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3.10　导数的概念及运算
复习目标　1. 了解导函数的概念，会求基本初等函数的导数.2. 能利用导数的四则运算法则求简单函数(包括简单的复合函数)的导数.3. 理解导数的几何意义．
导数
活动一 基础引入
1 如图，圆C与Rt△AOB的两直角边相切，射线OP绕点O由OA逆时针匀速旋转到OB的过程中，所扫过的圆内阴影部分面积S关于时间t的函数的大致图象为(　　)
A B C D
2 [2025莆田二模]已知曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则点P的坐标为(　　)
A. (－1，－1) B.
C. (1，e－1) D. (1，2e－1)
3 已知函数f(x)＝x3＋2f′(1) x2＋3，则f(3)＝________．
4 [2025镇江期初]已知二次函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率为2Δx＋3，请写出满足条件的一个二次函数的表达式f(x)＝________．
5 设P是曲线y＝－ln x上的任意一点，则点P到直线y＝－x的最小距离是________．
活动二 典例悟法
题组一　求常见函数的导数
1 求下列函数的导数：
(1) f(x)＝x3＋x sin x；　　 (2) f(x)＝x ln x＋2x;
(3) f(x)＝excos x; (4) f(x)＝.
题组二　求切线方程
2 (1) 若函数f(x)＝2的图象在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，求该切线的方程；
(2) 求过点P(2，5)与曲线f(x)＝x3－x＋3相切的直线方程；
(3) 若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求实数a的值．
1 若P是曲线y＝x2－2ln x上的任意一点，则点P到直线y＝x－3距离的最小值为________．
2 已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－5－2ln 2＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为________．
3 [2025郑州三模]若直线y＝x为曲线y＝eax＋b的一条切线，则的最小值为________．
1 [2025全国一卷·12]若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝________．
2 [2022新课标Ⅰ卷·15]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是____________．
1. 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
2. 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：
(1) 切点处的导数是切线的斜率；
(2) 切点在切线上；
(3) 切点在曲线上．
3. 若两个动点P，Q分别在曲线y＝f(x)和直线l上，则PQmin为曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线l平行时点P到直线l的距离．
3 已知f(x)＝ln x，g(x)＝x3＋x2＋mx＋n，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切于点(1，0).求：
(1) 直线l的方程；
(2) 函数g(x)的解析式．
1 [2026镇江一中期初]若曲线y＝x＋2在点(1，3)处的切线也是曲线y＝ln x＋x＋a的切线，则a＝________．
2 [2025南通开学考试]已知曲线f(x)＝x2与g(x)＝a＋ln x有公共切线，则实数a的最大值为________．
3 [2026兴化中学期初]已知一条直线与函数y＝ln x和y＝ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，则(x1－1)(x2＋1)的值为________．
[2024新课标Ⅰ卷·13]若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
公切线问题的处理策略
1. 基本步骤：
(1) 设曲线f(x)的切点为A(x1，f(x1))，再求出k＝f′(x1)，最后写出曲线f(x)在切点A处的切线方程y＝f′(x1)x－f′(x1)x1＋f(x1)；
(2) 设曲线g(x)的切点为B(x2，g(x2))，再求出k＝g′(x2)，最后写出曲线g(x)在切点B处的切线方程y＝g′(x2)x－g′(x2)x2＋g(x2)；
(3) 联立消去x1得到关于x2的方程(或消去x2得到关于x1的方程).
2. 若已知公切线的条数求参数的取值范围，则转化为方程组有解问题．
3．10　导数的概念及运算
1. D　解析：当直线转动时，若某时刻直线被圆所截得的弦较长，S的瞬时变化率就较大，此处的导数也较大，图象中这里的切线较陡峭，曲线就较陡峭，所以曲线开始由平缓变陡峭；进行到一半时，截得的弦最大，曲线最陡峭；随后弦又渐渐变短，曲线由陡变平缓，结合选项可知D正确.
