资源简介

数学试卷
注意事项：
1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚，
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回、满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的)
1,若x=1+i,则z=
A.-√2
B.2
C.1-i
D.1+i
2.已知集合A={xx2<2x|,B={x1A.（-∞，2)
B.(1,2)
C.(0,2)
D.(0,1)
3.函数f(x)=
e"sin2x
的图象大致是
e2a-1
4.（反-的展开式中，父的系数为
A.-9
B.9
C.-1
D.1
已知双曲线E:豆
x-
5.
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过原点0的直线交E于P,Q
两点，且PF⊥QF若直线PQ的斜率为3，则双曲线E的离心率为
A.3
B.1+√3
C.2+3
D.3+√3
6.已知函数x)=coar+】在[-，π]上的大致图
象如图1所示，则(x)的最小正周期为
4π0
4.l0m
B.7m
9
9
6
图1
C.3
D.13m
9
数学·第1页（共4页)
7.已知圆C1:x2+y2-4x-4y=0与圆G2:x2+y2-2x-2by=0交于A、B两点，且AB平分
圆C,的周长，则a+b的值为
A.0
B.2
C.4
D.6
8.已知函数f(x)及其导函数g(x)的定义域为R,记g(x)=f'(x).若八x+2)、g(+1)
均为奇函数，当xe[0,1时，g()=am2+6有g(2)+g(3)=4,则得=
A.3
B.-1
C.-5
D.7
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项
中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得
0分)
9已知△M8C的内角4，B,C的对边分别为a,6,c,D为BC的中点，6=3，M=5
3
(A为锐角)，c=1,则下列说法正确的是
A.△ABC的面积为5
B.a=√6
C.tanB=-√5
D.AD=V14
2
10.设0为坐标原点，直线y=√3(-1)过抛物线C:=2px(p>0)的焦点，且与C交于
M,N两点，为C的准线，则
A.p=2
B.lavl
C.以MW为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
11.如图2，棱长为2的正方体ABCD-A1B,C,D1,动点P在正方体ABCD-A,B,C,D,内及
其边界上运动，则下列说法正确的是
A.若AP=AAD+uAA,且A+u=1,则三棱锥P-B,D,C的体积为
定值
P
B.若AP⊥C,D,则动点P所围成的图形的面积为8√2
C.若sin∠PAB=3sin∠PBA,则PC,的最小值为2
D.若B=ABC+uB(A,u∈(0,1))，过P有且仅有3条直线
图2
与直线DA,D,C所成角为60°
数学·第2页（共4页）数学评分细则
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A B C C A
【解析】
1．因为 | z | | z | 2 ，所以 | z | 2，故选 B．
2．因为 x2 2x ，所以 x(x 2) 0 ，所以0 x 2，所以 A {x | 0 x 2} .因为 B {x |1 x 2}，
所以 A B {x | 0 x 2}，故选 C．
e xsin2( x) exsin2x
3．定义域为{x | x 0}， f ( x) f (x)，故该函数为偶函数，故可排
e 2x 1 1 e2x
eπsin2π
除 A，C，当 x π时，有 f (π) 0 ，故可排除 B，故选 D．
e2π 1
9 r 9 3r
1 r 9 r 1 9 3r4． x 展开式的通项公式为Tr 1 C9 ( x) C
r ( 1)r x 29 ，令 3，
x x 2
9
1
求得 r 1，可得 3 1 x 展开式中 x 的系数为 C9 9 ，故选 A．
x
5．如图 1，设 P 在 x 轴上方，由双曲线的对称性可知OP OQ，又
因为 PF QF，即△PFQ为直角三角形，所以OP OF.又根据
直线 PQ 的斜率为 3 得到 POF 60 ，所以△POF 为正三角
形，有 PFO 60 ，连接 P 与左焦点 F ，由OP OF OF ，可
得 △PFF 为直角三角形且 PF PF . 由双曲线定义可知
PF PF 2a ， F F 2c ， 所 以 双 曲 线 的 离 心 率 为
c F F 2PF 2
e 3 1，故选 B． 图 1
a PF PF 3PF PF 3 1
4π 13π 4π 10π
6．由图象可得最小正周期小于 π ，大于 2 π ，排除 A，D；由图
