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重难专攻1　导数中函数的构造问题
（时间：60分钟，满分：77分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜，则f（x）＜＋的解集为（　　）
A.{x｜－1＜x＜1} B.{x｜x＜－1}
C.{x｜x＜－1或x＞1} D.{x｜x＞1}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.已知e为自然对数的底数，函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＜－f（x）成立，则（　　）
A.＞f（1）＞ef（2） B.f（1）＞ef（2）＞
C.ef（2）＞f（1）＞ D.ef（2）＞＞f（1）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.已知a＝＋ln，b＝1＋，c＝＋ln 2，则（　　）
A.c＜b＜a B.b＜c＜a
C.c＜a＜b D.a＜c＜b
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.已知α，β均为锐角，且α＋β－＞sin β－cos α，则（　　）
A.sin α＞sin β B.cos α＞cos β
C.cos α＞sin β D.sin α＞cos β
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.（2026·湖南衡阳调研）已知函数f（x）的定义域为R，设f（x）的导函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＋sin x＞0恒成立，则（　　）
A.f（ ）＜f（ －） B.f（ ）＞f（ －）
C.f（ ）＜｜f（ －）｜ D.｜f（ ）｜＞｜f（ －）｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.定义在（0，＋∞）上的函数f（x），g（x）的导函数都存在，f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）＜1，且f（1）＝2，g（1）＝1，则不等式f（x）g（x）＜x＋1的解集为（　　）
A.（1，2） B.（2，＋∞）
C.（0，1） D.（1，＋∞）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.〔多选〕已知a＞b＞0，且＝，则（　　）
A.0＜b＜1 B.0＜a＜1
C.1＜b＜e D.a＞e
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.〔多选〕（2026·浙江杭州模拟）定义在（0，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且（x3＋x2）f'（x）＜（3x2＋2x）f（x）恒成立，则必有（　　）
A.f（3）＞18f（1）
B.f（2）＜6f（1）
C.3f（1）＞16f（ ）
D.f（3）＜3f（2）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.已知f（x）是定义在（ 0，）上的函数，其导函数为f'（x），f（ ）＝2，且x∈（ 0，）时，f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0，则不等式f（x）sin x＜3的解集为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.（2026·浙江杭州调研）已知实数a，b，c∈（0，1），且ae2＝2ea，be3＝2eb，ce3＝3ec，则a，b，c的大小关系为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11.（10分）若存在x，y∈（0，＋∞）使得xln（2ax）＋y＝xln y，试求实数a的最大值.
12.（15分）已知函数f（x）＝.
（1）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（2）若对 x1，x2∈[1，3]，x1≠x2，都有＜2恒成立，求实数a的取值范围.
重难专攻1　导数中函数的构造问题
1.D　2.A　3.D　
4.D　∵α＋β－＞sin β－cos α，∴β－sin β＞－α－sin（ －α），令f（x）＝x－sin x，x∈（ 0，），则f'（x）＝1－cos x＞0，∴f（x）在（ 0，）上单调递增，∵α，β均为锐角，则－α∈（ 0，），β∈（ 0，），∴β＞－α，∴cos β＜cos（ －α），sin β＞sin（ －α），∴cos β＜sin α，sin β＞cos α.
5.D　设g（x）＝f2（x）－2cos x，则g'（x）＝2f（x）·f'（x）＋2sin x＞0，故g（x）在定义域R上是增函数，所以g（ ）＞g（ －），即f2（ ）＞f2（ －），所以f（ ）＞f（ －）.
6.D　由f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）＜1，可得[f（x）g（x）]'＜1.设函数h（x）＝f（x）g（x）－x，则h'（x）＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）－1＜0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减.因为f（1）＝2，g（1）＝1，所以h（1）＝1，所以f（x）g（x）＜x＋1，即h（x）＜h（1），则x＞1，所以不等式f（x）g（x）＜x＋1的解集为（1，＋∞）.故选D.
7.CD　＝两边同取自然对数得＝，设f（x）＝，则f'（x）＝，令f'（x）＞0，解得0＜x＜e，令f'（x）＜0，解得x＞e，∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，∴f（x）在x＝e处取得最大值f（e）＝，在（0，e）内，函数f（x）有唯一的零点x＝1，在（e，＋∞）内，f（x）＞0，又∵a＞b＞0且f（a）＝f（b）＞0，∴1＜b＜e，a＞e.故选C、D.
