）＞g（ex），因为1＜x＋1
＜ex，所以g（x）在（1，＋∞）上单调递减，从而g'（x）＝ －
3≤0 m≤3x，故m≤3.
3. 〔多选〕已知a＞0，b∈R，e是自然对数的底数，若b＋eb＝a＋ln
a，则a－b的值可以是（　　）
A. －1 B. 1
C. 2 D. 3
√
√
√
解析： 　设函数f（x）＝x＋ex，则f（x）在R上是增函数，则b＋
eb－（a＋ln a）＝b＋eb－（ln a＋eln a）＝f（b）－f（ln a）＝0，所以
b＝ln a，即a＝eb，所以a－b＝eb－b，令g（x）＝ex－x，则g'（x）
＝ex－1，当x＜0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞0时，g'
（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（0）＝1，从而a－
b≥1，结合选项，选项B、C、D符合题意.
4. 设实数k＞0，对于任意的x＞1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小
值为 .
解析：由kekx≥ln x（x＞1）得kxekx≥xln x，即kxekx≥eln x·ln x，令f
（x）＝xex，则f（kx）≥f（ln x）.因为f'（x）＝（x＋1）ex，所以f
（x）在（－1，＋∞）上单调递增，因为kx＞0，ln x＞0，所以kx≥ln
x，即k≥ ，令h（x）＝ （x＞1），则h'（x）＝ ，当x∈
（1，e）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（e，＋∞）时，h'
（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（e）＝ ，即k≥ ，
所以k的最小值为 .
　
5. 已知函数f（x）＝aexln x，g（x）＝x2＋xln a，a＞0.设函数h
（x）＝g（x）－f（x），若h（x）＞0对任意的x∈（0，1）恒成立，
则实数a的取值范围是 .
［ ，＋∞）　
解析：由h（x）＞0，得g（x）－f（x）＞0，得aexln x＜x2＋xln a，
所以 ＜ ＋ ＝ ，即 ＞ 对任意x∈（0，1）恒
成立.设H（x）＝ ，则H'（x）＝ .当x∈（0，e）时，H'（x）＞
0，H（x）单调递增；当x∈（e，＋∞）时，H'（x）＜0，H（x）单调
递减，且当x∈（1，＋∞）时，H（x）＞0；当x∈（0，1）时，H
（x）＜0，若aex≥1＞x，则H（aex）≥H（1）＝0＞H（x），若0＜
aex＜1，因为H（aex）＞H（x），且H（x）在（0，1）上单调递增，则可得aex＞x.综上可知，aex＞x对任意x∈（0，1）恒成立，即a＞ 对任意x∈（0，1）恒成立.设G（x）＝ ，x∈（0，1），则G'（x）＝ ＞0，所以G（x）在（0，1）上单调递增，则G（x）＜G（1）＝ ，所以a≥ ，即实数a的取值范围为［ ，＋∞）.
THANKS
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