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2026年高中数学教师培训课件 ★★
普通高中数学课程标准 整体解读
——课程标准修订与数学学科核心素养
一、课程标准修订的背景
社会、经济、科技、数学、教育的发展变化
社会：数学提高社会公共事业的水平、加强社会保障、促进社会治安
经济：数学促进经济学新理论的产生、指导商业决策、优化国际物流运输成本
科技：信息科学与数学、制造业与数学
数学：数学各分支的相互融合、数学与其他学科更加自觉的交叉、数学在研究模式中地位的提升
教育：中国数学教育发展、现代教育发展变化、数学教育在培养人的过程中的独特地位的凸显
（一）落实立德树人根本任务
2012：十八大，将立德树人作为教育的根本任务
2014：教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，学生发展核心素养，学生适应终身发展和社会发展需要的正确价值观、必备品格和关键能力”
2016：课题组，学生发展核心素养体系（人文底蕴、科学精神；学会学习、健康生活；责任担当、实践创新）
2017：高中数学课标2017年版，数学学科核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析）
2018：全国教育大会，德智体美劳，六个下功夫
坚定理想信念；厚植爱国情怀；加强品德修养；
增长知识见识；培养奋斗精神；增强综合素质。
2019：全国基础教育工作会议，高质量发展
2019：关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见
2019：关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见
构建全面培养体系、优化课程实施、创新教学组织管理、加强学生发展指导、完善考试招生制度、强化师资和条件保障
2020：深化新时代教育评价改革总体方案
改进结果评价，强化过程评价，探索增值评价，健全综合评价
新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见（2019）
深化课堂教学改革。按照教学计划循序渐进开展教学，提高课堂教学效率，培养学生学习能力，促进学生系统掌握各学科基础知识、基本技能、基本方法，培养适应终身发展和社会发展需要的正确价值观念、必备品格和关键能力。
积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学，注重加强课题研究、项目设计、研究性学习等跨学科综合性教学，认真开展验证性实验和探究性实验教学。
提高作业设计质量，精心设计基础性作业，适当增加探究性、实践性、综合性作业。积极推广应用优秀教学成果，推进信息技术与教育教学深度融合，加强教学研究和指导。
深化考试命题改革。学业水平选择性考试与高等学校招生全国统一考试命题要以普通高中课程标准和高校人才选拔要求为依据，实施普通高中新课程的省份不再制定考试大纲。
优化考试内容，突出立德树人导向，重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
创新试题形式，加强情境设计，注重联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题。
科学设置试题难度，命题要符合相应学业质量标准，体现不同考试功能。
加强命题能力建设，优化命题人员结构，加快题库建设，建立命题评估制度，提高命题质量。
（二）十余年课改的经验与问题
十余年课改的基本经验
1. 一维目标：结果 → 三维目标：结果、过程、情感态度价值观
2. 突出五大能力：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理——是思考数学核心素养的基础
3. 课程内容增加了数学建模和统计案例
4. 课程结构增加了选择性
5. 教科书实现了特色与多样性（六个版本）
6.教学方式发生一定转变：注意了“数学知识发生发展过程”和“学生思维过程”的合理性
十余年课改的突出问题
1. 课程标准与考试评价（尤其是高考）不衔接
2. 内容主线不突出
3. 必修内容过多
4. 初高中内容不衔接
5. 选修3，4与大学内容不接轨
6.过程的教学目标不明确
7.教学方式的问题依然突出——“数学知识发生发展过程”和“学生思维过程”不到位，
需要修订与改正
问题1 课程标准与考试评价（尤其是高考）不衔接
在解决这个问题的同时、充分注意到“数学高考文理不分科”。
为此，课程标准设置了“学业质量标准”、提出了“考试命题建议”。
学业质量标准是数学内容标准与数学核心素养水平的有机结合，是学生学习相关内容后应达到的质量标准，是数学教科书编写、教学与评价活动的指导性标准，也是考试命题的依据。将替代考纲。
问题2. 内容主线不突出
取消了原有“模块”
突出内容主线：函数、几何与代数、统计与概率
强调数学应用：数学建模、数学探究
注意数学文化：数学文化贯穿始终
函数是一个专门主题，更加强调了分析系统；
代数与函数分离、与几何结合。与大学一致。
也是为了更好地实现数、形结合，代数运算与形的融合。
向量既是代数的研究对象、也是几何的研究对象。
正如如希尔伯特所说