8.BD　因为（x3＋x2）f'（x）－（3x2＋2x）·f（x）＜0，令h（x）＝，则h'（x）＝＜0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减.对于A，h（3）＜h（1），＜，所以2f（3）＜36f（1），即f（3）＜18f（1），不正确；对于B，h（2）＜h（1），＜，所以f（2）＜6f（1），正确；对于C，h（1）＜h（ ），＜，所以f（1）＜2f（ ），即3f（1）＜16f（ ），不正确；对于D，h（3）＜h（2），＜，即f（3）＜3f（2），正确.
9.{x｜0＜x＜}　解析：因为f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0，所以[f（x）sin x]'＞0，令g（x）＝f（x）sin x，则当x∈（ 0，）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，因为f（ ）＝2，所以g（ ）＝f（ ）sin＝3，不等式f（x）sin x＜3，即g（x）＜g（ ），因为g（x）在（ 0，）上单调递增，所以原不等式的解集为{x｜0＜x＜}.
10.b＜c＜a　解析：由ae2＝2ea，可得＝，由be3＝2eb，可得＝，由ce3＝3ec，可得＝.记f（x）＝，则f'（x）＝（ ）'＝＝，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）min＝f（1）＝e，因为＝＞1，所以＞，显然＞，所以＜＜.结合f（x）的单调性，则b＜c＜a.
11.解：由xln（2ax）＋y＝xln y，得ln 2a＝ln－，
令t＝＞0，g（t）＝ln t－t，
则g'（t）＝－1＝，
当0＜t＜1时，g'（t）＞0，当t＞1时，g'（t）＜0，
所以g（t）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
所以当t＝1时，g（t）取得极大值即最大值g（1）＝－1，
因为当t→0时，g（t）→－∞，所以g（t）∈（－∞，－1]，
所以ln（2a）≤－1，所以0＜a≤，
所以实数a的最大值为.
12.解：（1）f（x）的定义域为{x｜x≠0}，f'（x）＝，
∵a＞0，∴当x∈（－∞，0）∪（0，1）时，f'（x）＜0，
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（－∞，0），（0，1），单调递增区间为（1，＋∞）.
（2）∵ x1，x2∈[1，3]，x1≠x2，
都有＜2恒成立，
即－2＜0恒成立，
即＜0恒成立，
令g（x）＝f（x）－2x，则＜0在x∈[1，3]上恒成立，
即函数g（x）＝f（x）－2x在区间[1，3]上单调递减，
又∵g'（x）＝f'（x）－2＝－2，
∴－2≤0在[1，3]上恒成立，
当x＝1时，不等式可化为－2≤0显然成立；
当x∈（1，3]时，不等式－2≤0可化为a≤，
令h（x）＝，x∈（1，3]，
则h'（x）＝＝＝＝＜0在区间（1，3]上恒成立，
∴函数h（x）＝在区间（1，3]上单调递减，
∴h（x）min＝h（3）＝＝，∴a≤，
综上所述，实数a的取值范围是（ －∞，］.　
1 / 1重难专攻1　导数中函数的构造问题
　　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，多以客观题的形式出现，通过构造一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等），来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
　　
与f'（x）有关的函数构造问题
（定向精析突破）
考向1　利用f（x）与xn构造函数
（1）（2026·山东济南三校第一次联考）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）
A.（－4，0）∪（0，4）
B.（－∞，－4）∪（4，＋∞）
C.（－4，0）∪（4，＋∞）
D.（－∞，－4）∪（0，4）
（2）已知函数f（x）的定义域为[0，＋∞），导函数为f'（x），若f'（x）＜恒成立，则（　　）
A.f（2）＞f（3） B.2f（1）＞f（3）
C.f（5）＞2f（2） D.3f（5）＞f（1）
听课记录
利用f（x）与xn构造函数 （1）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）； （2）出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝.
考向2　利用f（x）与ex构造函数
〔多选〕已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）
A.f（2）＜e2f（0） B.f（2）＞e2f（0）
C.e2f（－1）＞f（1） D.e2f（－1）＜f（1）
听课记录
利用f（x）与ex构造函数 （1）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）； （2）出现f'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝.
