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第二单元 二元一次方程组
期末专题复习（学生版）
姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________
一、考点回顾
考点01 二元一次方程（组）的定义（2.1）
1. 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。一般形式：ax+by=c（a≠0，b≠0）。
2. 二元一次方程组：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组。
3. 二元一次方程组的解：同时满足方程组中两个方程的未知数的值。
考点02 二元一次方程的解（2.1）
（1）二元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
（2）二元一次方程的一个解是一对数，记作（x，y）的形式。
（3）一般地，一个二元一次方程有无数个解。
考点03 代入消元法（2.2）
基本思路："消元"——把"二元"变为"一元"。
步骤：①从方程组中选一个方程，用一个未知数表示另一个未知数；
　　　②将得到的表达式代入另一个方程，消去一个未知数；
　　　③解一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　　④代回求出另一个未知数的值，写出方程组的解。
考点04 加减消元法（2.2）
步骤：①将两个方程中同一未知数的系数化为相同或相反数；
　　　②将两个方程相加或相减，消去一个未知数；
　　　③解一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　　④代回求出另一个未知数的值，写出方程组的解。
选择原则：同一未知数系数相同（或相反）→ 加减消元；
　　　　　系数为±1或某个方程已变形 → 代入消元。
考点05 二元一次方程组的实际应用（2.3）
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审题：弄清题意，找出两个等量关系；
（2）设未知数：一般直接设所求量为x、y；
（3）列方程组：根据等量关系列出两个方程；
（4）解方程组：选择合适的消元方法求解；
（5）检验并作答：检验解是否符合实际，写出答案。
二、考点例题讲解
例1 （考点01·二元一次方程的定义）参数求值
33．方程是关于x，y的二元一次方程，则___________，___________．
例2 （考点02·二元一次方程的解）解的判断
下列4组数值中，是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
例3 （考点03·代入消元法）消元变形
对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（　　）
A． B． C． D．
例4 （考点04·加减消元法）解方程组
二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
例5 （考点05·实际应用）方案问题
母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将20元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
三、课后训练
（一）选择题（每小题3分，共18分）
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
A． B．
C． D．
2.已知 是方程的一个解，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
3.已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（ ）
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
4.已知方程组，则x﹣y的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣1
5.方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（ ）
A．1，2 B．5，1 C．2，3 D．2，4
6.有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（ ）
A．22t B．18t C．20t D．23t
（二）填空题（每小题4分，共16分）
7.将方程改写成用含y的式子表示x，可表示为________.
8.若是二元一次方程，则的值为______．
9.据统计，我校初一年级共36个班，分布在振兴校区与金葫校区：其中振兴校区初一班级数量是金葫校区初一班级数量的2倍，如果设振兴校区初一有个班，金葫校区初一有个班，那么可列方程组______．
10.方程组的解为________．
（三）解答题（第1题5分，第2题5分，第3题6分，共16分）
11.用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
12.我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内部分河道进行整治．现有一段长225米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治10米，乙工程队每天整治15米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米
(1)小强、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小强同学：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
②小华同学：设m表示______，n表示______；
则可列方程组为
请你补全小强、小华两位同学的解题思路．
(2)请从①②两位同学的解题思路中任选一种，写出完整的解答过程．
13.