2. B　解析：由题意，得y′＝(x＋1)ex－1.令(x＋1)ex－1＝－1，则(x＋1)ex＝0，所以x＝－1.当x＝－1时，y＝－e-1－(－1)＝1－，即点P的坐标为.
3. 12　解析：因为f(x)＝x3＋2f′(1)x2＋3，所以f′(x)＝3x2＋4f′(1)x.令x＝1，得f′(1)＝3＋4f′(1)，解得f′(1)＝－1，则f(x)＝x3－2x2＋3，所以f(3)＝33－2×32＋3＝12.
4. 2x2－x(答案不唯一)　解析：设y＝ax2＋bx＋c，则＝＝aΔx＋2a＋b.由题意，得解得显然c的取值不改变结果，不妨取c＝0，则f(x)＝2x2－x.
5. 　解析：设P，则点P到直线y＝－x的距离为d＝.令f(t)＝t＋－ln t，则f′(t)＝1＋－.由f′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0，1)时，f′(t)<0，f(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，所以f(t)min＝f(1)＝2>0，故dmin＝＝.
例1　(1) f′(x)＝3x2＋sin x＋x cos x.
(2) f′(x)＝ln x＋3.
(3) f′(x)＝ex cos x－ex sin x.
(4) f′(x)＝.
例2　(1)因为f(x)＝2，x≥0，
所以f′(x)＝.
因为f(x)＝2的图象在点(a，f(a))处的切线与 2x＋y－4＝0垂直，
所以f′(a)＝＝，解得a＝4，
所以f(a)＝2×＝4，
所以切线的方程为y＝(x－4)＋4，即x－2y＋4＝0.
(2) 因为f(x)＝x3－x＋3，
所以f′(x)＝3x2－1.
因为f(2)＝9，所以点P不在曲线f(x)上．
设切点为(x0，f(x0))，
则切线方程为y＝(3x－1)(x－x0)＋x－x0＋3.
因为切线过点P(2，5)，
所以5＝(3x－1)(2－x0)＋x－x0＋3，
即2x－6x＋4＝0，
解得x0＝1±或x0＝1，
所以切线方程为y＝2x＋1或y＝(11－6)x＋12－17或 y＝(11＋6)x－17－12.
(3) 因为y＝x3，所以y′＝3x2.
因为y＝ax2＋x－9，所以y′＝2ax＋.
因为过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切，
设切点为(x0，x)，所以切线方程为y＝3x(x－x0)＋x.
将点(1，0)代入，得3x(1－x0)＋x＝0，
解得x0＝0或x0＝，
所以切线方程为y＝0或y＝＋.
设直线与曲线y＝ax2＋x－9相切于点(x1，ax＋x1－9)，
则切线方程为y＝(x－x1)＋ax＋x1－9＝x－ax－9.
若切线方程为y＝0，
则解得
若切线方程为y＝＋，
即y＝x－，
则解得
综上，实数a的值为－或－1.
变式训练1　　解析： 由题意，得y＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞).设平行于直线y＝x－3且与曲线y＝x2－2ln x相切的切线对应的切点为P(x，y).由y＝x2－2ln x，得y′＝3x－.令y′＝3x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，则点P的坐标为，故点P到直线y＝x－3距离的最小值为＝.
变式训练2　　解析： 由ln x1－x1－y1＋2＝0，知点A(x1，y1)在函数y＝ln x－x＋2的图象上．由x2＋2y2－5－2ln 2＝0，知点B(x2，y2)在直线y＝－x＋＋ln 2上，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示A，B两点的距离的平方．要求(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值，即求AB的最小值．当过点A的切线与直线y＝－x＋＋ln 2平行时，点A到直线y＝－x＋＋ln 2的距离即为AB的最小值．由y＝ln x－x＋2，得y′＝－1，令－1＝－，解得x1＝2，所以y1＝ln 2－2＋2＝ln 2，即A(2，ln 2).因为点A(2，ln 2)到直线x＋2y－5－2ln 2＝0的距离d＝＝，所以ABmin＝，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(ABmin)2＝.
