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3.7　函数的图象
一、 单选题
1 [2025天津卷]已知函数y＝f(x)的图象如下，则f(x)的解析式可能为(　　)
A. f(x)＝ B. f(x)＝
C. f(x)＝ D. f(x)＝
2 [2025宁德月考]已知函数y＝f(2x－1)的图象关于点(1，－1)对称，则下列函数中是奇函数的是(　　)
A. y＝f(2x)＋1 B. y＝f(2x＋1)＋1
C. y＝f(2x)－1 D. y＝f(2x＋1)－1
3 [2025长春外国语学校期中]定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设h(x)＝max，则h(x)的最小值为(　　)
A. B. 4 C. 0 D.
4 [2025广州一模]已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是(　　)
A. bC. 0二、 多选题
5 下列说法中，正确的是(　　)
A. 将函数y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝f(－x－1)的图象，二者值域相同
B. 若函数y＝|x2－2x|＋a－1的图象与函数y＝2a＋1的图象有两个交点，则实数a的取值范围是(1，＋∞)
C. 若幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图象经过点，则函数f(x)为奇函数，且是定义域上的减函数
D. 若函数f(x)＝x3＋x＋1的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，则g(x)＝(2－x)3－x＋3
6 [2025重庆十一中期中]已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，其图象上任意一点P(x，y)满足|x|＋|y|＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数y＝f(x)可以是奇函数
B. 函数y＝f(x)一定是偶函数
C. 函数y＝f(x)可能既不是偶函数，也不是奇函数
D. 若函数y＝f(x)的值域是(－1，1)，则y＝f(x)一定是奇函数
7 已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2和g(x)＝ln x＋x－2的零点，则下列结论中正确的是(　　)
A. x1＋x2＝2 B. ex1＋ln x2＝2
C. x1x2> D. x＋x<3
三、 填空题
8 若关于x的不等式2logax>(x－1)2恰有1个整数解，则实数a的取值范围是________．
9 已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，且f(x)＝则方程3f(x)＝x的实数解的个数为________．
10 [2025北京景山学校远洋分校期中]设a>0，b>0，已知函数f(x)＝的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．给出下列四个结论：①“囧函数”在区间(0，＋∞)上单调递增；②“囧函数”的图象关于y轴对称；③“囧函数”有两个零点；④“囧函数”的图象与直线y＝kx＋b(k≠0)的图象至少有一个交点．其中正确的是________．(填序号)
四、 解答题
11 [2025红河月考]已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1) 画出这个函数的图象，并写出f(x)的最大值；
(2) 解不等式f(x)<2；
(3) 若直线y＝k(k为常数)与函数f(x)的图象有两个公共点，直接写出实数k的取值范围．
12 已知函数f(x)＝，其中a∈R.
(1) 当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求实数a的值；
(2) 若函数f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；
(3) 若a＝2，求函数f(x)在区间(－∞，－2)上的值域．
3．7　函数的图象
1. D　解析：由图可知函数为偶函数．由于函数f(x)＝和函数f(x)＝为奇函数，故排除A，B；当x∈(0，1)时，1－x2>0，x2－1<0，此时f(x)＝>0，f(x)＝<0，由图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C不符合，D符合．
2. B　解析：因为函数y＝f(2x－1)的图象关于点(1，－1)对称，所以将函数图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到函数y＝f[2(x＋1)－1]＋1，其图象关于原点对称，即y＝f(2x＋1)＋1的图象关于原点对称，所以函数y＝f(2x＋1)＋1为奇函数．
3. D　解析：如图，分别作出y＝x2，y＝x，y＝6－x的图象，则函数h(x)的图象为图中实线部分．由图象，得函数h(x)的最低点为A，由 解得即点A的坐标为，所以h(x)的最小值为.
4. B　解析：方法一：设函数f(x)＝3x，g(x)＝4x，h(x)＝2x，作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图1所示，设3a＝4b＝t.对于A，当01时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标分别为a2，b2，由图象可知，01时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标分别为a4，2b4，由图象可知，0图1 图2
方法二(指对互化)：令3a＝4b＝t，则a＝log3t＝，b＝log4t＝，所以2b＝.若a，b均小于0，则0>，所以<<，即2b1，即ln t>0.又>>，所以>>，即2b>a>b>0.综上，只有B符合．
5. AD　解析：对于A，将函数y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝f[－(x＋1)]＝f(－x－1)的图象，左右平移不改变函数的值域，故二者值域相同，故A正确；对于B，令|x2－2x|＋a－1＝2a＋1，得|x2－2x|＝a＋2.令h(x)＝|x2－2x|＝作出h(x)的图象如图所示．由题意，得y＝h(x)与y＝a＋2的图象有两个交点，则a＋2＝0或a＋2>1，解得a＝－2或a>－1，故B错误；对于C，因为幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图象经过点，所以＝2，解得α＝－，所以f(x)＝x－＝，定义域为{x|x≠0}．又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝x－为奇函数，且在区间(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递减，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以f(x)在定义域内不具有单调性，故C错误；对于D，函数f(x)＝x3＋x＋1的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，则g(x)＝f(2－x)＝(2－x)3＋(2－x)＋1＝(2－x)3－x＋3，故D正确．故选AD.