9 9 9 9
4π 4π π 4π π π
象可得 f cos 0 ，即为 kπ ， k Z ，若选 B，即有
9 9 6 9 6 2
数学评分细则·第 1 页（共 10 页）
2π 12 4π 12 π π 2π 3
，由 kπ ，可得 k 不为整数，排除 B；若选 C，即有 ，
7π 7 9 7 6 2 4π 2
6 3
4π 3 π π
由 kπ ，可得 k 1，成立，故选 C．
9 2 6 2
7 ． 由 题 意 得 圆 C1 : x
2 y2 4x 4y 0 的 圆 心 为 M (2，2) ， 半 径 为 2 2 ， 圆
C : x22 y
2 2ax 2by 0 的圆心为 N(a，b)，半径为 a2 b2 ，两圆的相交弦 AB 的垂直
平分线即为直线MN ，即△MNA为直角三角形，由勾股定理得 | MN |2 | MA |2 | NA |2 ，即
( (a 2)2 (b 2)2 )2 (2 2)2 ( a2 b2 )2 ，整理后得 a b 4，故选 C．
8．因为 f (x 2)为奇函数所以 f (x 2) f ( x 2)，即 g(x 2) g( x 2)，所以 g(x) 关于
x 2 对称， g(x 1) 为奇函数所以 g(x) 关于 (1，0) 对称，可得 g(x) 的周期为 4，
11 3 1
g(2) g(0) b，g(3) g(1) a b 0，所以 a 4，b 4，g g g 3，
2 2 2
故选 A．
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 BCD AC AD
【解析】
5 1 1 5 5 5
9．由 sin A ，A 为锐角，所以 S△ABC bcsin A 3 1 ，A 错误；由 sin A ，
3 2 2 3 2 3
2
A 为锐角，得 ，由余弦定理得 a2 b2 c2cos A 2bccos A 32
2
12 2 3 1 6 ，则
3 3
a2 c2 b2 1
a 6 ，B 正确；由题意，可得 cos B ，则 tan B 5 ，所以 C 正确；
2ac 6
1 1 2 1 2 2 1 2 7
由 2 2AD AB AC，得 AD (AB AC 2AB AC) 1 3 2 1 3 ，
2 2 4 4 3 2
14
则 AD | AD | ，D 正确，故选 BCD．
2
数学评分细则·第 2 页（共 10 页）
p
10．对于选项 A：因为直线 2y 3(x 1) 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点，所以 1，解得
2
2 y 3(x 1)，
p 2 ，故选项 A 正确；对于选项 B：抛物线方程为 y 4x ，联立 消去 y
y2 4x，
2 10 16并整理得3x 10x 3 0 ，由韦达定理得 xM x ，所以N | MN | xM x ，故N p
3 3
5
选项 B 错误；对于选项 C：M ， N 的中点的横坐标为 ，中点到抛物线的准线的距离为
3
8 1
1 | MN |，所以以MN 为直径的圆与 l 相切，故选项 C 正确；对于选项 D：由选
3 3 2
1 1
项 B 知 3x2 10x 3 0 ，解得 x 3或 x ，设 xM 3 ， x ，此时 y 2 3 ，N M
3 3
2 3 1 12 13 16
y ，所以N | OM | 9 12 21，| ON | ，| MN | ，则△OMN
3 9 9 3 3
不是等腰三角形，故选项 D 错误，故选 AC．
11．对 A，因为动点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 内及其边界
上，且 AP AD AA ，且 1，则 P 的轨迹为线1
段 A D ．由于 B1C / / A1 1D ，B1C 平面 B1D1C ，所以 A1D∥
平面 B1D1C ，所以三棱锥 P B1D1C 体积为定值，故 A 正
确；对 B，易知 C1D 平面 A1BCD1 ，动点 P 在正方体
ABCD A1B1C1D1内及其边界上，且 A1P C1D ，所以动点 图 2
P 所围成的图形是矩形 A1BCD1 ，则面积为 2 2 2 4 2 ，故 B 错误；对 C，设△PAB 边
PA PB
AB 上的高为 h，则 sin PAB 3sin PBA，由正弦定理可得 ，所以
sin PBA sin PAB
PA sin PBA 1
，故PB 3PA，如图 2，以 A 为点，AB，AD，AA 所在直线分别为 x 轴，
PB sin PAB 3 1
y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C1(2，2，2) ，设 P(x，y，z) ，
x，y，z [0，2]，则 PB (x 2)2 y2 z2 ，PA x2 y2 z2 .又因为PB 3PA，整理
2
