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重难专攻4　函数的零点问题
（时间：45分钟，满分：50分）
1.（10分）（2025·山东烟台一模节选）已知函数f（x）＝x（x－3）2，若函数g（x）＝f（x）＋a有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
2.（10分）已知函数f（x）＝（x－1）ex－x2，试求f（x）的零点个数.
3.（15分）已知函数f（x）＝ln x＋ax＋2.
（1）若函数f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；
（2）若函数f（x）在定义域内存在两个零点，求a的取值范围.
4.（15分）已知函数f（x）＝ax与g（x）＝logax（a＞0，且a≠1）.
（1）求曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（2）若a＞1，h（x）＝f（x）－g（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围.
重难专攻4　函数的零点问题
1.解：由f（x）＝x（x－3）2，求导可得f'（x）＝3（x－1）（x－3），
令f'（x）＝0，解得x＝1或x＝3，
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如表所示.
x （－∞，1） 1 （1，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调 递增 4 单调 递减 0 单调 递增
所以函数f（x）的极大值为f（1）＝4，极小值为f（3）＝0，
函数g（x）＝f（x）＋a存在三个零点，等价于函数f（x）图象与直线y＝－a存在三个交点，
作出f（x）的图象，如图.
由图可得0＜－a＜4，则－4＜a＜0.
故a的取值范围是（－4，0）.
2.解：由题可得f'（x）＝xex－2x＝x（ex－2），
令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ln 2，
令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln 2；
令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞ln 2，
所以f（x）的单调递减区间为（0，ln 2），单调递增区间为（－∞，0），（ln 2，＋∞）.
由于f（0）＝－1＜0，则f（x）在（－∞，0）上无零点；
由于f（ln 2）＝2（ln 2－1）－（ln 2）2＜0，则f（x）在（0，ln 2）上无零点；
由于f（2）＝e2－4＞0，则f（x）在（ln 2，2）上存在唯一零点.
综上，函数f（x）在R上存在唯一零点.
3.解：（1）因为f（x）＝ln x＋ax＋2（x＞0），则f'（x）＝＋a＝，
因为函数f（x）在x＝1处取得极值，所以f'（1）＝1＋a＝0，解得a＝－1，
当a＝－1时，可得f'（x）＝，
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值，符合题意，故a＝－1.
（2）f'（x）＝，其中x＞0，
当a≥0时，可得f'（x）＞0，f（x）单调递增，此时函数f（x）至多有一个零点，不符合题意；
当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝－，
当x∈（ 0，－）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ －，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x＝－时，f（x）取得极大值，也是最大值，
最大值为f（ －）＝ln（ －）＋a·（ －）＋2＝1－ln（－a），
又当x→0时，f（x）→－∞；当x→＋∞时，f（x）→－∞，
所以要使函数f（x）有两个零点，需满足f（ －）＞0，
即1－ln（－a）＞0，解得－e＜a＜0.
所以实数a的取值范围是（－e，0）.
4.解：（1）由题可知g（1）＝0，g'（x）＝，故g'（1）＝，
于是曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝.
（2）h（x）＝f（x）－g（x）恰有两个零点，即方程ax＝logax恰有两正根，
若a＞1，则ax＝logax＞1，于是x＞1，
由ax＝logax＝，得ax·ln a＝ln x，ax·x·ln a＝x·ln x，于是ax·ln ax＝x·ln x.
设m（x）＝xln x（x＞1），则m'（x）＝ln x＋1＞0，于是函数m（x）在（1，＋∞）上单调递增，由m（ax）＝m（x）可得ax＝x，
即方程ax＝x有两根，等价于方程ln a＝有两正根，
设l（x）＝（x＞1），则l'（x）＝，
由l'（x）＞0得1＜x＜e，由l'（x）＜0得x＞e，
故l（x）在（1，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，
结合当x→1时，l（x）→0，当x→＋∞时，l（x）→0，且x∈（1，＋∞）时，l（x）＝＞0，画出l（x）的图象，如图，
由方程ln a＝有两正根并结合l（x）的图象，得0＜ln a＜，从而1＜a＜.
