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广东省2026年初中学业水平考试考前30天冲刺练习 07
稳住心态，科学备考——你的努力，终将闪耀！
冲刺的号角已经吹响！这份《考前30天冲刺练习》专为广东考生量身打造，紧扣最新考纲与命题趋势，精选2026年全国最新模拟试题，涵盖核心考点、易错题型与实战模拟。每一天的练习都精挑细选，帮助你在有限时间内查漏补缺、强化弱项、提升应试技巧。坚持30天，稳扎稳打，让每一分努力都转化为考场上的底气。
尺规作图综合集训
一、选择题
1．（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·贵州遵义·一模）如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．垂直平分
3．（2026·天津河东·二模）在下列各图中，根据尺规作图痕迹可以判断点是弧中点的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图：
①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线．
根据嘉淇的作图，下列结论：
结论Ⅰ：；
结论Ⅱ：；
结论Ⅲ：；
结论Ⅳ：．
其中一定正确的是（ ）
A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ C．结论Ⅱ和Ⅳ D．结论Ⅱ和Ⅲ
5．（2026·吉林延边·二模）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·天津北辰·二模）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E；③作射线，与边相交于点F．若，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
7．（2026·山东济南·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：
①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；
②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
③作射线，交边于点，若，
则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接．若，则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
二、填空题
9．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线，与斜边交于点D，与直角边交于点E；连接．则线段的长为______．
10．（2025·广东深圳·二模）如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于；②分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交于点．若测得，则点到的距离为______．
11．（2026·湖南长沙·二模）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧交对角线于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点、连接交于点，连接，，则的值为___________．
12．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P；③作射线交于点D．若，则的大小为______度．
13．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在四边形中，，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，与边相交于点，与边相交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长与边相交于点，与边的延长线相交于点，若，，，则的长为_______．
14．（2026·山东滨州·二模）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点；④以点为圆心，为半径作弧交射线于另一点；⑤分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；⑥作射线交延长线于点．若，，则________．
三、解答题
15．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在上．请用尺规作图法，过点P作的切线l．（保留作图痕迹，不写作法）
16．（2026·甘肃天水·模拟预测）在古希腊，尺规作图（仅使用无刻度的直尺和圆规）被视为几何学的至高准则，它源于柏拉图学派对“纯粹”与“精确”的追求．欧几里得在《几何原本》中系统总结并严格规定了这一方法，使所有作图步骤都必须基于基本事实与已证定理．其中，“已知直角边与斜边作直角三角形”便是一道经典的基础作图题，迄今已沿用两千余年．
题目：已知一直角边和斜边，求作直角三角形．
已知：线段，，如图．
求作：，使，．
17．（2026·甘肃平凉·二模）相传很久以前，为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普通的画图题，却让数学家们苦苦思索了两千年，可见，尺规作图有它特有的魅力，使无数人沉湎其中，在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规完成的作图，叫做尺规作图．
如图，已知线段和，利用尺规作图法作，使得，．作法如下：
①利用尺规作；
②以点为圆心，线段为半径画弧，分别交、于点、；
③连接，则是所求作的三角形．（不用写作法，保留作图痕迹）
18．（2026·江苏扬州·二模）如图，已知．
(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形，使得点D，E，F分别在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)请根据作图过程证明四边形为菱形．
19．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，．
(1)尺规作图：①在上找一点D，使是等边三角形，②过D作，交于点E．
（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，则的值为 ．（若需画图，请用备用图）
20．（2026·河南洛阳·三模）如图，是的直径，点在上．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图形中，连接，求证：．
21．（2026·河南南阳·二模）如图，在中，，过点作交于点．点是线段上一点，连接，请完成下面的作图和填空．
(1)尺规作图：在的右边作，射线交的延长线于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