算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式，正如在数学演算中他们不能不使用加、脱括号的操作或其他的分析符号一样。
问题3. 必修内容过多
修订后必修内容是高中毕业要求，是学业水平考试内容。
10学分 → 8学分（减少36学时）
问题4. 初高中内容不衔接
设置了“预备知识”：集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、
一元二次函数与方程（一共19学时）
问题5. 选修与大学内容不接轨
新课标设置选修课程，分 A、B、C、D、E 五类。
为学生确定发展方向提供引导；为学生展示数学才能提供平台；
为学生发展数学兴趣提供选择；纳入综合素质评价；为大学自主招生提供参考。
问题6. 过程的教学目标不明确
过程：经历 、体验、探索？经历过程的目的（目标）是什么？
教学大纲的理念：以知识为本。课程标准的理念：以学生的发展为本。
教育三个阶段
经验的教育（过去）：重视过程的教育（实践、感悟）
知识的教育（现在）：重视结果的教育（书本、理解）
智慧的教育（未来）：重视结果+过程的教育（书本+实践、理解+感悟）
过程的教学目的：双基 → 四基 → 核心素养
问题7. 教学中的一些突出问题
两个过程不到位，尤其是启发、引导学生进行高水平数学思维活动严重不到位
数学教学“不自然”，强加于人，压抑了学生的数学学习兴趣；
缺乏问题意识，解答“结构良好”的问题多引导学生主动提出问题少，对学生提出问题的能力培养不力 ,进而对学生的创新精神和实践能力培养不利
不重视基本概念、核心数学思想的教学，数学抽象、逻辑推理等理性精神不够，不利于学生数学素养的提高；
重结果轻过程，损害数学思维过程的完整性，不利于数学思维能力的培养；
解题教学注重“题型+技巧”，重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，学生机械重复、模仿记忆，缺少独立思考的机会，数学思维发展迟缓，数学思维层次不高，并导致学生数学课业负担过重； 学生学习方法单一、被动，缺少归纳、抽象等活动，对培养学习习惯、数学能力、数学素养以及创新精神等不利。
——需要落实数学核心素养加以解决
二、课程标准的主要调整
课标结构
一、课程性质与基本理念，二、学科核心素养与课程目标， 三、课程结构，
四、课程内容
【内容标准】【教学提示】（教学重点、注意事项）【学业要求】（学业质量）
五、学业质量
学业质量标准是数学内容标准与数学核心素养水平的有机结合，是学生学习相关内容后应达到的质量标准，是教科书编写、教学与评价活动的指导性标准，也是考试命题的依据。
“六、实施建议”
——教学与评价建议、学业水平考试与高考命题建议、教科书编写建议、地方与学校实施课程标准的建议
附录1 数学学科核心素养水平的划分
附录2 教学与评价案例
——数学核心素养贯穿课程标准始终
2.课程结构
突出内容主线：函数、几何与代数、统计与概率
数学建模活动与数学探究活动。数学文化融入课程内容之中。
突出基础性、选择性
必修内容是高中毕业的要求；必修+选择性必修是高考的要求；
选修课程，为学生确定发展方向提供引导；为学生展示数学才能提供平台；为学生发展数学兴趣提供选择；为大学自主招生提供参考。
总课时（高考）
现行：必修10学分（180学时）,文科选修4+1学分（90学时），必+选共270学时（高考）;理科选修6+1学分（126学时）；必+选共306学时（高考）;
修订后：必修8学分（144学时）， 选择性必修6学分（108学时），必+选必共252学时；
用时：周4学时，3.5个学期完成；周5学时，3个学期完成;
+期望选修课程6学分（108学时）（所有选修课程≥6,校本课程≥8）
选课说明
如果学生以高中毕业为目标，可以只学习必修课程，参加高中 毕业的数学学业水平考试。
如果学生计划通过参加高考进入高等学校学习，必须学习必修 课程和选择性必修课程，参加数学高考。
如果学生在上述选择的基础上，还希望多学习一些数学课程， 可以在选择性必修课程或选修课程中，根据自身未来发展的需求进 行选择。
在选修课程中可以选择某一类课程，例如，Ａ类课程；也可以 选择某类课程中的某个专题，例如，E类大学先修课程中的微积分； 还可以选择某些专题的组合，例如，D类课程中的美与数学、C类课 程中的社会调查与数据分析等。
3.课程主要内容
必修、选择性必修主体内容基本稳定，突出选择性
必修课程
必修课程包括五个主题，分别是预备知识、函数、几何与代数、统计与概率、数学建模活动与数学探究活动。数学文化融入课程内容之中。
选择性必修课程
选择性必修课程包括四个主题，分别是函数、几何与代数、统计与概率、数学建模活动与数学探究活动。数学文化融入课程内容之中。
数学建模活动与数学探究活动
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题。数学建模活动是运用模型思想解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容。
以课题研究的形式展开，课题研究过程包括选题、开题、做题、结题四个环节。
数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容。
“数学建模活动”和“数学探究活动”以课题研究的形式开展。在必修、选修I课程中，要求学生至少各完成一个课题研究，可以是“数学建模”的课题研究，也可以是“数学探究”的课题研究。