变式训练3　－1　解析：因为y＝eax＋b，所以y′＝aeax＋b.设直线y＝x与曲线y＝eax＋b相切于点(x，x)，则x＝eax＋b，且aeax＋b＝1，解得eax＋b＝，所以x＝，可得b＝－1－ln a，所以＝.设g(a)＝(a>0)，则g′(a)＝＝.令g′(a)<0，得00，得a>1，所以g(a)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以g(a)min＝g(1)＝－1，即的最小值为－1.
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1. 4　解析：方法一：由y＝ex＋x＋a，得y′＝ex＋1.因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，所以y′＝ex＋1＝2，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5).因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，解得a＝4.　
方法二：由y＝ex＋x＋a，得y′＝ex＋1，假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)，则解得a＝4.
2. (－∞，－4)∪(0，＋∞)　解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋1＋a)ex.设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)ex0，切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0，切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(x－x0).因为切线过原点，所以－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(－x0)，整理，得x＋ax0－a＝0.因为切线有两条，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，即实数a的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞).
例3　(1) 因为f(x)＝ln x，x>0，所以f′(x)＝.
因为直线l与函数f(x)的图象相切于点(1，0)，且点(1，0)在f(x)的图象上，f′(1)＝1，
所以直线l的方程为y＝x－1.
(2) 因为g(x)＝x3＋x2＋mx＋n，
所以g′(x)＝x2＋x＋m.
因为函数g(x)的图象与直线l相切于点(1，0)，
所以g′(1)＝2＋m，g(1)＝＋＋m＋n，
所以直线l：y＝(m＋2)(x－1)＋＋＋m＋n，
即y＝(m＋2)x－＋n.
又直线l的方程为y＝x－1，
所以解得
故g(x)＝x3＋x2－x＋.
变式训练1　2　解析：由y＝x＋2，得y′＝1＋，所以y′|x＝1＝2，故曲线y＝x＋2在点(1，3)处的切线方程为y＝2x＋1.由y＝ln x＋x＋a，得y′＝1＋.设切线与曲线y＝ln x＋x＋a相切的切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋a)，由两曲线有公切线，得y′＝1＋＝2，解得x0＝1，则切点为(1，1＋a)，所以切线方程为y－(1＋a)＝2(x－1)，即y＝2x－1＋a.因为两条切线为同一条直线，所以－1＋a＝1，解得a＝2.
变式训练2　ln 　解析：设曲线f(x)＝x2，g(x)＝a＋ln x的切点分别为(x1，x)，(x2，a＋ln x2).因为f′(x)＝2x，g′(x)＝，所以两切线斜率分别为k1＝2x1，k2＝，所以切线方程分别为y－x＝2x1(x－x1)，y－(a＋ln x2)＝(x－x2).又曲线f(x)＝x2与g(x)＝a＋ln x有公共切线，所以整理，得＋a＋ln x2－1＝0，即1－a＝＋ln x2.令h(x)＝＋ln x，则h′(x)＝，当0时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)≥h＝＋ln ，即1－a≥＋ln ，即a≤－ln ＝ln ，故实数a的最大值为ln .
变式训练3　－2　解析：因为f(x)＝ln x，g(x)＝ex，所以f′(x)＝，g′(x)＝ex，所以y＝ln x在点P(x1，y1)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1，y＝ex在点Q(x2，y2)处的切线方程为y－ex2＝ex2(x－x2)，即y＝ex2x＋ex2(1－x2).因为两条切线为同一条直线，所以由＝ex2，得x1＝e－x2，所以ln x1－1＝ln e－x2－1＝－x2－1，故－x2－1＝(1－x2)，解得x1＝，所以x1－1＝－1＝，所以(x1－1)(x2＋1)＝(x2＋1)＝－2.
