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浙江省杭州市2026年七年级下册期末考试数学模拟卷B
满分120分 时间120分钟
一、选择题（共30分）
1．甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能大致看成用其中一部分平移得到的是（ ）
A．明 B．立 C．从 D．鼎
【答案】C
【详解】解：A、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意；
B、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意；
C、能大致看成用其中一部分平移得到，符合题意；
D、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意．
2．若“”是分式，则“ ”不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式的定义为：若中，是整式，且中含有字母，则是分式，据此判断即可．
【详解】解：∵若是分式，则分母必须是含有字母的整式，
选项A的，选项B的，选项C的，均含有字母，符合分式的分母要求，
又∵是常数，
∴是不含字母的常数，若 ，则是整式，不是分式，
因此不可以是．
3．为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　）
A．6800名学生是总体 B．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查
【答案】B
【分析】根据统计相关的基本概念，包括总体、个体、样本、普查与抽样调查的定义，判断各选项即可．
【详解】解：A．总体是我市初中八年级名学生的体育成绩，不是名学生，错误，故不符合题意；
B．名学生的体育成绩是从总体中抽取的一部分个体，符合样本的定义，∴B正确；
C．总体的一个个体是每名学生的体育成绩，不是每名学生，错误，故不符合题意；
D．本次调查只抽取了部分学生，属于抽样调查，不是普查，错误，故不符合题意．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：选项A：∵，∴A运算正确；
选项B：∵，∴B运算错误；
选项C：∵，∴C运算错误；
选项D：∵，∴D运算错误．
5．已知是关于x、y的二元一次方程的一组解，则m的值是（　　）
A．3 B． C． D．2
【答案】B
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程的一组解，
∴把代入方程得
解得．
6．下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐项判断即可．
【详解】解：A、，原式是因式分解，但分解的不彻底，选项A不符合题意；
B、等式右边，不是几个整式乘积的形式，则选项B不符合题意；
C、该变形是将几个整式的积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，则选项C不符合题意；
D、等式左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且分解彻底，符合因式分解的定义，则选项D符合题意．
7．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出m，n的值即可．
【详解】解：由题意得，两个方程组的解同样满足方程组，
解得：，
把代入和，得：
，，
∴．
8．已知其中A，B为常数，则的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．5
【答案】C
【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴．
9．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
．
10．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　 ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【分析】由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可．
【详解】解：根据题意可知，
代入，，得：．
二、填空题（共18分）
11．分解因式：____________．
【答案】
【详解】解：．
12．计算：_____．
【答案】1
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
13．某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，将收集的数据制成了如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中篮球部分对应的圆心角为，已知该校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有_____名．
【答案】1280
【分析】根据圆心角度数求出占比，然后求出羽毛球部分的占比，根据总数乘其占比即可求解．
【详解】解：篮球部分的占比为，
羽毛球部分的占比为，
∴估计该学校选择羽毛球的学生有（名）．
14．若的展开式中不含项，则______．
【答案】
【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，合并同类项后，根据展开式不含项得到项的系数为0，即可求出的值．
【详解】解：
∵展开式中不含项，
∴
解得．
15．如图，下列能判定的条件有______（填序号）．
①；②；③；④；⑤．
【答案】
①③④
【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可．
【详解】解：①，
，符合题意；
②，
，不能判定，不符合题意；
③，
，符合题意；
④，
，符合题意；
⑤与是同旁内角，若才能判定，而不能判定，不符合题意；
综上所述，能判定的条件有①③④．
16．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________．
【答案】
【分析】把的两边都除以4变形为，然后把和看作一个整体，用换元法求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵的解为，
∴，
∴．
三、解答题（共72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程组．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由方程，变形得，
将其代入方程，
，
解得：，
把代入：，
方程组的解为 ．
（2）解：方程 两边同乘2，得：，
用其减去方程：
，
解得：，
把代入方程：，
解得：，
方程组的解为 ．
18．（8分）先化简，再求值：，从的范围内选择一个合适的整数代入求值．
【答案】，时，原式
【分析】本题考查分式的化简求值及分式有意义的条件，先将分式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定代入的值计算即可．
【详解】解：
，
且为整数，，，，
，，，
，，，
当时，
原式．
19．（8分）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解
(2)
【详解】（1）解：
去分母得，
解得：
把代入分母，得，
因此是增根，原分式方程无解．
（2）解：
去分母得，
解得
当时，最简公分母，
故原方程的解为．
20．（8分）随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识．针对五个软件：（A）作业帮（B）橙果错题集（C）小猿搜题（D）豆包（E），某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样调查，并绘制如下统计图．完成下列问题：
(1)求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图．
(2)已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱软件学生人数．
【答案】(1)30人，
(2)225人
【分析】（1）根据样本容量频数所占百分数，求得样本容量，利用频数之和等于样本容量，计算补图即可；
（2）利用样本估计总体计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得A有70人，占比为，
故，
故喜欢豆包软件的人数为：（人），
补图略．
（2）解：根据题意，得（人），
答：该校最喜爱软件的学生共有225人．
21．（8分）如图，直线、交于点平分，且
(1)求的度数；
(2)若平分，且，试说明的理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的比例求解即可；
（2）由角平分线的性质可得角度的关系，再根据内错角相等，即可证明平行．
【详解】（1）解：平分，