1 9 12 2 3得： x y z ，所以空间动点 P 的轨迹是以O ，0，0 为球心， 为半
4 16 4 4
2
9 209
径 且位于 正方体 内的部 分球体 . 又 因为 | OC1 | 2
2
2
2 ，所 以
4 16
数学评分细则·第 3 页（共 10 页）
209 3
| PC1 |min | OC | R ，故 C 错误；对于 D，显然过 P 的满足条件的直线数目等1
4 4
于过 D1的满足条件的直线 l 的数目，在直线 l 上任取一点 P ，使得 D1P D1A D1C ，不妨
π π
设 PD1A ，若 PD C ，则 AD1 1CP 是正四面体，所以 P 有两种可能，直线 l 也有
3 3
2π
两种可能，若 PD AD C1C ，则 l 只有一种可能，就是与 1 的角平分线垂直的直线，
3
所以直线 l 有三种可能，故选 AD．
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号 12 13 14
1 3 3 4 3 5
答案 y ；
2 2 8 8
【解析】
f (1) 1 f (1)
12． f (x) ex f (0)x x2 1，则 f (x) ex f (0) x，故 f (1) f (1) f (0) 1，
e 2 e
f (1) 1 1
故 f (0) 1，所以 f (x) ex x x2 1，代入 x 0，可得 f (1) 0 .又 f (1) ．故
e 2 2
1 1
切线方程为 y 0，则 y ．
2 2
π
13．由题知，| OA | | OB | 5 ，可设 A(5cos x，5sin x)，由题知，向量OA绕点O逆时针旋转 得
3
π
5cos x 4，
π π 3 3 3 4
到OB 5cos x ，5sin x ，则 ，解得 cos x ，则 A
3 3 π 105sin x
3，
3
3 3 4
的横坐标为5cos x .
2
14．甲要获胜，则取出的数字只能是 3，5，7，记甲得分为随机变量 X（X=0，1，2，3）.当
1 1 1
甲选出 3 且获胜，则乙只能选 2，概率为 P(X 3) ；当甲选出 5 且获胜，则乙
4 4 16
1 2 1
选出的是 2，4，概率为 P(X 2) ；当甲选出 7 且获胜，则乙选出的是 2，4，6，
4 4 8
1 3 3 3
概 率 为 P(X 1) ， 所 以 甲 获 胜 的 概 率 P ； 由 以 上 推 出
4 4 16 8
5 5 3 1 1 5
P(X 0) ， E(X ) 0 1 2 3 .
8 8 16 8 16 8
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四、解答题（共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
（1）解：因为 a n 1 Sn 1 Sn ，
所以 S n 1 Sn Sn 1 Sn ， ……………………………………………………（1 分）
所以 ( S S )( S S ) S S ， n 1 n n 1 n n 1 n
所以 Sn 1 Sn 1，又 S1 1， ………………………………………………（2 分）
所以数列{ Sn }是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
所以 Sn 1 (n 1) n，
所以 S 2n n . ……………………………………………………（3 分）
当 ≥ 时，a S S n2 (n 1)2n 2 n n n 1 2n 1， ……………………………………（4 分）
a1 1也满足上式， ……………………………………………………（5 分）
所以数列{a }的通项公式为 an 2n 1n ． ……………………………………………（6 分）
1 1
（2）证明：因为bn ， ……………………………………………………（7 分）
an 2n 1
1 1 1 1
所以bnbn 1 ， ……………………………………（8 分）
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1
所以Tn 1 …+ 1 . ………………………（9 分）
2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1
1
因为 2n 1 0，所以Tn ， ……………………………………………………（10 分）
2
1
因为数列{Tn}单调递增，所以Tn ≥T1 ， …………………………………………（12 分）
3
1 1
所以 ≤Tn . ……………………………………………………（13 分）
3 2
16．（本小题满分 15 分）
（1）证明：如图 3，取 AB 的中点为 K ，连接MK，NK ，
由三棱柱 ABC A1B1C1 可得四边形 ABB1A1为平行四边形，
而 B1M MA1，BK KA ，则MK∥BB1 .
