资源简介

3.6　对数与对数函数
复习目标　1. 理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2. 了解对数函数的概念，能画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3. 了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
对数与对数函数
活动一 基础引入
1 [2026如皋中学月考]已知函数f(x)＝则f(－2)＋f(log210)的值为(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2 [2026灌南二中月考]已知函数f(x)＝ln (ax＋2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，0) B. [－1，0)
C. (－1，0) D. [－1，＋∞)
3 (多选)已知正实数x，y，z满足3x＝5y＝15z，则下列结论中正确的是(　　)
A. x＋y>2z
B. 3x>5y>15z
C. ＋＝
D. xy>4z2
4 lg 25＋2lg 2－log316·log43＋eln 3＝________．
5 不等式log2x＋log4x≤3的解集为________．
活动二 典例悟法
题组一　对数式的运算
1 化简下列各式：
(1) ÷100－；
(2) log225×log34×log59；
(3) lg －lg ＋lg .
对数式的运算化简要注意变成同底的对数式来进行．
题组二　对数函数的图象与性质
2 (1) 已知函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则函数y＝loga(|x|＋b)的图象可以是(　　)
A B C D
(2) 若函数f(x)＝cos x·lg (－x)为奇函数，则实数m的值为(　　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. ±1
(3) [2026如皋中学月考]已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)满足f(1)>1，且函数y＝loga(x2－ax－1)在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A. (1，＋∞) B. (1，4]
C. D.
(4) [2025常州期中]已知函数f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)， x∈[1，2]，使得f(x)≥1成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B. ∪(1，2]
C. (1，2] D.
3 [2025扬州期末]已知a＝log32，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. a>c>b B. a>b>c
C. b>c>a D. b>a>c
(多选)[2025南通、泰州等八市三模]已知a＝log210，b＝log3，则下列结论中正确的是(　　)
A. ab<0
B. 4a·9b＝1
C. －>1
D. log56＝
4 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 解不等式f(x2－1)＞－2.
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝x，解不等式f(x2－2)>f(x).
题组三　对数函数的综合应用
5 [2025南通一模]在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以p%的增长率呈指数增长．若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为(参考数据：lg 2≈0.3)(　　)
A. 6 B. 12
C. 16 D. 20
6 已知函数f(x)＝lg (k∈R).
(1) 当k＝0时，求函数f(x)的值域；
(2) 当k＞0时，求函数f(x)的定义域；
(3) 若函数f(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围．
[2026盐城东台一中期初]已知函数f(x)＝(log2x－2).
(1) 当x∈[2，4]时，求该函数的取值范围；
(2) 若x∈[4，16]，方程f(x)＝mlog4x有解，求实数m的取值范围．
[2024新课标Ⅱ卷·8]设函数f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　)
A. B. C. D. 1
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
3．6　对数与对数函数
1. D　解析：因为log210>log22＝1，所以f(－2)＋f(log210)＝log24＋2log210－1＝2＋2log25＝2＋5＝7.
2. B　解析：令t＝ax＋2，则y＝ln t．因为函数f(x)＝ln (ax＋2)在区间(1，2)上单调递减，且y＝ln t在定义域内单调递增，所以解得－1≤a<0，即实数a的取值范围是[－1，0).
3. ACD　解析：因为x，y，z为正实数，所以可设3x＝5y＝15z＝m>1，则x＝log3m，y＝log5m，z＝log15m.对于A，因为＝＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝2＋＋＝2＋log35＋log53，又log35>0，log53>0，所以2＋log35＋log53>2，所以>2，即x＋y>2z，故A正确；对于B，因为＝5logm3＝logm243，＝3logm5＝logm125，所以>，即3x<5y，故B错误；对于C，＋＝＋＝logm3＋logm5＝logm15＝，故C正确；对于D，＝·＝·＝·＝·＝·＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，又lg 3≠lg 5，所以等号不成立，则>4，即xy>4z2，故D正确．故选ACD.
4. 3　解析：lg 25＋2lg 2－log316·log43＋eln 3＝lg 52＋2lg 2－·＋3＝2(lg 5＋lg 2)－·＋3＝2－2＋3＝3.
5. {x|00，由log2x＋log4x≤3，得log2x≤3，则log2x≤2＝log24，解得0例1　(1) 原式＝lg ×10＝－2×10＝－20.
(2) 原式＝××＝××＝8.
(3) 原式＝lg －lg 4＋lg 7 ＝lg (××7)＝lg ＝.