王老师在水果店用54元买了苹果和橘子共8千克，已知苹果每千克8元，橘子每千克6元．
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：；乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
甲：x表示　 　，y表示　 　；
乙：x表示　 　，y表示　 　．
（2）求王老师买苹果和橘子各花了多少元钱？（写出完整的解答过程）
四、参考答案
例题答案
例一：【答案】
【分析】根据二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程，求出m，n的值即可得出答案．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
例二：【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的解，根据二元一次方程的解能使方程成立，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，故不是的解；
B、，故不是的解；
C、，故不是的解；
D、，故是的解；
故选D．
例三：【答案】D
【分析】将代入②式，得，去括号即可．
【详解】解：，
由①得代入②，
得，
∴，
故选：D．
例四：【答案】C
【分析】根据加减消元法，由①+②得出11x＝33，求出x，再把x＝3代入①求出y即可．
【详解】解：，
由①+②，得11x＝33，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得9+2y＝13，
解得：y＝2，
所以方程组的解是，
故选：C．
例五：【答案】B
【分析】设可以购买支康乃馨，支百合，根据总价单价数量，即可得出关于的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出小明有3种购买方案．
【详解】解：设可以购买支康乃馨，支百合，
依题意，得：，
∴．
∵均为正整数，
∴是正偶数，且即
∴，
∴，，，
∴小明有3种购买方案．
故选：B．
课后训练答案
一、选择题
1. B 2. A 3. B 4. A 5. B 6. A
二、填空题
7.【答案】
【分析】将进行移项，再将y的系数化为1即可得．
【详解】解：
移项，得，
将y的系数化为1得：
故答案为：．
8.【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义.根据二元一次方程的定义可得，由此即可得．
【详解】解：是二元一次方程，
，
由①②得：，
解得，
故答案为：．
9.【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据“初一年级共36个班”“振兴校区初一班级数量是金葫校区初一班级数量的2倍”列出方程组．
【详解】解：设振兴校区初一有个班，金葫校区初一有个班，列方程组为：，
故答案为：．
【答案】
三、解答题
10.【答案】(1)
(2)
【解析】略
11.【答案】(1)①225，，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
(2)见解析
【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成225米的整治河道任务且共同用时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义即可；
（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．
12.【详解】（1）解：①，
故答案为：225，，；
②m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数，
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）解：选择①
解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则
，
解得，
经检验，符合题意．
答：甲工程队整治河道150米，乙工程队整治河道75米．
选择②
设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天．则
，
解得，
经检验，符合题意．
甲整治的河道长度： (米)；乙整治的河道长度： (米)．
答：甲工程队整治河道150米，乙工程队整治河道75米．
13.【答案】(1)苹果的重量，橘子的重量；买苹果的费用，买橘子的费用；(2)王老师买苹果和橘子各花了24元和30元.
【分析】(1)甲同学:设王老师在水果店买苹果x千克、橘子y千克，由题意：用54元买了苹果和橘子共8千克，已知苹果每千克8元，橘子每千克6元，列出方程组即可；
乙同学:设王老师在水果店买苹果用x元、橘子用y元，由题意:用54元买了苹果和橘子共8千克，已知苹果每千克8元，橘子每千克6元，列出方程组即可；
(2)设王老师在水果店买苹果用x元、橘子用y元，由题意列出方程组，解方程组即可.
【详解】解：(1)甲同学：设王老师在水果店买苹果x千克、橘子y千克，
由此列出的方程组为：
乙同学：设王老师在水果店买苹果用x元、橘子用y元，
由此列出的方程组为:
甲：x表示王老师在水果店买的苹果的重量，y表示王老师在水果店买的橘子的重量；
乙：x表示王老师在水果店买的苹果的费用，y表示王老师在水果店买的橘子的费用；
故答案为：苹果的重量，橘子的重量；买苹果的费用，买橘子的费用；
(2) 设王老师在水果店买苹果用x元、橘子用y元
由题意得：
②×8-①得，解得
把代入① 中得
答：王老师买苹果和橘子分别花24元、30元.
