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认识数学●学好数学●创造数学
2026年高中数学教师培训课件 ★★
1.1 数学及其地位
1.1 数学及其地位
1.1 数学及其地位——教育数学
童增祥教授
美籍华人数学家
Otterbein University
教育数学
应用数学
纯粹数学
教育数学：
人的数学
传承数学
数学：
1.1 数学及其地位——教育数学
教育数学是介于数学和教育学之间、以数学为主的新兴交叉学科
教育数学：
改造数学的研究成果使之更适宜于教和学
教育数学目标：
把数学变得更容易
数学教育：
研究数学教材与教法，关注怎么教，不涉及数学创新
1.1 数学及其地位——教育数学
2004年5月15日学会在广州大学创立．
教育部和民政部正式批准、隶属于
中国高等教育学会的二级学会.
中国高等教育学会
教育数学专业委员会
http://em.shu.
教育数学创始人
第一届理事长
张景中院士
第二届、第三届理事长
李尚志教授
现任理事长
王卿文教授
教育数学新视角
科学技术迅猛巨变，大学数学教育面临许多新问题.
教育数学的核心思想可为大学数学教学新的发展提供启发和指导
教育数学不仅需要让数学变得简单，还要让数学更加有用，让数学为人们提供观察世界方法和解决问题的手段
教育数学还应当为研究导向教学提供理论和方法. 用研究的态度和方法开展教学
降低数学研究的门槛，为落实创新能力的培养提供方法
1.1 数学及其地位——教育数学 金课建设
教育部高教司司长吴岩：
中国“金课”要具备高阶性、创新性与挑战度
“高阶性”：就是知识能力素质的有机融合，是要培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维。
“创新性”：指课程内容要反映前沿性和时代性，教学形式呈现先进性和互动性，学习结果具有探究性和个性化。
挑战度”：指课程有一定难度，需要跳一跳才能够得着，老师备课和学生课下有较高要求。
1.1 数学及其地位
1.1 数学及其地位
数学的地位
社会科学
自然科学
哲学
艺术
历史、法学、经济学、社会学
数学
物理、天文、化学、生物
数学的地位
1.2 数学与自然科学
自然科学：
试验
归纳
数学：
试验
归纳
逻辑演绎
研究方法
数学的方法
定理
证明
猜想
试验
自然科学的方法
定律=猜想
X证明
猜想
试验
哥德巴赫猜想 = 哥德巴赫定律
所有不小于7的奇数都是三个素数之和
证明异常地困难
Hardy-Littlewood, 1921
基于Riemann猜想
Clay千禧年问题之一
Hardy与Ramanujan
哈代（G. Hardy，1877-1947）
伟大的数学家剑桥大学数学教授
拉马努金(S. Ramanujan,1887-1920)
印度最伟大的天才数学家
独立发现了近3900个数学公式和命题
堆垒数论、椭圆函数、超几何函数、发散级数等
对现代数学的发展也产生了难以估量的影响. 比利时数学家V. Deligne于1973年证明了拉马努金1916年提出的一个猜想，并因此获得了1978年的菲尔兹奖
“我们学习数学，拉马努金则发现并创造了数学”
我在数学上最大的成就是“发现了拉马努金”
Hardy与Ramanujan
在纯粹数学做出卓越成就以外，拉马努金的理论还得到了广泛的应用
粒子物理、统计力学、计算机科学、密码技术、空间技术
晶体和塑料的研制也受到他创立的整数分拆理论的启发
在黎曼ζ函数研究成果，现已经与齿轮技术的进步挂上了钩，还被用于测温学及冶金高炉的优化
他生命中的最后一项成果——模仿θ函数有力地推动了用孤立波理论来研究癌细胞的恶化和扩散以及海啸的运动；最近有专家认为，这一函数很可能被用来解释宇宙黑洞的部分奥秘，而令人吃惊的是，当拉马努金首次提出这种函数的时候，人们还不知道黑洞是什么。
1.3 数学的形象
C. F. Gauss
Mathematics is the queen of sciences.