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ln 2　解析：由y＝ex＋x，得y′＝ex＋1，令x＝0，则y′＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.由y＝ln (x＋1)＋a，得y′＝.设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2.又两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.(共43张PPT)
第三章
3.10　导数的概念及运算
函数、导数及其应用
复习目标　1．了解导函数的概念，会求基本初等函数的导数. 2．能利用导数的四则运算法则求简单函数(包括简单的复合函数)的导数．3．理解导数的几何意义．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 如图，圆C与Rt△AOB的两直角边相切，射线OP绕点O由OA逆时针匀速旋转到OB的过程中，所扫过的圆内阴影部分面积S关于时间t的函数的大致图象为 (　　)
D
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
【解析】当直线转动时，若某时刻直线被圆所截得的弦较长，S的瞬时变化率就较大，此处的导数也较大，图象中这里的切线较陡峭，曲线就较陡峭，所以曲线开始由平缓变陡峭；进行到一半时，截得的弦最大，曲线最陡峭；随后弦又渐渐变短，曲线由陡变平缓，结合选项可知D正确．
2 [2025莆田二模]已知曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则点P的坐标为 (　　)
C．(1，e－1)　 D．(1，2e－1)
B
3 已知函数f(x)＝x3＋2f′(1) x2＋3，则f(3)＝______．
12
【解析】因为f(x)＝x3＋2f′(1)x2＋3，所以f′(x)＝3x2＋4f′(1)x．令x＝1，得f′(1)＝3＋4f′(1)，解得f′(1)＝－1，则f(x)＝x3－2x2＋3，所以f(3)＝33－2×32＋3＝12．
4 [2025镇江期初]已知二次函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率为2Δx＋3，请写出满足条件的一个二次函数的表达式f(x)＝______________ _______．
2x2－x(答案不
唯一)
活动二　典例悟法
题组一　求常见函数的导数
　　　 求下列函数的导数：
(1) f(x)＝x3＋x sin x；　
(2) f(x)＝x ln x＋2x;
(3) f(x)＝excos x；　
1
【解析】(1) f′(x)＝3x2＋sin x＋x cos x．
(2) f′(x)＝ln x＋3．
(3) f′(x)＝ex cos x－ex sin x．
题组二　求切线方程
2
　　　　　　2 已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－5－2ln 2＝0，则
(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为______．
－1
1 [2025全国一卷·12]若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝_____．
4
【解析】方法一：由y＝ex＋x＋a，得y′＝ex＋1．因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，所以y′＝ex＋1＝2，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5)．因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，解得a＝4．
2 [2022新课标Ⅰ卷·15]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是_________________________．
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
1．求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：
(1) 切点处的导数是切线的斜率；
(2) 切点在切线上；
(3) 切点在曲线上．
3．若两个动点P，Q分别在曲线y＝f(x)和直线l上，则PQmin为曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线l平行时点P到直线l的距离．
(1) 直线l的方程；
(2) 函数g(x)的解析式．
3
因为直线l与函数f(x)的图象相切于点(1，0)，且点(1，0)在f(x)的图象上，f′(1)＝1，
所以直线l的方程为y＝x－1．
2
　　　　　　2 [2025南通开学考试]已知曲线f(x)＝x2与g(x)＝a＋ln x有公共切线，则实数a的最大值为__________．
　　　　　　3 [2026兴化中学期初]已知一条直线与函数y＝ln x和y＝ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，则(x1－1)(x2＋1)的值为_______．
－2
[2024新课标Ⅰ卷·13]若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝_______．
ln 2
公切线问题的处理策略
1．基本步骤：
(1) 设曲线f(x)的切点为A(x1，f(x1))，再求出k＝f′(x1)，最后写出曲线f(x)在切点A处的切线方程y＝f′(x1)x－f′(x1)x1＋f(x1)；