考向3　利用f（x）与sin x，cos x构造函数
（2026·山东潍坊模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f'（x）.若f'（x）sin x－f（x）cos x＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（ ）sin x的解集为（　　）
A.（ 0，） B.（ 0，）
C.（ 0，） D.（ 0，）
听课记录
利用f（x）与sin x，cos x构造函数 （1）出现f'（x）sin x＋f（x）cos x形式，构造函数F（x）＝f（x）sin x； （2）出现f'（x）sin x－f（x）cos x形式，构造函数F（x）＝； （3）出现f'（x）cos x＋f（x）sin x形式，构造函数F（x）＝； （4）出现f'（x）cos x－f（x）sin x形式，构造函数F（x）＝f（x）cos x.
训练1 （1）函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f'（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为（　　）
A.（－1，1） B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－∞，＋∞）
（2）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝4，则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（　　）
A.（－∞，0） B.（－∞，1）
C.（0，＋∞） D.（1，＋∞）
（3）已知f（x）是定义在（ 0，）上的函数，f'（x）是它的导函数，且恒有f'（x）＞f（x）·tan x成立，则有（　　）
A.f（ ）＞f（ ）
B.f（ ）＞2cos 1·f（1）
C.2f（ ）＜f（ ）
D.f（ ）＜f（ ）
通过变量构造具体函数
（师生共研过关）
（1）若ln x－ln y＜－（x＞1，y＞1），则（　　）
A.ey－x＞1 B.ey－x＜1
C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1
（2）（2026·贵州贵阳质检）已知a＜5，且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（　　）
A.c＜b＜a B.b＜c＜a
C.a＜c＜b D.a＜b＜c
听课记录
　　若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，再利用函数的单调性求解.
训练2 （2026·浙江金华模拟）若对任意的x1，x2∈（m，＋∞），且当x1＜x2时，都有＞，则m的最小值是　　　　.　
通过数值构造具体函数
（师生共研过关）
（1）设a＝，b＝ln ，c＝，其中e是自然对数的底数，则（　　）
A.b＜a＜c B.a＜c＜b
C.b＜c＜a D.c＜b＜a
（2）已知a－＝ln 2a，b－＝ln 3b，c－e＝ln，其中a≠，b≠，c≠e，则a，b，c的大小关系为　　　　.（用“＜”连接）
听课记录
　　当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小.
训练3 （1）已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（　　）
A.a＞0＞b B.a＞b＞0
C.b＞a＞0 D.b＞0＞a
（2）实数e3，3π，π3的大小关系为　　　　.
重难专攻1　导数中函数的构造问题
考点1
【例1】　（1）D　（2）B
解析：（1）构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.
（2）因为f'（x）＜，x≥0，所以（x＋1）·f'（x）－f（x）＜0，构造函数g（x）＝，x≥0，则g'（x）＝＜0，所以g（x）在定义域上是减函数，从而g（1）＞g（2）＞g（3）＞g（5），即＞＞＞.所以4f（2）＞3f（3），2f（1）＞f（3），2f（2）＞f（5），3f（1）＞f（5）.
【例2】　AC　构造F（x）＝，则F'（x）＝＝，又导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x），则F'（x）＜0，F（x）在R上是减函数，故＞＞＞，所以f（2）＜e2f（0），e2f（－1）＞f（1）.故选A、C.
【例3】　A　构造F（x）＝，则F'（x）＝＞0，所以F（x）在定义域（0，π）内是增函数.所以关于x的不等式f（x）＜2f（ ）sin x，可化为＜，即F（x）＜F（ ），所以0＜x＜，即不等式f（x）＜2f（ ）sin x的解集为（ 0，）.
训练1　（1）B　（2）D　（3）D
解析：（1）令g（x）＝f（x）－2x－4，则g'（x）＝f'（x）－2＞0，∴g（x）为R上的增函数，又∵g（－1）＝f（－1）－2×（－1）－4＝0.∴f（x）＞2x＋4等价于g（x）＞g（－1），解得x＞－1.
（2）设g（x）＝exf（x）－ex（x∈R），则g'（x）＝exf（x）＋exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1]，因为f（x）＋f'（x）＞1，所以f（x）＋f'（x）－1＞0，又ex＞0，所以g'（x）＞0恒成立，所以函数g（x）在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf（x）－ex＞3e，又f（1）＝4，所以g（1）＝ef（1）－e＝3e，所以g（x）＞g（1），所以x＞1.故选D.
（3）∵x∈（ 0，），∴sin x＞0，cos x＞0.由f'（x）＞f（x）tan x，得f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，构造函数g（x）＝f（x）·cos x，则g'（x）＝f'（x）·cos x－f（x）·sin x＞0，∴函数g（x）在（ 0，）上单调递增.结合选项知，g（ ）＜g（ ），即f（ ）·cos＜f（ ）cos，∴f（ ）＜f（ ）.故选D.