而 MK 平面 BCC1B1 ， BB1 平面 BCC1B1 ， 图 3
故 MK // 平面 BCC1B1 ，
数学评分细则·第 5 页（共 10 页）
而CN NA，BK KA ，则 NK//BC ，同理可得 NK// 平面 BCC1B1 ，
而 NK MK K，NK，MK 平面MKN ，
故平面MKN// 平面 BCC1B1 ，而MN 平面MKN ，
故 MN // 平面 BCC1B1 . ……………………………………………………（6分）
（2）解：因为侧面 BCC1B1 为正方形，故CB BB1 ，
而CB 平面 BCC1B1 ，平面CBB1C1 平面 ABB1A1，
平面CBB1C1 平面 ABB1A1 BB1 ，故CB 平面 ABB1A1 . …………………………（8 分）
因为 NK//BC ，故 NK 平面 ABB1A1 .
因为 AB 平面 ABB1A1，故 NK AB .
又 AB MN ， NK MN N ，
故 AB 平面MNK ，而MK 平面MNK ，故 AB MK ，
所以 AB BB1，而CB BB1 ，CB AB B ，故 BB1 平面 ABC .
……………………………………………………………………（10 分）
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B(0，0，0)，A(0，4，0)，N(2，2，0)，M (0，2，4)，
故 AB (0， 4，0)，BN (2，2，0)，BM (0，2，4).
设平面 BNM 的法向量为 n (x，y，z)，
n BN 0 x y 0
则 ，从而 ，取 z 1，则 n ( 2，2， 1) ，
n BM 0 y 2z 0
…………………………………………………………………………（13 分）
设直线 AB 与平面 BNM 所成的角为 ，
4 2
则 sin | cos n，AB | . ……………………………………………………（15 分）
2 3 3
17．（本小题满分 15 分）
解：（1）由题知： X 的可能取值为 1，2，3，4，
C17C
3 C2C27 1
P(X 1) 3 ， P(X 2) 7 3
21 3 3
，
C4 410 210 30 C10 210 10
C3C1 4 035 3 1 C C 35 1
P(X 3) 7 3 ，P(X 4) 7 3 ，…………………………（4 分）
C410 210 2 C
4
10 210 6
数学评分细则·第 6 页（共 10 页）
∴X 的分布列为：
X 1 2 3 4
1 3 1 1
P
30 10 2 6
1 3 1 1 14
∴E(X ) 1 2 3 4 . ……………………………………（6 分）
30 10 2 6 5
1 1 2
（2）由（1）知，每一轮比赛，参赛学生甲获得“挑战达人”票的概率为 .
2 6 3
……………………………………………………………………………………（7 分）
2
设参赛学生甲在 5 轮比赛中获得“挑战达人”票的张数为Y ，则Y ~B 5， .
3
……………………………………………………………………………………（8 分）
5 k k
k 1 2 所以 P(Y k) C5 ，k 0，1，2，3，4，5，
3 3
5 0 4 1
0 1 2 1 1 1 2 10P(Y 0) C5 ， P(Y 1) C 5 ，
3 3 243 3 3 243
3 2 2 3
2 1 2 40 1 2 80P(Y 2) C5 ， P(Y 3) C
3
5 ，
3 3 243 3 3 243
1 4 0 5
4 1 2 80 1 2 32P(Y 4) C5 ，P(Y 5) C
5
，……………………（14 分） 5
3 3 243 3 3 243
80
所以当Y 3，Y 4时，概率最大，最大为 P(Y 3) P(Y 4) .
243
………………………………………………………………………（15 分）
18．（本小题满分 17 分）
（1）解：由题意有 2a 4，所以 a 2 . ……………………………………（1 分）
2 c2 c2
设椭圆焦距为 2c，易知椭圆过点 c， c ，所以 1 . …………………（2 分） 2
2 4 2b
又 a2 b2 c2，所以 c2 4 b2，
4 b2 4 b2
所以 1，即 (b2 4)(b2 2) 0 ，解得
2 b
2 2， ……………………（3 分）
4 2b
x2 y2
所以 a 2，b c 2 ，故C 的标准方程为 1． …………………（4 分）
4 2
数学评分细则·第 7 页（共 10 页）
（2）（ⅰ）证明：如图 4，设 A(x0，y0 )(x0 0，y0 0) ，
B( x0， y0 )， P(x1，y1)，
y0
则 M (x0，0)，由题意有 k ． x0
y0 k 图 4
直线 BP 的斜率，即 BM 的斜率为 ，
2x0 2
………………………………………………………………………………………（5 分）
k
所以直线 BP 的方程 y y0 (x x0 ) ，
2
k
所以 y1 y0 (x1 x0 ) .