(2) 设曲线g(x)的切点为B(x2，g(x2))，再求出k＝g′(x2)，最后写出曲线g(x)在切点B处的切线方程y＝g′(x2)x－g′(x2)x2＋g(x2)；
2．若已知公切线的条数求参数的取值范围，则转化为方程组有解问题．
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一、 单选题
1 若函数f(x)在x＝x0处可导，则 等于(　　)
A. f′(x0) B. f′(x0)
C. f′(x0) D. 2f′(x0)
2 [2025福州月考]曲线f(x)＝x3＋3x在点(－1，f(－1))处的切线方程为(　　)
A. y＋4＝0 B. 2x－y－2＝0
C. 6x－y＝0 D. 6x－y＋2＝0
3 [2025淮安月考]已知P是曲线C：y＝e2x上一点，直线l：x＋2y＋c＝0经过点P，且与曲线C在点P处的切线垂直，则实数c的值为(　　)
A. －4－ln 2 B. －4－
C. －2 D. －1
4 [2025北京月考]若直线y＝2x是曲线f(x)＝x(e2x－a)的切线，则实数a的值为(　　)
A. －e B. －1 C. 1 D. e
二、 多选题
5 [2025咸阳礼泉期中]下列求导运算中，正确的是(　　)
A. ′＝
B. ′＝1＋
C. (log23)′＝0
D. (x2ex)′＝(2x－x2)ex
6 下列命题中，是真命题的有(　　)
A. 若f′(x0)＝0，则x0是函数f(x)的极值点
B. 函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，＝1
C. 已知函数f(x)＝2cos ＋f′(0)cos x，则曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为－2
D. 若函数y＝f(x)的导数f′(x)<1，且f(1)＝2，则不等式f(x)>x＋1的解集是(－∞，1)
7 [2025渝中月考]已知定义在实数集R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，f(1)＝1，f′(1)＝2，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(0)＝0 B. f(－2)＝4
C. f′(0)＝－1 D. f′(2)＝4
三、 填空题
8 [2025上海晋元高级中学期中]已知一罐汽水放入冰箱后的温度x(单位：℃)与时间t(单位：h)满足函数关系x＝4＋16e-2t，则大约经过________min，温度的瞬时变化率为－1℃/h.(精确到1min)
9 若直线y＝x＋a是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝ex＋b的切线，则a＋b＝________．
10 [2025青岛一模]已知函数f(x)＝|ln x|图象的两条切线相互垂直，并分别交y轴于A，B两点，则AB＝________．
四、 解答题
11 [2025大连期中]已知函数f(x)＝x3－3x2＋bx＋c在x＝0处取得极大值1.
(1) 求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2) 求过点(0，2)与曲线y＝f(x)相切的直线方程．
12 [2025北京月考]已知函数f(x)＝ex－ax2.
(1) 若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，求实数a的最大值；
(2) 若a＝2，是否存在x1，x2∈(0，2)，使得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))和点(x2，f(x2))处的切线互相垂直？请说明理由．(参考数据：e≈2.72，ln 2≈0.69)
3．10　导数的概念及运算
1. B　解析：由题意，得 ＝ ＝f′(x0).
2. D　解析：因为f′(x)＝3x2＋3，所以f′(－1)＝6.又f(－1)＝－4，所以所求切线方程为y＋4＝6(x＋1)，即6x－y＋2＝0.
3. C　解析：因为y＝e2x，所以y′＝2e2x.直线l：x＋2y＋c＝0，即为y＝－x－，则其斜率为k＝－.设P(x0，y0)，由题意，得解得
4. B　解析：由f(x)＝x(e2x－a)，得f′(x)＝(1＋2x)e2x－a.设直线y＝2x与曲线f(x)＝x(e2x－a)相切于点P(t，2t)，则所以可得(1＋2t)t＝t，解得t＝0，则a＝－1.
5. ABC　解析：对于A, ′＝＝，故A正确；对于B，′＝x′－′＝1＋，故B正确；对于C，log23为常数，故C正确；对于D, (x2ex)′＝(x2)′·ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，故D错误．故选ABC.
6. CD　解析：对于A，f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，但当x<0时，函数f(x)单调递增，当x>0时，函数f(x)也单调递增，则0不是函数f(x)的极值点，故A错误；对于B，根据导数的定义可知，当Δx→0时，f′(1)＝＝2，即当Δx→0时，＝－1，故B错误；对于C，由f(x)＝2cos ＋f′(0)cos x＝2sin x＋f′(0)cos x，得f′(x)＝2cos x－f′(0)sin x，所以f′(0)＝2，所以f(x)＝2sin x＋2cos x，f′(x)＝2cos x－2sin x，所以f′＝2cos －2sin ＝－2，故C正确；对于D，令g(x)＝f(x)－x－1，则g′(x)＝f′(x)－1<0，g(1)＝f(1)－1－1＝0，所以g(x)>0的解集是(－∞，1)，即f(x)>x＋1的解集是(－∞，1)，故D正确．故选CD.