故实数a的取值范围是（ 1，）.
1 / 1重难专攻4　函数的零点问题
　　利用导数研究函数的零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其他问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.
　　
数形结合法研究函数的零点
（师生共研过关）
（2025·天津高考20题改编）已知函数f（x）＝ax－（ln x）2.
（1）a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）有3个零点，试求a的取值范围.
　　含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数范围.
训练1 已知函数f（x）＝ex－（a∈R），讨论函数f（x）的零点个数.
函数性质法研究函数的零点
（师生共研过关）
（2025·全国Ⅱ卷18题节选）已知函数f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2－kx3，其中0＜k＜.证明：f（x）在区间（0，＋∞）上存在唯一的极值点和唯一的零点.
　　利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.
训练2 已知函数f（x）＝ln（x＋1）＋（a∈R）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间（－1，0）内恰有一个零点，求a的取值范围.
构造法研究函数的零点
（师生共研过关）
已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝（x＞0），若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
　　在研究较复杂函数的零点（求较复杂方程的根）时，需构造出相应的函数，依据该函数的性质（单调性、极值等）求出函数的零点（方程的根），或利用函数的零点（方程的根）求参数的取值范围.
训练3 已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2ln x，若方程f（x）＝g（x）在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围.
重难专攻4　函数的零点问题
考点1
【例1】　解：（1）当a＝1时，f（x）＝x－（ln x）2，定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1－，f'（1）＝1，f（1）＝1，则所求的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.
（2）由f（x）＝0，可得a＝，
令g（x）＝（x＞0），f（x）有3个零点等价于g（x）的图象与直线y＝a有3个不同交点.
g'（x）＝＝.
令g'（x）＝0，解得x＝1或x＝e2.
当x变化时，g'（x），g（x）的变化如表所示：
x （0，1） 1 （1，e2） e2 （e2，＋∞）
g'（x） － 0 ＋ 0 －
g（x） 单调 递减 0 单调 递增 单调 递减
且x→0＋时，g（x）→＋∞，x→＋∞时，g（x）→0.
故g（x）的大致图象如图所示.
由图可知a的取值范围是（ 0，）.
训练1　解：由f（x）＝0，得xex＝a（x≠0）.
设h（x）＝xex（x≠0），得h'（x）＝（x＋1）ex，
令h'（x）＞0，得x＞－1且x≠0，
令h'（x）＜0，得x＜－1，
所以h（x）在（－1，0）和（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减，
所以h（x）min＝h（－1）＝－.
又x＜0时，h（x）＜0，x＞0时，h（x）＞0，
据此可画出h（x）的大致图象如图.
所以当a＜－或a＝0时，f（x）无零点；
当a＝－或a＞0时，f（x）有一个零点；
当－＜a＜0时，f（x）有两个零点.
考点2
【例2】　证明：由f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2－kx3，
得f'（x）＝－1＋x－3kx2＝－3kx2＝x2（ －3k）.
当x＞0时，令f'（x）＝0，解得x0＝－1.因为0＜k＜，所以0＜3k＜1，则x0＝－1＞0.
当0＜x＜x0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞x0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）在（0，＋∞）上有唯一的极大值点x0＝－1.
因为x＝0时，f（x）＝0，当x→＋∞时，f（x）→－∞，且f（x0）＞f（0）＝0，
所以f（x）在（x0，＋∞）上有唯一的零点，所以f（x）在（0，＋∞）上有唯一的零点.
训练2　解：（1）因为f（x）＝ln（x＋1）＋（x＞－1），
所以f'（x）＝＋＝（x＞－1），
当a≥0时，因为x＞－1，所以x＋1＋a≥x＋1＞0，即f'（x）＞0，则f（x）在定义域（－1，＋∞）上单调递增；
当a＜0时，由f'（x）＜0 －1＜x＜－1－a；由f'（x）＞0 x＞－1－a，
所以f（x）在（－1，－1－a）上单调递减，在（－1－a，＋∞）上单调递增.
综上，当a≥0时，f（x）在定义域内单调递增；
当a＜0时，f（x）在（－1，－1－a）上单调递减，在（－1－a，＋∞）上单调递增.
