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第三章
3.9　函数模型及其应用
函数、导数及其应用
复习目标　1．了解常见函数的性质．2．了解常见函数模型在社会生活中的广泛应用．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
函数应用问题的解题四步骤：
1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
2．建模：将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型；
3．解模：求解函数模型，得出数学结论；
4．还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
以上过程用框图表示如下：
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025长春期中]在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，则经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的 (　　)
A．12倍　 B．18倍
C．36倍　 D．48倍
C
【解析】设湖泊原来的蓝藻数为x．由题意，得x(1＋6.25%)30≈6x，则x(1＋6.25%)60＝x[(1＋6.25%)30]2≈36x，故经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍．
A．265年　 B．266年
C．276年　 D．277年
D
3 [2025安庆期末]已知从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v ≤120)的数据如下表：
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是 (　　)
A．Q＝0.5v＋a B．Q＝av＋b
C．Q＝av3＋bv2＋cv D．Q＝klogav＋b
C
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
【解析】作出散点图如图所示．由图可知函数模型满足：第一，定义域为[0，120]；第二，在定义域内单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点．对于A，函数Q＝0.5v＋a在定义域内单调递减，故A错误；对于B，函数Q＝av＋b的单位增长率
恒定不变，故B错误；对于C，Q＝av3＋bv2＋cv满足上述三点，故C正确；对于D，函数Q＝klogav＋b在v＝0处无意义，故D错误．
4 某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件时，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则单价为______元/件时，日利润最大．
10
【解析】设单价为(6＋x)元/件，则日均销售量为(100－10x)件，故日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0≤x＜10)，所以当x＝4时，ymax＝340，即单价为10元/件时，日利润最大．
(1) 用速度v表示动车每小时的运输成本，并指出v的取值范围；
(2) 用速度v表示全程运输成本y；
(3) 求全程运输成本的最小值及此时动车的行驶速度．
活动二　典例悟法
题组一　二次函数模型
　　　 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线中的一段．已知跳水板AB的长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为了安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处h m (h≥1)(水平距离)时达到距水面的最大高度为 4 m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立平面直角坐标系．
1
(1) 当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2) 若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到
比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
【解析】(1) 由题意，得点A(2，3)．
当h＝1时，顶点坐标为(3，4)．
设抛物线方程为y＝m(x－3)2＋4(m＜0)．
将点A(2，3)代入，得3＝m＋4，解得m＝－1，
所以抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4．
题组二　分式函数模型
2
(1) 求利润L(x)的函数关系式，并写出定义域；
(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
题组三　分段函数模型
3
(1) 写出年利润S(x)(单位：亿元)关于年产量x(单位：万台)的函数关系式；
(2) 当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
(3) 若该企业当年不亏本，求年产量x的取值范围．
(2) 当0≤x≤3时，S(x)max＝S(3)＝9；
又9＜39，
所以该企业获得的年利润最大为39亿元．
(3) 当0≤x≤3时，由S(x)＝－x2＋14x－24≥0，解得2≤x≤12，所以2≤x≤3；



所以3＜x≤10．
故若该企业当年不亏本，则年产量x的取值范围为[2，10]．
题组四　指数函数、对数函数模型
　　　 (多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度θ0℃保持不变，那么tmin后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.05t．已知空气温度为10℃，该物体温度从θ1℃(90≤θ1≤100)下降到30℃，大约所需的时间为t1min，若该物体温度从70℃，50℃下降到30℃，大约所需的时间分别为t2 min，t3 min，则下列结论中正确的是(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) (　 　)
A．t2＝20　 B．28≤t1≤30
C．t1≥2t3　 D．t1－t2≤6
4
BC
(1) 求a，b的值；
(2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
5