选修内容（选择0-6学分）
A课程：微积分、空间几何与代数、统计与概率，6学分。
B课程：微积分、空间向量与代数、应用统计、模型，6学分。
C课程：逻辑推理初步、数学模型、社会调查与数据分析，6学分。
D课程：美与数学、音乐中的数学、美术中的数学、体育运动中的数学，4学分。
E课程：由学校自主选择开设、供学生自主选择的课程。分为四类：拓展视野的数学课程、家庭生活的数学课程、地方特色的数学课程、大学数学的先修课程。
A，B，C，D类共22学分
选修课程的修习情况应列为综合素质评价的内容。不同高等院校、不同专业的招生，根据需要可以对选修课程中某些内容提出学分要求。国家、地方政府、社会权威机构可以组织命题考试，考试成绩应作为文件存入学生个人学习档案，供高等院校自主招生参考。
课程标准中的内容安排、内容的主要变化
（1）结构
必修（8学分）、选择性必修（6学分）和选修课程（4类，共22学分）
必修（高中毕业）、必修+选择性必修（高考），选修（兴趣、志向）
（2）突出主线（主题）
高 中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活 动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修课程，数学文化融入课程内容。
三个内容主题：函数、几何与代数、概率与统计；
一个活动主题：数学建模活动与数学探究活动；
文化主线：数学文化融入课程内容之中。（暗线）
（3）内容的主要变化
减少的内容：三视图、算法、框图、推理与证明、线性规划、系统抽样、几何概型、生活中的优化问题举例、定积分
弱化的内容：常用逻辑用语（逆命题与逆否命题、四种命题之间的关系、逻辑连接词）、计数原理
增加的内容：投影向量、有限样本空间、百分位数、全概率公式、贝叶斯公式、复数的三角表示、数学建模与数学探究活动
强化的内容：充分条件、必要条件、充要条件与判断定理、性质定理、定义，分层随机抽样、2 ╳ 2列联表的统计意义、误差模型
样本空间（随机变量）
是为了更好的计算概率，更好地理解统计量（样本的函数或映射：估计、检验）。
问题：抛掷一枚骰子，求出现奇数点的概率。
样本空间是什么？是 B={奇,偶} 、概率是1/2吗？
如果再增加一问：求点数不大于5的概率。是不是还要构建一个样本空间呢？
样本空间是 A={1,2,3,4,5,6}，构建一个取值为B= {1,2,3,4,5,6} 的 A→B 的可测函数。
样本空间只与问题的背景有关、与统计量与问题无关，随机事件与问题有关。

三、 数学学科核心素养精要解读
数学核心素养是贯穿高中数学课标始终的纲（主线）（高中数学课标的修订以数学核心素养为纲），也是教材、教学、评价的遵循。
学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力。数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、 关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应 用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括：数学抽象、 逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
理解数学学科核心素养的几个维度
注意联系中国学生发展核心素养各要素；
从数学学科特点的角度——聚焦数学的本质；
数学课程目标的发展角度。
——深化数学教育改革中提出“数学核心素养”的历史必然性
数学学科核心素养与四基、四能
数学核心素养水平
从数学学科特点的角度——聚焦数学的本质
什么是数学最主要的特征？什么是数学发生发展中最重要的影响因素？什么是数学的时代性特点？这需要对数学本身作更深入的理性分析。如从数学本体论、认识论、方法论的维度对数学本质、价值、基础、思想、方法等展开研讨。特别对影响数学发展的最重要的数学思想的提炼是重点。
数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型——通过抽象，从现实生活中得到数学的概念、原理、公理和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。
数学课程目标的发展
1952年大纲：基础知识、技能技巧
1963年大纲：双基+三大能力（计算、逻辑推理、空间想象）
1986年大纲：双基+三大能力（运算、逻辑思维）
2003年高中标准：五大能力（抽象概括、数据处理）
2011年初中标准：四基、四能、十个核心关键词
2017年高中标准：四基、四能、数学核心素养
Key Laboratory of Applied Statistics of MOE
Northeast Normal University
六个核心素养及其层次性：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象（伴随）、数学运算（特殊）和数据分析（特殊）
三会（落实成学生的行为）：会用数学眼光观察世界——数学抽象+直观想象（数学的第一个特征：一般性），会用数学思维思考世界——逻辑推理+数学运算+直观想象（第二个特征：严谨性），会用数学语言表达世界——数学建模+数据分析+直观想象（第三个特征：应用的广泛性）（+学会学习——义教新课标新增）