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第二单元 二元一次方程组
期末专题复习（教师版）
姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________
一、考点回顾
考点01 二元一次方程（组）的定义（2.1）
1. 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。一般形式：ax+by=c（a≠0，b≠0）。
2. 二元一次方程组：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组。
3. 二元一次方程组的解：同时满足方程组中两个方程的未知数的值。
考点02 二元一次方程的解（2.1）
（1）二元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
（2）二元一次方程的一个解是一对数，记作（x，y）的形式。
（3）一般地，一个二元一次方程有无数个解。
考点03 代入消元法（2.2）
基本思路："消元"——把"二元"变为"一元"。
步骤：①从方程组中选一个方程，用一个未知数表示另一个未知数；
　　　②将得到的表达式代入另一个方程，消去一个未知数；
　　　③解一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　　④代回求出另一个未知数的值，写出方程组的解。
考点04 加减消元法（2.2）
步骤：①将两个方程中同一未知数的系数化为相同或相反数；
　　　②将两个方程相加或相减，消去一个未知数；
　　　③解一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　　④代回求出另一个未知数的值，写出方程组的解。
选择原则：同一未知数系数相同（或相反）→ 加减消元；
　　　　　系数为±1或某个方程已变形 → 代入消元。
考点05 二元一次方程组的实际应用（2.3）
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审题：弄清题意，找出两个等量关系；
（2）设未知数：一般直接设所求量为x、y；
（3）列方程组：根据等量关系列出两个方程；
（4）解方程组：选择合适的消元方法求解；
（5）检验并作答：检验解是否符合实际，写出答案。
二、考点例题讲解
例1 （考点01·二元一次方程的定义）参数求值
33．方程是关于x，y的二元一次方程，则___________，___________．
【答案】
【分析】根据二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程，求出m，n的值即可得出答案．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是根据二元一次方程的概念得出m，n的值．
例2 （考点02·二元一次方程的解）解的判断
下列4组数值中，是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的解，根据二元一次方程的解能使方程成立，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，故不是的解；
B、，故不是的解；
C、，故不是的解；
D、，故是的解；
故选D．
例3 （考点03·代入消元法）消元变形
对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入②式，得，去括号即可．
【详解】解：，
由①得代入②，
得，
∴，
故选：D．
例4 （考点04·加减消元法）解方程组
二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据加减消元法，由①+②得出11x＝33，求出x，再把x＝3代入①求出y即可．
【详解】解：，
由①+②，得11x＝33，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得9+2y＝13，
解得：y＝2，
所以方程组的解是，
故选：C．
例5 （考点05·实际应用）方案问题
母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将20元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【分析】设可以购买支康乃馨，支百合，根据总价单价数量，即可得出关于的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出小明有3种购买方案．
【详解】解：设可以购买支康乃馨，支百合，
依题意，得：，
∴．
∵均为正整数，
∴是正偶数，且即
∴，
∴，，，
∴小明有3种购买方案．
故选：B．
三、课后训练
（一）选择题（每小题3分，共18分）
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断选项即可，二元一次方程组需要满足：方程组共含两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1．
【详解】解：选项A中，方程的未知数次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故A错误；
选项B中，方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数最高次数为1，符合二元一次方程组的定义，故B正确；
选项C中，方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故C错误；
选项D中，两个方程都含有分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故D错误．
2.已知 是方程的一个解，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了二元一次方程的解，把代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值．
【详解】解：把代入方程，
得，
解得．
故选：A．
3.已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（ ）
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
【答案】B
【分析】当方程组中有一个方程直接给出一个未知数用另一个未知数表示的形式时，适合用代入消元法；当同一未知数的系数相同或互为相反数，或易化为相同/相反数时，适合用加减消元法，据此解答即可．
【详解】解：观察四个方程组：
∵①中已用直接表示，③中已用直接表示，
∴①③适合选用代入法；
∵②中同一未知数的系数可快速化为相同或相反数，④中的系数相等，可直接减法消元，
∴②④适合选用加减法．
4.已知方程组，则x﹣y的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣1
【答案】A
【分析】方程组两方程相减即可求出所求．
【详解】解：，
②①得：，
故选：A．
5.方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（ ）
A．1，2 B．5，1 C．2，3 D．2，4
【答案】B
【分析】把代入中求出的值，确定出的值即可．
【详解】解：把代入中，得：，
把，代入得：，
则被遮盖的两个数分别为5，1；
故选：B．
6.有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（ ）
A．22t B．18t C．20t D．23t
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可．
【详解】解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，
即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨，
根据题意，得方程组：，
得，
即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨，
故选：A．
（二）填空题（每小题4分，共16分）
7.将方程改写成用含y的式子表示x，可表示为________.