，
，
．
．
．
（2）解：平分平分，
．
，
，
．
．
．
22．（10分）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”；
(2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值；
(3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)具有
(2)或
(3)时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”
【分析】（1）先解二元一次方程组求出、的值，再代入验证，判断是否具有友好关系．
（2）先通过方程组消元，用含的代数式表示，再根据友好关系的定义列方程求解的值．
（3）先通过加减消元法用含的代数式表示，结合、、为正整数的条件，分情况讨论的取值，再验证是否满足，判断是否具有友好关系．
【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下：
，
①-②得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴方程组的解为，
∴，
∴方程组的解与具有“友好关系”，
故答案为：具有；
（2）解：，
②-①得，
∴
∵方程组的解与具有“友好关系”，
∴，
解得或，
∴的值为或；
（3）解： ，
得，，
解得，
与，都是正整数，
当时，，
则，
此时方程组的解具有“友好关系”；
当时，，
则，
此时方程组的解不具有“友好关系”；
当时，（不合，舍去）；
当时，（不合，舍去）；
综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”．
23．（10分）在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形．
(1)【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______；
(2)【问题解决】
①已知，，则xy的值为______；
②已知，求的值；
(3)【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）用两种方式表示阴影面积即可解答；
（2）①直接利用（1）得结论求解即可；②设，，则，然后再利用（1）的结论求解即可；
（3）由题意可得：，再求得，利用（1）的结论可得；再利用完全平方公式可求得，最后代入求S即可．
【详解】（1）解：如图①中阴影部分的一种表示为：；另一种为：，则．
（2）解：①由（1）可得：，
所以，
∴，
∵，，
∴．
②设，，则，
由（1）知，
∴．
（3）解：由图②可知，阴影部分的面积为
∵，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴．
24．（12分）已知平分，平分，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，且，请探究与的数量关系，并证明你的结论；
(3)若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，请在备用图中画出图形，再直接写出与的数量关系．
【答案】(1)证明： 平分，平分，
， ，
，， ，即，
；
(2) ，
证明：设，则 ，
平分，
，
，
由（1）可知：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
即 ；
(3)或；
【分析】（1）由角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形的内角和定理和等量代换有，由此可证得；
（2）设，依题意可得 ， ， ，由（1）可知：，根据平行线的性质可得 ，再由角平分线的定义得 ，最后由三角形的内角和定理以及角之间的关系可得出 ， ，即可求得与的数量关系；
（3）分点H在右侧和左侧两种情况，①当点H在右侧时，设 ，根据题意运用平行线的性质、角平分线的性质以及三角形的内角和定理得出 ， ，由此即可求得此时的与的数量关系；②当点H在左侧时，设 ，则 ，利用角平分线的定义以及三角形的外角和定理可得，，由此即可求得此时的与的数量关系．
【详解】（1）略；
（2）略
（3）解：或，理由如下：
①如图，当点H在右侧时，
理由如下：设 ，则 ，
，
，
又平分，
，
，
即 ，
，
，
即 ；
②如图，当点H在左侧时，
设 ，则 ，
又平分，
，
，，
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浙江省杭州市2026年七年级下册期末考试数学模拟卷B
满分120分 时间120分钟
一、选择题（共30分）
1．甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能大致看成用其中一部分平移得到的是（ ）
A．明 B．立 C．从 D．鼎
2．若“”是分式，则“ ”不可以是（ ）
A． B． C． D．
3．为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　）
A．6800名学生是总体 B．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是关于x、y的二元一次方程的一组解，则m的值是（　　）
A．3 B． C． D．2
6．下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知其中A，B为常数，则的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．5
9．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　 ）
A．10 B．20 C．30 D．40
二、填空题（共18分）
11．分解因式：____________．
12．计算：_____．
13．某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，将收集的数据制成了如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中篮球部分对应的圆心角为，已知该校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有_____名．
14．若的展开式中不含项，则______．
15．如图，下列能判定的条件有______（填序号）．
①；②；③；④；⑤．
16．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________．
三、解答题（共72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程组．
(1)；
(2)．
18．（8分）先化简，再求值：，从的范围内选一个合适的整数代入求值．
19．（8分）解分式方程：
(1)； (2)．
20．（8分）随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识．针对五个软件：（A）作业帮（B）橙果错题集（C）小猿搜题（D）豆包（E），某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样调查，并绘制如下统计图．完成下列问题：
(1)求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图．
(2)已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱软件学生人数．
21．（8分）如图，直线、交于点平分，且
(1)求的度数；
(2)若平分，且，试说明的理由．
22．（10分）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”；
(2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值；
(3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由．
23．（10分）在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形．
(1)【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______；
(2)【问题解决】
①已知，，则xy的值为______；
②已知，求的值；
(3)【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积．
24．（12分）已知平分，平分，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，且，请探究与的数量关系，并证明你的结论；
(3)若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，请在备用图中画出图形，再直接写出与的数量关系．

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