（2）由（1）知，当a≥0时，f（x）在（－1，＋∞）上单调递增，且注意到f（0）＝0，因此f（x）在区间（－1，0）内无零点；
当a＜0时，考虑到f（0）＝0，x→－1时，f（x）→＋∞，为使f（x）在（－1，0）内有零点，则极小值点小于零，即－1－a＜0 a＞－1，
结合a＜0，得a的取值范围为（－1，0）.
考点3
【例3】　解：曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，
可转化为方程＝1（x＞0）有两个不同的解，即方程＝有两个不同的解.
令g（x）＝（x＞0），
g'（x）＝（x＞0）.
令g'（x）＝＝0，解得x＝e.
当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增；
当x∈（e，＋∞）时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减.
故g（x）max＝g（e）＝，且当x＞e时，g（x）∈（ 0，），又g（1）＝0，所以0＜＜，解得1＜a＜e或a＞e.故a的取值范围是（1，e）∪（e，＋∞）.
训练3　解：∵方程f（x）＝g（x）在[1，e]上有两个不相等的解，
即a＝在[1，e]上有两个不同的解，
∴y＝a与φ（x）＝，x∈[1，e]有两个不同的交点，
φ'（x）＝，
令φ'（x）＝0，得x＝，
∴当x∈[1，）时，φ'（x）＞0；
当x∈（，e]时，φ'（x）＜0，
∴φ（x）在[1，）上单调递增，在（，e]上单调递减，
∴φ（x）max＝φ（）＝，
又φ（e）＝，φ（1）＝0，
∴要使y＝a与y＝φ（x）有两个不同的交点，
则≤a＜.
故a的取值范围是.
1 / 1(共30张PPT)
重难专攻4　函数的零点问题
重难解读
　　利用导数研究函数的零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其他问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.
数形结合法研究函数的零点（师生共研过关）
（2025·天津高考20题改编）已知函数f（x）＝ax－（ln x）2.
（1）a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
解： 当a＝1时，f（x）＝x－（ln x）2，定义域为（0，＋∞），f'（x）
＝1－ ，f'（1）＝1，f（1）＝1，则所求的切线方程为y－1＝x－1，
即x－y＝0.
（2）若f（x）有3个零点，试求a的取值范围.
解：由f（x）＝0，可得a＝ ，
令g（x）＝ （x＞0），f（x）有3个零点等价于g（x）的图象
与直线y＝a有3个不同交点.
g'（x）＝ ＝ .
令g'（x）＝0，解得x＝1或x＝e2.
当x变化时，g'（x），g（x）的变化如表所示：
x （0，1） 1 （1，e2） e2 （e2，＋∞）
g'（x） － 0 ＋ 0 －
g（x） 单调递减 0 单调递增 单调递减
且x→0＋时，g（x）→＋∞，x→＋∞时，g（x）→0.
故g（x）的大致图象如图所示.
由图可知a的取值范围是（0， ）.
　　含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可
将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图
象，根据图象特征求参数范围.
训练1 已知函数f（x）＝ex－ （a∈R），讨论函数f（x）的零点个数.
解：由f（x）＝0，得xex＝a（x≠0）.
设h（x）＝xex（x≠0），得h'（x）＝（x＋1）ex，
令h'（x）＞0，得x＞－1且x≠0，令h'（x）＜0，得x＜
－1，
所以h（x）在（－1，0）和（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减，
所以h（x）min＝h（－1）＝－ .
又x＜0时，h（x）＜0，x＞0时，h（x）＞0，
据此可画出h（x）的大致图象如图.
所以当a＜－ 或a＝0时，f（x）无零点；
当a＝－ 或a＞0时，f（x）有一个零点；
当－ ＜a＜0时，f（x）有两个零点.
函数性质法研究函数的零点 （师生共研过关）
（2025·全国Ⅱ卷18题节选）已知函数f（x）＝ln（1＋x）－x＋ x2
－kx3，其中0＜k＜ .证明：f（x）在区间（0，＋∞）上存在唯一的极
值点和唯一的零点.