——教育的终极目标
四基、四能
以“四基”“四能”为载体
——过程的教学目标不明确，等等
义务教育数学课程标准（2011版）
把双基拓展为四基
基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验
把两能拓展为四能
发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题
希望：在数学教学的活动中，引发学生独立思考、与他人交流，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的基本思想，积累思维的和实践的经验。
基本思想：
数学产生和发展过程中必须依赖的思想；
学习数学的人应当具备的基本思维特征。
数学抽象、逻辑推理、数学建模
数学核心素养与四基、四能
数学核心素养的主线是三会，内涵是数学思想
基础是知识与技能，获取方式是过程
是经验的积累，是思维的习惯和做事的习惯
在这个意义上，数学核心素养与四基是一致的。
没有改变的
双基（包括数学思想方法）、三大能力是数学育人目标的内核——与时俱进丰富内涵，万变不离其宗！
数学核心素阶段（等级）水平
每个核心素养水平涉及四个方面（四个维度）：情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思
情境与问题：情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境， 问题是指在情境中提出的数学问题；
知识与技能 ：主要是指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能；
思维与表达 ：主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述 的严谨性和准确性；
交流与反思： 主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结和拓展。
数学核心素阶段（等级）水平
每个核心素养分为三个水平——水平一、二、三
三种情境：现实情境、数学情境、科学情境
三个层次：熟悉的、关联的、综合的
三类问题：简单的、较为复杂的、复杂的
上述三个要素是构成数学核心素养水平划分的基础。
水平一：熟悉的情境，简单的问题；
水平二：关联的情境，较为复杂的问题；
水平三：综合的情境，复杂的问题
没有过程=没有数学核心素养
不变的东西是什么？
双基+关键能力+数学思想方法
课标：“四基”是培养学 生数学学科核心素养的沃土，是发展学生数学学科核心素养的有效载体。
把数学讲好就是落实四基、培养四能、发展数学核心素养。
要挖掘数学内在的教育价值，并通过设计自然的过程，将它们体现在教材、教学的各个环节。
课例
四、基于数学核心素养的评价
数学学业质量水平一是高中毕业应当达到的要求，也是高中毕业的数学学业水平考试的命题依据；
数学学业质量水平二是高考的要求，也是数学高考的命题依据；
数学学业质量水平三是基于必修、选择性必修和选修课程的某些内容对数学学科核心素养的达成提出的要求，可以作为大学自主招生的参考。
评价目的：考查、诊断、改进
评价原则：数学核心素养、整体性与阶段性、过程评价、关注学习态度
改进评价方式
要改进单一的评价方式
评价主体多元，评价方式多样
评价方式要改变单纯依赖一张试卷的状况。对于日常评价，除了期末考试的成绩以外，还可以参考其他内容进行评价，比如，期中考试的成绩、日常作业完成的情况、日常教学活动中的表现；特别是修订的高中课程标准中还设计了“数学建模活动和数学探究活动”的主题，要求学生通过研究报告或者小论文的形式完成，这些都可以作为日常评价的依据。
案例　测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价
测量不可及“理想大厦”的方法(测量报告)
1.两次测角法
（1）测量并记录测量工具距离地面h m；
（2）用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角 ；
（3）后退a m，重复（2）中的操作，计算并记录仰角 ；
（4）楼高x的计算公式为：
两次测角法
2.镜面反射法
（1）将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到房顶的位置，测量人与镜子的距离；
（2）将镜子后移a m，重复（1）中的操作；
（3）楼高x的计算公式为：
实际测量数据（略）
计算结果（略）
测量误差分析（略）
评价
建模活动的评价要关注结果，更要关注过程
教师和同学给出评价。主要包括两部分：
对测量方法、测量结果的评价；
非数学的评价。
对测量方法和结果的评价可以占总评价的60%，主要由教师作评价。评价依据是现场观察和学生上交的测量报告，关注的主要评价点有：
测量模型是否有效；
计算过程是否清晰准确，测量结果是否可以接受；
测量工具是否合理、有效；
有创意的测量方法（可获加分）；
能减少测量误差的思考和做法（可获加分）；
有数据处理的意识和做法（可获加分）；
非数学的评价可以占总评价的40%，主要评价点有：
每一名成员在小组测量和计算过程中的工作状态；
测量过程中解决困难的机智和办法；
讨论发言、成果汇报中的表现等。
