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第九章 平面直角坐标系 单元题型训练
与平方根有关的解题技巧 坐标系中的图形面积问题 坐标系与规律探究坐标系内的几何综合题
与平方根有关的解题技巧
类型一 巧用非负性求值
1.若 则 的值为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2 025
2.若 与|x-3|互为相反数,则x+y的值为 ( )
A.3 B.9 C.12 D.27
3.若实数x,y,z满足 则 xyz的算术平方根是 ( )
A.3 B.±4 C.±3 D.4
类型二巧用正数的平方根求值
4.一个正数的平方根是a-3和a+7，求这个正数.
5.若一个正数a 的两个平方根分别是3b-5和-2b+2.
(1)求a 和b的值;
(2)求a+3b的平方根.
类型三巧用算术平方根的非负性求值
6.当 的值最小时，x的值为 .
7.代数式 的最大值是 .
8.当x= 时,式子 有最小值，且最小值是
类型四巧用平方根的概念求值
9.求x的值:
10.已知一个正数的两个平方根分别是a-6与3a-10.
(1)求a 的值;
(2)求等式 中x的值.
坐标系中的图形面积问题
类型一利用图形面积求点的坐标
11.在直角坐标系中，已知点 A 的坐标为(-5,0),点 B 的坐标为(3，0)，三角形ABC 的面积为12，试写出一个满足条件的点 C的坐标为 .
12.如图，把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A'B'C'.
(1)写出点.A',B',C'的坐标，并画出平移后的三角形A'B'C';
(2)求出三角形ABC的面积；
(3)点 P 在y 轴上,且三角形 BCP 与三角形ABC 的面积相等，求点 P 的坐标.
13.如图，以直角三角形AOB 的直角顶点O为原点，以两条直角边所在直线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A(0，a)，B(b,0)满足
(1)点A的坐标为 ，点B 的坐标为 .
(2)在坐标轴上是否存在一点 P，使得 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
类型二利用割补法求图形面积
14.已知A(0,1),B(2,0),C(4,3).
(1)在如图所示的坐标系中描出各点，画出三角形ABC；
(2)求三角形ABC 的面积.
15.四边形 ABCD 如图所示.
(1)请建立恰当的平面直角坐标系，并在平面直角坐标系中标出这个四边形各顶点的坐标；
(2)计算四边形ABCD 的面积.
坐标系与规律探究
类型一循环规律
16.如图，长方形 BCDE 的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点A(2，0)同时出发，沿长方形 BCDE 的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，则两个物体出发后第 2 026次相遇时的位置的坐标为( )
A.(-1,-1) B.(2,0) C.(1,-1) D.(-1,1)
17.如图，在平面直角坐标系中， 轴， 轴,点D,C,P,H在x轴上,A(1,2),B(-1,2),D(-3,0),E(-3,-2),G(3,-2),把一条长为2 026个单位长度且无弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处,并按A—B—C—D—E—F—G—H—P—A—…的方向缠绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标为 .
类型二 递进规律
18.如图,将点. 向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点 将点 向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点 将点 向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到点A ……按照这个规律平移得到点. 则点 的横坐标为 ( )
A. B.2 -1 C. D.
19.如图，在平面直角坐标系中，设一质点 M 自点 处向上运动1个单位长度至点 处，然后向左运动2个单位长度至点. 处，再向下运动3个单位长度至点 处，再向右运动4个单位长度至点 P 处，再向上运动5个单位长度至点 P 处……如此继续运动下去，则点 的坐标为 ( )
A.(-1013,-1013) B.(-506,-507)
C.(-506,506) D.(-1013,-1014)
坐标系内的几何综合题
20. 如图1,在平面直角坐标系中,A(a,0),C(b,2),且满足 过点 C作 轴于点 B.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)如图2,若过点B 作. 交y轴于点D,且AE,DE分别平分 求 的度数.
(3)在y轴上是否存在点 P，使得三角形ACP 和三角形ABC的面积相等 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
21.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(26，0)，(0，8)，将点 B 向右平移24个单位长度得到点 C.
(1)P,Q 分别为线段 BC,OA 上的两个动点,点 P 以每秒1个单位长度的速度自点B 向点C 运动，同时点 Q 以每秒2个单位长度的速度自点 A 向点O 运动.设运动时间为ts(0(2)D 是直线AC 上一点,连接QD,作DE 与 弥BC的延长线相交于点E，DM平分DN 平分 问：在点Q 运动过程中， 的度数是否发生变化 若变化，请求出变化范围；若不变，请求出 的度数.
1. A 由题意可知,a+3=0,b-2=0,解得a=-3,b=2,
2. B ∵ 与|x-3|互为相反数，且两数都是非负数，
∴x-2y+9=0,x-3=0,解得x=3,y=6,
∴x+y=3+6=9.
3. D ∵
∴x+4=0,y-2=0,z+2=0,
∴x=-4,y=2,z=-2,
∴xyz=-4×2×(-2)=16.
∵16的算术平方根是4，
∴xyz的算术平方根是4.
4.解：由一个正数的两个平方根互为相反数可知，a-3+a+7=0,解得a=-2,
则这个正数的平方根为-5和5，∴这个正数为
5.解:(1)由题意可知,3b-5+(-2b+2)=0,∴b=3,
(2)∵a=16,b=3,∴a+3b=16+3×3=16+9=25.
∵25的平方根是±5,∴a+3b的平方根是±5.
的值最小，
∴-8x-4=0,解得
即代数式 的最大值是3.
∴当x=4时, 有最小值，且最小值是3.