6. AD　解析：由f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，1]，得当x≠0时，由|x|＋|y|＝1，得|y|＝1－|x|≠1，所以y≠±1；当x＝±1时，由|x|＋|y|＝1，得|y|＝1－|x|＝0，所以y＝0；当时，－x＋y＝1，即y＝x＋1；当时，－x－y＝1，即y＝－x－1；当时，x＋y＝1，即y＝－x＋1；当时，x－y＝1，即y＝x－1；所以f(x)的图象有如下四种情况，根据图象知A，D正确，B，C错误．故选AD.
　　　
　　　
7. ABD　解析：因为x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，所以ex1＝2－x1，ln x2＝2－x2，则x1，x2可以看作函数y＝ex和y＝ln x与函数y＝2－x图象交点的横坐标．如图，A，C，B分别为函数y＝ex，y＝x，y＝ln x的图象与函数y＝2－x图象的交点，所以点C(1，1).因为函数y＝ex和y＝ln x互为反函数，所以函数图象关于直线y＝x的图象对称．又直线y＝2－x与直线y＝x互相垂直，所以点A(x1，ex1)和点B(x2，ln x2)关于点C(1，1)对称，所以x1＋x2＝2，ex1＋ln x2＝2，故A，B正确；由反函数的性质，得x2＝ex1，因为f(x)＝ex＋x－2单调递增，f＝－>0，所以08. [，4)　解析：当0(x－1)2没有整数解，不符合题意；当a>1时，作出y＝2logax和y＝(x－1)2的图象，如图2.因为2logax>(x－1)2恰有1个整数解，所以x＝2是不等式的整数解，所以解得≤a<4，故实数a的取值范围是[，4).
图1　 图2
9. 5　解析：由f(x＋2)＝f(x－2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为4.又f(x)＝所以f(8)＝f(0)＝2cos 0＝2，且f(x)的图象如图所示，所以方程3f(x)＝x的实数解即为函数f(x)与直线y＝x图象的交点横坐标，且当x>8时，y＝x>>2.由图可知两图象的交点个数为5，即方程3f(x)＝x的实数解的个数为5.
10. ②④　解析：因为f(x)＝的定义域{x|x≠±a}，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，则“囧函数”的图象关于y轴对称，故②正确；当a＝b＝1时，f(x)＝，令t＝|x|－1，x≠±1，则f(t)＝，t≠0.因为t＝|x|－1在区间(0，1)和(1，＋∞)上单调递增，f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在区间(0，1)和(1，＋∞)上单调递减，故①错误；结合f(x)＝为偶函数可作出函数的图象如图所示，显然f(x)＝0无解，所以 “囧函数”没有零点，故③错误；当x>a时，|x|－a>0，所以f(x)>0，当011. (1) 画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，当x＝2时，f(x)取得最大值4.
(2) 当x≤－1时，x＋2≤1，所以f(x)<2恒成立；
当－1所以－1当x>2时，由－x＋6<2，解得x>4，所以x>4.
综上，所求不等式的解集为{x|x<或x>4}．
(3) 由图可知，若直线y＝k与y＝f(x)的图象有2个交点，
则k<0或1即实数k的取值范围为(－∞，0)∪(1，4).
12. (1) 因为 “函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称”的充要条件为“函数y＝f(x＋a)－b是奇函数”，
所以当f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，
y＝f(x－1)－3＝－3＝(a－3)＋是奇函数，
所以a－3＝0，解得a＝3，
故实数a的值为3.
(2) 因为函数f(x)＝＝＝a＋，
所以当f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递减时，有2－2a>0，
解得a<1，
故实数a的取值范围是(－∞，1).