非数学的评价主要是在同学之间进行，可以要求学生们给出其他汇报小组成绩，并写出评价的简单理由。
改进命题
关于改进命题的形式，知识技能的考核依然重要， “四基”是培养数学核心素养的基础。但不要过分强调解题的速度——高强度、机械化训练，熟能生巧， “一看就会、一做就对”。事实上，数学是需要思考的，不能单纯通过解题速度的快慢来评价一个学生学习的好坏。
纸笔测试要关注内容与素养有机结合；思维品质的开放题。 注重通性通法
命题原则
命题应依据学业质量标准和课程内容，注重对学生数学学科核 心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，要充 分考虑对教学的积极引导作用。在传统评分的基础上，可以根据解 题情况对学生的数学学科核心素养水平的达成进行评价 （参见案例20～35）。
考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定 理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本 质、通性通法，淡化解题技巧；融入数学文化。
命题时，应有一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探 究性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识，问题 情境的设计应自然、合理。开放性问题和探究性问题的评分应遵循 满意原则和加分原则，达到测试的基本要求视为满意，有所拓展或创新可以根据实际情况加分（参见案例20～35）。在命制应用问题、 开放性问题和探究性问题时，要注意公平性和阅卷的可操作性。
在高中毕业的数学学业水平考试与数学高考的考试命题中，要 关注试卷的整体性。处理好考试时间和题量的关系，合理设置题量， 给学生充足的思考时间；逐步减少选择题、填空题的题量；适度增 加试题的思维量；关注内容与难度的分布、数学学科核心素养的比 重与水平的分布；努力提高试卷的信度、效度和公平性。
关于命题的设计，应实现两个转变：一个转变是关注学生数学核心素养的达成；另一个转变是考察学生的思维能力。
在命题设计时，在把握数学知识本质的基础上，可以从数学知识出发考虑所蕴含的数学核心素养，或者反过来，从数学核心素养出发考虑相应的数学知识，把数学知识与数学核心素养融为一体。
应当遵循一个基本原则，可以称为“满意原则”，是说如果学生的思维过程与得到的结论是一致的，就应该满意，就可以得到满分。如果学生思考的更加深刻可以加分——“爬梯子原则”。
一个通俗易懂的案例：如何设置商店的位置
两个原则：满意原则，加分原则（爬梯子原则)
国家基础教育质量检测中心针对小学四年级设计的开放题。题目是：
有一条道路连接了两个居民小区，现在要在路边为小区居民修建一个超市，你认为应当修建在哪里，并说明理由。
有的学生回答说：超市应该修建在路的中间，因为大家走的一样远。这样的回答有道理，结论与道理一致，可以给满分，这就是满意原则。
有的孩学生回答说：应当事先调查小区居民的多少，按照居民人数的比例进行设计。这样的思考更为深刻，可以加2分。
甚至有的学生回答：应当事先调查小区常去超市的人数比例，按这个比例进行设计。这样的回答更为深刻，再加2分。
案例　鞋号问题
【目的】在寻求变量简单变化规律的过程中，说明数学建模素养的表现和水平，体会评价过程中的满意原则和爬梯子原则。
【情境】网上购鞋常常看到下面的表格（表3脚长与鞋号对应表）。
脚长 an/mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265
鞋号bn 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
请解决下面的问题：
（1）找出满足表3中对应规律的计算公式，通过实际脚长a计算出鞋号b。
（2）根据计算公式，计算30号童鞋所对应的脚长是多少？
（3）如果一个篮球运动员的脚长为282 mm, 根据计算公式，他该穿多大号的鞋？
【分析】数学建模素养的一个基本表现，就是能够针对具体的数据，选择合适的函数表达数量之间的关系，解决实际问题。在这样的活动中，可以体现数学建模素养不同水平的表现。
（1）可以把表中的两行数据看成两个数列，分别为{an}和{bn}。仔细观察可以知道，这两个数列分别满足下面的递推关系：
an+1=an+5，a1=220；bn+1=bn+1，b1=34。
由此得到an=215+5n和bn=33+n，于是有bn=0.2an 10。如果学生能够找到并且准确表达脚长与鞋号之间的线性关系，根据满意原则，可以认为达到数学建模素养水平一的要求。
进一步，将脚长和对应的鞋号记作（a, b），在平面直角坐标系中描点，观察到线性关系，然后建立关系式b= 0.2a 10。这说明学生能够借助图形直观发现变化规律，并且能够用函数清晰表达变化规律，根据爬梯子原则，可以加分。
如果学生构建数据表，利用计算工具的电子表格做出散点图，选择几种函数模型进行拟合；对比拟合结果，发现线性函数的拟合效果最好，相关系数为1，进而确定计算公式是一个线性模型，最后确定模型中的参数，如图所示。根据爬梯子原则，可以针对“善于使用计算工具”加分。
计算机模拟示意图
（2）令b=30，代入公式b= 0.2a 10，得a=200，脚的长度为200mm。虽然计算过程是套用已知结果，但由b求a涉及到简单的反函数，可以认为达到数学建模素养水平二的要求。