求解已知函数模型解决实际问题的关键
1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
2．根据已知利用待定系数法，求出模型中的待定系数；
3．利用该函数模型解决实际问题，并进行检验．
　　　 某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位：g)的函数．研究过程中的部分数据如下表：
6
(1) 选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
(2) 求该新材料的含量x为多少克时，产品的性能指标值达到最大？
【解析】(1) 由表格知，当x＝0时，y＝－4．
若选①y＝ax2＋bx＋c，则c＝－4；
若选②y＝k·ax(a＞0且a≠1)，则k＝－4，
此时y＝－4ax(a＞0且a≠1)不满足当x＝2时，y＝8，故不选；
若选③y＝klogax(a＞0且a≠1)，当x＝0时无意义，故不选，
所以选①的函数模型来描述x，y之间的关系．
由题意，得当0≤x＜7时，由y＝ax2＋bx＋c，且x＝0，y＝－4时，得c＝－4；
当x＝2，y＝8时，4a＋2b＝12；
当x＝6，y＝8时，36a＋6b＝12；


所以当0≤x＜7时，y＝－x2＋8x－4．
1 [2025北京卷·9]在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：h)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加 (　　)
A．2h　 B．4h
C．20h　 D．40h
B
【解析】设当N取106个单位，1.024×109个单位，4.096×109个单位时训练所需时间分别为T1，T2，T3，则T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)．由T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，解得k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4 h．
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则下列结论中正确的是 (　　　)
A．p1≥p2　 B．p2＞10p3
C．p3＝100p0　 D．p1≤100p2
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
ACD
注意不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
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复习目标　1. 了解常见函数的性质.2. 了解常见函数模型在社会生活中的广泛应用．
函数应用问题的解题四步骤：
1. 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
2. 建模：将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型；
3. 解模：求解函数模型，得出数学结论；
4. 还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
以上过程用框图表示如下：
活动一 基础引入
1 [2025长春期中]在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，则经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的(　　)
A. 12倍 B. 18倍 C. 36倍 D. 48倍
2 [2025青岛一模]近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0，其中Q0是臭氧的初始含量，则臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693，精确到1年)(　　)
A. 265年 B. 266年 C. 276年 D. 277年
3 [2025安庆期末]已知从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的数据如下表：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是(　　)
A. Q＝0.5v＋a B. Q＝av＋b
C. Q＝av3＋bv2＋cv D. Q＝klogav＋b
4 某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件时，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则单价为________元/件时，日利润最大．
5 [2025南通10月调研]甲、乙两地相距1 000km，动车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过250km/h，已知动车每小时的运输成本(单位：元)是可变成本与固定成本之和，其中可变成本是速度vkm/h的平方的，固定成本为10 000元．
(1) 用速度v表示动车每小时的运输成本，并指出v的取值范围；
(2) 用速度v表示全程运输成本y；
(3) 求全程运输成本的最小值及此时动车的行驶速度．
活动二 典例悟法
题组一　二次函数模型
1 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线中的一段．已知跳水板AB的长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为了安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处h m(h≥1)(水平距离)时达到距水面的最大高度为 4 m.规定：以CD为横轴， BC为纵轴建立平面直角坐标系．
(1) 当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2) 若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
题组二　分式函数模型
2 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：kg)与肥料费用x(单位：元)满足如下关系：w＝400－，且投入的肥料费用不超过500元，此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/kg，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：元).