(3) 当a＝2时，f(x)＝＝2－，
则函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，
所以2所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上的值域是(2，4).(共33张PPT)
第三章
3.7　函数的图象
函数、导数及其应用
复习目标　1．能利用五点作图法、图象变换法作出所求函数的图象．2．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025如皋中学教学质量调研]已知函数f(x)的图象如图所示，则f(1－x)的图象是 (　　)
A
【解析】将函数f(x)的图象关于y轴对称可得函数f(－x)的图象，将f(－x)的图象向右平移1个单位长度，可得f(－(x－1))的图象，即f(1－x)的图象，结合选项可知A正确．
B
A．[－5，2]　 B．[－4，1]
C．[4，10]　 D．(－∞，2]
A
4 [2025南通、泰州等八市三调]设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，则下列说法中正确的是 (　　)
A．－x0是f(－x)的极小值点
B．－x0是－f(x)的极大值点
C．－x0是－f(－x)的极小值点
D．－x0是f(|x|)的极大值点
C
【解析】对于A，因为f(－x)的图象和f(x)的图象关于y轴对称，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，所以－x0是f(－x)的极大值点，故A错误；对于B，取f(x)＝－(x＋1)2，则x0＝－1是f(x)的极大值点，且－f(x)＝(x＋1)2，显然1不是－f(x)的极大值点，故B错误；对于C，因为－f(－x)的图象和f(x)的图象关于原点对称，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，所以－x0是－f(－x)的极小值点，故C正确；对于D，取f(x)＝－(x＋1)2，则f(|x|)＝－(|x|＋1)2，显然其为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，所以1不是f(|x|)的极大值点，故D错误．
5 (多选)下列命题中，正确的是 (　 　)
A．将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象
B．当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同
C．若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
CD
【解析】对于A，将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)－1的图象，故A错误；对于B，当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象不一定相同，例如当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln x，则函数y＝|f(x)|的图象如图1，y＝f(|x|)的图象如图2，故B错误；
图1
图2
图1
图2
活动二　典例悟法
题组一　函数图象的变换
　　　 函数y＝ln (2x＋1)的图象可以看作是由函数y＝ln x的图象如何变换得到的？请至少写出两种不同的变换顺序．
1
　　　　　　函数y＝ln |2x＋1|的图象可以看作是由函数y＝ln |x|的图象如何变换得到的？请至少写出两种不同的变换顺序．
1．在进行图象变换时要注意变换的顺序不同对变换带来的影响．
2．在平移变换中，左右平移仅是对x而言，若x的系数不是1，需把系数提出来，再利用“左加右减”进行变换；上下平移是对y而言，利用“上加下减”进行变换．
题组二　函数图象的应用
　　　 已知函数f(x)＝|x(m－x)|，且f(2)＝0．
(1) 求实数m的值；
(2) 作出函数f(x)的图象；
(3) 根据图象指出f(x)的单调减区间．
2
【解析】(1) 因为f(2)＝0，所以f(2)＝|2m－4|＝0，
解得m＝2，即实数m的值为2．
(2) 由(1)，得f(x)＝|x(2－x)|，其图象如图所示．



(3) 由图象，得f(x)的单调减区间是(－∞，0)，(1，2)．
　　　　　　2 在例2的条件下，将f(2)＝0变为f(－1)＝0，作出函数f(x)的图象．
【解析】因为f(－1)＝|－1×(m＋1)|＝0，
所以m＋1＝0，解得m＝－1，
所以f(x)＝|x(x＋1)|，其图象如图所示．
　　　　　　3 已知函数f(x)＝|x(m－x)|，若方程f(x)－x－1＝0有且仅有两个实数解，求实数m的取值范围．
【解析】由题意，得|x(m－x)|＝x＋1．
①若m＝0，则方程为x2－x－1＝0，
此时Δ＝1＋4＝5＞0，符合条件；
②若m＞0，如图1，－x2＋mx－x－1＝0无解，
则Δ＝(m－1)2－4＜0，解得－1＜m＜3．
又m＞0，所以0＜m＜3；
图1
③若m＜0，
如图2，当Δ＜0，即－1＜m＜0时，原方程有两个实数解；
如图3，当Δ≥0，即m≤－1时，原方程有两个实数解．
综上，实数m的取值范围是(－∞，3)．
图2
图3
3
6
【解析】因为f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)－f(－2－x)＝0，所以f(x)的图象的对称中心为(1，0)，f(x)的图象的对称轴为直线x＝－1．结合③画出f(x)和g(x)的部分图象如图所示，由图可知f(x)与g(x)的图象在区间[－3，3]上有6个交点．
　　　　　　1 (多选)[2025无锡太湖高级中学学情调研]已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列说法中正确的是 (　 　)
A．a＞0
BC
B．方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的三个根分别为x1＝1，x2＝2，x3＝3
C．不等式ax3＋bx2＋cx＋d＞0的解集为{x|x＜1或2＜x＜3}