数学是所有科学的女王。
1.3 数学的形象
三位一体：
真：科学的女王
善：科学的女佣
美：美女
1.4 数学之美
罗素（B. Russell）：
数学，不仅拥有真，也拥有至高的美。一种冷而严峻的美，一种屹立不摇的美。如雕塑一般，一种不为我们软弱天性所动摇的美。不像绘画或音乐那般，有着富丽堂皇的修饰，然而这是极其纯净的美，只有这个最伟大的艺术才能显示出最严格的完美。
1.4 数学之美
英国大物理学家狄拉克：
上帝使用了美丽的数学来创造这个世界!
1.4 公式美
欣赏数学美需要一定的数学基础
数学创造出超自然美
奇妙、美丽的图画，超乎想象，令人心醉。
是美术大师的创作？
是数学的杰作！
20世纪70—80年代，产生了一门新的数学分支—分形几何学
什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学
一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系
动物也不例外，这些例子在我们的身边到处可见。
分形几何揭示了世界的本质，
分形几何是真正描述大自然的几何学
“分形” 一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成。
他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构
当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素
用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案。
这些艺术图案人们称之为“分形艺术”。
“分形艺术” 以一种全新的艺术风格展示给人们
使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。
分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称
同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性， 即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。
这种对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
不管你是从科学的观点看还是从美学的观点看，她都是那么富有哲理，她是数学上的美和美学上的美的有机结合
人们已经可以绘制出三维分形
“分形艺术”与普通“电脑绘画”不同
普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底。
“分形艺术”是纯数学产物，创作者要有很深的数学功底，此外还要有熟练的编程技能
即使那些不了解分形科学的局外人和旁观者，偶尔涉猎到分形图案，也会被其美丽的几何形状、精致的图案结构以及迷人的色彩所打动。
分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索
分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一
不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作
分形搭起了数学科学与艺术的桥梁
1.5 数学之强大思想力
只有数学能够处理无穷
宇宙是有限的：
《说文解字》：上下四方曰宇，往古今来谓宙。
即宇=空间，宙=时间
伽利略：抛体运动
无穷思想的运用
牛顿想到了……
卫星
无穷思想的运用
数学使人周密
严密、逻辑性强
培根《论说文集》
读史使人明智，
读诗使人灵秀，
数学使人周密，
科学使人深刻，
伦理学使人庄重，
逻辑修辞使人善辩，
凡有所学，皆成性格。
数学使人独立
数学是数学人与自己的上帝之间的对话
康德：仰望星空
数学家处在社会的边缘
不是政治家，不是商人
是小众
格里戈里·佩雷尔曼，俄若斯数学家
数学使人不器
数学是思想不是工具
孔子：君子不器
《论语》之《子路》篇：
樊迟请学稼，子曰：“吾不如老农。”请学为圃。曰：“吾不如老圃。”
樊迟出。子曰：“小人哉，樊须也！上好礼，则民莫敢不敬；上好义，则民莫敢不服；上好信，则民莫敢不用情。夫如是，则四方之民襁负其子而至矣，焉用稼？”
3
分析能力
空间想象能力
2.1 八种数学能力
5
抽象能力
2
4
演绎推理能力
归纳能力
7