7. ABD　解析：因为对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy, 所以式子两边对y求导，得f′(y＋x)·1＝f′(y)＋2x.又f′(1)＝2，令y＝1，则f′(x＋1)＝f′(1)＋2x＝2x＋2，x∈R，所以f′(x)＝2(x－1)＋2＝2x.设f(x)＝x2＋c.由f(1)＝1，得1＝c＋1，解得c＝0，所以f(x)＝x2，所以f(0)＝0，f(－2)＝4，f′(0)＝0，f′(2)＝4，故A，B，D正确，C错误．故选ABD.
8. 104　解析：由题意，得x′＝－32e-2t，则－1＝－32e-2t，解得t＝ln 2(h)，则t≈104 min.
9. －3　解析：设直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)，与曲线y＝ex＋b相切于点(x2，ex2＋b).因为y＝ln x的导函数为y′＝，y＝ex＋b的导函数为y′＝ex＋b，所以两曲线的切线方程分别为y－ln x1＝(x－x1)，y－ex2＋b＝ex2＋b(x－x2).因为两条切线相同，且切线方程为y＝x＋a，所以解得所以a＋b＝－1－2＝－3.
10. 2　解析：设函数f(x)在点P(x1，f(x1))和Q(x2，f(x2))(x11，则点P(x1，－ln x1)，Q(x2，ln x2)，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝ln x，f′(x)＝，当x∈(0，1)时，f(x)＝－ln x，f′(x)＝－，则kAP＝－，kBQ＝，所以kPA·kQB＝－1，即x1x2＝1.因为lPA：y－(－ln x1)＝－(x－x1)，所以y＝－x＋1－ln x1，lQB∶y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1，则点A(0，1－ln x1)，B(0，ln x2－1).因为011. (1) 由f(x)＝x3－3x2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2－6x＋b.
由题意，得解得
所以f(x)＝x3－3x2＋1，f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)>0，得x>2或x<0；
由f′(x)<0，得0所以f(x)在x＝0处取得极大值1，
即b＝0，c＝1符合题意．
易得f(3)＝1，f′(3)＝9，即切点坐标为(3，1)，切线斜率为9，
所以曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程为y－1＝9(x－3)，即9x－y－26＝0.
(2) 由(1)，得f(x)＝x3－3x2＋1，f′(x)＝3x2－6x，
设切点坐标为(x0，x－3x＋1)，切线斜率k＝3x－6x0，
则切线方程为y－(x－3x＋1)＝(3x－6x0)(x－x0).
由切线过点(0，2)，得2－(x－3x＋1)＝(3x－6x0)(－x0)，
整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－，
所以切线方程为y＋1＝－3(x－1)或y－＝，
即3x＋y－2＝0或15x－4y＋8＝0.
12. (1) 由f(x)＝ex－ax2，得f′(x)＝ex－2ax.
因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)＝ex－2ax≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，
即2a≤在区间(0，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝，x>0，则g′(x)＝，x>0，
当0当x>1时，g′(x)>0，则g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝e，所以2a≤e，解得a≤，
即实数a的最大值为.
(2) 存在，理由如下：
当a＝2时，f(x)＝ex－2x2，则f′(x)＝ex－4x，
令h(x)＝ex－4x，则h′(x)＝ex－4.
若存在x1，x2∈(0，2)，使得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))和点(x2，f(x2))处的切线互相垂直，
则存在x1，x2∈(0，2)，使得h(x1)h(x2)＝－1.
令h′(x)＝ex－4＝0，则x＝ln 4∈(0，2)，
当0当ln 40，则h(x)在区间(ln 4，2)上单调递增．
又h(0)＝1，h(ln 4)＝4－4ln 4≈－1.52，h(2)＝e2－8≈－0.601 6,
所以当x∈(0，2)时，h(x)∈[－1.52，1)，
故存在x1，x2∈(0，2)，使得h(x1)h(x2)＝－1，
例如h(x1)＝－，h(x2)＝，符合题意．

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