D．不等式ax3＋bx2＋cx＋d＜0的解集为{x|1＜x＜2}
【解析】由图象可得函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的零点从小到大依次为1，2，3，所以方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的三个根分别为x1＝1，x2＝2，x3＝3，则ax3＋bx2＋cx＋d＝a(x－1)(x－2)(x－3)，故B正确；当1＜x＜2时，x－1＞0，x－2＜0，x－3＜0，由图象可得当1＜x＜2时，y＜0，即a(x－1)(x－2)(x－3)＜0，所以a＜0，故A错误；观察图象可得不等式ax3＋bx2＋cx＋d＞0的解集为{x|x＜1或2＜x＜3}，故C正确；不等式ax3＋bx2＋cx＋d＜0的解集为{x|1＜x＜2或x＞3}，故D错误．故选BC．
[－4，0]
利用函数的图象可以直观地得到函数的性质，直接解出不等式的解或方程的根的个数．
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复习目标　1. 能利用五点作图法、图象变换法作出所求函数的图象.2. 会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
图象的变换
活动一 基础引入
1 [2025如皋中学教学质量调研]已知函数f(x)的图象如图所示，则f(1－x)的图象是(　　)
A B C D
2 [2026徐州三中月考]函数f(x)＝的图象大致为(　　)
A B
C D
3 [2026沭阳如东中学月考]已知函数f(x)＝若存在a∈[4，10]，使f(a－x2)≤9f(x)，则x的取值范围是(　　)
A. [－5，2] B. [－4，1]
C. [4，10] D. (－∞，2]
4 [2025南通、泰州等八市三调]设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，则下列说法中正确的是(　　)
A. －x0是f(－x)的极小值点
B. －x0是－f(x)的极大值点
C. －x0是－f(－x)的极小值点
D. －x0是f(|x|)的极大值点
5 (多选)下列命题中，正确的是(　　)
A. 将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象
B. 当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同
C. 若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
D. 为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
活动二 典例悟法
题组一　函数图象的变换
1 函数y＝ln (2x＋1)的图象可以看作是由函数y＝ln x的图象如何变换得到的？请至少写出两种不同的变换顺序．
函数y＝ln 的图象可以看作是由函数y＝ln 的图象如何变换得到的？请至少写出两种不同的变换顺序．
1. 在进行图象变换时要注意变换的顺序不同对变换带来的影响．
2. 在平移变换中，左右平移仅是对x而言，若x的系数不是1，需把系数提出来，再利用“左加右减”进行变换；上下平移是对y而言，利用“上加下减”进行变换．
题组二　函数图象的应用
2 已知函数f(x)＝|x(m－x)|，且f(2)＝0.
(1) 求实数m的值；
(2) 作出函数f(x)的图象；
(3) 根据图象指出f(x)的单调减区间．
1 已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(2)＝0，作出函数f(x)的图象．
2 在例2的条件下，将f(2)＝0变为f(－1)＝0，作出函数f(x)的图象．
3 已知函数f(x)＝|x(m－x)|，若方程f(x)－x－1＝0有且仅有两个实数解，求实数m的取值范围．
3 已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)＋f(2－x)＝0；②f(x)－f(－2－x)＝0；③在区间[－1，1]上的表达式为f(x)＝则函数f(x)与g(x)＝的图象在区间[－3，3]上的交点的个数为________．
1 (多选)[2025无锡太湖高级中学学情调研]已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. a>0
B. 方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的三个根分别为x1＝1，x2＝2，x3＝3
C. 不等式ax3＋bx2＋cx＋d>0的解集为{x|x<1或2D. 不等式ax3＋bx2＋cx＋d<0的解集为{x|12 [2025苏州期中]若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足f(x)≥kx＋b≥g(x)恒成立，则称直线y＝kx＋b为f(x)和g(x)的“媒介直线”．已知函数f(x)＝x2(x∈R)，g(x)＝(x<0)，若f(x)和g(x)之间存在“媒介直线”y＝kx＋b，则实数b的取值范围是________．
利用函数的图象可以直观地得到函数的性质，直接解出不等式的解或方程的根的个数．
3．7　函数的图象
1. A　解析：将函数f(x)的图象关于y轴对称可得函数f(－x)的图象，将f(－x)的图象向右平移1个单位长度，可得f(－(x－1))的图象，即f(1－x)的图象，结合选项可知A正确．
2. B　解析：易知函数f(x)＝的定义域为R，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除C，D；当x∈时，f(x)＝>0，即当x∈时，函数f(x)的图象在x轴的上方，显然A不满足，B满足．
3. A　解析：由题意，得f(3x)＝所以f(3x)＝9f(x)，所以f(a－x2)≤9f(x)＝f(3x).作出f(x)的图象如图所示，由图可知，f(x)在R上单调递减．若存在a∈[4，10]，使a－x2≥3x，即x2＋3x≤a，则x2＋3x≤10，解得－5≤x≤2，所以x的取值范围是[－5，2].