例2　(1) D　解析：由函数f(x)＝ax＋b的图象可知0＜a＜1，－1＜b＜0.函数y＝g(x)＝loga(|x|＋b)的定义域为(－∞，b)∪(－b，＋∞)，排除A，B；因为y＝loga(|x|＋b)＝所以y＝loga(|x|＋b)在区间(－b，＋∞)上单调递减，在区间(－∞，b)上单调递增，排除C，故选D.
(2) C　解析：因为函数f(x)＝cos x·lg (－x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝cos x·lg (－x)＋cos (－x)·lg [－(－x)]＝cos x·lg (－x)＋cos x·lg (＋x)＝cos x·[lg (－x)＋lg (＋x)]＝cos x·lg (x2＋m－x2)＝cos x·lg m＝0，所以m＝1.当m＝1时，f(x)＝cos x·lg (－x)，定义域为R，满足f(x)＝－f(－x)，函数f(x)＝cos x·lg (－x)为奇函数，所以m＝1.
(3) C　解析：由题意，得f(1)＝a1>1，所以a>1.又函数y＝loga(x2－ax－1)在区间[2，3]上单调递增，所以函数g(x)＝x2－ax－1在区间[2，3]上单调递增，所以解得a<，所以1(4) A　解析：因为a>0，所以y＝2－ax在区间[1，2]上单调递减，所以当x＝2时，2－2a>0，解得a<1，所以0例3　D　解析：因为函数y＝log3x为增函数，且32<24<33，所以2＝log332a>c.
变式训练　ABD　解析：因为a＝log210>log21＝0，b＝log3例4　(1) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x).
当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
因为当x>0时，f(x)＝x，
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－x)，
所以f(x)＝
(2) 令f(x)＝－2，
当x>0时，x＝－2，解得x＝4；
当x<0时，－log(－x)＝－2，解得x＝－.
①当x2>1，即x<－1或x>1时，
原不等式即为f(x2－1)>f(4).
因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，
所以x2－1<4，解得－因为x<－1或x>1，
所以x∈(－，－1)∪(1，)；
②当x2<1，即－1原不等式即为f(x2－1)>f.
因为f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，
所以x2－1<－，解得－③当x2＝1时，f(x2－1)＝0>－2成立，
所以x＝－1或x＝1.
综上，原不等式的解集为(－，－1]∪∪[1，).
变式训练　因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(x)＝f(－x).
因为当x>0时，f(x)＝x，
所以当x<0时，f(－x)＝(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝
①当x≠0且x2－2≠0时，
因为f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，
所以|x2－2|<|x|，即x4－4x2＋4②当x＝0时，由f(x2－2)>f(x)，
得f(－2)>f(0)，即－1>0，不成立，故x≠0；
③当x2－2＝0，即x＝±时，有f()<0，f(－)<0，
所以x＝±成立．
综上，原不等式的解集为(－2，－1)∪(1，2).
例5　B　解析：设湖泊中的蓝藻增长为原来的2倍需要经过x天，则(1＋p%)x＝2.由题意，得(1＋p%)4＝，所以＝2，则＝2，即x＝16＝＝＝≈＝12.
例6　(1) 当k＝0时，f(x)＝lg ，则>0，
解得x<1.
因为y＝在区间(－∞，1)上的值域为(0，＋∞)，
所以f(x)的值域为R.
(2) 当k>0时，f(x)＝lg ，则>0，
即(x－1)>0.
①当＝1，即k＝1时，(x－1)2>0，
解得x≠1，
所以f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；
②当>1，即0；
③当<1，即k>1时，则x<或x>1.
综上，当01时，f(x)的定义域为∪(1，＋∞).
(3) 设g(x)＝＝＋k.
因为f(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，且y＝lg x在区间[10，＋∞)上单调递增，
所以g(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，
所以解得所以实数k的取值范围是.
变式训练　(1) 对于f(x)＝(2log4x－2)，
令t＝log4x，x∈[2，4]，则t∈，
所以y＝(2t－2)＝2t2－3t＋1＝2－.
因为t∈，所以y∈，
所以该函数的取值范围为.
(2) 由(1)，知f(x)＝mlog4x在x∈[4，16]上有解，
即2t2－3t＋1＝mt在t∈[1，2]上有解，
所以m＝2t＋－3，t∈[1，2].
由对勾函数的单调性可知，g(t)＝2t＋－3在区间[1，2]上单调递增，
所以g(t)的值域是，
所以实数m的取值范围为.