证明：由f（x）＝ln（1＋x）－x＋ x2－kx3，
得f'（x）＝ －1＋x－3kx2＝ －3kx2＝x2（ －3k）.
当x＞0时，令f'（x）＝0，解得x0＝ －1.因为0＜k＜ ，所以0＜3k＜
1，则x0＝ －1＞0.
当0＜x＜x0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞x0时，f'（x）＜
0，f（x）单调递减，
所以f（x）在（0，＋∞）上有唯一的极大值点x0＝ －1.
因为x＝0时，f（x）＝0，当x→＋∞时，f（x）→－∞，且f（x0）＞f
（0）＝0，
所以f（x）在（x0，＋∞）上有唯一的零点，所以f（x）在（0，＋∞）
上有唯一的零点.
　　利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最
值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数
形结合的方法确定函数存在零点的条件.
训练2 已知函数f（x）＝ln（x＋1）＋ （a∈R）.
（1）讨论f（x）的单调性；
解： 因为f（x）＝ln（x＋1）＋ （x＞－1），
所以f'（x）＝ ＋ ＝ （x＞－1），
当a≥0时，因为x＞－1，所以x＋1＋a≥x＋1＞0，即f'（x）＞0，则f
（x）在定义域（－1，＋∞）上单调递增；
当a＜0时，由f'（x）＜0 －1＜x＜－1－a；由f'（x）＞0 x＞－1－
a，
所以f（x）在（－1，－1－a）上单调递减，在（－1－a，＋∞）上单
调递增.
综上，当a≥0时，f（x）在定义域内单调递增；
当a＜0时，f（x）在（－1，－1－a）上单调递减，在（－1－a，＋
∞）上单调递增.
（2）若f（x）在区间（－1，0）内恰有一个零点，求a的取值范围.
解：由（1）知，当a≥0时，f（x）在（－1，＋∞）上单调递增，且注
意到f（0）＝0，因此f（x）在区间（－1，0）内无零点；
当a＜0时，考虑到f（0）＝0，x→－1时，f（x）→＋∞，为使f（x）
在（－1，0）内有零点，则极小值点小于零，即－1－a＜0 a＞－1，
结合a＜0，得a的取值范围为（－1，0）.
构造法研究函数的零点 （师生共研过关）
已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝ （x＞0），若曲线y＝f（x）与
直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
解：曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，
可转化为方程 ＝1（x＞0）有两个不同的解，即方程 ＝ 有两个不
同的解.
令g（x）＝ （x＞0），g'（x）＝ （x＞0）.
令g'（x）＝ ＝0，解得x＝e.
当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增；
当x∈（e，＋∞）时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减.
故g（x）max＝g（e）＝ ，且当x＞e时，g（x）∈（0， ），又g（1）
＝0，所以0＜ ＜ ，解得1＜a＜e或a＞e.故a的取值范围是（1，e）∪
（e，＋∞）.
　　在研究较复杂函数的零点（求较复杂方程的根）时，需构造出相应的
函数，依据该函数的性质（单调性、极值等）求出函数的零点（方程的
根），或利用函数的零点（方程的根）求参数的取值范围.
训练3 已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2ln x，若方程f（x）＝g
（x）在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围.
解：∵方程f（x）＝g（x）在[1，e]上有两个不相等的解，
即a＝ 在[1，e]上有两个不同的解，
∴y＝a与φ（x）＝ ，x∈[1，e]有两个不同的交点，
φ'（x）＝ ，
令φ'（x）＝0，得x＝ ，
∴当x∈[1， ）时，φ'（x）＞0；当x∈（ ，e]时，φ'（x）＜0，
∴φ（x）在[1， ）上单调递增，在（ ，e]上单调递减，
∴φ（x）max＝φ（ ）＝ ，又φ（e）＝ ，φ（1）＝0，
∴要使y＝a与y＝φ（x）有两个不同的交点，
则 ≤a＜ .
故a的取值范围是 .