22．（2026·江苏盐城·二模）如图，在平行四边形中，，，．
(1)尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，求的长．
23．（2026·河南周口·模拟预测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小明想自制一个风筝，于是就在图纸上画了一个如图所示的，其中．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点；连接并延长到，使．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，求证：．
24．（2026·湖北武汉·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条．
(1)在图（1）中，画射线交于点，使平分的面积；
(2)在（1）的基础上，在上画点，使；
(3)在图（2）中，画射线交于点，使得，垂足是；
(4)点是上一点，在（3）的基础上，在上画一点，使得的周长最小．
25．（2026·广东清远·二模）如图，已知平行四边形．
(1)用直尺和圆规作，使过A，B两点，且与相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，（），当为多少度时，（1）中所作的圆的半径最小，并求出最小半径．
26．（2026·河南·模拟预测）如图，中，，，，是的中线．
(1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①过点C在的右侧作；
②在射线上截取，连接；
(2)求证：四边形是菱形．广东省2026年初中学业水平考试考前30天冲刺练习 07
稳住心态，科学备考——你的努力，终将闪耀！
冲刺的号角已经吹响！这份《考前30天冲刺练习》专为广东考生量身打造，紧扣最新考纲与命题趋势，精选2026年全国最新模拟试题，涵盖核心考点、易错题型与实战模拟。每一天的练习都精挑细选，帮助你在有限时间内查漏补缺、强化弱项、提升应试技巧。坚持30天，稳扎稳打，让每一分努力都转化为考场上的底气。
尺规作图综合集训
一、选择题
1．（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由矩形的性质可得，，则，，由作图可得垂直平分，则，从而可得，由此计算即可得出结果．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，
由作图可得：垂直平分，
∴，
∴，
∴．
2．（2026·贵州遵义·一模）如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．垂直平分
【答案】D
【分析】根据作图痕迹可知，，即可得出结论．
【详解】根据作图痕迹可以判断作图过程为过点作直线的垂线，且，，
所以垂直平分一定正确．
故选：D．
3．（2026·天津河东·二模）在下列各图中，根据尺规作图痕迹可以判断点是弧中点的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线性质，依次对图形进行判断即可．
【详解】解：A、以为圆心，为半径画圆弧，则是等腰三角形，且；
连接，如图，
只有当是直径时，得，由等腰三角形的性质得，
则，即点是弧中点，故不能保证结论成立，不符合题意；
B、角平分线的画法，再结合同弧所对的圆周角相等即可判断，符合题意；
C、尺规作图的直线是的垂直平分线，垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的两条弧，符合题意；
D、由作图痕迹可知，平行于，无法得到点是弧中点，不符合题意．
4．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图：
①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线．
根据嘉淇的作图，下列结论：
结论Ⅰ：；
结论Ⅱ：；
结论Ⅲ：；
结论Ⅳ：．
其中一定正确的是（ ）
A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ C．结论Ⅱ和Ⅳ D．结论Ⅱ和Ⅲ
【答案】C
【详解】解：由作图可得，，
∴是的中位线，
∴，，
；
故结论Ⅱ和Ⅳ一定正确，结论Ⅰ不能证明，结论Ⅲ错误．
5．（2026·吉林延边·二模）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据尺规作图的痕迹，判断对应的判定定理即可．
【详解】解：由作图可知：，，
在和中
，
，
6．（2026·天津北辰·二模）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E；③作射线，与边相交于点F．若，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】连接，由作法得：，再由等腰三角形的性质可得，，从而得到，以及三角形外角的性质可得，从而得到，再由勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，连接，
由作法得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
7．（2026·山东济南·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：
①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；
②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
③作射线，交边于点，若，
则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据作图得到平分，如图所示，过点D作于点H，由角平分线的性质定理得到，再根据面积的计算公式求解即可．
【详解】解：根据作图可知平分，如图所示，过点D作于点H，
∵，即，
∴，
∴，
故选：B ．
8．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接．若，则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】根据作图可知垂直平分，，结合垂直平分线的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质，可得，，然后计算的周长即可．
【详解】解：由作图可知，垂直平分，，
∴，
∵，即，
∴，
∴周长
．
二、填空题
9．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线，与斜边交于点D，与直角边交于点E；连接．则线段的长为______．
【答案】3
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可得出答案．
【详解】解：由作图步骤可知，直线是线段的垂直平分线，
∵点D在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