（3）当a =282时，代入公式b = 0.2a 10，得b = 46.4。分两种情况：如果简单地进行“4舍5入”，选46号鞋或者直接选46.4号鞋，依然可以认为达到数学建模素养水平二的要求；如果知道作出的结论要符合实际，穿鞋要“不挤脚”，因此选47号鞋，根据爬梯子原则，可以加分。
以数学学科核心素养为抓手
学习、领会、研究、
进而全面准确把握课标
欢迎批评指正！
学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的正确价值观、必备品格和关键能力。基于三个方面（文化基础、自主发展、社会参与），提出六大素养（综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养），每条素养又包含三个基本要点。
高中数学课程标准定义数学核心素养为：数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成和发展的。数学核心素养是适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学基本特征的正确价值观、思维品质与关键能力。高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。
从更一般的要求看，理性思维、科学精神、学会学习、数学应用、创新意识等。（通识性素养）
数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研 究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中 抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一 般规律和结构，并用数学语言予以表征。（概念内涵）
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反 映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数 学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。（学科价值）
数学抽象主要内容表现为：
获得数学概念和规则；提出数学命题和模型；
形成数学方法与思想；认识数学结构与体系。
通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、 命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生 活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁； 运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。（行为表现）
逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题 的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主 要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。（概念内涵）
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。（学科价值）
逻辑推理主要内容表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和 提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流。
通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式， 学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的 关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思 维品质和理性精神，增强交流能力。（行为表现）
数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、 用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在 实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。（概念内涵）
数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重 要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动 数学发展的动力。（学科价值）
数学建模主要内容表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检 验和完善模型，分析和解决问题。