2
x20 y
2

0 1
4 2 (y1 y0 )(y1 y0 ) 1
又 A ，P 在椭圆上，∴ ，∴ . …………………（7 分）
x
2 y2 (x1 x0 )(x1 x0 ) 21 1 1
4 2
y y x x x x 1
∴k 1 00
1 0 1 0
x1 x0 2(y1 y ) k k ，∴ kk0 1. …………………（10 分） 0 2 (x1 x0 )
2
（ⅱ）解：∵ ABP AOM BMO AOM PMx， …………………………（11 分）
k
而 tan AOM k ， tan PMx ，
2
由（ⅰ）知 kk0 1，∴ AP AB .
k
k
1 | AP | tan AOM tan PMx 2 k
又 k 0，∴ tan ABP ，
t | AB | 1 tan AOM tan PMx k 2 2 k 2
1
2
………………………………………………………………………………………（13 分）
k 2 2 2 2
∴ t k ≥2 k 2 2 .
k k k
2
当且仅当 k ，即 k 2 时等号成立，
k
所以 t≥2 2 ． ……………………………………………………………………（17 分）
数学评分细则·第 8 页（共 10 页）
19．（本小题满分 17 分）
（1）解：当 a 1时， f (x) ex sin x ，
π
f (x) ex (sin x cos x) 2ex sin x ，
4
3π
所以当 x 0， 时， f (x) 0， f (x) 单调递增；
4
3π
当 x ，π 时， f (x) 0， f (x) 单调递减. ……………………………………（3 分）
4
（2）①证明：设切点为 (t，f (t)) ， t 0，切线过原点，故 f (t) tf (t) .
代入 f (t) eat sin t ， f (t) eat (asin t cos t) ，
得 sin t t(asin t cost)，
整理得 sin t(1 at) t cost . ……………………………………（5 分）
若 sint 0，则左边为 0，右边 t cost t 0，矛盾，故 sint 0 ，两边除以 sint ：
1
a cot t，
t
1
因此每个切点横坐标 tn 满足 cot tn a . ……………………………………（8 分）
tn
1
②解：由 f (x) eax (a sin x cos x) ，令 f (x) 0，得 tan x .
a
1 π 3π
因为 a 0， 0 ，所以解从小到大依次为 x1 ，π ， x2 ，2π ，…，
a 2 2
π
xn (n 1)π，π (n 1)π ， n
*
N 且都是变号零点，所以 xn 为 f (x) 的极值点.
2
π 1
不妨设 ，π ，且 tan ，
2 a
则 (n *xn (n 1)π N ) ， …………………………（10 分）
1 cost 1
设 *h(t) cot t a a， t nπ且 t 0， n N ，
t sin t t
1 1 t2 (sin t)2
则 h (t) 0，
(sin t)2 t2 t2 (sin t)2
且由洛必达法则可知 limh(t) a ， lim h(t) ， lim h(t) ，n *N ，
t 0 t nπ t nπ
所以 *h(t) 在区间 ((n 1)π，(n 1)π π)) ， n N 上存在唯一的零点 tn ，
数学评分细则·第 9 页（共 10 页）
1
即 cot tn a ，不防设un tn (n 1)π .
tn
则 dn tn xn un ，且un (0，π)，
1
由 cot t t u (n 1)πn a ，代入 n n ，
tn
1
得 cot(un (n 1)π) cot un a .
un (n 1)π
下证：{un}单调递增，
1
由 cot un 1 a ，
un 1 nπ
因为un (0，π)，
所以，un 1 nπ (n 1)π un ，
1 1
所以 ，
un 1 nπ (n 1)π un
所以 cot un 1 cot un .
因为函数 h(x) cot x在 (0，π) 上单调递减，由此可得un 1 un，
故 dn tn xn un 也单调递增. ……………………………………（15 分）
1
当 n 时， a a此时 cot un a ，
un (n 1)π
1
此时 tanu tan ，即un n ，
a
所以 dn 0，即 dn 0 .
要使得 dn m 对一切 n
*
N 恒成立，则m≥0，故最小的正整数m 1.
……………………………………………………………………………………（17 分）
数学评分细则·第 10 页（共 10 页）

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