考点2
【例4】　（1）A　（2）D　解析：（1）依题意，ln x－＜ln y－，令f（t）＝t－（t≠0），则f'（t）＝1＋＞0，∴f（t）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增，又x＞1，y＞1，得ln x＞0，ln y＞0，则f（ln x）＜f（ln y），则ln x＜ln y，∴1＜x＜y，即y－x＞0，∴ey－x＞e0＝1，A正确，B不正确；又无法确定y－x－1与0的大小关系，故C、D不正确.
（2）三个等式可变形为＝，＝，＝.∵ae5＝5ea，a＜5，∴a＞0.同理b＞0，c＞0.构造函数f（x）＝，x＞0，则f'（x）＝.当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.∵f（5）＝f（a），而0＜a＜5，故0＜a＜1.同理，0＜b＜1，0＜c＜1，f（4）＝f（b），f（3）＝f（c）.∵f（5）＞f（4）＞f（3），∴f（a）＞f（b）＞f（c），0＜a＜b＜c＜1.
训练2　3　解析：因为当x1＜x2时，都有＞，所以ln x1－ln x2＜＝－，即ln x1＋＜ln x2＋，令f（x）＝ln x＋，所以当任意的x1，x2∈（m，＋∞），且当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（m，＋∞）上单调递增，由f'（x）＝－＝＞0，得x＞3，所以f（x）在（3，＋∞）上单调递增，所以m≥3，所以m的最小值是3.
考点3
【例5】　（1）B　（2）c＜a＜b　解析：（1）因为a＝＝，b＝，c＝＝，令函数f（x）＝，x＞e，求导得f'（x）＝＜0，即函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减，又3＜＜4，因此f（3）＞f（ ）＞f（4），所以a＜c＜b.故选B.
（2）由题得a－ln a＝－ln，b－ln b＝－ln，c－ln c＝e－ln e.构造函数f（x）＝x－ln x（x＞0），f'（x）＝1－＝，令f'（x）＝0，得x＝1，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，作出函数f（x）的大致图象如图所示.因为f（a）＝f（ ），f（b）＝f（ ），f（c）＝f（e），且a≠，b≠，c≠e，则由图可知b＞a＞1，0＜c＜1，所以c＜a＜b.
训练3　（1）A　（2）e3＜π3＜3π
解析：（1）由10＝9m＞9，得m＞1.设f（x）＝xm－x－1，x＞1，则当m＞1时，f'（x）＝mxm－1－1＞x1－1－1＝0，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以f（10）＞f（9）＝0＞f（8），即a＞0＞b.
（2）设f（x）＝，则f'（x）＝，当x＞e时，f'（x）＜0，所以f（x）在（e，＋∞）上单调递减，所以f（3）＞f（π），即＞，所以πln 3＞3ln π，所以ln 3π＞ln π3，即3π＞π3.因为y＝x3在（0，＋∞）上单调递增，e＜π，所以e3＜π3，所以e3＜π3＜3π.
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重难专攻1　导数中函数的构造问题
重难解读
　　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，多以客观题的形式出
现，通过构造一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有
关性质（单调性、极值、最值等），来解决比较大小、解不等式、恒成立
等问题.
与f'（x）有关的函数构造问题（定向精析突破）
考向1　利用f（x）与xn构造函数
（1）（2026·山东济南三校第一次联考）设f（x）是定义在R上的偶
函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf
（x）＞0的解集为（　D　）
A. （－4，0）∪（0，4）
B. （－∞，－4）∪（4，＋∞）
C. （－4，0）∪（4，＋∞）
D. （－∞，－4）∪（0，4）
D
解析： 构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'
（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜
0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递
减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.
（2）已知函数f（x）的定义域为[0，＋∞），导函数为f'（x），若f'
（x）＜ 恒成立，则（　B　）
A. f（2）＞f（3） B. 2f（1）＞f（3）
C. f（5）＞2f（2） D. 3f（5）＞f（1）
B
解析：因为f'（x）＜ ，x≥0，所以（x＋1）·f'（x）－f（x）＜
0，构造函数g（x）＝ ，x≥0，则g'（x）＝
＜0，所以g（x）在定义域上是减函数，从而g（1）＞g（2）＞g（3）
＞g（5），即 ＞ ＞ ＞ .所以4f（2）＞3f
（3），2f（1）＞f（3），2f（2）＞f（5），3f（1）＞f（5）.