(1) 求利润L(x)的函数关系式，并写出定义域；
(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
题组三　分段函数模型
3 [2025连云港灌南高中协作体联考]某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其他因素的影响，该公司一年内生产该车x万台(0≤x≤10)且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其他成本(单位：亿元)为C(x)＝(利润＝销售收入－总成本)
(1) 写出年利润S(x)(单位：亿元)关于年产量x(单位：万台)的函数关系式；
(2) 当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
(3) 若该企业当年不亏本，求年产量x的取值范围．
题组四　指数函数、对数函数模型
4 (多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度θ0℃保持不变，那么tmin后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-0.05t.已知空气温度为10℃，该物体温度从θ1℃(90≤θ1≤100)下降到30℃，大约所需的时间为t1min，若该物体温度从70℃，50℃下降到30℃，大约所需的时间分别为t2 min，t3 min，则下列结论中正确的是(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　)
A. t2＝20 B. 28≤t1≤30
C. t1≥2t3 D. t1－t2≤6
5 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙．研究某种鸟类的专家发现，某种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是常数)，据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为45个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1) 求a，b的值；
(2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
求解已知函数模型解决实际问题的关键
1. 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
2. 根据已知利用待定系数法，求出模型中的待定系数；
3. 利用该函数模型解决实际问题，并进行检验．
6 某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位：g)的函数．研究过程中的部分数据如下表：
x/g 0 2 6 10 …
y －4 8 8 …
已知当x≥7时，y＝，其中m为常数．当0≤x<7时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝k·ax(a>0且a≠1)；③y＝klogax(a>0且a≠1)，其中k，a，b，c均为常数．
(1) 选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
(2) 求该新材料的含量x为多少克时，产品的性能指标值达到最大？
1 [2025北京卷·9]在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：h)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(　　)
A. 2h B. 4h
C. 20h D. 40h
2 (多选)[2023新课标Ⅰ卷·10]噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则下列结论中正确的是(　　)
A. p1≥p2 B. p2>10p3
C. p3＝100p0 D. p1≤100p2
注意不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
3．9　函数模型及其应用
1. C　解析：设湖泊原来的蓝藻数为x.由题意，得x(1＋6.25%)30≈6x，则x(1＋6.25%)60＝x[(1＋6.25%)30]2≈36x，故经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍．
2. D　解析：令Q＝Q0e－＝Q0，得e－＝，所以－＝ln ＝－ln 2，所以t＝400ln 2≈277，故臭氧消失一半所需要的时间约为 277年.
3. C　解析：作出散点图如图所示．由图可知函数模型满足：第一，定义域为[0，120]；第二，在定义域内单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点．对于A，函数Q＝0.5v＋a在定义域内单调递减，故A错误；对于B，函数Q＝av＋b的单位增长率恒定不变，故B错误；对于C，Q＝av3＋bv2＋cv满足上述三点，故C正确；对于D，函数Q＝klogav＋b在v＝0处无意义，故D错误．
4. 10　解析：设单价为(6＋x)元/件，则日均销售量为(100－10x)件，故日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0≤x<10)，所以当x＝4时，ymax＝340，即单价为10元/件时，日利润最大．
5. (1) 由题意，得动车每小时的运输成本为v2＋10 000，0(2) 由题意，得动车行驶时间为，
所以y＝＝1 000，0(3) 由(2)，得y＝1 000，0所以y≥1 000×2＝100 000，
当且仅当v＝，即v＝200时，等号成立，
所以全程运输成本的最小值为100 000元，此时动车的行驶速度为200 km/h.
例1　(1) 由题意，得点A(2，3).
当h＝1时，顶点坐标为(3，4).
设抛物线方程为y＝m(x－3)2＋4(m<0).
将点A(2，3)代入，得3＝m＋4，解得m＝－1，
所以抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4.
(2) 由题意，得顶点坐标为(2＋h，4).
设抛物线方程为y＝a[x－(h＋2)]2＋4(a<0).
将点A(2，3)代入，得ah2＋4＝3，
解得a＝－.
当运动员在区域EF内入水时，即方程－[x－(h＋2)]2＋4＝0在区间[5，6]上有一解．
令f(x)＝－[x－(h＋2)]2＋4.
由题意，得f(x)在区间[5，6]上单调递减，
则
解得1≤h≤，故h的取值范围是.
例2　(1) 由题意，得总收益为16w元，总成本为x＋2x＝3x(元)，
则L(x)＝16－3x＝6 400－3，定义域为[0，500].