链接高考
C　解析：当x<－a时，x＋a<0，当x>－a时，x＋a>0；当x<1－b时，ln (x＋b)<0，当x>1－b时，ln (x＋b)>0，所以要f(x)恒非负，必有－a＝1－b，即b－a＝1，所以a2＋b2＝≥，当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，故a2＋b2的最小值为.(共46张PPT)
第三章
3.6　对数与对数函数
函数、导数及其应用
复习目标　1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．了解对数函数的概念，能画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
A．4　 B．5
C．6　 D．7
D
【解析】因为log210＞log22＝1，所以f(－2)＋f(log210)＝log24＋2log210－1＝2＋2log25＝2＋5＝7．
2 [2026灌南二中月考]已知函数f(x)＝ln (ax＋2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，0)　 B．[－1，0)
C．(－1，0)　 D．[－1，＋∞)
B
3 (多选)已知正实数x，y，z满足3x＝5y＝15z，则下列结论中正确的是 (　　　)
A．x＋y＞2z B．3x＞5y＞15z
ACD
4 lg 25＋2lg 2－log316·log43＋eln 3＝_____．
3
5 不等式log2x＋log4x≤3的解集为_____________．
{x|0＜x≤4}
活动二　典例悟法
题组一　对数式的运算
　　　 化简下列各式：
1
对数式的运算化简要注意变成同底的对数式来进行．
题组二　对数函数的图象与性质
　　　 (1) 已知函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则函数y＝loga(|x|＋b)的图象可以是 (　　)
2
D
A．－1　 B．0 C．1　 D．±1
C
(3) [2026如皋中学月考]已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)满足f(1)＞1，且函数y＝loga(x2－ax－1)在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(1，＋∞)　 B．(1，4]
C
(4) [2025常州期中]已知函数f(x)＝loga(2－ax)(a＞0，且a≠1)， x∈[1，2]，使得f(x)≥1成立，则实数a的取值范围是 (　　)
A
A．a＞c＞b　 B．a＞b＞c
C．b＞c＞a　 D．b＞a＞c
3
D
ABD
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 解不等式f(x2－1)＞－2．
4
【解析】(1) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)．
当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0．
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)．
5
B
(1) 当k＝0时，求函数f(x)的值域；
(2) 当k＞0时，求函数f(x)的定义域；
(3) 若函数f(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围．
6
(1) 当x∈[2，4]时，求该函数的取值范围；
(2) 若x∈[4，16]，方程f(x)＝mlog4x有解，求实数m的取值范围．
[2024新课标Ⅱ卷·8]设函数f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为 (　　)
C
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
谢谢观看
Thank you for watching3.6　对数与对数函数
一、 单选题
1 [2025厦门二模]已知0.3m＝2n＝0.4，则下列结论中正确的是(　　)
A. mnC. m＋n<02 [2025北京月考]深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：L＝L0D，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18.经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　)
A. 71 B. 72
C. 73 D. 74
3 已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. [2，3] B. [2，4]
C. (1，4] D. [2，＋∞)
4 [2026苏州期初]设函数f(x)＝ln |x＋1|－ln |x－1|，则下列关于f(x)的说法中正确的是(　　)
A. f(x)是偶函数，且在区间(1，＋∞)上单调递增
B. f(x)是奇函数，且在区间(－1，1)上单调递减
C. f(x)是偶函数，且在区间(－∞，－1)上单调递增
D. f(x)是奇函数，且在区间(－∞，－1)上单调递减
二、 多选题
5 [2025河北模拟]已知函数f(x)＝|ln (x－2)|，当 a>b时，f(a)＝f(b)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 2B. (a－2)(b－2)＝e
C. ab>9
D. a＋4b的最小值为14
6 若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则下列结论中错误的是(　　)
A. a>2b B. a<2b
C. a>b2 D. a7 已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值可以是(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
三、 填空题
8 [2025天津期中]已知log34×log48×log8m＝7，则m＝________．
9 已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足010 [2025如皋十校期中]已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时，均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0成立，若f(log3m)＋f(m)>2f(1)，则实数m的取值范围为________．
四、 解答题
11 [2025河南模拟]设a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(2x＋t)(t∈R).
(1) 当t＝1时，求不等式2f(x)≤g(x)的解集；
(2) 若函数h(x)＝af(x)＋tx2＋2t＋2在区间(1，3]上有零点，求实数t的取值范围．
12 已知函数f(x)＝log4为偶函数．
(1) 求实数m的值；
(2) 若f(x)＝log4g(x)，判断g(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义法给出证明；
(3) 若f(x)≥log4(a·2x－a)在区间(1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．
3．6　对数与对数函数
1. A　解析：由题意，得m＝log0.30.4，n＝log20.4.因为函数 y＝log0.3x在区间(0，＋∞)上单调递减，所以0＝log0.31mn.综上，mn2. D　解析：由题意，得0.4＝0.5×D，解得D＝0.8，所以L＝0.5×0.8.由L＝0.5×0.8<0.2，得0.8<0.4，所以G>18log0.80.4＝＝≈73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为74.