利用f（x）与xn构造函数
（1）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；
（2）出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝ .
考向2　利用f（x）与ex构造函数
〔多选〕已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'
（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）
A. f（2）＜e2f（0） B. f（2）＞e2f（0）
C. e2f（－1）＞f（1） D. e2f（－1）＜f（1）
√
√
解析： 　构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＝
，又导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x），则F'（x）＜0，
F（x）在R上是减函数，故 ＞ ＞ ＞ ，所以f
（2）＜e2f（0），e2f（－1）＞f（1）.故选A、C.
利用f（x）与ex构造函数
（1）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）；
（2）出现f'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝ .
考向3　利用f（x）与 sin x， cos x构造函数
（2026·山东潍坊模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导
函数是f'（x）.若f'（x） sin x－f（x） cos x＞0恒成立，则关于x的不等
式f（x）＜2f（ ） sin x的解集为（　　）
A. （0， ） B. （0， ）
C. （0， ） D. （0， ）
√
解析： 　构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＞
0，所以F（x）在定义域（0，π）内是增函数.所以关于x的不等式f
（x）＜2f（ ） sin x，可化为 ＜ ，即F（x）＜F（ ），
所以0＜x＜ ，即不等式f（x）＜2f（ ） sin x的解集为（0， ）.
利用f（x）与 sin x， cos x构造函数
（1）出现f'（x） sin x＋f（x） cos x形式，构造函数F（x）＝f（x）
sin x；
（2）出现f'（x） sin x－f（x） cos x形式，构造函数F（x）＝ ；
（3）出现f'（x） cos x＋f（x） sin x形式，构造函数F（x）＝ ；
（4）出现f'（x） cos x－f（x） sin x形式，构造函数F（x）＝f（x）
cos x.
训练1 （1）函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f'
（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为（　B　）
A. （－1，1） B. （－1，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－∞，＋∞）
解析： 令g（x）＝f（x）－2x－4，则g'（x）＝f'（x）－2＞0，∴g
（x）为R上的增函数，又∵g（－1）＝f（－1）－2×（－1）－4＝
0.∴f（x）＞2x＋4等价于g（x）＞g（－1），解得x＞－1.
B
（2）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝
4，则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（　D　）
A. （－∞，0） B. （－∞，1）
C. （0，＋∞） D. （1，＋∞）
解析：设g（x）＝exf（x）－ex（x∈R），则g'（x）＝exf（x）＋exf'
（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1]，因为f（x）＋f'（x）＞1，所以f
（x）＋f'（x）－1＞0，又ex＞0，所以g'（x）＞0恒成立，所以函数g
（x）在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf（x）－ex＞3e，又f
（1）＝4，所以g（1）＝ef（1）－e＝3e，所以g（x）＞g（1），所以
x＞1.故选D.
D
（3）已知f（x）是定义在（0， ）上的函数，f'（x）是它的导函数，且
恒有f'（x）＞f（x）tan x成立，则有（　D　）
A. f（ ）＞f（ ）
B. f（ ）＞2 cos 1·f（1）
C. 2f（ ）＜ f（ ）
D. f（ ）＜f（ ）
D
解析：∵x∈（0， ），∴ sin x＞0， cos x＞0.由f'（x）＞f（x）tan x，
得f'（x） cos x－f（x） sin x＞0，构造函数g（x）＝f（x） cos x，则g'
（x）＝f'（x）· cos x－f（x） sin x＞0，∴函数g（x）在（0， ）上单
调递增.结合选项知，g（ ）＜g（ ），即f（ ）· cos ＜f（ ） cos
，∴ f（ ）＜f（ ）.故选D.
通过变量构造具体函数（师生共研过关）
（1）若ln x－ln y＜ － （x＞1，y＞1），则（　A　）
A. ey－x＞1 B. ey－x＜1
C. ey－x－1＞1 D. ey－x－1＜1
A
解析： 依题意，ln x－ ＜ln y－ ，令f（t）＝t－ （t≠0），则f'
（t）＝1＋ ＞0，∴f（t）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增，
又x＞1，y＞1，得ln x＞0，ln y＞0，则f（ln x）＜f（ln y），则ln x＜ln
y，∴1＜x＜y，即y－x＞0，∴ey－x＞e0＝1，A正确，B不正确；又无法
确定y－x－1与0的大小关系，故C、D不正确.