(2) L(x)＝6 400－3[＋(x＋100)－100]
＝6 700－3
≤6 700－3×2
＝6 700－6×400＝4 300，
当且仅当＝x＋100，即x＝300时，等号成立，
故当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获利最大，最大利润为4 300元．
例3　(1) 由题意，得S(x)＝20x－20－C(x)＝
所以年利润S(x)的函数解析式为S(x)＝
(2) 当0≤x≤3时，S(x)max＝S(3)＝9；
当3又9<39，
所以该企业获得的年利润最大为39亿元．
(3) 当0≤x≤3时，由S(x)＝－x2＋14x－24≥0，解得2≤x≤12，所以2≤x≤3；
当3所以3故若该企业当年不亏本，则年产量x的取值范围为[2，10].
例4　BC　解析：由题意，得θ＝10＋(θ1－10)e-0.05t，令θ＝30，则30＝10＋(θ1－10)e－0.05t1，即e－0.05t1＝，则－0.05t1＝ln ，所以t1＝20ln ，其是关于θ1的单调增函数．当θ1＝90时，t1＝20ln ＝20ln 4＝40ln 2≈28；当θ1＝100时，t1＝20ln ＝20ln ＝20(2ln 3－ln 2)≈30，所以28≤t1≤30，故B正确；当θ1＝70时，t2＝20ln ＝20ln 3≈22，故A错误；当θ1＝50时，t3＝20ln ＝20ln 2≈14，此时满足t1≥2t3，t1－t2≥6，故C正确，D错误．故选BC.
例5　(1) 由题意，得0＝a＋blog3，1＝a＋blog3，
化简，得a＋b＝0，a＋2b＝1，
解得a＝－1，b＝1.
(2) 由(1)，得v＝－1＋log3.
由－1＋log3≥2，得log3≥3，
即log3≥log327，解得M≥285，
所以当这种鸟类飞行的速度不低于2 m/s时，其耗氧量至少要285个单位．
例6　(1) 由表格知，当x＝0时，y＝－4.
若选①y＝ax2＋bx＋c，则c＝－4；
若选②y＝k·ax(a>0且a≠1)，则k＝－4，
此时y＝－4ax(a>0且a≠1)不满足当x＝2时，y＝8，故不选；
若选③y＝klogax(a>0且a≠1)，当x＝0时无意义，故不选，
所以选①的函数模型来描述x，y之间的关系．
由题意，得当0≤x<7时，由y＝ax2＋bx＋c，且x＝0，y＝－4时，得c＝－4；
当x＝2，y＝8时，4a＋2b＝12；
当x＝6，y＝8时，36a＋6b＝12；
联立解得
所以当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4.
(2) 由(1)知，当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4.
又当x≥7时，y＝，
将x＝10，y＝代入上式，得＝，解得m＝8，
所以当x≥7时，y＝.
综上，y＝
当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，
所以当x＝4时，ymax＝12；
当x≥7时，y＝单调递减，
所以当x＝7时，ymax＝＝3.
故当该新材料的含量x为4 g时，产品的性能指标值达到最大．
链接高考
1. B　解析：设当N取106个单位，1.024×109个单位，4.096×109个单位时训练所需时间分别为T1，T2，T3，则T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210).由T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，解得k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4 h.