9.解：整理，得
开方，得 解得 或
10.解：(1)∵一个正数的两个平方根分别是a-6与3a-10，∴a-6+3a-10=0,解得a=4.
(2)当a=4时, 即 解得
11.(-4,3)(答案不唯一) ∵点A 的坐标为(-5,0),点 B的坐标为(3,0),
∴点A 与点B 均在x轴上.
设点C的坐标为(x，y)，则 ∴y=±3,
∴点C的坐标为(x,3)或(x,-3),其中x为任意实数,
∴点C的坐标可以为(-4，3).(答案不唯一)
12.解:(1)A'(0,4),B'(-1,1),C'(3,1).如图,三角形A'B'C'即为所求.
(3)设点 P 的坐标为(0,y).
∵BC=4,点 P 到BC 的距离为|y+2|,
解得y=1或y=-5,
∴点 P 的坐标为(0,1)或(0,-5).
13.解:
∴a-2b=0,b-2=0,∴a=4,b=2,
∴A(0,4),B(2,0).
故答案为(0,4),(2,0).
(2)存在.∵A(0,4),B(2,0),∴OA=4,OB=2,
如图,当点 P 在x轴上时,设P(p,0),
∴PB=|p-2|,
或
∴点 P 的坐标为 或
如图,当点P 在 y轴上时,设P(0,p),
或
∴点 P 的坐标为(0, )或(0,
综上所述，点P 的坐标为( ,0)或( ,o0)或(0, )或(0, ).
14.解:(1)如图,三角形ABC即为所求.
3=4.
15.解:(1)取点E为坐标原点,AB 所在直线为x轴,ED 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则A(-1,0),B(2,0),C(2.5,1.5),D(0,3.5).(答案不唯一)
(2)如图,连接.
16. D 由题图可知，矩形的周长为12.
∵物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，
∴甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为
∴甲、乙两个物体相遇的位置坐标依次为(-1，1)，(-1,-1),(2,0),(-1,1)……
∴相遇的位置每3次为一个循环.
∵2 026=3×675+1,
∴第2026次相遇时的位置的坐标为(一1，1).
17.(-3,0) 由题意可得,点C 的坐标为(-1,0),点 P 的坐标为(1,0),
∴AB=2,BC=AP=2,CD=PH=2,DE=HG=2,EG=6,
∴按A-B-C-D-E-F-G-H-P-A的方向缠绕一周的总长度为2+2+2+2+6+2+2+2=20.
∵2026÷20=101……6,
∴细线另一端所在的位置在点 D 处，
∴细线另一端所在位置的点的坐标为(-3，0).
18. B 根据题意,得点 A 的横坐标为1=2 -1,
点A 的横坐标为
点A 的横坐标为
点A 的横坐标为
……
按这个规律平移得到点A ，则点A 的横坐标为2″-1，∴点 A 的横坐标为
19. D 点 M 自点 P (1,0)处向上运动1个单位长度至点P (1,1)处,
向左运动2个单位长度至点P (-1，1)处，
再向下运动3个单位长度至点P (-1，-2)处，
再向右运动4个单位长度至点P (3，—2)处，
再向上运动5个单位长度至点P (3，3)处，
再向左运动6个单位长度至点P (-3，3)处，
再向下运动7个单位长度至点P (-3，-4)处，
再向右运动8个单位长度至点P (5，一4)处，
再向上运动9个单位长度至点P (5，5)处，
再向左运动10个单位长度至点P (-5，5)处，
由规律可知，点M 每运动4次就会回到原来的象限.
∵2027÷4=506……3,
∴点P 在第三象限.
观察第三象限的点的坐标：P (-1,-2),P (-3,-4),P (-5,5)……可知,
∴点P 的坐标为 即P (—1013,—1014).
20.解:(
∴a+2=0,b-2=0,∴a=-2,b=2.
∵CB⊥AB，∴点 B 的横坐标与点C的横坐标相同，
∴A(-2,0),B(2,0),C(2,2).
(2)如图,过点 E作EF∥AC交AB于点F.
∵CB⊥x轴,BD∥AC,∴∠CAB=∠5,CB∥y轴,
∴∠ODB=∠6,∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°.
∵BD∥AC,∴BD∥AC∥EF.
∵AE,DE 分别平分∠CAB,∠ODB,
(3)存在.
如图，当点 P 在y轴正半轴上时.
设点 P(0,t),分别过点 P,A,B 作 MN∥x轴,AN∥y轴,BM∥y轴,交于点 N,M,则AN=t,CM=t-2,MN=4,PM=PN=2.
解得t=3,即点 P 的坐标为(0,3).
如图，当点 P 在y轴负半轴上时.
设点 P(0,m),分别过点 P,A,B 作MN∥x轴,AN∥y轴,BM∥y轴,交于点N,M,则AN=-m,CM=-m+2,PM=PN=2.
m)=4,
解得m=-1,即点 P 的坐标为(0,-1).
综上所述,点 P 的坐标为(0,3)或(0,-1).
21.解:(1)∵BC∥x轴,BC=24,B(0,8),A(26,0),∴C(24,8),AO=26,BO=8,
当运动时间为 ts时,BP=t,PC=24-t,AQ=2t,OQ=26-2t.
∵PQ恰好将四边形BOAC 分成面积相等的两部分，
解得t=1.
(2)在点 Q运动过程中，∠MDN 的度数不变.
如图，当点 D 在线段CA 的延长线上或AC 的延长线上时.
∵DM平分∠CDE,DN 平分∠ADQ,
如图，当点 D 在线段AC上时.
∵DM平分∠CDE,DN平分∠ADQ,
设∠CDE=α,则
综上所述,∠MDN 的度数为 60°或150°.

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