6
8
1
准确计算能力
运用数学软件能力
学习新数学知识能力
2. 学好数学
3
主动寻求并善于抓住数学问题的背景和本质
以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法
五种数学素养
5
合理地提出新思想、新概念、新方法
2
4
善于对现实世界中的现象和过程进行合理简化和量化，建立数学模型
具有良好的科学态度和创新精神
1
2. 学好数学
学习数学的诀窍：少、慢、精、深
2.2
2.2 学好数学的诀窍
数学学习的好坏要看：是否理解深入、运作熟练及表达简明
关键是：要深入的理解，达到精深的地步。
要达到精深，不能多和快，只能少且慢
平时学习不宜平均分散力量，要集中力量打歼灭战，打下一个据点就牢固占领。日积月累就会根基扎实积少成多，实现由少到多的转化，不断扩大自己的知识结构和范围。只有慢，不片面地追求速度，才能细嚼慢咽，反复思考，才能深入理解，透彻领会，真正掌握数学的真谛。
2.2 学好数学的诀窍
学霸陈子弘学习数学的秘诀
案例
浦东复旦附中分校的陈子弘是2016年度哈佛大学在上海录取的唯一中国籍学生。高中自学美国大学数学课程，获丘成桐中学数学奖，被哈佛大学和普林斯顿大学录取。
陈子弘与国际著名华人数学大师丘成桐教授合影
独处和思考是学数学的最佳方式
集中精力打歼灭战
华罗庚读书方法：由薄到厚，由厚到薄
2. 学好数学
首先要由薄到厚：要反复思考、分析有关内容的关键和重点，抓住论证的核心和要害，了解材料的来龙去脉，读出自己的体会，读出书本及教师没有直接说出来的深刻的内涵，也包括提出自己的问题与困惑，等等。这样读书，书自然由薄到厚，认识也逐步走向深入了。
2
华罗庚读书方法：由薄到厚，由厚到薄
2. 学好数学
由厚到薄：在由薄到厚的基础上进一步抓住问题的本质和核心。真理总是朴素的，本质的东西往往是简明扼要的，到了一定阶段，通过认识的升华，就会发现你所面对的这一大堆东西其实很简单，三言两语就可以点出它的本质，这就由厚转向了薄。这样的薄，经过了否定之否定的过程，已与原来的“薄”有了本质的不同，已经在一定程度上达到融会贯通的地步了。
2
2.3
学好数学要重视严格的数学训练
2. 学好数学
苏步青先生说他曾经做过一万道微积分题，他功底扎实，再烦再难的推导及计算都不在话下，决不是偶然的。
做习题一定自己做，不能“刷题”
2
2. 4 学好数学要自主探究与发现
“概念—定理—范例”—教科书
概念
形成过程
定理
发现过程
学习的高境界
自主
探究与发现
2.4 学好数学要自主探究与发现
利用已有知识和方法自主想出要学习的知识
发现课本知识
3.1 千手观音、竹签与映射
{竹签} {1,2，···,1007}
3. 创造数学
重庆大足石刻千手观音（1007只手）
单射：
映射：
满射：
双射（1-1对应）：= 单射+满射
B
A
3.2 温度计、连续函数与介值定理
世界上最大的温度计
连续的数学刻画
延绵起伏的山脉、滔滔不绝的江河、飞流直下的瀑布等自然景观都与数学上所谓的“连续”有关. 日常生活中的温度计、各种线绳等也与“连续”密不可分。数学上的“连续函数”在几何上可粗略而形象地描述成坐标平面上的一条连绵不断的曲线。数学乃至科学的概念、定理、定律常常是人们从自然现象和日常生活中的观察和体验中发现的.
3.2 温度计、连续函数与介值定理
连续的数学刻画
我们先来观察温度计. 温度计中的水银柱是连续的. 我们可将汞柱视为由无限个点构成的一条线段. 线段上的点就是在某个时刻的温度. 这样, 我们可以利用温度计在一个时间段内测出的温度绘出在这一时间段内气温的变化规律——一条连续曲线段, 也就是自变量为时间、因变量为温度的一个连续函数f(x)的一段图象
3.2 温度计、连续函数与介值定理
3.2 温度计、连续函数与介值定理
3.2 温度计、连续函数与介值定理
3.3 Vita 定理的发现
3.3 Vita 定理的发现
3.3 Vita 定理的发现
3.4 箭图与路
{箭向a b } {1,2，···}
3.4 条条道路成代数
路：
映射：
B
A
箭图：
总结
认识数学：
数学及其地位
数学与自然科学
数学的形象
数学之美丽
数学思想之强大
创造数学：
千手观音、竹签与映射
温度计、连续函数与介值定理
多项式相等与Vieta定理的发现与推广
路代数
数学成为
下次科技革命最重要的推动力之一
预计这次科技革命大约将在2020-2050年

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