通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现 实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数 学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、 社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和 科学精神。（行为表现）
水平一（必修结束、高中毕业）
能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题。（情境与问题）
能够解释数学概念和规则的含义，了解数学命题的条件与结论，能够在熟悉的情境中抽象出数学问题。（知识与技能 ）
能够了解用数学语言表达的推理和论证；能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想。（思维与表达 ）
在交流的过程中，能够结合实际情境解释相关的抽象概念。（交流与反思）
水平二（选择性必修结束、高考要求）
能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般的情形，能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题。（情境与问题）
能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则；理解数学命题的条件与结论；能够理解和构建相关数学知识之间的联系。（知识与技能 )
能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想。 （思维与表达 )
在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象。交流与反思
水平三（选修结束、更高要求）
能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达；能够在得到的数学结论基础上形成新命题；能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题。 （情境与问题）
能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构，能够理解数学结论的一般性，能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系。 （知识与技能 )
在现实问题中，能够把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言予以表达；能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想。（思维与表达 )
在交流的过程中，能够用数学原理解释自然现象和社会现象。
课例：
等式的性质与不等式的性质（第2课时）
课标要求：梳理等式的性质，掌握不等式的性质
等式的性质与不等式的性质
等式性质3可以进一步化归加法；等式性质4，5可以进一步化归乘法
梳理：自身特性、运算的角度两类
关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a=b；如果a－b是负数，那么a这个基本事实可以表示为
a>b a－b>0；
a=b a－b=0；
a从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么，不等式到底有哪些性质呢？因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发．
探究
类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？
类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质（边猜想边证明）：
性质1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．即
a＞bb＜a.
性质2 如果a＞b，b＞c，那么a＞c．即
a＞b，b＞c a＞c．
类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有如下性质：
性质3 如果a＞b，那么a+c＞b+c.
性质4 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
——在证明猜想的过程中，进行精细化分类：c＞0， c＜0。
利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质．例如，利用性质2，3可以推出：
性质5 如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d．
事实上，由a＞b和性质3，得a+c＞b+c；由c＞d和性质3，得b+c＞b+d．再根据性质2，即得a+c＞b+d.
利用性质4可以推出：
性质6 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd．
（实际上性质5，6可以看成等式性质3，4的推广）
性质7 如果a＞b＞0，那么an＞bn（nN，n≥2）．
性质7可以看作是性质6的特殊化并加以推广