10．（2025·广东深圳·二模）如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于；②分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交于点．若测得，则点到的距离为______．
【答案】3
【分析】如图所示，过点作交的延长线于点，根据作图得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行线间的距离处处相等，即可求解．
【详解】解： 如图，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据作图可知为的角平分线，，
∴
∴点E到的距离为
故答案为：3．
【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线之间的距离，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．
11．（2026·湖南长沙·二模）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧交对角线于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点、连接交于点，连接，，则的值为___________．
【答案】2
【分析】连接，，由作图痕迹可知，可知四边形是菱形，得到，根据矩形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出的值．
【详解】解：如图，连接，，由作图痕迹可知，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
四边形是平行四边形，
点是的中点，
．
12．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P；③作射线交于点D．若，则的大小为______度．
【答案】70
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，由作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的定义求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
由作图步骤可知，平分，
∴，
在中，，
∴．
13．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在四边形中，，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，与边相交于点，与边相交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长与边相交于点，与边的延长线相交于点，若，，，则的长为_______．
【答案】
【分析】由题意易得，则有，过点作，然后可得，，，进而可得，设，有，最后根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由作图可知：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作，
∵，，，，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
设，有，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴．
14．（2026·山东滨州·二模）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点；④以点为圆心，为半径作弧交射线于另一点；⑤分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；⑥作射线交延长线于点．若，，则________．
【答案】
【分析】首先根据作图步骤得出平分，，利用平行四边形的性质和角平分线推导出，再通过延长交的延长线于点，构造全等三角形和相似三角形，求出的长，进而求得的长．
【详解】解：由作图步骤①②③可知，平分，
．
四边形是平行四边形，
，，．
，
，
．
由作图步骤④⑤⑥可知，，即．
如图，延长交的延长线于点．
在和 中，
，
，．
，即，
，
，
，
．
三、解答题
15．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在上．请用尺规作图法，过点P作的切线l．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【详解】解：如图，直线即为所求．
16．（2026·甘肃天水·模拟预测）在古希腊，尺规作图（仅使用无刻度的直尺和圆规）被视为几何学的至高准则，它源于柏拉图学派对“纯粹”与“精确”的追求．欧几里得在《几何原本》中系统总结并严格规定了这一方法，使所有作图步骤都必须基于基本事实与已证定理．其中，“已知直角边与斜边作直角三角形”便是一道经典的基础作图题，迄今已沿用两千余年．
题目：已知一直角边和斜边，求作直角三角形．
已知：线段，，如图．
求作：，使，．
【答案】
【分析】作射线，在射线上取，过作，以为圆心，为半径画弧交于，连接，即为所求．
【详解】略
17．（2026·甘肃平凉·二模）相传很久以前，为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普通的画图题，却让数学家们苦苦思索了两千年，可见，尺规作图有它特有的魅力，使无数人沉湎其中，在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规完成的作图，叫做尺规作图．
如图，已知线段和，利用尺规作图法作，使得，．作法如下：
①利用尺规作；
②以点为圆心，线段为半径画弧，分别交、于点、；
③连接，则是所求作的三角形．（不用写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：作图如下：
，
则即为所求．
【分析】根据尺规作图的基本步骤，规范求作即可；
【详解】解：略．
18．（2026·江苏扬州·二模）如图，已知．
(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形，使得点D，E，F分别在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)请根据作图过程证明四边形为菱形．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）作的平分线，交于点E，再作线段的垂直平分线，交于点D，F，则四边形即为所求；
（2）根据尺规作图的步骤可知平分，是的垂直平分线，进而得出，，再说明四边形是平行四边形，然后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）证明：根据作图过程可知平分，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
19．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，．
(1)尺规作图：①在上找一点D，使是等边三角形，②过D作，交于点E．