（2）（2026·贵州贵阳质检）已知a＜5，且ae5＝5ea，b＜4且be4＝
4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（　D　）
A. c＜b＜a B. b＜c＜a
C. a＜c＜b D. a＜b＜c
D
解析：三个等式可变形为 ＝ ， ＝ ， ＝ .∵ae5＝5ea，a＜
5，∴a＞0.同理b＞0，c＞0.构造函数f（x）＝ ，x＞0，则f'（x）＝
.当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'
（x）＞0，f（x）单调递增.∵f（5）＝f（a），而0＜a＜5，故0＜a＜
1.同理，0＜b＜1，0＜c＜1，f（4）＝f（b），f（3）＝f（c）.∵f
（5）＞f（4）＞f（3），∴f（a）＞f（b）＞f（c），0＜a＜b＜c＜1.
　　若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等
号或不等号两边，即可构造函数，再利用函数的单调性求解.
训练2 （2026·浙江金华模拟）若对任意的x1，x2∈（m，＋∞），且当x1
＜x2时，都有 ＞ ，则m的最小值是 .　
3　
解析：因为当x1＜x2时，都有 ＞ ，所以ln x1－ln x2＜
＝ － ，即ln x1＋ ＜ln x2＋ ，令f（x）＝ln x＋ ，所以
当任意的x1，x2∈（m，＋∞），且当x1＜x2时，都有f（x1）＜f
（x2），所以f（x）在（m，＋∞）上单调递增，由f'（x）＝ － ＝
＞0，得x＞3，所以f（x）在（3，＋∞）上单调递增，所以m≥3，
所以m的最小值是3.
通过数值构造具体函数（师生共研过关）
（1）设a＝ ，b＝ln ，c＝ ，其中e是自然对数的底数，则
（　B　）
A. b＜a＜c B. a＜c＜b
C. b＜c＜a D. c＜b＜a
B
解析： 因为a＝ ＝ ，b＝ ，c＝ ＝ ，令函数f（x）＝
，x＞e，求导得f'（x）＝ ＜0，即函数f（x）在（e，＋∞）上单
调递减，又3＜ ＜4，因此f（3）＞f（ ）＞f（4），所以a＜c＜b.
故选B.
（2）已知a－ ＝ln 2a，b－ ＝ln 3b，c－e＝ln ，其中a≠ ，
b≠ ，c≠e，则a，b，c的大小关系为 .（用“＜”连接）
c＜a＜b　
解析：由题得a－ln a＝ －ln ，b－ln b＝ －ln ，
c－ln c＝e－ln e.构造函数f（x）＝x－ln x（x＞
0），f'（x）＝1－ ＝ ，令f'（x）＝0，得x＝
1，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，作出函数f（x）的大致图象如图所示.因为f（a）＝f（ ），f（b）＝f（ ），f（c）＝f（e），且a≠ ，b≠ ，c≠e，则由图可知b＞a＞1，0＜c＜1，所以c＜a＜b.
　　当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同
之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利
用函数的单调性比较大小.
训练3 （1）已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（　A　）
A. a＞0＞b B. a＞b＞0
C. b＞a＞0 D. b＞0＞a
解析： 由10＝9m＞9，得m＞1.设f（x）＝xm－x－1，x＞1，则当m＞
1时，f'（x）＝mxm－1－1＞x1－1－1＝0，所以f（x）在（1，＋∞）上单
调递增，所以f（10）＞f（9）＝0＞f（8），即a＞0＞b.
A
（2）实数e3，3π，π3的大小关系为 .
解析： 设f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，当x＞e时，f'（x）＜0，所
以f（x）在（e，＋∞）上单调递减，所以f（3）＞f（π），即 ＞
，所以πln 3＞3ln π，所以ln 3π＞ln π3，即3π＞π3.因为y＝x3在（0，＋
∞）上单调递增，e＜π，所以e3＜π3，所以e3＜π3＜3π.
e3＜π3＜3π　
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：77分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜ ，则f（x）
＜ ＋ 的解集为（　　）
A. {x｜－1＜x＜1} B. {x｜x＜－1}
C. {x｜x＜－1或x＞1} D. {x｜x＞1}
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√
解析： 　构造函数h（x）＝f（x）－ － ，所以h'（x）＝f'（x）－
＜0，故h（x）在R上是减函数，且h（1）＝f（1）－ － ＝0，故h
（x）＜0的解集为{x｜x＞1}.