4. C　解析：对于A，因为f(－x)的图象和f(x)的图象关于y轴对称，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，所以－x0是f(－x)的极大值点，故A错误；对于B，取f(x)＝－(x＋1)2，则x0＝－1是f(x)的极大值点，且－f(x)＝(x＋1)2，显然1不是－f(x)的极大值点，故B错误；对于C，因为－f(－x)的图象和f(x)的图象关于原点对称，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，所以－x0是－f(－x)的极小值点，故C正确；对于D，取f(x)＝－(x＋1)2，则f(|x|)＝－(|x|＋1)2，显然其为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，所以1不是f(|x|)的极大值点，故D错误．
5. CD　解析：对于A，将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)－1的图象，故A错误；对于B，当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象不一定相同，例如当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln x，则函数y＝|f(x)|的图象如图1，y＝f(|x|)的图象如图2，故B错误；对于C，若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确；对于D，将函数y＝log2x图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到函数y＝log2(x－1)＝log2的图象，故D正确．故选CD.
图1 图2
例1　①y＝ln xy＝ln 2xy＝ln (2x＋1).
②y＝ln xy＝ln (x＋1)y＝ln (2x＋1).
变式训练　①y＝ln |x|y＝ln |2x|y＝ln |2x＋1|.
②y＝ln |x|y＝ln |x＋1|y＝ln |2x＋1|.
例2　(1) 因为f(2)＝0，所以f(2)＝|2m－4|＝0，
解得m＝2，即实数m的值为2.
(2) 由(1)，得f(x)＝|x(2－x)|，其图象如图所示．
(3) 由图象，得f(x)的单调减区间是(－∞，0)，(1，2).
变式训练1　由f(2)＝0，得2|m－2|＝0，解得m＝2，
所以f(x)＝x|2－x|，其图象如图所示．
变式训练2　因为f(－1)＝|－1×(m＋1)|＝0，
所以m＋1＝0，解得m＝－1，
所以f(x)＝|x(x＋1)|，其图象如图所示．
变式训练3　由题意，得|x(m－x)|＝x＋1.
①若m＝0，则方程为x2－x－1＝0，
此时Δ＝1＋4＝5>0，符合条件；
②若m>0，如图1，－x2＋mx－x－1＝0无解，
则Δ＝(m－1)2－4<0，解得－1又m>0，所以0③若m<0，
如图2，当Δ<0，即－1如图3，当Δ≥0，即m≤－1时，原方程有两个实数解．
综上，实数m的取值范围是(－∞，3).
图1 图2 图3
　
例3　6　解析：因为f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)－f(－2－x)＝0，所以f(x)的图象的对称中心为(1，0)，f(x)的图象的对称轴为直线x＝－1.结合③画出f(x)和g(x)的部分图象如图所示，由图可知f(x)与g(x)的图象在区间[－3，3]上有6个交点．
变式训练1　BC　解析：由图象可得函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的零点从小到大依次为1，2，3，所以方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的三个根分别为x1＝1，x2＝2，x3＝3，则ax3＋bx2＋cx＋d＝a(x－1)(x－2)(x－3)，故B正确；当10，x－2<0，x－3<0，由图象可得当10的解集为{x|x<1或23}，故D错误．故选BC.
变式训练2　[－4，0]　解析：因为f(x)≥kx＋b≥g(x)恒成立，所以y＝kx＋b的图象一直在f(x)和g(x)的图象之间．当y＝kx＋b同时与f(x)和g(x)相切时，方程f(x)＝kx＋b和方程g(x)＝kx＋b均只有一个解，即x2－kx－b＝0和kx2＋bx－1＝0均只有一个解，所以或解得b＝0或b＝－4，结合图象可知，实数b的取值范围是[－4，0].

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