（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，则的值为 ．（若需画图，请用备用图）
【答案】(1)如下图，和即为所求，
(2)
【分析】（1）利用，以为圆心、长为半径画弧，交于点，连接得到等边；以点D为圆心，为半径作弧，交于点F，再以点A和点F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点G，连接射线，交于，即可完成作图；
（2）由等边及、，得为等腰直角三角形，，通过角度运算得到、，过作延长线，设，借助直角三角形边角关系推出，结合等腰直角三角形斜边公式，化简得．
【详解】（1）略
（2）解：∵是等边三角形，
，，，
∵，，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
∴，
过点作，交的延长线于点，
，
，
是等腰直角三角形，
∴，，，
在中，设，
则，
，且，，
∴
解得，
在等腰中，，
在等腰中，，
．
20．（2026·河南洛阳·三模）如图，是的直径，点在上．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图形中，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】1）作交于点，即可求解；
（2）根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，进而得出，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
21．（2026·河南南阳·二模）如图，在中，，过点作交于点．点是线段上一点，连接，请完成下面的作图和填空．
(1)尺规作图：在的右边作，射线交的延长线于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)解：如图，即为所求．
(2)解：四边形是菱形，理由如下：
，，
，
∴是的垂直平分线，
，，
在和中，，
，
，
∴，
四边形是菱形．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤，规范画图即可；
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，可得，即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）略
（2）略
22．（2026·江苏盐城·二模）如图，在平行四边形中，，，．
(1)尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）以点为圆心，长为半径交于点，点即为所作；
（2）由（1）的作法即可得解．
【详解】（1）解：如图，点即为所作，
作，由作图知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴点符合题意；
（2）解：由（1）得．
23．（2026·河南周口·模拟预测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小明想自制一个风筝，于是就在图纸上画了一个如图所示的，其中．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点；连接并延长到，使．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的作图和线段的作图进行解答即可；
（2）根据等腰三角形三线合一得到．利用证明即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：．点为的中点．
．
在与中，
．
24．（2026·湖北武汉·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条．
(1)在图（1）中，画射线交于点，使平分的面积；
(2)在（1）的基础上，在上画点，使；
(3)在图（2）中，画射线交于点，使得，垂足是；
(4)点是上一点，在（3）的基础上，在上画一点，使得的周长最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）取格点M、N，连接交于D，连接即可；
（2）取格点G，连接与点C上方一格的水平线相交于，连接交于即可；
（3）取格点E，连接交于点F即可；
（4）取格点G，设与过格点C的水平线相交于M，连接并延长，交于，连接交于H即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，点E、即为所求，
理由：建立如图所示的直角坐标系，连接，
则，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即；
（3）解：如图，点F即为所求，
（4）解：如图，点H即为所求，
理由：如上图，
根据网格特征知，，，，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴C、关于对称，
∴，
∴，
当P、H、三点共线时，最小，则的周长最小，
故点H即为所求．
25．（2026·广东清远·二模）如图，已知平行四边形．
(1)用直尺和圆规作，使过A，B两点，且与相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，（），当为多少度时，（1）中所作的圆的半径最小，并求出最小半径．
【答案】(1)如图即为所求作的圆：
(2)当或时，圆的最小半径为
【分析】（1）作的中垂线交于点,连接，作的中垂线交于点,则过A，B两点，且与相切；
（2）分类讨论，当时取得最小值，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
圆的半径为的长度，
①当圆的半径最小时，
∵
∴
则当点重合时，时取得最小值，
则点与点重合，且在线段的中垂线上，
则,,
∴
∴;
②当圆的半径最小时，
∵
∴
则当点重合时，则时取得最小值，
则点与点重合，且在线段的中垂线上，
则,,
∴
∴
∴．
26．（2026·河南·模拟预测）如图，中，，，，是的中线．
(1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①过点C在的右侧作；
②在射线上截取，连接；
(2)求证：四边形是菱形．
【答案】(1)①：如图，即为所求，
②：如图，线段即为所求；
(2)证明：∵，，，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
【分析】（1）①：在上作一个角等于即可；
②：量取的长，在上截取即可；
（2）利用勾股定理的逆定理推出为直角三角形，得到，，证明四边形是平行四边形，再由，证明四边形是菱形．
【详解】（1）①：以为圆心作一段弧，分别交，于点，；保持弧度的开口大小不变，以点为圆心作一段弧，交于点；用圆规量取的长度，以为圆心作弧交以点为圆心的弧于点，则此时，，即，可得到；
②用圆规量取的长，以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接．
（2）略

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