2. 已知e为自然对数的底数，函数f（x）的导函数为f'（x），对任意
x∈R，都有f'（x）＜－f（x）成立，则（　　）
A. ＞f（1）＞ef（2）
B. f（1）＞ef（2）＞
C. ef（2）＞f（1）＞
D. ef（2）＞ ＞f（1）
√
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12
解析： 　由f'（x）＜－f（x），得f'（x）＋f（x）＜0.令g（x）＝exf
（x），则g'（x）＝ex[f（x）＋f'（x）]＜0，所以g（x）是减函数，故
g（0）＞g（1）＞g（2），即e0f（0）＞e1f（1）＞e2f（2），同除以e
得 ＞f（1）＞ef（2）.故选A.
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3. 已知a＝ ＋ln ，b＝1＋ ，c＝ ＋ln 2，则（　　）
A. c＜b＜a B. b＜c＜a
C. c＜a＜b D. a＜c＜b
√
解析： 　构造函数f（x）＝ ＋ln x，因为f'（x）＝－ ＋ ＝ （x
＞0）.所以当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单
调递增.因为1＜ ＜2＜e，所以f（ ）＜f（2）＜f（e），即 ＋ln ＜
＋ln 2＜1＋ ，所以a＜c＜b.故选D.
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4. 已知α，β均为锐角，且α＋β－ ＞ sin β－ cos α，则（　　）
A. sin α＞ sin β B. cos α＞ cos β
C. cos α＞ sin β D. sin α＞ cos β
√
解析： 　∵α＋β－ ＞ sin β－ cos α，∴β－ sin β＞ －α－ sin
（ －α），令f（x）＝x－ sin x，x∈（0， ），则f'（x）＝1－ cos x
＞0，∴f（x）在（0， ）上单调递增，∵α，β均为锐角，则 －α∈
（0， ），β∈（0， ），∴β＞ －α，∴ cos β＜ cos （ －α），
sin β＞ sin （ －α），∴ cos β＜ sin α， sin β＞ cos α.
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5. （2026·湖南衡阳调研）已知函数f（x）的定义域为R，设f（x）的导
函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＋ sin x＞0恒成立，则（　　）
A. f（ ）＜f（－ ）
B. f（ ）＞f（－ ）
C. f（ ） ＜｜f（－ ）｜
D. ｜f（ ）｜＞｜f（－ ）｜
√
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解析： 　设g（x）＝f2（x）－2 cos x，则g'（x）＝2f（x）·f'（x）＋
2 sin x＞0，故g（x）在定义域R上是增函数，所以g（ ）＞g（－ ），
即f2（ ）＞f2（－ ），所以 f（ ） ＞ f（－ ） .
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6. 定义在（0，＋∞）上的函数f（x），g（x）的导函数都存在，f'
（x）g（x）＋f（x）g'（x）＜1，且f（1）＝2，g（1）＝1，则不等
式f（x）g（x）＜x＋1的解集为（　　）
A. （1，2） B. （2，＋∞）
C. （0，1） D. （1，＋∞）
√
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解析： 　由f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）＜1，可得[f（x）g（x）]'
＜1.设函数h（x）＝f（x）g（x）－x，则h'（x）＝f'（x）g（x）＋
f（x）g'（x）－1＜0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减.因为f
（1）＝2，g（1）＝1，所以h（1）＝1，所以f（x）g（x）＜x＋1，
即h（x）＜h（1），则x＞1，所以不等式f（x）g（x）＜x＋1的解集
为（1，＋∞）.故选D.
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7. 〔多选〕已知a＞b＞0，且 ＝ ，则（　　）
A. 0＜b＜1 B. 0＜a＜1
C. 1＜b＜e D. a＞e
√
√
解析： 　 ＝ 两边同取自然对数得 ＝ ，设f（x）＝ ，则f'
（x）＝ ，令f'（x）＞0，解得0＜x＜e，令f'（x）＜0，解得x＞e，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，∴f（x）
在x＝e处取得最大值f（e）＝ ，在（0，e）内，函数f（x）有唯一的零
点x＝1，在（e，＋∞）内，f（x）＞0，又∵a＞b＞0且f（a）＝f
（b）＞0，∴1＜b＜e，a＞e.故选C、D.