【答案】
【分析】本题主要考查了代入消元法，解题的关键是掌握等式的性质．将进行移项，再将y的系数化为1即可得．
【详解】解：
移项，得，
将y的系数化为1得：
故答案为：．
8.若是二元一次方程，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义.根据二元一次方程的定义可得，由此即可得．
【详解】解：是二元一次方程，
，
由①②得：，
解得，
故答案为：．
9.据统计，我校初一年级共36个班，分布在振兴校区与金葫校区：其中振兴校区初一班级数量是金葫校区初一班级数量的2倍，如果设振兴校区初一有个班，金葫校区初一有个班，那么可列方程组______．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据“初一年级共36个班”“振兴校区初一班级数量是金葫校区初一班级数量的2倍”列出方程组．
【详解】解：设振兴校区初一有个班，金葫校区初一有个班，列方程组为：，
故答案为：．
10.方程组的解为________．
【答案】
【分析】观察方程组中的系数互为相反数，可利用加减消元法求解即可．
【详解】解: ，
由①②得，
；
把代入②得，
；
原方程组的解为．
（三）解答题（第1题5分，第2题5分，第3题6分，共16分）
11.用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】略
12.我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内部分河道进行整治．现有一段长225米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治10米，乙工程队每天整治15米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米
(1)小强、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小强同学：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
②小华同学：设m表示______，n表示______；
则可列方程组为
请你补全小强、小华两位同学的解题思路．
(2)请从①②两位同学的解题思路中任选一种，写出完整的解答过程．
【答案】(1)①225，，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
(2)见解析
【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成225米的整治河道任务且共同用时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义即可；
（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．
【详解】（1）解：①，
故答案为：225，，；
②m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数，
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）解：选择①
解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则
，
解得，
经检验，符合题意．
答：甲工程队整治河道150米，乙工程队整治河道75米．
选择②
设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天．则
，
解得，
经检验，符合题意．
甲整治的河道长度： (米)；乙整治的河道长度： (米)．
答：甲工程队整治河道150米，乙工程队整治河道75米．
13.王老师在水果店用54元买了苹果和橘子共8千克，已知苹果每千克8元，橘子每千克6元．
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：；乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
甲：x表示　 　，y表示　 　；
乙：x表示　 　，y表示　 　．
（2）求王老师买苹果和橘子各花了多少元钱？（写出完整的解答过程）
【答案】(1)苹果的重量，橘子的重量；买苹果的费用，买橘子的费用；(2)王老师买苹果和橘子各花了24元和30元.
【分析】(1)甲同学:设王老师在水果店买苹果x千克、橘子y千克，由题意：用54元买了苹果和橘子共8千克，已知苹果每千克8元，橘子每千克6元，列出方程组即可；
乙同学:设王老师在水果店买苹果用x元、橘子用y元，由题意:用54元买了苹果和橘子共8千克，已知苹果每千克8元，橘子每千克6元，列出方程组即可；
(2)设王老师在水果店买苹果用x元、橘子用y元，由题意列出方程组，解方程组即可.
【详解】解：(1)甲同学：设王老师在水果店买苹果x千克、橘子y千克，
由此列出的方程组为：
乙同学：设王老师在水果店买苹果用x元、橘子用y元，
由此列出的方程组为:
甲：x表示王老师在水果店买的苹果的重量，y表示王老师在水果店买的橘子的重量；
乙：x表示王老师在水果店买的苹果的费用，y表示王老师在水果店买的橘子的费用；
故答案为：苹果的重量，橘子的重量；买苹果的费用，买橘子的费用；
(2) 设王老师在水果店买苹果用x元、橘子用y元
由题意得：
②×8-①得，解得
把代入① 中得
答：王老师买苹果和橘子分别花24元、30元.
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