3. B　解析：由函数f(x)在R上单调递增，得解得2≤a≤4，所以实数a的取值范围是[2，4].
4. D　解析：由解得x≠－1且x≠1，则函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．因为f(－x)＝ln |－x＋1|－ln |－x－1|＝ln |x－1|－ln |x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故A，C错误；当x∈(－1，1)时，f(x)＝ln (x＋1)－ln (1－x)＝ln ＝ln (－1)，易得函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增，故B错误；当x∈(－∞，－1)时，f(x)＝ln (－x－1)－ln (1－x)＝ln ＝ln ，易得函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，故D正确．
5. ACD　解析：对于A，f(x)＝|ln (x－2)|的图象是将y＝|ln x|的图象向右平移2个单位长度得到，如图，易得2b，所以ab>9，故C正确；对于D，a＋4b＝a－2＋4(b－2)＋10≥10＋2＝14，当且仅当a－2＝4(b－2)，即a＝4，b＝时，等号成立，所以a＋4b的最小值为14，故D正确．故选ACD.
6. ACD　解析：设f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，所以f(a)－f(2b)＝2a＋log2a－(22b＋log22b)＝22b＋log2b－(22b＋log22b)＝log2＝－1<0，所以f(a)0，则f(a)>f(b2)，此时a>b2；当b＝2时，f(a)－f(b2)＝－1<0，则f(a)7. AB　解析：如图，作出函数y＝log4x和y＝(x－3)2的图象，由图可知，若a>4，则当x0，故f(x)的值域为R，符合题意；若a＝4，易得当x∈(0，a)时，f(x)∈(－∞，1)，当x∈[a，＋∞)时，f(x)∈[1，＋∞)，故f(x)的值域为R，符合题意．综上，实数a的取值可以是3或4，不能是5或6.故选AB.
8. 　解析：因为log34×log48×log8m＝log7，所以由换底公式可得××＝，即＝，即lg m＝－lg 7＝lg ，故m＝.
9. 4　解析：如图，画出f(x)＝|log2x|的图象．因为f(a)＝f(b)，且01，且ab＝1，所以a210. ∪(3，＋∞)　解析：由题意，得f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．由f(log3m)＋f(m)>2f(1)，得f(log3m)＋f(－log3m)>2f(1)，所以f(|log3m|)>f(1)，所以|log3m|>1，即log3m<－1或log3m>1，解得03，所以实数m的取值范围为∪(3，＋∞).
11. (1) 当t＝1时，不等式2f(x)≤g(x)可化为2loga(x－1)≤loga(2x＋1)，
若0所以不等式2f(x)≤g(x)的解集为[4，＋∞)；
若a>1，则解得1所以不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1，4].
综上，当01时，不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1，4].
(2) 由题意，得h(x)＝aloga(x－1)＋tx2＋2t＋2＝tx2＋x＋2t＋1.
令tx2＋x＋2t＋1＝0，即t(x2＋2)＝－(x＋1).
因为x∈(1，3]，所以x＋1∈(2，4]，
所以t≠0，x2＋2≠0，
所以＝－.
设m＝x＋1∈(2，4]，
则＝－＝－＋2.
因为函数y＝－＋2在区间(2，4]上单调递减，
所以－≤<－，
所以－故实数t的取值范围是.
12. (1) 因为函数f(x)＝log4为偶函数，
所以f(x)＝f(－x),
即log4＝log4，即＝，
即(m－1)(4x－1)＝0恒成立，
所以m＝1，
所以f(x)＝log4，其定义域为R，关于原点对称．
故实数m的值为1.
(2) 由题意，得f(x)＝log4＝log4＝log4(2x＋)＝log4g(x).
因为函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)＝2x＋.
不妨设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则g(x2)－g(x1)＝－＝(2x2－2x1)(1－).
因为x10.
又x1，x2∈(0，＋∞)，所以2x2＋x1>1，
所以1－>0，故g(x2)－g(x1)>0，
所以函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(3) 由题意，得log4≥log4(a·2x－a)在区间(1，2]上恒成立，即≥a·2x－a在区间(1，2]上恒成立．
因为x∈(1，2]，所以1<2x－1≤3，
所以a≤1＋在区间(1，2]上恒成立．
设h(x)＝1＋，令t＝2x＋1(3则h(t)＝1＋＝1＋.
因为y＝t＋－3在区间(3，5]上单调递增，
所以函数h(t)在区间(3，5]上单调递减，
故h(t)min＝h(5)＝.
所以a≤.
因为a·2x－a>0对任意的x∈(1，2]恒成立，且1<2x－1≤3，
所以a>0.
故实数a的取值范围是.

展开更多......

收起↑