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8. 〔多选〕（2026·浙江杭州模拟）定义在（0，＋∞）上的函数f（x）的
导函数为f'（x），且（x3＋x2）f'（x）＜（3x2＋2x）f（x）恒成立，则
必有（　　）
A. f（3）＞18f（1） B. f（2）＜6f（1）
C. 3f（1）＞16f（ ） D. f（3）＜3f（2）
√
√
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解析： 　因为（x3＋x2）f'（x）－（3x2＋2x）·f（x）＜0，令h
（x）＝ ，则h'（x）＝ ＜0，所以
h（x）在（0，＋∞）上单调递减.对于A，h（3）＜h（1）， ＜
，所以2f（3）＜36f（1），即f（3）＜18f（1），不正确；对于
B，h（2）＜h（1）， ＜ ，所以f（2）＜6f（1），正确；
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对于C，h（1）＜h（ ）， ＜ ，所以 f（1）＜2f（ ），
即3f（1）＜16f（ ），不正确；对于D，h（3）＜h（2）， ＜
，即f（3）＜3f（2），正确.
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9. 已知f（x）是定义在（0， ）上的函数，其导函数为f'（x），f（ ）
＝2 ，且x∈（0， ）时，f'（x） sin x＋f（x） cos x＞0，则不等式f
（x） sin x＜3的解集为 .
解析：因为f'（x） sin x＋f（x） cos x＞0，所以[f（x） sin x]'＞0，令g
（x）＝f（x） sin x，则当x∈（0， ）时，g'（x）＞0，g（x）单调
递增，因为f（ ）＝2 ，所以g（ ）＝f（ ） sin ＝3，不等式f
（x） sin x＜3，即g（x）＜g（ ），因为g（x）在（0， ）上单调递
增，所以原不等式的解集为{x｜0＜x＜ }.
{x｜0＜x＜ }　
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10. （2026·浙江杭州调研）已知实数a，b，c∈（0，1），且ae2＝
2ea，be3＝2eb，ce3＝3ec，则a，b，c的大小关系为 .
解析：由ae2＝2ea，可得 ＝ ，由be3＝2eb，可得 ＝ ，由ce3＝
3ec，可得 ＝ .记f（x）＝ ，则f'（x）＝（ ）'＝ ＝
，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f'
（x）＞0，所以f（x）min＝f（1）＝e，因为 ＝ ＞1，所以 ＞ ，
显然 ＞ ，所以 ＜ ＜ .结合f（x）的单调性，则b＜c＜a.
b＜c＜a　
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11. （10分）若存在x，y∈（0，＋∞）使得xln（2ax）＋y＝xln y，试
求实数a的最大值.
解：由xln（2ax）＋y＝xln y，得ln 2a＝ln － ，
令t＝ ＞0，g（t）＝ln t－t，
则g'（t）＝ －1＝ ，
当0＜t＜1时，g'（t）＞0，当t＞1时，g'（t）＜0，
所以g（t）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
所以当t＝1时，g（t）取得极大值即最大值g（1）＝－1，
因为当t→0时，g（t）→－∞，所以g（t）∈（－∞，－1]，
所以ln（2a）≤－1，所以0＜a≤ ，
所以实数a的最大值为 .
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12. （15分）已知函数f（x）＝ .
（1）若a＞0，求f（x）的单调区间；
解： f（x）的定义域为{x｜x≠0}，f'（x）＝ ，
∵a＞0，∴当x∈（－∞，0）∪（0，1）时，f'（x）＜0，
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（－∞，0），（0，1），单调递增区间为
（1，＋∞）.
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（2）若对 x1，x2∈[1，3]，x1≠x2，都有 ＜2恒成立，
求实数a的取值范围.
解： ∵ x1，x2∈[1，3]，x1≠x2，
都有 ＜2恒成立，
即 －2＜0恒成立，
即 ＜0恒成立，
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令g（x）＝f（x）－2x，则 ＜0在x∈[1，3]上恒成立，
即函数g（x）＝f（x）－2x在区间[1，3]上单调递减，
又∵g'（x）＝f'（x）－2＝ －2，
∴ －2≤0在[1，3]上恒成立，
当x＝1时，不等式可化为－2≤0显然成立；
当x∈（1，3]时，不等式 －2≤0可化为a≤ ，
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令h（x）＝ ，x∈（1，3]，
则h'（x）＝ ＝
＝ ＝ ＜0在区间（1，3]上恒成立，
∴函数h（x）＝ 在区间（1，3]上单调递减，
∴h（x）min＝h（3）＝ ＝ ，∴a≤ ，
综上所述，实数a的取值范围是（－∞， ］.
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