2. ACD　解析：由题意，得∈[103，10]，∈[10，103]，＝100，则p1≥p2，故A正确；p2≤10p3，故B错误；p3＝100p0，故C正确；p1≤100p2，故D正确．故选ACD.3.9　函数模型及其应用
一、 单选题
1 为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　)
A B C D
2 [2025厦门海沧实验中学期中]复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．按复利计算利息的一种储蓄，本金为10 000元，每期利率为2%，本利和为y(单位：元)，存期数为x，则y关于x的函数解析式为(　　)
A. y＝200x＋9 800 B. y＝200x＋10 000
C. y＝10 000×1.02x-1 D. y＝10 000×1.02x
3 [2025深圳外国语学校月考]“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为10m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　)
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4 已知某种环保塑料袋的降解率v与时间t(单位：月)满足函数关系式v＝abt(其中a，b为大于零的常数).若经过2个月，这种环保塑料袋降解了20%，经过4个月，降解了60%，则这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过(结果保留整数，参考数据：lg 3≈0.48，lg 5≈0.70)(　　)
A. 5个月 B. 6个月 C. 7个月 D. 8个月
二、 多选题
5 半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从 t＝0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，若f(0)＝1 000，则下列选项中，符合摩尔定律公式的是(　　)
A. 若t是以月为单位，则f(t)＝1 000＋t
B. 若t是以年为单位，则f(t)＝1 000×()t
C. 若t是以月为单位，则lg f(t)＝3＋t
D. 若t是以年为单位，则lg f(t)＝3＋
6 [2025单县一中月考]计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y(单位：KB)与计算机开机后使用的时间t(单位：min)的关系式为y＝3×2t，则下列说法中正确的是(　　)
A. 在计算机开机后使用5min时，该计算机病毒占据内存会超过90KB
B. 计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等
C. 计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1
D. 计算机开机后，设该计算机病毒占据内存到 6KB，9KB，18KB所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
7 [2025陕西师大附中开学考]氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年．样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2－，其中N0表示氚原有的质量，则下列说法中正确的是(参考数据：lg 2≈0.301)(　　)
A. t＝12.43log2
B. 经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失
C. 经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的
D. 若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16
三、 填空题
8 据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆(x∈N)次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是________．
9 [2025苏州六校联考]某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒________次．(lg 2≈0.301 0)
10 [2025盐城月考]中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：C＝Wlog2，它表示在被高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．已知当x比较大时，y＝loga(1＋x)(a>1)≈logax，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1 000提升至8 000，则最大信息传送速率C大约增加了________．(精确到1%，参考数据：lg 2≈0.301 0)
四、 解答题
11 [2025杭州期中联考]如图，某高中校运动会拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为 1 800cm2.为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为5cm，两个宣传栏之间的空隙的宽度为10cm，设海报纸的长和宽分别为xcm，ycm.
(1) 求y关于x的函数解析式；
(2) 为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少？
12 [2025苏州大学附属中学月考]银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫作复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；
乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5 000元．
(1) 设技术改造后，甲方案第n年的利润为an(单位：万元)，乙方案第n年的利润为bn(单位：万元)，请写出an，bn的表达式；
(2) 假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的利润扣除本息和后的净获利更多？(精确到0.1万元，净获利＝总利润－本息和，参考数据1.110≈2.594，1.310≈13.786)
3．9　函数模型及其应用
1. B　解析：由题意，得运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，结合选项可知B正确．
2. D　解析：根据复利计算利息的方式可知，当存期数为1时，本利和为y＝10 000×(1＋2%)＝10 000×1.02，当存期数为2时，本利和为y＝10 000×(1＋2%)2＝10 000×1.022，…，所以当存期数为x时，本利和为y＝10 000×1.02x.
3. A　解析：设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x.由题意，得10×0.75x<2，即0.75x<0.2，解得x>log0.750.2.又log0.750.2＝＝＝≈5.3，所以x>5.3，即x＝6，故小乐同学这一次“打水漂”石片的弹跳次数为6.
4. A　解析：由题意，得0.2＝ab2，0.6＝ab4＝ab2·b2＝0.2b2，所以b2＝3，即b＝，则a＝＝.令abt＝1，即·()t＝1，即3＝15，则t＝2log315＝2log33＋2log35＝2＋≈4.9，故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月．
5. BC　解析：对于A，f(24)＝2 000＝2f(0)，f(48)＝3 000≠2f(24)，故A错误；对于B，f(2)＝2 000＝2f(0)，f(4)＝4 000＝2f(2)，f(2n)＝1 000×2n，n∈N*，故B正确；对于C，lg f(t)＝3＋t，则f(t)＝103+t＝1 000×2，f(24)＝2×1 000，f(48)＝4 000＝2f(24)，f(24n)＝1 000×2n，n∈N*，故C正确；对于D，lg f(t)＝3＋，f(t)＝1 000×，f(2)＝1 000×2＝2f(0)，f(4)＝1 000×7≠2f(2)，故D错误．故选BC.