课时跟踪检测
（时间：45分钟，满分：50分）
1. （10分）（2025·山东烟台一模节选）已知函数f（x）＝x（x－3）2，
若函数g（x）＝f（x）＋a有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
解：由f（x）＝x（x－3）2，求导可得f'（x）＝3（x－1）（x－3），
令f'（x）＝0，解得x＝1或x＝3，
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如表所示.
x （－∞，1） 1 （1，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 4 单调递减 0 单调递增
1
2
3
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所以函数f（x）的极大值为f（1）＝4，极小值为f
（3）＝0，
函数g（x）＝f（x）＋a存在三个零点，等价于函数f
（x）图象与直线y＝－a存在三个交点，
作出f（x）的图象，如图.
由图可得0＜－a＜4，则－4＜a＜0.
故a的取值范围是（－4，0）.
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2. （10分）已知函数f（x）＝（x－1）ex－x2，试求f（x）的零点个数.
解：由题可得f'（x）＝xex－2x＝x（ex－2），
令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ln 2，令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln 2；
令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞ln 2，
所以f（x）的单调递减区间为（0，ln 2），单调递增区间为（－∞，
0），（ln 2，＋∞）.
由于f（0）＝－1＜0，则f（x）在（－∞，0）上无零点；
由于f（ln 2）＝2（ln 2－1）－（ln 2）2＜0，则f（x）在（0，ln 2）上无
零点；
由于f（2）＝e2－4＞0，则f（x）在（ln 2，2）上存在唯一零点.
综上，函数f（x）在R上存在唯一零点.
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3. （15分）已知函数f（x）＝ln x＋ax＋2.
（1）若函数f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；
解：因为f（x）＝ln x＋ax＋2（x＞0），则f'（x）＝ ＋a＝ ，
因为函数f（x）在x＝1处取得极值，所以f'（1）＝1＋a＝0，解得a＝
－1，
当a＝－1时，可得f'（x）＝ ，
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值，符合题意，故a＝－1.
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（2）若函数f（x）在定义域内存在两个零点，求a的取值范围.
解： f'（x）＝ ，其中x＞0，
当a≥0时，可得f'（x）＞0，f（x）单调递增，此时函数f（x）至多有
一个零点，不符合题意；
当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝－ ，
当x∈（0，－ ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（－ ，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x＝－ 时，f（x）取得极大值，也是最大值，
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最大值为f（－ ）＝ln（－ ）＋a·（－ ）＋2＝1－ln（－a），
又当x→0时，f（x）→－∞；当x→＋∞时，f（x）→－∞，
所以要使函数f（x）有两个零点，需满足f（－ ）＞0，
即1－ln（－a）＞0，解得－e＜a＜0.
所以实数a的取值范围是（－e，0）.
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4. （15分）已知函数f（x）＝ax与g（x）＝logax（a＞0，且a≠1）.
（1）求曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
解： 由题可知g（1）＝0，g'（x）＝ ，故g'（1）＝ ，
于是曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝ .
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（2）若a＞1，h（x）＝f（x）－g（x）恰有两个零点，求实数a的取
值范围.
解： h（x）＝f（x）－g（x）恰有两个
零点，即方程ax＝logax恰有两正根，
若a＞1，则ax＝logax＞1，于是x＞1，
由ax＝logax＝ ，得ax·ln a＝ln x，ax·x·ln a＝x·ln x，于是ax·ln ax＝x·ln x.
设m（x）＝xln x（x＞1），则m'（x）＝ln x＋
1＞0，于是函数m（x）在（1，＋∞）上单调递
增，由m（ax）＝m（x）可得ax＝x，
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即方程ax＝x有两根，等价于方程ln a＝ 有两正根，
设l（x）＝ （x＞1），则l'（x）＝ ，由l'（x）＞0得1＜x＜e，由l'（x）＜0得x＞e，
故l（x）在（1，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，
结合当x→1时，l（x）→0，当x→＋∞时，l
（x）→0，且x∈（1，＋∞）时，
l（x）＝ ＞0，画出l（x）的图象，如图，
由方程ln a＝ 有两正根并结合l（x）的图象，
得0＜ln a＜ ，从而1＜a＜ .故实数a的取值
范围是（1， ）.
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