6. ACD　解析：对于A，令t＝5，则y＝3×25＝96>90，所以在计算机开机后使用5 min时，该计算机病毒占据内存会超过90 KB，故A正确；对于B，因为3×2t+1－3×2t＝3×2t不是定值，所以计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存不相等，故B错误；对于C，因为＝1，所以计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1，故C正确；对于D，由题意，得则(3×2t1)(3×2t2)＝3(3×2t3)，即2t1＋t2＝2t3，即t1＋t2＝t3，故D正确．故选ACD.
7. CD　解析：由题意，得N＝N0·2－，则＝2－，两边同时取对数，得log2＝－，解得t＝－12.43log2，故A错误；当t＝24.86时，N＝N0·2－＝2-2·N0＝N0，故B错误；当t＝62.15时，N＝N0·2－＝2-5·N0＝N0，则经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意，得0.4N0＝N0·2－，化简，得x＝－12.43log2＝－12.43(log22－log25)＝－12.43(1－log25)＝－12.43＝－12.43(1－)≈－12.43(1－)≈16.4>16，故D正确．故选CD.
8. y＝－0.1x＋1 200，x∈[0，4 000]　解析：由题意，得y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，其中0≤x≤4 000.
9. 5　解析：设喷洒x次，则(1－0.8)x<0.1%＝10-3，所以x lg 0.2<－3，所以x>，且lg 2≈0.301 0，所以≈4.3，所以x≥5，即至少要喷洒5次．
10. 56%　解析：设技术提升前的最大信息传送速率为C1，信道带宽为W1，信噪比为；提升后的最大信息传送速率为C2，信道带宽为W2，信噪比为，且满足C1＝W1log2(1＋)≈W1log2，C2＝W2log2(1＋)≈W2log2，则W2＝1.2W1，所以＝≈＝1.2×＝1.2×(1＋lg 2)≈1.561 2，所以最大信息传送速率C大约增加了56%.
11. (1) 由题意，得两个矩形宣传栏的长为 cm，宽为(y－10)cm，
所以2××(y－10)＝1 800，整理，得y＝＋10(x>20).
(2) 由(1)知，(x－20)(y－10)＝1 800，
即xy－10x－20y－1 600＝0.
因为x>20，y>10，
所以由基本不等式，得xy＝10x＋20y＋1 600≥20＋1 600.
令t＝，则t2－20t－1 600≥0，
解得t≤－20(舍去)或t≥40，
所以xy≥3 200，当且仅当即x＝80，y＝40时，等号成立，
所以当海报长80 cm，宽40 cm时，用纸量最少，最少用纸量为3 200 cm2.
12. (1) 甲方案：an＝1.3n-1，n∈N*.
乙方案：bn＝1＋0.5×(n－1)＝0.5n＋0.5，n∈N*.
(2) 甲方案10年共获利1＋(1＋30%)＋…＋(1＋30%)9＝≈42.62(万元)，
到期时的银行贷款本息和为10×(1＋0.1)10≈25.94(万元)；
故甲方案的净获利为42.62－25.94≈16.7(万元).
乙方案10年共获利1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝32.5(万元)，
到期时的银行贷款本息和为(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9＋(1＋10%)10＝≈17.53(万元)，
故乙方案的净获利为32.5－17.53≈15.0(万元).
因为16.7>15.0，
所以采用甲方案获得的利润扣除本息和后的净获利更多．

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